Метод улучшения в некоторой задаче оптимального управления с малым параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОД УЛУЧШЕНИЯ В НЕКОТОРОЙ ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С МАЛОМ

ПАРАМЕТРОМ

Ни Минь Кань ([email protected])

Университет города Переславля Восточно-китайский педагогический университет

В настоящей работе мы будем показывать что метод улучшения может быть использован и в задачах близких к вырожденным и при этом он, стартуя с асимптотических приближений, порождает такую последовательность управлений, которая с одной стороны близка к асимптотическому приближению более высокого порядка, а с другой - приводит к строгому улучшению оценки субоптимальности.

Пусть требуется минимизировать функционал

где е > 0 -малый параметр, штрих означает транспонирование, а(х, ¿), Ь(х, ¿) - достаточно гладкие функции.

Здесь (1), (2) - п-мерный аналог простейшей вариационной задачи со свободным правым концом. При е = 0 эта задача является вырожденной, т.е. соотношения необходимых условий Эйлера здесь превращаются в систему конечных уравнений. Задача (1), (2) близкая к вырожденной имеет решение, аппроксимирующее, вообще говоря, разрывное решение предельной задачи, и относится к классу сингулярно возмущенных вариационных задач, т.к. вблизи точек разрыва траекторий вырожденной задачи траектория исходной возмущенной задачи аппроксимирует разрывы и имеет внутренние и внешние зоны быстрого изменения - зоны пограничного слоя. Предположим, что имеется некоторое допустимое

1. Постановка задачи

(1)

при ограничениях

х = и

х(0,е) = х0, х е Яп, и е Яп,

(2)

управление, в частности, построенное на основе вариационного анализа метод пограничных функций (так называемой прямой схемой). Итак, пусть имеем асимптотическое равномерное приближение n-го порядка

n

Xn(t,e) = ^ еi(xi (t) + Пгж(то) + Rix(n)),

i=0

t t - -где т0 = -, ti =-, причем

е е

lim nix(T0) = 0, lim ) = 0, i = 1,n,

то^+те тх^-те

и допускают, вообще говоря, экспоненциальные оценки и аппроксимируют решение на границе. Для простоты предполагаем отсутствие внутренних переходных слоев. В качестве допустимой траектории возьмем экспоненциально близкую к Xn(t, е)

n / T \

x0(t, е) = Xn(t,e) = £ е^ж - ,

n i=0 i е

и имеет место оценка ||ж(£,е) — ж0(£,е)|| < сега+1 при 0 < Т.

По методу улучшения попытаемся построить элемент улучшения ж1^, е). Приведем процедуру улучшения. Сначала преобразуем задачу (1), (2). Предварительно введем переменную ж1(^)

ж1(^) = У ^а(ж,£) + &'(ж,£)и + и'и^ (И

т.е. /е(и) = х1(Т). Затем введем переменную у = ж1(^) — ^(ж,£), дифференцируя которую получаем

у = а(ж, ¿) — ^¿(ж, ¿) + (Ь(ж, ¿) — ^Ж(ж, ¿))'и + — и'и.

Выбираем непрерывно дифференцируемую функцию ^(ж,£) так, чцобы имели место уравнения

^Ж(М) = &(ж,£), (3)

<^(ж(Т ),Т) = 0, (4)

Пусть имеет место условие

т dbi dbj . . — I. TT" = я , г>Э = 1'П.

dxj dxi

При выполнении условия I пфаффова система (3), (4) разрешима. В новых переменных исходная задача имеет вид

Ie(u) = y(T) —> min,

x = u, x(0) = x0, 62

y = -P (x,t) + - u' u, y(0) = 0,

где P(x, t) = -a(x, t) = -a(x, t) + (x, t).

Отбрасывая дифференциальные связи, определяем функционал [31]

Г T

L(x,y,u) = G(x(T),y(T)) — / R(x,y,u,t) dt,

J 0

rT 10

где

G(x(T), y(T) = Ф(Т, x(T), y(T)) — Ф(0, x0, y(0)) + y(T)

е2

R(x, y, u, t) = Фх(г, x, y)u — (—P(x, t) + — u'u) + Фt(t, x, y).

Нетрудно видеть, что L(x, y, u) = Ie(ii) для допустимой тройки (x, y, ii) и поэтому на допустимых элементах имеем

Ie(u1) <Ie(u),

если

L(x1,y1,u1) < L(x,y,u).

Задавая Ф(t, x, y) различными способами можно получить различные методы улучшения.

Пусть Ф^^,у) = Ф'^^ — y, где вектор-функция Ф^) пока не известна, т.е. рассмотрим процедуру улучшения первого порядка. Обозначим

гT

L(x,y) = sup L(x,y,u) = G(x(T),y(T)) — sup R(x,y,u,t)dt,

и J 0 и

тогда Ru = Ф — e2u = 0, и u1 = — ФШ, т.е. нашли элемент улучшения.

е2

Введем

Ä(x, y, t) = sup R(x, y, u, t) = тт^Ф'Ф + P (x, t) + Ф4 u 2е2

dG „ T ^ n öiR

и определяем Фт с помощью соотношения —— = 0 ^ Ф(Т ) = 0, —— =

dx dx

0 ^ Px(x,t) + Ф = 0.

Теперь для элемента улучшения x:(t, е) получаем

e2x: = -Px(x1,t), (5)

x:(0, е) = x0, x 1(T, е) = 0, (6)

используя u1 = —Ф^) и уравнение (2). Последняя краевая задача явля-е2

ется сингулярно возмущенной с одной стороны, а с другой - (5), (6) есть уравнение Эйлера для исходной вариационной задачи. Таким образом, элемент улучшения x1 может быть оптимальным.

Предположим теперь, что мы построили асимптотику решения задачи (5), (6) порядка (n + m) — Xn+m(t, е). Асимптотическое приближение (t,e) строится при определенных условиях, но мы все эти условия сведем к результирующим оценкам.

II. || x1(t, е) — Xra+m(t,e) ||< cen+m+1, p 0 < t < T, II n^x(r0) ||< ce-T0, i = 0,n + m,

II Rix(n) ||< ceT1, Вместо Xn+m теперь вводим допустимую траекторию.

n+m t

x1(t, е) = Xra+m(t, е) — J2 ег--).

г=° е

Для доказательства основного утверждения о том, что x1^^) является улучшением x0(t, е) нам требуется еще одно условие

III. Матрица Рхх(^е) является отрицательно определенной для всех t е [0, T] и x е Дга.

Теорема 1. При выполнении условий I — III и достаточно малых е > 0 имеем

Ie(u1) < Ie(ü°),

1

где u = x , u = x

0

Доказательство. Разложим Ь{х,у) в точке х1, учитывая соотношения для Ф{£)

гт ( 1 д2Я \

Ь{х,у) = Ь{х1,у) -]о ((2 (х1,у)Ах, Ах) + 0{||Ах||2)) ¿1 + о{||А||2)

Здесь Ах = х — х1. Аналогично разложим Ь{х0 ,у) по х в окрестности х0 и Ь(х1,у) в окрестности х1. Получаем

г т ( 1 д 2 Я \

Ь{х0,у) = Цх\у)— {-дЛ(х1,у)(х0 — х1),х0 — х1) ) ¿¿+0{б2(п+1))^

.)о у 2 дх2 )

дС

Ь{х1,у) = !{х1,у) + {дс {х1 {Т ),у{Т )),х1 — х1)

- д2К

1 -^^^{х1, у){х1 — х1,х1

0

Т.к.

и

то

— /0Т ({д^{х1,у),х1 — х1) + -{Ц{х1,у){х1 — х1,х1 — х1) + 0{е2(п+т))) ¿1.

+ 0{еп+т)

X1

+ 0{еп+т),

с1

+ 0{еп+т),

дС дС

дх х=х1 ""¡л дх

дК дЁ

дх х=х1 "7л дх

и следовательно

ь

х=х1 Ь

ь

- гт,

ь

х=ж1 2 ./0

/ {{Рхх{х\г){х0 — х1),х0 — х1)) ¿1 + 0{б2(п+т)) 0

Отсюда вытекает, что при достаточно малых е > 0

ь

г=с0 > Ь

т.е.

Так как х0, х1 являются допустимыми траекториями, то /е{м0) = Ь |х=с0 , /£{м1) = Ь |х=с1 ,

/£{й0) > Ци1),

1

х=ж

что и требовалось доказать.

Итак, метод улучшения позволяет, на основе асимптотических приближений, построить последовательность допустимых управлений, вдоль которой значения функционала строго убывают с ростом нормы приближения.

Работа выполнена при поддержке фонда Шанхайского е-института вычислительных наук Китая

ЛИТЕРАТУРА

1. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. -М.: Наука, 1973.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений.-М.: Высшая школа, 1990.

3. Ни Минь Кань, Дмитриев М.Г. Контрастные структуры в простейшей векторной вариционной задаче и их асимптотика// Автоматика и телемеханика. 1998, № 5, С.41-52.