О моментах переключения кусочно-постоянного управления в задаче быстродействия для линейной стационарной системы второго порядка с комплексными собственными значениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

к

раткие сообщения

УДК 517.977

О МОМЕНТАХ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ КУСОЧНО-ПОСТОЯННОГО УПРАНЛЕНИЯ В ЗАДАЧЕ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С КОМПЛЕКСНЫМИ СОБСТВЕННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

А.Г. Родионова

Приведены явные формулы для моментов переключения кусочно-постоянного управления в задаче быстродействия для линейной системы второго порядка с постоянными коэффициентами в случае, когда матрица системы имеет комплексные собственные значения.

Ключевые слова: задача быстродействия, множество управляемости, кусочно-постоянное управление, момент переключения.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим линейную стационарную систему х = Ах + Ви, (1)

где А = (а.) и В = (Ь..) — постоянные вещественные матрицы размерности 2x2 и 2*т соответственно, а и(^) — кусочно-непрерывное управление (допустимое управление) со значениями в выпуклом

многограннике и с Ят с вершинами их, ..., ир. Через Бст с Я обозначим множество управляемости в начало координат системы (1) на отрезке [0, а]. Напомним, что точка х0 принадлежит множеству Бст, если существует кусочно-непрерывное управление ? ^ и0(?) е и, ? е [0, а], такое, что при и = и0(?) система (1) имеет решение х = х(?), ? е [0, а], удовлетворяющее условиям х(0) = х0, х(а) = 0.

Через Т(х0) обозначим наименьшее время (время быстродействия), за которое возможен переход из состояния х0 в начало координат под действием допустимого управления, т. е. Т(х0) = тД? 1 0|х0 е Б^}. Если х0 £ для любого ? > 0, то полагаем Т(х0) =

= +то. Задача нахождения допустимого управления, переводящего точку х0 в начало координат за наименьшее время, называется задачей быстродействия, а управление, которое решает эту задачу, называется оптимальным в смысле быстродействия.

В рамках работы мы предполагаем, что 0 є intU и выполнено условие общности положения, налагаемое на коэффициенты уравнения (1) и на расположение многогранника U: если w — это вектор, имеющий направление одного из ребер многогранника U, то векторы Bw и ABw линейно независимы в R2.

При сделанных предположениях принцип максимума Л.С. Понтрягина является не только необходимым, но и достаточным условием оптимальности в линейной задаче быстродействия [1, с. 94]. Следовательно, задача отыскания граничных точек множества управляемости Da (выпуклого компакта) системы (1) сводится к задаче нахождения управлений, удовлетворяющих принципу максимума на отрезке [0, а]. Другими словами, для произвольного вектора у0 = (cos9, єіпф) є S1 (где ф є [0, 2п), а S1 — единичная сфера в R2) найдется единственное управление U: [0, а] ^ U такое, что почти для всех t є [0, а] имеет место равенство maxу0е AtBu =

и є U

= у0е AtBu (t), где у0е At — это решение начальной задачи у = —уА, у(0) = у0.

Данное управление порождает на границе 3Da

а

точку x0 = — J e-AtBU (t)dt. Верно и обратное утверж-

0

дение: для любого х0 є dDa найдется у0 є S1 и со-

ответствующее ему управление и: [0, а] ^ и такое,

а

что х° = — | е *Ви (?)Л. Таким образом, имеет мес-

0

то взаимно однозначное соответствие между точ-1 2

ками сферы ^ с Ли граничными точками множества управляемости _Ост (т. е. ^1 о 3^ст).

Более того, оказывается, что управление и: [0, а] ^ и — это кусочно-постоянная функция со значениями лишь в вершинах многогранника и

[1, с. 112]. Каждую точку разрыва функции и (?) будем называть моментом переключения управления (в соответствии с работами [1—4] ее называют точкой переключения). Здесь уместно отметить,

что если ? — точка разрыва оптимального управления и (?) и если и (? — 0) = иг, и (? + 0) = и5, где и * и (г * 5) — различные вершины многогранника и, то мы будем говорить, что при ? = ? происходит переключение оптимального управления и ( ?) из вершины иг в вершину и5. Таким образом, нахождение оптимального управления и ( ?) равносильно отысканию его моментов переключения, причем множество моментов переключения функции

и( ?) содержится в конечном множестве { ? е [0, а]: /г( ?) = /5( ?), г * 5}, где /г( ?) = у°е-АВиг.

Другими словами, задача поиска моментов переключения функции и ( ?) равносильна построению верхней огибающей графиков семейства фун-

кций/г( ?), ? е [0, а], г = 1,р, что, в конечном счете, сводит исходную задачу к вычислительной процедуре отыскания моментов совпадения значений двух функций / г( ?) и /5( ?) при г * 5.

МОМЕНТЫ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ

В работе найдены моменты совпадения значений функций /г( ?) и /5( ?) в случае, когда матрица А имеет комплексные собственные значения, т. е. коэффициенты матрицы А удовлетворяют неравенству (ап — а22) + 4 а12а21 < 0 (в этом случае, очевидно, а12 * 0 * а21). Введем в рассмотрение число ц и матрицу С:

Ц = л/- (- а22) /4 - а12а21 > 0,

C =

1 («22 - «11)/2 ц 0 -А^/Ц

Легко проверить, что

C 1 =

D = C 1AC =

1 (a22 - a11)/2«21 0 -Ц/«21

( «11 + «22 )/2 Ц

-Ц ( АП + ^22)/2

Очевидно, Ак = CDkC 1 при всех k, следова-

тельно,

л 0 = у0е г = (у0С) £ (-1)к(С )

к = 0 '

для любого г. Таким образом, моменты совпадения значений функций /г( ?) и /■*( ?) при г ^ 5 совпадают с нулями функции

Д 0 = /г( о - Л о =

^ т\к ¿к

= (у0С) £ (-1)кС-^(Ц- - и5).

к DV

1r

к = 0

k!

Равенство (яп + a22) + 4ц = 4detA носит элементарный характер, поэтому А = detA > 0. Существует а е (0, я), определяемое равенством

Ап + a2

I при этом cosa. =

JA

Ц í «11 + «22

sma = I при этом cosa _ 11 22

2 JA

такое, что

матрица D допускает представление D = JA s

cos a sin a

V - sin a cos a

. Индукцией по k легко показать,

что Dk = (JA)k

cos ka sin ka

Следовательно,

к

- sin ka cos ka F(t) = (cos9, єтф) s

f coska sinka 1( C- 1B(ur - u8).

- sin ka cos ka У k!

sC £ (-1)k

к=0

В силу условия общности положения вектор

2

rs m О \ IL/Sll 1/ ^ rs

= В(г1 — и5) е Л отличен от нуля, поэтому найдется угол <о” е [0, 2п) такой, что Vг5 = || vrs||col(cosюrs, sinюrs), следовательно,

= (cos9, sin9)C £ (-1)к II v I к = 0

cos ka sin ka i s - sin ka cos ka

s ( JA) t с 1 k!

л

cos Ю

rs

V sin го У

Вектор (cos9, sin9) = I cos9, «22 « 1 1 cos ф -

21

2Ц

sin ф1 коллинеарен и сонаправлен вектору

ои

X

Ц

(cosф , sinф ), где ф = arg

■ / 022 - flii

COSф + i -///----------------— COSф

V 2ц

а21 • — Sinф Ц

ф е [0, 2п). Аналогично вектор C-1col(cos®rs, sin®rs) = col ^ cos®rs +

- Ц

rs ^ a22 - а 1 1 sin^,

2 а

21

sin® коллинеарен и сонаправлен вектору

а21

—rs . —rs4 — rs

col(cos ® , sin ® ), где ® = arg

+ а22—а-11 sin®rs - i Ц sin®r/

2 а21 образом,

21

, ®rs е [0, 2п). Таким

í-rs) = (cos ф , sin ф ) £ (-1)

"il k = 0

v

cos k a sin k a - sin ka cos k a

kk

(TA)k -

(

k!

л

. —rs

V sin ® У

(-1)k( VÂ) - cos(ф + ka — ®rs).

z

k=0

Если ß = ф — ® , то

2 Я-) = 2 Z

rs

k=0

k

( 7Ä- )k k !

cos(ß + ka) =

Z ( -//- -) (gi(ß + ka) + g-iXß + ka)) = k = 0 k!

= é* e* ** + e* e^^ =

e ^e

= e- ß e-Æ te'“ {e2iß e-Æt(e “ ' + 1},

,, l a -la,

(e - e )

следовательно, уравнение F(?) = 0 равносильно

2i (В -JA t sin a) -i

уравнению e = —1, что, в свою очередь,

означает, что —в + ц? = п/2 + кп, к е Z.

Теорема. Моменты совпадения значений функций f r(?) и fs(?) при r ^ s задаются равенством

= (п/2 + кп + ф — ю”)/ц, ?kS е [0, а], где ц =

л/- ( а11 - а22) /4 - а12 а21 ,

ф = arg

а22 - а-il а91 .

cos ф + il -22-—— cos ф —— sinф 2ц ц

—rs

® = arg

cos ®rs + а22 — sin ®rs - i -У- sin ®rs

2а

21

а21

В заключение отметим, что случай, когда матрица системы имеет вещественные собственные значения, хорошо изучен и описан в литературе (например, в работе [1, с. 176]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Наука, 1969. — 408 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. — Там же, 1979. — 432 с.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — Там же, 1988. — 552 с.

4. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — Там же, 1976. — 392 с.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

А.Г. Бутковским.

Родионова Алла Григорьевна — канд. физ.-мат. наук, доцент,

Удмуртский государственный университет, S (3412) 91-61-31,

e-mail: rodionov@uni.udm.ru

Содержание сборника "Управление большими системами", 2008, вып. 21,

http://ubs.mtas.ru

Андриенко А. Я., Тропова Е. И. Целочисленная оптимизация в задачах управления безопасностью объектов РКТ. — С. 16—26.

БагдасарянА. Г. Общая структура информационной экспертной системы моделирования и анализа сложных иерархических систем в контуре управления. — С. 58—70.

Баранов А. А., Денисов А. Р., Левин М. Г. Подсистема имитационного моделирования работы производственных линий. — С. 173—185.

Губанов Д. А., Чхартишвили А. Г. О стратегической рефлексии в биматричных играх. — С. 49—57.

Губко Г. В. Механизмы оценки безопасности заповедника. — С. 131—144.

Золотова Т. В. Игровая постановка задачи стимулирования производственных предприятий на разработку мер по снижению ущерба окружающей среде. — С. 145—164.

Карташов В. Я., Новосельцева М. А. Структурно-параметрическая идентификация линейных стохастических объектов с использованием непрерывных дробей. — С. 27—48.

Спесивцев А. В., Кимяев И. Т. Информационная модель нечеткого логического регулятора с интеллектуализированной базой знаний. — С. 165—172.

Кузнецов Л. А., Перевозчиков А. В. Оценка кредитной истории физических лиц на основе нечетких моделей. — С. 84—106.

Тихонов С. В. Методика перехода от IDEF0 к модели в терминах теории систем массового обслуживания при исследовании бизнес-процессов организации. — С. 5—15.

Федеряков А. С. Влияние фундаментальных трейдеров на процесс ценообразования на искусственном рынке ценных бумаг. — С. 107—130.

♦

X

ou

v