О начальных и граничных условиях для уравнений Навье-Стокса в форме Гельмгольца Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII

198 2

№ 2

УДК 532.5.032

О НАЧАЛЬНЫХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ—СТОКСА В ФОРМЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

А. С. Петров

Рассматривается краевая задача для уравнений Навье—Стокса, соответствующая обтеканию плоского тела, мгновенно приведенного в движение из состояния покоя в вязкой песжимаемой жидкости. Получено выражение, описывающее распределение завихренности около тела в начальный момент времени. На основании интегральных свойств завихренности предлагается новый подход к заданию граничных условий.

Задача определения нестационарного отрывного обтекания плоского тела потоком вязкой несжимаемой жидкости сводится к решению двумерных уравнений Навье—Стокса, которые в прямоугольной декартовой системе координат имеют следующий вид П, т. II]:

dVx dt ~ь Vx дУх дх + II 1 р . ЁЕ. дх

д Vv Vх д\\ dVv 1 др

~W + У дх + V, 'W = р ду

+ *Д1/

+ vAl/;

div К =

(I)

здесь К(г, t) = (Vx, Vy) — вектор скорости потока; г (х, у) — ра-диус-вектор точки относительно начала координат; р(х, у, ^ — статическое давление среды; р — плотность среды (р = const); v—коэф-

/ fft 02

фидиент кинематической ВЯЗКОСТИ; t— Время, Д = .

Начальным условием для системы (1) является заданное поле скоростей жидкости в некоторый начальный момент времени

V(tt r)\t^=V(x, г).

Если для определенности рассматривать задачу о мгновенном старте тела из состояния покоя, то обычно принимается, что в начальный момент времени около тела формируется поле скоростей

г), соответствующее потенциальному безотрывному обтеканию [2]:

На контуре обтекаемого тела Ь должно выполняться граничное условие прилипания, которое в системе координат, связанной с телом, можно записать в виде:

Поле скоростей должно также удовлетворять граничному условию на бесконечности:

Однако система уравнений (1) не является единственной, используемой на практике. После введения завихренности

уравнения Навье—Стокса (1) приводятся к следующему виду [I, т. II]

Эта система уравнений представляет собой обобщение уравнений Гельмгольца, описывающих вихревые движения идеальной несжимаемой жидкости, для случая вязкой среды [1, т. II].

Система уравнений (4), по мнению автора, наиболее удобна для изучения отрывного обтекания плоских тел. Одним из основных преимуществ системы (4) перед исходной является отсутствие среди неизвестных функций давления жидкости. С другой стороны, сама сущность отрывных течений состоит в появлении значительной завихренности потока на расстояниях от тела, соизмеримых

с его размерами. В некотором смысле завихренность потока г) является естественной переменной для задач отрывного обтекания. Система (4) и ее варианты часто используются различными авторами для исследования отрывного обтекания плоских тел [3—5].

Большинство используемых на практике методов решения системы (4) относится к конечно-разностным с последовательным решением уравнений для переноса завихренности и для определения поля скоростей. При этом между постановками краевых задач для систем (1) и (4) возникает существенное различие.

Если для исходной системы (1) задание начальных и граничных условий не представляет труда, то задание этих же условий для завихренности потока вызывает определенные трудности. Особую сложность представляет задание граничных условий для завихренности. Дело в том, что задание завихренности на границе тела эквивалентно заданию поверхностного трения, которое априори неизвестно и для нахождения которого решается, в частности,

г)|(=,= У,ь, г).

У(і, /-)|Г(Е1 = 0.

(3)

Я {і, г) = гої і'(і, г)

поставленная задача. С другой стороны, граничное условие для завихренности вообще отсутствует в математически корректной постановке задачи, и при наличии такого условия среди граничных условий задача становится переопределенной. Это приводит к тому, что обычно значение завихренности на границе тела задается приближенно [6, 7]. Приближенно находится в конечном счете и напряжение трения на контуре тела. Таким образом, для традиционных конечно-разностных методов задание граничного условия для завихренности является сложной самостоятельной задачей.

В настоящей работе предлагается отличающийся от общепринятого подход к заданию начальных и граничных условий для завихренности, который может оказаться эффективным при решении некоторых задач об обтекании плоских тел потоком несжимаемой вязкой жидкости.

1. Начальное условие. Как указывалось выше, принято считать, что в момент старта тела £ = т около него формируется поле скоростей потенциального безотрывного обтекания. Однако вязкие эффекты уже проявляются в бесконечно тонком слое жидкости, прилегающей к поверхности тела. Вследствие условия прилипания при переходе через этот слой имеется разрыв касательной составляющей скорости. При этом на внешней границе слоя скорость течения равна скорости потенциального, безотрывного и бесциркуляционного обтекания тела К0(х» 5), где 5 — параметр, определяющий положение точки на границе тела. На внутренней границе слоя скорость течения равна нулю. Подобный характер поля скоростей соответствует бесконечно тонкой вихревой пелене, прижатой к поверхности тела. Если известна скорость 1/0(т, 5), то интенсивность вихревой пелены может быть легко найдена. Методы решения .соответствующей задачи для нахождения У0(х, 5) хорошо развиты [8].

Учитывая наличие разрыва касательной составляющей скорости и условие непротекания, поле скоростей в непосредственной близости к стенке можно представить следующим образом:

здесь Уп и Ут— нормальная и касательная составляющие скорости соответственно; п — расстояние от границы тела по нормали к ней; Н(п) — функция Хевисайда, определяемая соотношением [9]:

Используя выражения для компонентов скоростей в форме (5), можно получить распределение завихренности в начальный момент времени:

Поскольку производной от функции Н(п) является о-функ-ция [9], имеем окончательно

Уя& 5, п) = 0; V, (т, я, п) — У0 (т, 5) И (л);

(5)

У<0,

у>0.

Q(t, 5, я)|/=г = — Уй(х, 5)8(л).

(6)

Полученное выражение показывает, что завихренность на границе обтекаемого тела в начальный момент времени принадлежит

к классу обобщенных функций [9]. В соответствии с известным представлением о 8-функции, соотношение (6) можно интерпретировать как обращение завихренности Й(т, я, п) в бесконечность. Выражение (6) с использованием 8-функции векторного аргумента можно записать в следующем виде:

а (г, -§ у0(1, з)-цг - ?(*)] аз, (7)

—►

где г («) — уравнение границы тела Ь.

Выражение (6) или (7) удобно использовать в качестве начального условия для уравнений Навье—Стокса (4) при аналитических исследованиях. В численных методах начальное распределение завихренности (6), (7) можно представить с помощью системы дискретных вихрей. Для этого заменим приближенно интеграл в правой части (7) интегральной суммой

О а, г)|(=, = - 2 V,(Т, <гг)ц7-7 &)] Д*,;

здесь Дя* — элемент разбиения контура; число элементов, на которые разбит контур тела; — точка, принадлежащая /-му интервалу разбиения.

Полученное выражение соответствует системе дискретных вихрей интенсивности

Д1\ = — у0(ь

расположенных в точках г(^) на поверхности обтекаемого тела.

2. Граничное условие. Запишем уравнения Навье—Стокса (4) в следующем виде:

дй - Л 61 уК-О; 2 = гсЛ У.

—^

Введенный таким образом вектор (5 можно трактовать как плотность потока завихренности, а первое уравнение системы (8)— как уравнение неразрывности для завихренности течения (по аналогии с обычным уравнением неразрывности -}- Фу б — О,

—у -—У'

где С = р 1/^— плотность потока массы).

Найдем полный поток завихренности через контур обтекаемого тела:

где я — внешняя нормаль контура Ь. 38

С учетом условия прилипания после преобразований с использованием теоремы Грина получаем

г

<9>

Для того чтобы вычислить интеграл (9), поступим следующим образом. Запишем выражение для перепада давления между двумя точками А и В, лежащими на контуре тела:

р»~рл4[%“х + 17ау}

После соответствующих преобразований с использованием уравнений Навье—Стокса (1) и условия прилипания (3) находим:

Так как разрывов давления в несжимаемой жидкости быть не может, то при полном обходе контура Ь рд = рв и, следовательно,

у у йь = 0.

Таким образом, доказано следующее: полный поток завихренности через контур обтекаемого тела постоянен и равен нулю

ф (5 • и) Л = 0. (10)

Л

Это условие должно быть обязательно выполнено при численном решении системы уравнений (4) любым методом. Назовем полученное выражение „интегральным граничным условием".

Для выполнения условия (10) без нарушения других условий достаточно предположить непрерывность плотности потока завихренности при переходе через границу тела

0(*, г)|_ = г)|_ =0(/, г)|_ Л

1 гв1+0 '* птЫ г є £—0

или иначе

дп

г 61+0

дО_

дп

Т ЄІ

дп

г 61—0

Из существования нормальных производных в точках контура

следует непрерывность самой завихренности 2(/, г) при переходе через границу

а <*•/>! гві+о=а<'’7>и£=а^>І^-<,- <»)

Формально можно считать, что для завихренности граница тела

не существует, и задача (8) в отношении 2(£, г) может рассматриваться фактически как задача Кош и.

Рассмотрим теперь условие прилипания. Так как на завихрен-ность не наложено специальных граничных условий, то ответственность за выполнение условия прилипания ложится на краевую задачу для функции тока ф, определяемую уравнением

Дф = -д(*, г). (12)

Граничное условие прилипания состоит из двух условий: усло-

=0 и условия равенства нулю каса-

вия непротекания Уп — ~ —

дх

тельной составляющей скорости на контуре тела = — = 0.

дп {£,

Точное выполнение сразу'двух этих условий при решении задачи (12) конечно-разностным методом невозможно. Предположим, что

строго выполнено условие непротекания Уп =— — 1—0. Тогда

дх \1

второе условие Кх(г:=0 может быть выполнено только приближенно. Проведем рассуждение, которое показывает, как это можно сделать при численном решении задачи. Обратимся к начальному условию (6) илн (7), которое является следствием условия прилипания, и вспомним, что в начальный момент времени £=•? были выполнены оба условия У„1с~0 и Ух\с~ 0.

После того как на малом интервале времени Д/ будет решена задача Коши для завихренности и найдено новое поле скоростей после решения уравнения (12) с граничным условием непротекания, условие V,|£ = 0 оказывается нарушенным и на поверхности тела появляется некоторая скорость скольжения Ух\с~ К'к(^ 5)- Предположим теперь, что все моменты времени, в том числе и первый, в задаче равноправны. (Такая равноправность моментов времени обосновывается тем, что течению вязкой несжимаемой жидкости соответствует некоторый марковский процесс [10]). Если теперь, так же как и в начальный момент времени, на поверхность тела поместить вихревой слой интенсивности:

*)- —к„(*. «)*(*). (13)

то условие прилипания формально опять будет выполнено. И так во все последующие моменты времени. Соотношение (13) в какой-то степени отражает процесс „генерации" завихренности на поверхности обтекаемого тела. Таким образом, появляется возможность, используя условие (13), добиваться выполнения граничного условия прилипания в дискретные моменты времени.

Величина скорости скольжения \^ск(г, в) характеризует точность решения задачи в целом. Она меняется от нуля в начале каждого интервала времени Ц до максимального значения в конце интервала. Методические исследования, проведенные на примере расчета обтекания кругового цилиндра с использованием метода решения уравнений Навье — Стокса [10], показали, что величина Кск(*, ж) зависит от величины шага по времени Д£, числа Рейнольдса Ке, числа элементов разбиения контура N. Зависит она, по-видимому, и от численного метода решения задачи.

На рис. 1—3 приведены величины скоростей К-„Инд(&), индуцируемых всем распределением завихренности на поверхности кругового цилиндра, а также максимальная средняя по времени скорость скольжения К^ах($), где в— угол, отсчитываемый от передней критической точки, в -зависимости от параметров Дг?, 1£е, М Величина

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

----2 V^stn Є

J скорость „ с кольте ни я”

* г г max

У г к

лЯ-Зв\

* 7Z\Ле-тоо; м-0,1

• 90)

--------21C sin 9

(скорость „скольжения"

Г гг тогх

ГН

a Re4000 \bt=Q%i;N=7Z

ЛПГ* nrj j ’ 7

скорости скольжения Уск(&) характеризует точность выполнения условия прилипания и является разностью между скоростью потенциального безотрывного обтекания тела (в данном случае 2Уоо81пФ) и скоростью УтиндС^). Анализ этих данных показывает примерно следующую зависимость максимальной скорости скольжения 1^ках(^) от шага по времени М, числа Ие и числа элементов разбиения контура № _ __

у™х ~. Ум УЯе

У ск N

Следовательно, между этими параметрами должно выполняться соотношение

УЫУЪ .

N ^ 1#

Это условие накладывает дополнительное ограничение на выбор шагов по времени и пространству при заданном числе Рейнольдса. Точное выполнение условия прилипания при таком подходе возможно только в пределе при Д/-> 0 и N-*■ сх>.

Интегральное граничное условие (10) также выполняется с некоторой степенью точности. На рис. 4 показана характерная

Рис. 4

зависимость интеграла (10) от времени. Колебания величины <3*(^ около нулевого уровня происходит с амплитудой, не превышающей 5—6%. Можно считать, что в среднем по времени условие (10) выполняется.

Предлагаемый подход к проблеме граничных условий устраняет необходимость задания приближенного граничного условия для завихренности, не входящего в математическую формулировку краевой задачи для системы (4). Одновременно упрощается весь процесс численного решения, так как для уравнений Навье — Стокса относительно завихренности решается задача Коши, которая заметно проще соответствующей исходной задачи с начальными и краевыми условиями.

ЛИТЕРАТУРА

1. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, т. I; II. М., Физматгиз, 1963.

2. Бетчедор Дж. Введение в динамику жидкости. М., „Мир*,

1973.

3. Симу ни Л. М. Численное решение некоторых задач движения вязкой жидкости. „Инженерный журнал*, т. IV, вып. 3, 1964.

4. ДорфманЛ. А., Романенко Ю. Б. Течение вязкой жид-.кости в цилиндрическом сосуде с вращающейся крышкой. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, № 5, 1966.

5. Ч у д о в Л. А., Кускова Т. А. О применении разностных схем к расчету нестационарных течений вязкой несжимаемой Жидкости. Сб. .Численные методы в газовой динамике*. Изд. МГУ, 1963.

6. ЛоЙця некий Л. Г. Механика жидкости и газа. М.,„Наука*,

1970.

7. Гостей А. Д.. Пан В. М., Ранчел А. К., С п о л д и н г Д. Б., Вольнштейн М. Численные методы исследования течений вязкой жидкости. М., „Мир*, 1972.

8. Павлове ц Г. А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1344, 1971.

9. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М., „Наука", 1971.

10. Петров А. С, Метод расчета нестационарного отрывного обтекания плоских тел потоком вязкой несжимаемой жидкости. Труды ЦАГИ, вып. 1930, 1978.

Рукопись поступила 111X11 1980