О минимизирующих последовательностях некоторого класса простейшей вариационной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

О МИНИМИЗИРУЮЩИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ НЕКОТОРОГО КЛАССА ПРОСТЕЙШЕЙ ВАРИАЦИОННОЙ

ЗАДАЧИ

Ни Минь Кань (ni@u-pereslavl.botik.ru)

Филиал Российского Университета Дружбы Народов

1. Постановка задачи

Пусть имеется некоторое множество D с элементами v, которые будем называть допустимыми. На множестве D задан функционал J(v). Рассмотрим задачу: требуется найти такой элемент V из D, называемый минималью или оптимальным элементом, на котором функционал J(v) достигает свой нижней грани на этом множестве D: J(V) = inf J.

Такая задача всегда имеет решение для конечного множества D, но может не иметь решения, если оно бесконечно: в этом случае искомый элемент среди допустимых может отсутствовать, т.е. задача может быть некорректно поставленной по Тихонову в смысле несуществования решения на исходном множестве. Поэтому целесообразно рассматривать более общую задачу о минимизирующих последовательностях - найти последовательность элементов из D, {vs} С D, на которой функционал J(v) стремится к своей нижней грани на D: J(vs) —> inf J (такая последовательность называется минимизирующей последовательностью) и считать, что эта последовательность является решением исходной зада-чи[1]. Но при этом возникает вопрос как ее построить. Способы построения минимизирующих последовательностей типа ломанных для ряда некорректно поставленных задач минимизации функционалов приводятся в [2].

Здесь сначала показывается, что для простейшей вариационной задачи с линейным интегрантом по уравнению, являющейся некорректно поставленной задачей минимизации функционала по Тихонову, по регуляции функционала путем введения слабого квадратичного штрафа, уравнения Эйлера вариационной задачи становится регулярно возмущенным. Затем строится равномерное нулевое приближение понгранс-лойной асимптотики экстремали и оказывается, что, несмотря на невязки

в краевых условиях, асимптотика порождает минимизирующую последовательность в исходной некорректно поставленной задаче.

Пусть множество допустимых имеет вид О = {V = (х, и)}, где х = х(Ь) - функция непрерывная и кусочно-дифференцируема, и = и(Ь) - кусочно-непрерывна Ь Е [¿0,^1]. Здесь приводится регуляризация исходных функционалов с целью обеспечения большой точности минимизирующих последовательностей. Введем расширенный функционал 1е:[2]

1е&) = .(V) + е.10^), е> 0, е < 1.

Такой функционал, содержащий малый параметр, называется возмущенным, исходный функционал .. можно трактовать как заданный функционал, е.]0 представляет собой возмущение. Можно расширить понятие минимизирующей последовательноти так: если найдется последовательность С О, на которой 1€^8) —> ш£.., то она минимизирующая.

2. Задача с фиксированными границами и интегрант линейно

зависит от управления

В работе[1] рассматривается такая задача:

¿1

.(и) = !(а(х,Ь) + Ь(х,Ь)и) йЬ —> т£,

¿0

х(ь) = и(ь), ¿о < ь < ¿1,

х(Ь0) = х°, х(Ь1) = х1,

где а(х,Ь), Ь(х,Ь) - достаточно гладкие функции.

Введем функцию Кротова[1]: р(х,Ь) = / Ь(х,Ь) йх. Теперь можно переписать функционал в следующем виде:

¿1

.(и) = р(х\г1) - ^(х0,^) - I Р(х, Ь) йЬ —► т£,

¿0

или

¿1

. (и) = -I Р(х,Ь) йЬ —► т£, (1)

¿0

х(Ь) = и(Ь), (2)

x(t0) = x°, x(t1) = x1, (3)

где P(x, t) = -a(x, t) + pt(x, t).

Предположим, что выполнено следующее условие: Условие 1. Пусть существует хотя бы одна непрерывная функция x(t) такая, что

P (x(t),t) = sup P (x,t).

x

Очевидно, что функция x(t) не всегда удовлетворяет краевым условиям, то есть

x(t0) = x°, x(t1) = xl,

поэтому задача (1)-(3) не всегда имеет минимали, но существует последовательность пар {(xs(t) ,us(t) = xs(t))} непрерывных кусочно - дифференциальных функций из класса D такая, что

xs(t) -> x(t), x Е (t0,t1), xs(t0) = x°, xs(t1) = x1,

она является решением задачи.

Введя расширенный функционал Ie, рассмотрим задачу с возмущением:

ti 2

Iе(u) = f (-P(x, t) + —u2) dt —► inf, (4)

J 2 u

to

x(t) = u(t), (5)

x(t0) = x°, x(t1) = xl. (6)

Если мы сделаем замену tu = v, то дифференциальная связь имеет такой вид:

ex = v.

Наличие малого параметра при старших производных приводит к появлению зон быстрого изменения решения - зон пограничного слоя, подобные рассуждения рассматривались в литературе [3].

Поэтому задача (4)-(6), с одной стороны, имеет типичные черты для теории вариационного исчесления, а с другой, через необходимые условия оптимальности приводит нас к специальному классу сингулярно возмущенных задач.

Будем искать асимптотическое разложение (асимптотику) (пока формально) в виде [4]:

v(t, t) = v(t, t) + Lv(r0, е) + Rv(t1 ,е), (7)

где у(1, е) - регулярный ряд:

е) = ь0(г) + ех- (¿) + ••• ек щ (¿) + •••;

Ьу(г0, е)(то =--) - погранслойный ряд в окрестности г = ¿0:

е

Ьх(т-, е) = Ь-х(т-) + еЬгх(т-) +-----+ екЬкх(т-) +----,

Яу(т\,е)(т1 =--) - погранслойный ряд в окрестности г = ¿1:

е

Ях(т1, е) = Е0х(т1) + еЕ1х(т\) + • • • + екЕкх(т1) + • • • ,

Для определения коэффициентов всех выписанных рядов надо (7) подставить в (1) и минимизировать коэффициенты после разложения функционала по степеням е

Ы 3{V) = т£ 3{V-) + V ег т£ Зг(уг) + 0(еп+1),

V ' * V:

где

vo ' VI

г=1

3г^г) = 3г^г^г-1, • • • ^о), Vk = а^т£ 3к(V),к = 0,1 — 1,

и подставить (7) в (2), (3) и приравнять слева и справа члены одинакового порядка по е, причем в отдельности зависящие от ¿, от т0 и т1. Это и даст вариационные задачи для определения каждого члена асимптотики

(7).

Выпишем вариационную задачу для определения v0(t)

н

30(и) = — Р(х0,Ь) М —> щ£,

] хо

Х0 = щ.

В качестве решения возьмем введенное ранее из условия 1

х0(1) = х(£), и0^) = х0^).

Для определения Ь^ вариационная задача принимает вид:

+^

Ь03 = ( (Р(х0(Ь),Ь) — Р(х0^0) + Ь0х,¿0) + -(Ь0и)2) 3т0 —> Ш

.] 2 ^оп

LoX(TO) = LOU(TO), Lox(0) = xo — x(t0), Lo x(+ro) = 0. Для определения Rov вариационная задача принимает вид:

0 1 RoJ = (P(xo(h),t1) — P(xo(h) + Rox,t1) + ~(Rou)2) dT1 inf, (8)

J 2 Rou

R®x(T1) = Rou(n), (9)

Rox(0)= x1 — x(t1), Rox(—^) = 0. (10)

Сделаем замену dT0 = —— и перепишем функционал в другом виде:

Lou

LoJ = i (P(x(to),to) — P(x(to) + Lox,to) + \(Lou)2)dLx inf .

J 2 L0u Lou

xo-X(to)

Из необходимого условия оптимальности находим

L0u = V2(P (x(to),to) — P (x(to) + Lox,to))1

и оптимальная траектория L0x определяется из следующей задачи Ко-ши:

Lo x(To) = V2(P (x(to),to) — P (x(to) + Lox,to))1 = G(Lox), (11)

Lo x(0) = xo — x(to). (12)

Введем еще одно условие:

Условие 2. Пусть решение Lox(to) задачи Коши (11), (12) существует и единственно.

Точка покоя Lox = 0 уравнения (11) является асимптотически устойчивой при to ^ Действительно,

G'(Lox) = —Px(x(to) + Lox, to)/G(Lox),

и

G'(0) = (—Px2(x(to),to))2 < 0

в силу условия 1. Откуда для Ь00х(т0) следует обычная для погранслой-ных функций оценка

\Ь1х(т0)\ < сехр(—кт0), т0 > 0

(с и к - некоторые положительные числа). Очевидно для Ь$и(т0) справедлива оценка

\Ь*0и(т0)\ < сехр(—кт0), т0 > 0.

Итак в точке Ь0и функционал Ь03 достигает минимума

0

Ь03 =^2 ! (Р (х(¿0),^) — Р (х(^)+ х,¿0))1 йх.

хо-х(Ьо)

Аналогичные рассуждения для задачи (8)-(10) имеют место. Таким образом, построены члены асимптотики нулевого порядка V0(t), Ь^(т0), Е^(т\). В самом деле, на практике нулевое приближение асимптотики уже явлается хорошим приближением решения исходной задачи при достаточного малого параметра е.

Обозначим через х0(¿, е), е) частичную сумму ряда (7), содержащую члены нулевого порядка:

х0^,е) = х0(¿) + Ь0х(т0) + ^х^-),

щ(¿, е) = е-1(Ь0и(т) + Qоu(т)) + щ(¿), при этом имеет место [4]

\ Ш 3 — 3(й))\ = 0(е2).

Нужно отметить, что (х0,и0) не является допустимой парой, так как краевые условия (3) не выполнены, т.е.

х0(Ь, е) — х° = р0(е) = 0, х^]^^,) — х1 = р1(е) = 0,

где рг(е) = 0(е-(*1-*о)/е)({ = 0,1).

Можно прибавить функцию в0^,е) к х0^,е), чтобы новая функция Х0^,е) = х0^,е) + в0^,е) удовлетворяла краевым условиям (3), здесь

00^, е) = Ле-(г-'о)/е + Бе-(г-г1)/е,

А = (-ро(е) + е-'1/^р1(е))/(1 - в-2^), В = (-рг(е) + е-1 /еро(е))/(1 - в-2^), во(и ,е) = -ро(е), во(Ь,е) = -рг(е), 9о(1,е) = О(е). И сохраняется оценка

| Ы I - I(ио)\ = О(е2).

Итак, справедлива

Теорема. При выполнении условий 1-2 для достаточно малых е, Тогда пара (Х0(г,е),и0(г,е)) будет являться допустимой и является минимизирующей последовательностью.

3. Пример

Рассмотрим следующий пример:

2

I(и) = ¡(х - 1)2 СИ —► ^, (13)

0

х(г) = и(г), о < г < 2, (14)

х(0) = х(2) = 0. (15)

Очевидно, что т£ I = 0 при X = 1. Посколько постоянное число х(г) = 1 не удовлетворяет краевым условиям, поэтому задача (13)-(15) не имеет минимали из множества О. Минимизирующая последовательность {(х8(г),и8(г))} так построена:

вг, о < г< 1, ' — 8 '

х8(г) = 1, 1 < г< 2 - 1, ^ в(2 - г), 2 - 1 < г < 2.

так как

I(и8) = 1'(х8 - 1)2 сг + I (х8 - 1)2 сг + I (х8 - 1)2 сг 0 1 2-1

3 3

2-1

в

2

г 2

= 2 ^ — 1)2 М =--> 0 при ^ ^ то.

] 3в

0

Введя расширенный функционал /е, рассмотрим задачу с возмущением:

2 2 1е(и) = ¡((х — 1)2 + и2) ^ —► Ы, 0

х(Ь) = и(Ь), х(0) = х(2) = 0. Будем строить нулевое приближение асимптотики в виде:

V(t,е) = Vо(t,е) + Ьоv(то,е) + ^(п,е), Из следующих задач определяются Хо^,е), Ь^(т0,е) и К^^, е):

30(и) = (х — 1)2 М —> щ£,

3 хо

хо = ио,

Согласно условию 1 имеем

х0= 1, и0(ь) = 0.

Для нулевого приближения погранслойного ряда Ьо3 вариационная задача принимает вид:

+те 1

Ьо3 = I ((Ьох)2 + -(Ьои)2) йто т£,

.] 2 Ьоп

0

Ьох(то) = Ьои(то),

Ьох(0) = —1, Ьох(+то) = 0.

Для нулевого приближения погранслойного ряда К03 вариационная задача принимает вид:

0 1

Ко3 = ((К0х)2 + -(К0и)2) йт1 —► Ы, (16)

.] 2 Доп

Rox(n) = rou(tX), (17)

Rox(0) = —1, Rox(—^) = 0. (18)

В функционале Lo J сделать замену dTo = —— и переписать его в другом

Lou

виде:

LoJ = /((Lox)2 + \(Lou)2)Lu — Па.

Из необходимого условия оптимальности находим

Lou = —\[2L*ox.

и оптимальная траектория L*ox определяется из следующей задачи Ко-ши:

Llxc(To) = —V2L*ox, (19)

Lox(0) = —1. (20)

Задача (19), (20) имеет единственное решение Lox(to) = —e-y/2To. Аналогично задачиа (16)-(18) имеет единственное решение Rox(t1) = —e^2ri. Итак нулевое приближение асимптотики построено:

xo(t, е) = xo(t) + Lox(To) + Rox(n) = 1 — e-V2ro — e^1 = = 1 — e-V2t/e — eV2(t-2)/,_

Можно прибавить функцию 0o(t,e) к xo(t,e), чтобы новая функция Xo(t,e) = xo(t,e) + 0o(t, е) удовлетворяла краевым условиям (15), здесь

e-V2(t+2)/e + eV2(t-4)/e

9o(t,e) = -1 + e-2V~2/t-•

Итак

Xo(t, е) = 1 — e-^2t/e — e-^2(t-2)/e + - + e

1

1 + e-2V2/e

e-V2t/€ + eV2(t-2)/e

1 + e-2^2/e .

Она допустимая, потому что

Хо(0, е) = 1 — 1 = 0, Хо(2,е) = 1 — 1 = 0.

Оптимальное значение функционала:

)2 М

л/2е

(1 — е-Ал/2/е) + 4е-2Г2/" —► Ы 3 = 0 при е ^ 0.

2

Минимизирующей последовательностью является {(Хо(^ е), и0е))}.

1. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.

2. Тихонов А.Н. О некорректных задачах оптимального управления и устойчивых методах их решения// ДАН СССР,1965, 164, №3.

3. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.-М.: Высшая школа, 1990.

4. Ни Минь Кань, Дмитриев М.Г. Контрастные структуры в простейшей векторной вариционной задаче и их асимптотика// Автоматика и телемеханика. 1998, №5, С.41-52.

ЛИТЕРАТУРА