О некотором произведении SM-групп Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 1.

УДК 512.542 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-170-175

О некотором произведении SМ-групп1

Д. В. Грицук, А. А. Трофимук

Грицук Дмитрий Владимирович — кандидат физико-математических наук, Брестский государственный университет им. А. С. Пушкина (г. Брест, Беларусь). e-mail: dmitry.gritsuk@gmail.com

Трофимук Александр Александрович — доктор физико-математических наук, Брестский государственный университет им. А. С. Пушкина (г. Брест, Беларусь). e-mail: alexander. trofimuk@gmail. com

Аннотация

Подгруппа А группы G называется tcc-подгруппой в G, если существует подгруппа Y группы G такая, что G = AY и для любого X ^ Аш Z ^ У существует элемент и G {X, Z} такой, что XZи < G. Запись Н ^ G означает, что Н является подгруппой группы G. В этой статье доказано, что класс всех SM-групп замкнут относительно произведения tec-подгрупп. Здесь SM-группой называется группа, у которой каждая субнормальная подгруппа перестановочна с каждой максимальной подгруппой.

Ключевые слова: факторизуемая группа, tcc-подгруппа, SM-rpynna.

Библиография: 18 названий.

Для цитирования:

Д. В. Грицук, А. А. Трофимук. О некотором произведении SM-rpvnn // Чебышевский сборник, 2024, т. 25, вып. 1, с. 170-175.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 1.

UDC 512.542 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-1-170-175

On some product of SM-groups

D.V. Gritsuk, A.A. Trofimuk

Gritsuk Dmitry Vladimirovich — candidate of physical and mathematical sciences, A. S. Pushkin Brest State University (Brest, Belarus). e-mail: dmitry.gritsuk@gmail.com

Trofimuk Alexander Aleksandrovich — doctor of physical and mathematical sciences, A. S. Pushkin Brest State University (Brest, Belarus). e-mail: alexander. trofimuk®gmail. com

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Республика Беларусь (ГПНИ «Конвергенция-2025», № гос. per. 20211467).

Abstract

A subgroup A of a group G is called tec-subgroup in G, if there is a subgroup T of G such that G = AT and for any X < A and Y < T there exists an element и g (X, Y) such that XYU < G. The notation H < G means that H is a subgroup of a group G. In this paper we proved that the class of all SM-groups is closed under the product of tec-subgroups. Here an SM-group is a group where each subnormal subgroup permutes with every maximal subgroup.

Keywords: factorizable group, tcc-subgroup, SM-group.

Bibliography: 18 titles.

For citation:

D. V. Gritsuk, A. A. Trofimuk, 2024, "On some product of SM-groups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 1, pp. 170-175.

1. Введение

Рассматриваются только конечные группы. Используемая терминология соответствует [1,

2].

Напомним, что подгруппы А и В группы G называются тотально перестановочными, если UV = VU для всех U ^ А и V ^ Л. Запись Н ^ G означает, что Н является подгруппой группы G.

А. Н. Скиба [3] обратил внимание на то, что в группе G две подгруппы А и В могут быть неперестановочными, но существует элемент х G G такой, что А и Вх перестановочны. Например, в разрешимой группе G силовские подгруппы Gp и Gq не всегда перестановочны, но всегда существует элемент х G G такой, что GpG* = G^Gp. На основе этого факта А. Н. Скиба предложил называть подгруппы А и В X-перестановочными, если А перестановочна с ^х дЛЯ нек0т0рого х g X, где X — некоторое непустое множество элементов группы. Если X = (А, В), то Х-перестановочные подгруппы А и В называются сс-перестановочными подгруппами. Кроме того, если каждая подгруппа из А cc-перестановочна с каждой подгруппой из Л, то подгруппы А и В называются тотально сс-перестановочными.

Напомним, что добавлением к подгруппе А в группе G называется подгруппа Т такая, что G = AT. Если А П Т = 1, то добавление Т называется дополнением,. Поскольку для каждой подгруппы А в группе G существует добавление, то вполне естественно исследовать перестановочность между подгруппами из А и подгруппами из добавления к А.

cc

Определение 1. Подгруппа, А группы G называется tcc-подгруппой в G, если:

(1) в G существует подгруппа Y такая, что G = AY;

(2) подгруппа А тотально cc-перестановочна с подгруппой Y.

Подгруппу Y в дальнейшем будем называть tcc-добавлением к подгруппе А в группе G. В теореме 1 установлена замкнутость насыщенной формации F содержащей формацию сверхразрешимых групп И, относительно произведения tcc-подгрупп.

Теорема 1 ([5, теорема 2]). Пусть G = АВ, где А и В — tcc-подгруппы, группы G. Пусть F — насыщенная, формация и И С F Если A G F и В G F т0 G G F

Следствие 1 ([4, теорема 4.1]). Пусть А и В tcc-подгруппы группы G и G = АВ. Если А и В сверхразрешимы, то G сверхразрешима.

Из теоремы 1 и следствия 1 вытекают ключевые результаты теории тотально перестано-cc

Дж. Байдлмеи и X. Хайиекеи в [10] исследовали SM-группы, т.е. группы, в которых каждая субнормальная подгруппа перестановочна с каждой максимальной подгруппой. Из [10, теорема А] следует, что класс сверхразрешимых групп совпадает с классом всех разрешимых SM-rpvnn. Заметим, что класс всех SM-rpvnn является гомоморфом.

В настоящей работе получено развитие теоремы 1 и следствия 1 на случай SM-сомножи-телей. В частности, доказано, что класс всех SM-rpvnn замкнут относительно произведения tcc-подгрупп.

2. Вспомогательные результаты

Запись H <G означает, что H — нормальная подгруппа группы G. Через F (G) обозначается подгруппа Фиттинга группы G; А х В — полупрямое произведение нормальной подгруппы А и подгруппы В.

Напомним, что класс групп F называется замкнутым относительно фактор-групп или гомоморфом, когда выполняется требование: если G G F и N < G, то G/N G F-

Класс F называется замкнутым относительно подпрямых произведений, когда выполняется требование: если G/N\ G F и G/N2 G F) то G/N\ П N2 G F-

Формацией называется класс групп, замкнутый относительно фактор-групп и подпрямых произведений. Формация F называется насыщенной, если из С/Ф(С) G F следует, что G G F-

Группа G называется примитивной, если в G существует максимальная подгруппа M с единичным ядром Mq = Пх^сМх = 1. В этом случае подгруппа M называется примитивато-ром группы G.

Лемма 1 ([4, лемма 3.1]). Пусть А — tcc-подгруппа группы G uY — tcc-добавление к А в G. Тогда справедливы следующие утверждения:

(1) А — tcc-подгруппа в H для каждой подгруппы, H группы G такой, что А ^ Н;

(2) AN/N — tcc-подгруппа в G/N для каждой N < G;

(3) для каждой Аг < А и X < Y существует у G Y такой, что АгХу < G. В частности, А\М < G для некоторой максимальной подгруппы, M группы Y и АгН < G для некоторой ■к -холловой подгруппы, H разрешимой группы Y и любого ж Ç n(G);

(4) А\К < G для каждой субнормальной подгруппы, К в Y и для каждой А\ < А;

(5) есл и Т < G такая, что Т < А иТ П Y = 1, m о Т\ < G для каждой Т\ < А такой, что Тг < Т;

(6 ) есл и Т < G такая, что Т П А = 1 и Т < Y, то Аг < Ng(T\) для каждой Тг < Tu для каждой Аг < А.

Лемма 2 ([5, лемма 5]). Пусть G — примитивная группа и N — единственная минимальная нормальная подгруппа группы G. Если G имеет собственную неединичную tcc-подгруппу А, то N абелева.

Л emma 3 ([5, лемма 6]). Пусть А — собственная неединичная tcc-подгруппа примитивной группы G и Y — ее tcc-^обавленме в G, N — единственная минимальная нормальная подгруппа группы G. Если N П А = 1 и N < Y, то А — циклическая, группа порядка, делящего р — 1.

Лемма 4 ([11, теорема 1, предложения 1-2]). Пусть G = АВ — произведение тотально сс-перестановочных подгрупп А и В. Тогда для минимальной нормальной подгруппы, N группы G справедливы, следующие утверждения:

(1) [А П N,B П N} Ç {1,N};

(2) есл,и N < А П В или N П А = N П В = 1, то \N| = р, где р — простое число.

Лемма 5 ([8, Теорема 4]). Пусть G = АВ является произведением тотально сс-перестановочных подгрупп А и В. Тогда, [А, 5] < F (G).

3. Произведение tcc-подгрупп, которые являются SM-группами

Теорема 2. Пусть группа G = АВ — произведение tcc-подгрупп А и В. Если А и В — SM-группы, то G является SM-группой.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть G — контрпример минимального порядка. Пусть N — неединичная нормальная в G подгруппа. Подгруппы AN/N ~ ~ А/АПN и BN/N ~ В/ВПN — tcc-подгруппы группы G/N то лемме 1 (2), AN/N ~ А/АПN и BN/N ~ В/ВПN — SM-группы. Поэтому фактор-группа G/N = (AN/N)(BN/N) является SM-группой по индукции.

Пусть Н — субнормальная подгруппа группы G наименьшего порядка такая, что Н не перестановочна с некоторой максимальной подгруппой М группы G.

Предположим, что MG = 1. Тогда по доказанному выше G/Mg — SM-rpvnna. Значит,

(HMG/MG)(M/MG) < G/Mg,

ввиду выбора Н. Поэтому HM = HMGM < G, противоречие. Следовательно MG = 1 и G — примитивная группа с примитиватором М.

Предположим, что в группе G существует две различные минимальные нормальные подгруппы Ni и N2. По [1, теорема 4.41] N\ = CG(N2) и N2 = CG(N{). По лемме 5 и fl, лемма 4.21 (3)]

[А, Y] < F(G) < CG(Ni) П Cg(N2) = N2 П Ni = 1. Поэтому А и У нормальны в G. По лемме 4

[А П Ni, Y П Ni} С {1,Ni}.

Если Ni < А П У или Ni П А = N П Y = 1, то по лемме 4 = р и Ni = N2, противоречие. Пусть Ni < А и Ni П Y = 1. Тогда Y < CG(Ni) = N2 и N2 = У. Поскольку А < CG(Y), то А < Cg(N2) = Ni vi А = Ni. Аналогично и для случая Ni < Y и Ni П А = 1.

Таким образом, возможны следующие варианты: либо А = Ni и У = N2, либо А = N2, Y = Ni, либо В = Ni и X = N2, либо В = N2, X = Ni. Если А = В = Ni ми А = В = N2, то G = Ni или G = N2- Тогда G является SM-группой. Если А = Ni, В = А = N2, В = Ni,

то G = AB = Ni х N2. Тогда G — SM-группа. Значит, группа G содержит единственную минимальную нормальную подгруппу N. По лемме 2 N абелева. Тогда по fl, теорема 4.41] G = N х МиЖ = Cg(N).

Очевидно, что Н П N субнормальная подгруппа G. Предположим, что Н ^ N. Тогда

(Н П N)M < G,

ввиду выбора Н. Так как М — максимальная подгруппа в G, то либо (Н П N)М = G, либо (Н П N)М = М. Если (Н П N)М = G, то HM = G, ^^^^^^^^етие. Поэтому Н П N < М. Так как N П М = 1, то Н П N = 1. По [1, лемма 2.42, лемма 4.7] N < NG(H) и [Н, N] < Н. Тогда [Н, N] < Н П N = 1 и Н < Cg(N) = N, противоречие. Значит, Н < N. Очевидно, что Н = N. По лемме 4

[А П N,Y П N} С [1,N}.

Если N < АП У или NП А = N П У = 1, то по лемме 4 IN| = р, где р — простое число. Значит, G сверхразрешима, а следовательно, G является SM-группой, противоречие.

Пусть N < А и N П У = 1. Тогда по по лемме 1 (5) Ni < G, вде Ni — минимальная нормальная в А подгруппа такая, что Ni < N. Значит, N = Ni. Очевидно, что N < А. Так как G = NM, то

А = А П NM = N х (А П М)

и А П М — максимальная подгруппа группы А Учитывая Н < N, получим, что Н субнормальна в А и Н(А П М) < G, поскольку А — SM-rpvnna. Следовательно,

А П М < Н (А П М) < N (А П М) = А,

противоречие.

Тогда можно считать, что N < Y П X и N П А = 1 = N П Л, где X — tcc-добавление к подгруппе В в G. По лемме 3 А и В циклические. Тогда G = АВ сверхразрешима, а следовательно, G является SM-группой, противоречие. Теорема доказана.

Очевидно, что если G = АВ — произведение тотально перестановочных (тотально cc-перестановочных) подгрупп А и то А и В будут tcc-подгруппами в грvnne G. Обратное неверно, см. [4, пример 1.1]. Поэтому справедливо следующее

сле дствие 2 ([11, теорема 3], [12, теорема В]). Пусть G = АВ — произведение тотально перестановочных (тотально cc-перестановочных) подгрупп А и В. Если А и В — SM-группы, то G — SM-группа.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006. 207 с.

2. Ballester-Bolinches A., Esteban-Romero R., Asaad M. Products of finite groups. Berlin: Walter de Gruvter, 2010.

3. Скиба A. H. ^-перестановочные подгруппы // Изв. Гом. гос. ун-та имени Ф. Скорины. 2003. № 4. С. 37-39.

4. Trofimuk A. A. On the supersolubilitv of a group with some tcc-subgroups // Journal of Algebra and Its Applications. 2021. 2150020 (18 pages).

5. Трофимук А. А. Замечание о произведении двух формационных tcc-подгрупп // Чебы-шевский сборник. 2021. Vol. 22, № 1. С. 495-501.

6. Guo W., Shum К.P., Skiba A.N. Criterions of supersolubilitv for products of supersoluble groups // Publ. Math. Debrecen. 2006. Vol. 68, №3-4. P. 433-449.

7. Asaad M., Shaalan A. On the supersolubilitv of finite groups // Arch. Math. 1989. Vol. 53. P. 318-326.

8. Arrovo-Jorda M., Arrovo-Jorda P., Martinez-Pastor A., Perez-Ramos M.D. On conditional permutabilitv and factorized groups // Annali di Matematica Рига ed Applicata. 2014. Vol. 193. P.1123-1138.

9. Guo W. Structure theory for canonical classes of finite groups. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 2015. 359 p.

10. Beidleman J.C., Heineken H. Pronormal and subnormal subgroups and permutabilitv // Boll. Un. Mat. Ital. 2003. Vol. 6, № 8. P. 605-615.

11. Arrovo-Jorda M., Arrovo-Jorda P. Conditional permutabilitv of subgroups and certain classes of groups // Journal of Algebra. 2017. Vol. 476. P. 395-414.

12. Beidleman J. C., Heineken H., Hauck P. Totally permutable products of certain classes of finite groups //J. Algebra. 2004. Vol. 276. P. 826-835.

REFERENCES

1. Monakhov, V. S. 2006. "Introduction to the Theory of Finite Groups and Their Classes", Vysh. Shkola, Minsk, fin Russian].

2. Ballester-Bolinches, A., "Esteban-Romero, R. к Asaad, M. 2010. "Products of finite groups", Walter de Gruvter, Berlin.

3. Skiba, A.N., 2003. "fi-permutable subgroups", Izv. Gom. state F. Skaryna University, no. 4, pp. 37-39.

4. Trofimuk, A. A., 2021. "On the supersolubilitv of a group with some tcc-subgroups", Journal of Algebra and Its Applications, 2150020 (18 pages).

5. Trofimuk, A. A., 2021. "A remark on a product of two tcc-subgroups", Chebyshevskii sbor-nik,vol. 22, no. 1, pp. 495-501.

6. Guo, W., Shum, K.P. к Skiba, A.N., 2006. "Criterions of supersolubilitv for products of supersoluble groups", Publ. Math. Debrecen, vol. 68, no. 3-4, pp. 433-449.

7. Asaad, M. к Shaalan, A., 1989. "On the supersolubilitv of finite groups", Arch. Math., vol. 53, pp. 318-326.

8. Arrovo-Jorda, M., Arrovo-Jorda, P., Martinez-Pastor, A. к Perez-Ramos, M.D., 2014. "On conditional permutabilitv and factorized groups", Annali di Matematica Рига ed Applicata, vol. 193, pp. 1123-1138.

9. Guo, W., 2015. Structure theory for canonical classes of finite groups, Springer, Berlin, Heidelberg, New York.

10. Beidleman, J.C. к Heineken, H., 2003. "Pronormal and subnormal subgroups and permutabilitv", Boll. Un. Mat. Ital, vol. 6, no. 8, pp. 605-615.

11. Arrovo-Jorda, M. к Arrovo-Jorda, P., 2017. "Conditional permutabilitv of subgroups and certain classes of groups", J. Algebra, vol. 476, pp. 395-414.

12. Beidleman, J.C., Heineken, H. к Hauck, P., 2004. "Totally permutable products of certain classes of finite groups", J. Algebra, vol. 276, pp. 826-835.

Получено: 11.12.2023 Принято в печать: 21.03.2024