О надгруппах унипотентной подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2015, Том 17, Выпуск 2, С. 56-61

УДК 512.544.2

О НАДГРУППАХ УНИПОТЕНТНОЙ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ ШЕВАЛЛЕ РАНГА 2 НАД ПОЛЕМ

Я. Н. Нужин, Т. А. Осетрова

Посвящается шестидесятилетию Владимира Амурхаповича Койбаева

Описаны подгруппы группы Шевалле ранга 2 над полем, содержащие ее унипотентную подгруппу. Ключевые слова: группа Шевалле над полем, унипотентная подгруппа.

Далее Ф — приведенная неразложимая система корней, П = {п,..., г{} — множество ее фундаментальных корней, Ф+ — множество положительных корней относительно П. Пусть ) — группа Шевалле типа Ф ранга I над полем Групп а ) порождается корневыми подгруппами

Хг = {хг(г) : г £ F}, г £ Ф,

где хг (г) — соответствующий корневой элемент в группе Ф^). Нам потребуются следующие естественные подгруппы группы Ф^): унипотентная подгруппа

и = {Хг : г £ Ф+),

мономиальная подгруппа

N = {пг(г) : г £ Ф, г £ F*),

диагональная подгруппа

Н = {Нг(г) : г £ Ф, г £ F*) и

борелевская подгруппа

в = ин.

Здесь {М) — подгруппа, порожденная множеством М, F* — мультипликативная группа поля F и

пг (г) = хг (г) х-г (-г-1) хг (г), Нг (г) = пг (г) пг (—1).

Положим также

пг = пг (1), I = {1, 2,..., I}.

© 2015 Нужин Я. Н., Осетрова Т. А.

Надгруппы борелевской подгруппы Б и сопряженные с ними называются параболическими. В силу известного результата Ж. Титса параболические подгруппы, содержащие подгруппу Б, исчерпываются подгруппами Р;, J С I, где

Р; = (Б,п^. : 3 € J).

Используя только каноническое разложение элементов группы Шевалле над полем, получен следующий частичный результат.

Теорема 1. Пусть М — подгруппа группы Шевалле Ф(Р) ранга 2 над полем, содержащая уннпотентную подгруппу и. Тогда для подходящей диагональной подгруппы Нм ^ Н и некоторого подмножества J С I подгруппа, М совпадает с группой

Р.;,м = (и,Пг^ ,Нм : 3 € J).

Авторы предполагают, что аналог теоремы 1 справедлив для всех групп лиева типа над полями. Для группы Шевалле типа А; это следует из результатов статьи Д. А. Су-пруненко [1], в которой описаны надгруппы унитреугольной подгруппы общей линейной группы над произвольным телом.

1. Обозначения и предварительные результаты

Все обозначения и определения, указанные во введении, используются и далее. Запись А ^ Б означает, что А есть подгруппа группы Б.

Через N± обозначим подгруппу порожденную мономиальными элементами

пг = пг(1) = хг(1) х-г (—1) хг(1), г € Ф, а через Н± обозначим подгруппу порожденную диагональными элементами

Нг(-1) = п2, г € Ф.

Ясно, что N = HN± = N±Н. Следующие равенства обычно называются разложениями Брюа

Ф(Р) = Б^ = UNU = UHN ±и = UN ±Ни.

Таким образом, любой элемент д € Ф(Р) представляется в виде

д = П\пНп2, где П\,П2 € и, п € Nк € Н. (1)

Лемма 1. Пусть П — база системы корней Ф. Тогда группа Шевалле Ф(Р) над полем Р порождается корневыми подгруппами Хг, г € П и —П.

< Пусть О = (Хг : г € П и —П). Тогда подгруппа (пг : г € П) лежит в О и совпадает с N так как фактор-группа N ±/Н ± изоморфна группе Вейля Ш таи а Ф, которая порождается фундаментальными отражениями тг, г € Групп а N ± действует сопряжениями транзитивно на корневых подгруппах, индексированных корнями одинаковой длины, по правилу:

п'Ш Хг п— - Xw(r),

где п' — прообраз элемента т группы Вейля Ш при гомоморфизме N± на Ш. Таким образом, О содержит все корневые подгруппы Хг и, следовательно, совпадает со всей группой Шевалле Ф(Р). >

Положим Ф = —Ф+ и V = {Хг : г £ Ф ).

Лемма 2. Пусть М — подгруппа группы Шевалле Ф^) ранга 2 над полем F, содержащая уннпотентную подгруппу и = {Хг : г £ Ф+). Тогда, если корневые элементы хг (1) и х5(1) лежат в М для г, 5 £ Ф- таких, что либо {г, в}, либо {г, —в} есть база системы корней Ф, то М = Ф^).

< Из предположений леммы следует, что для некоторой базы {г, в} системы корней Ф в М лежит подгруппа {пг, п5), которая совпадает с N± Так как группа N± действует сопряжениями транзитивно на корневых подгруппах, индексированных корнями одинаковой длины, и и ^ М, то и V ^ М. Отсюда М = Ф^). >

< Доказательство теоремы 1. Пусть {а, 6} — база системы корней Ф ранга 2, причем а — короткий корень. Переформулируем теорему 1 в следующем более удобном для доказательства виде.

Если подгруппа М группы Шевалле Ф^) ранга 2 над полем F содержит уннпотентную подгруппу и, то либо М = Ф^), либо М совпадает с одной из собственных подгрупп {и, Нм), {и, па, Нм) или {и, пь, Нм) для подходящей диагональной подгруппы Нм ^ Н.

Если элемент д вида (1) лежит в М, то пН £ Ми, следовательно,

пНХг Н-1п-1 = пХгп-1 ^ М для всех г £ Ф+. (2)

Далее каждый из трех типов Л2, В2, системы корней ранга 2 рассматривается отдельно.

Тип Л2. В этом случае и = ХаХьХа+ь и так как группа Вейля типа A2 есть диэд-

п

шесть случаев: 1) п = 1; 2) п = па; 3) п = пь; 4) п = па+ь; 5) п = папь; 6) п = пьпа.

д М и

п

д

1) В этом случае, очевидно, М = {и, Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н.

2) В силу (2)

пип-1 = паХаХьХа+ьп-1 = Х-аХа+ьХь < М.

Следовательно, М = {и, па,Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н.

3) Аналогично предыдущему случаю

пип-1 = пьХаХьХа+ьп-1 = Ха+ЬХ-ЬХа < М.

Следовательно, М = {и, пь, Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н.

4) В силу (2)

пип-1 = па+ьХаХьХа+ьп-+ь = Х-ьХ-аХ-а-ь = V < М.

Следовательно, М = Ф^).

5) В этом случае в силу (2)

пХьп-1 = папьХьп-1п-1 = Х-а-ь ^ М,

пХа+ьп-1 = папьХа+ьп-1п-1 = Х-а ^ М. Так как {—а — 6, а} — база системы корней типа А2, то по лемме 2 М = Ф^).

Случай 6) подобен случаю 5), так как пьпа = папь к для некоторого к € Н Если в М есть два элемента д1 и д^, в представлении (1) которых элемент п такой как в случае 2) и 3) соответственно, то Х-а,Х- ^ М и по лемме 1 М = Ф(Р). Таким образом, для типа А2 теорема 1 доказана.

Тип Б^. В этом случае и = ХаХьХа+ьХ2а+ь и так как группа Вейля типа Б2 есть

п

дующие восемь случаев: 1) п = 1; 2) п = па; 3) п = пь; 4) п = папь; 5) п = пьпа; 6) п = па+ь; 7) п = п2а+^) п =

д М и

п

д

1) В этом случае, очевидно, М = (и, Нм) для некоторой иодгрупиы Нм ^ Н.

2) Так же как и для типа А2 в этом слу чае М = (и, па, Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н-

3) Аналогично предыдущему случаю М = (и, пь, Нм) для некоторой подгруппы

Нм ^ Н-

4) В силу (2)

пХьп-1 = папьХьп-1п-1 = Х-2а-Ь ^ М,

пХа+ьп-1 = папьХа+ьп-1п-1 = Х-а ^ М.

Так как {—2а — 6, а} — база системы корней типа Б^, то то лемме 2 М = Ф(Р). Случай 5) подобен случаю 4), так как пьпа = папьк для некоторого к € Н

6) В силу (2)

пХьп-1 = па+ьХьп-+Ь = Х-2а-Ь ^ М, пХа+ьп-1 = па+ьХа+ьп-н1Ь = Х-а-Ь ^ М.

Так как {—2а — 6, а + 6} — база системы корней типа Б2, то то лемме 2 М = Ф(Р).

7) В силу (2)

пХап-1 = п2а+ьХап-а+ь = Х-а-Ь ^ М, пХ2а+ьп-1 = п2а+ьХ2а+Ьп-1^ = Х-2а-Ь ^ М.

Так как {—2а — 6, а + 6} — база системы корней типа Б2, то то лемме 2 М = Ф(Р). В случае 8) пип-1 = папа+ьип-+ьп-1 = V ^ М и, следовательно, М = Ф(Р). М д1 д2 п

как в случае 2) и 3) соответственно, то Х-а,Х-ь ^ М и по лемме 1 М = Ф(Р).

Б2

Тип О2. В этом слу чае и = ХаХьХа+ьХ2а+ь Х3а+ь Х3а+2ь и так как группа Вейля О2 п

возможны следующие 12 случаев:

1) п= папь

2) п= (папь)2 = папа+ь

3) п= (па пь)3 = (папа+ь)папь = п2а+ьпь

4) п= (па пь)4 = (папьГ2 = па+ьпа;

5) п= (па пь)5 = (папь)-1 = пьпа;

6) п= (па пь)6 =1

7) п = (папь)пь = па;

8) п = (папа+ь)пь = папьпа = пза+Ь;

9) п = (п2а+Ьпь)пь = п2а+Ь;

10) п = (па+ьпа)пь = па+ьпьпа+ь = пза+2ь;

11) п = (пьпа)пь = па+ь;

12) п = пь.

Здесь последние шесть случаев получены соответственно из первых шести умножением пь

ных элементов из подгруппы Н±

д М и

п

д

1) В силу (2)

пХьп-1 = папьХьп-1п-1 = Х-3а-ь ^ М, пХа+ь п-1 = папьХа+ьп-1п-1.

Так как {—3а — 6, а} — 15аза системы корней типа то по лемме 2 М = Ф^).

2) В силу (2)

пХа+ьп-1 = папа+ьХа+ьп-^п-1 = Х-2а-ь ^ М,

пХьп-1 = папа+ьХьп-1:ьп-1 = Х-3а-2ь ^ М.

Так как {—3а — 26,2а + 6} — база системы корней типа С2, то то лемме 2 М = Ф^). В случае 3) пип-1 = п2а+ьпьип-1п-а1+ь = V ^ М и, следовательно, М = Ф^). Случай 4) подобен случаю 2), так как па+ьпа = папа+ьН для некоторого Н £ Н± Случай 5) подобен случаю 1), так как пьпа = папьН для некоторого Н £ Н±

6) В этом случае, очевидно, М = {и, Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н.

7) Так же как и для типа А2 в этом случае М = {и, па, Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н.

8) В силу (2)

пХ2а+ьп-1 = пза+ьХ2а+ьп-а1+ь = Х-а ^ М, пХза+ьп-1 = пза+ьХза+ьп-^ = Х-за-ь ^ М.

Так как {—3а — 6, а} — база системы корней типа ^2, то по лемме 2 М = Ф(F).

9) В силу (2)

пХап-1 = п2а+ьХап-а1+ь = Х-а-ь ^ М,

пХза+ьп-1 = п2а+ьХза+ьп-а1+ь = Х-за-2ь ^ М.

Так как {—3а — 26, а + 6} — база системы корней типа С2, то то лемме 2 М = Ф^).

10) В силу (2)

пХьп-1 = пза+2ьХьп-а1+2ь = Х-за-ь ^ М,

пХа+ьп 1 = пза+2ьХа+ьпза1+2ь = Х-2а-ь ^ М.

Так как {—3а — 6,2а + 6} — база системы корней типа С2, то то лемме 2 М = Ф^).

11) В силу (2)

пХьп-1 = па+ьХьп-+ь = Х-за-2ь ^ М, пХа+ьп-1 = ^+ьХа+ьп-+ь = Х-а-ь ^ М.

Так как {—3а — 26, а + 6} — база системы корней типа С2, то то лемме 2 М = Ф^).

12) Так же как и для типа А2 в этом слу чае М = {и, пь, Нм) для некоторой подгруппы Нм ^ Н.

Если в М есть два элемента #1 и #2) в представлении (1) которых элемент п такой как в случае 7) и 12) соответственно, то Х-а,Х-ь ^ М и по лемме 1 М = Ф^).

Таким образом, для типа а следовательно, и в полном объеме теорема 1 доказана. >

Литература

1. Супруненко Д. А. Подгруппы полной линейной группы над телом В, содержащие группу всех специальных треугольных матриц и(п, В) // Докл. АН БССР.—1970.—Т. 14, № 4,—С. 305-308.

Статья поступила 20 апреля 2015 г.

Нужин Яков Нифантьевич

Сибирский федеральный университет, профессор РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: nuzhin2008@rambler. ru

Осетрова Татьяна Александровна Сибирский федеральный университет, доцент РОССИЯ, 660041, Красноярск, пр. Свободный, 79 E-mail: [email protected]

ON OVERGROUPS OF THE UNIPOTENT SUBGROUP OF THE CHEVALLEY GROUP OF RANK 2 OVER A FIELD

Nuzhin Ya. N., Osetrova T. A.

Subgroups of the Chevalley group of rank 2 containing its unipotent subgroup are described.

Key words: Chevalley group over a field, unipotent subgroup.