CC BY
11
УДК 517.988.8
А.А. Фонарёв
Московский физико-технический институт (государственный университет)
О минимизации функционала на выпуклом множестве нормированного пространства
Исследуется минимизация функционала на выпуклом множестве вещественного нормированного пространства без наличия рефлексивности пространства и коэрцитивности функционала. С использованием итерационного процесса строится релаксационная последовательность, которая минимизирует функционал при наличии выпуклости функционала.
Ключевые слова: функционал, минимизация, итерационный процесс.
Рассматривается аналог итерационного процесса из абстрактных результатов работы [1], связанных с краевой задачей Дирихле [1], сводящейся к вариационному неравенству в нерефлексивном банаховом пространстве с монотонным потенциальным оператором, потенциал которого не обладает свойством коэрцитивности. В рассматриваемом аналоге итерационного процесса из [1] используются приближения к операторам, применяемым в [1].
При построении итерационного процесса используются аппроксимации выпуклого множества выпуклыми множествами типа внутренней аппроксимации [2, с. 54]. Итерации итерационного процесса строятся с использованием решений экстремальных задач.
Пусть E — вещественное нормированное пространство с нормой ||x|| для x £ E, E* — со-
E
мой ||y||* = sup (y,x) для линейного ограничен-
xE E, ii*ii=i
ного функционала y £ E*, где (y,x) — значение функционала y £ E* на элементе x £ E, K С E
— выпуклое множество, {Ki}0=1 — такая последовательность выпуклых множеств, ЧТО Ki С Kj+1 для i ^ 1 и для любого эле мента x £ K существует последовательность xi £ Ki (i ^ 1), сходяща-E x Ei
ОО
Ki (i > 1). И пусть D = U Ki.
i=1
Предположим, что в линейном многообразии Eo пространства E, являющемся линейной оболочкой множества D, задана норма ||x||o для x £ £ Eo
E
Говоря далее о пространстве Eo с норм ой || • ||0
Eo
| x| o x £ Eo
Eo | • | o
E* будем использовать норму ||y||* = sup (y,x)0
xE Eq ,
llxllo = 1
для y £ E*, где (y,x)o — значение функционала y £ E0* x £ E0
Предположим, что выполняются следующие условия:
1) заданы такие функционал
f : D — R1,
где R1 — одномерное евклидово пространство, и оператор
F : D — E*, f
D
d0 = inf f (x) £ R1,
xED
и выполняется неравенство
f (u) - f (v) >
> (Fu,u - v)o - M (max (||u||o, ||v||o)) ||u - v||a
для всех u, v £ D, с постоянной a > 1 и неубывающей неотрицательной функцией M(t), заданной для t ^ 0;
2) Ff. Ki — E* (i > 1) — такая последовательность операторов, что при всяком i ^ 1 для
u £ Ki
Fiu-Fu £ E* на Ei+1 (т. е. sup (Fiu-Fu,v)o)
vEE^+i,
|v|0 = 1
не превосходит L(||u||o)i^e — после-
довательность неотрицательных чисел, сходящаяся к нулю bR^ L(t) — неубывающая неотрицательная функция, заданная для t ^ 0;
3) {Рг}О=1 и {г1г}О=1 — такие последовательности положительных чисел, ЧТО п ^ 1 и в +niei+1 ^ ^ pi+1 для i ^ 1,
Pi —— ж, щ —— 0, Hi = L(pi)(pi + Pi+1)5i+
+ M (Pi+1)(Pi + (ii+1)ana 1 — 0 (i — ж),
О
и ряд V-i расходится.
i=1
f
D
f (u) — +ж (u £ D, ||u||o — ж).
Зафиксируем произвольное число q £ (0,1). Пусть Di = {u £ K: ||u||o < Pi} (i > 1).
Предполагая, что D1 = 0, рассмотрим последовательность {ui}0=1 итерационного процесса:
ui+1 = ui - ti(ui - Vi) (i > 1) (1)
u1 £ D1
где если
bi = sup (FiV,i,ui - w)o > Hi,
wEDi+i
TO Vi £ Di+1, (Fi'ui, ui - Vi)o > bi - q(bi - Hi), a
ti = если bi ^ Hb T0 ti = 0 и vi = 0.
Последовательность {ui}0=1 итерационного процесса (1) строится с использованием вспомогательных экстремальных задач об отыскании чисел bi (i > 1).
Fi =
= F для каждого i ^ 1.
Теорема 1. Для последовательности {ui}0=1 итерационного процесса (1) имеем:
1) последовательность {ui}0=1 — релаксационная, т. е. f (ui) ^ f (ui+1) для каждого i ^ 1;
2) liminf bi ^ 0 (liminf — нижний предел). □
i—— О
Доказательство. Для каждого i ^ 1 имеем неравенства
f (ui) - f (ui+1) >
> ti(Fui,ui - Vi)o - M(ei+1)ta(fii + А+1Г >
^ ti(bi q(bi Hi )) + ti{Fui Fiui 1 ui vi) o
-M (ei+1)ti'(Pi + ei+1)a.
Следовательно, для всякого i ^ 1 имеем неравенство f (ui) - f (ui+1) > 0i, где 0i = (1 - q)(bi -
- Hi)ni при bi > Hi, 9i = 0 при bi ^ Hi- Так
как
i
f W - f (ui+1) ,
j=1
О
то ряд ^2 9 сходится. А если предположим, что i=1
liminf bi ^ b > 0, то получим расходимость ряда
i——О О
9i. Теорема 1 доказана.
i=1
F
Df
f
крытом множестве G из пространства Eo с нормой ||-|lo, содержащем множество D, дифференцируем по Гато на D в пространстве Eo с норм ой ||-||o и Fu = grad f (u) для u £ D.
F
D
{Fu - Fv,u - v)o ^ 0
для u,v £ D; 2) оператop F потенциален на мно-Df Тогда последовательность {ui}0=1 итерацион-
f
D, т.е. f (ui) — d^n i — ж □
Доказательство. В силу заключения 2) теоремы 1 существует такая подпоследовательность
{uij}О=1 последовательности {ui}0=1 итерационного процесса (1), что
lim bi. < 0.
j — О j
Пусть Vj = uij, Qj = Dij (j > 1). В силу
CO
Qj С Qj+1 дая j ^ 1 и U Qj = D существует
j=1
такая последовательность Zj £ Qj (j ^ 1), что f (zj) — do при j — ж. Имеем lim sup a.j < 0
j — О
(limsup — верхний предел), где a.j = {Fvj,Vj -
- Zj)o (j ^ 1). И т. к. в силу леммы 8.3 в [3] имеем неравенство f (vj) ^ f (zj) + aj для каждого j ^ 1 то f (vj) — d^n j — ж, что в силу заключения 1) теоремы 1 влечёт f (ui) — do при i — ж. Теорема 2 доказана.
Замечание 1. Если выполняются условия тео-f
DD
в пространстве Eo с норм ой ||-||o.
Из теоремы 2 вытекают три следствия, в кото-fD в следствиях выполняются условия теоремы 2.
Следствие 1. Если выполняются условия теоремы 2, то
limsupBi ^ 0,
i——О
где Bi = sup {Fw,ui - w)o (i > 1). □
wEDi+i
Действительно, для каждого i ^ 1 имеем f (ui) - f (u) ^ {Fu,ui - u)o для всех u £ D (cm. [3, c. 101]). Следовательно,
f (ui) - inf f (u) > Bi (i > 1).
uEDi+i
Отсюда в силу теоремы 2 имеем limsupBi < 0.
i——О
Следствие 2. Если выполняются условия те-fK !wi - w|| — 0 при i — ж, wi £ Ki (i ^ 1) и w £ K следует liminf f (wi) < f (w), то последова-
i——О
тельность {ui}°=1 итерационного процесса (1) минимизирует функционал f на K U D. □
Следствие 2 вытекает из теоремы 2, т. к. d1 ^ > do, где d1 = inf f (u).
uEK
Следствие 3. Если выполняются условия следствия 2 и D С K, то последовательность {ui}i=1 итерационного процесса (1) минимизирует f K □
Теорема 1 является результатом о релаксационное™ последовательности {ui}°=1 итерационного процесса (1), а теорема 2 и следствия 2, 3 — это результаты о том, что последовательность {ui итерационного процесса (1) минимизирующая.
Отметим, что следствие 1 представляет самостоятельный интерес.
Вышеприведённые абстрактные результаты можно использовать при исследовании краевых задач Дирихле, сводящихся к вариационному неравенству или уравнению в нерефлексивном бана-
ховом пространстве с монотонным потенциальным оператором, потенциал которого не является коэрцитивным (см. [1,4,5]). Часто эти краевые задачи связаны с локально коэрцитивными векторными полями [6]. Ив исследовании краевых задач, связанных с локально коэрцитивными векторными полями, важное место занимают априорные оценки производных решений (см. [5,6] и статью [7], в которой исследуется оператор средней кривизны).
В заключение приведём результат, в котором предполагается, что минимум функционала / на множестве В достигается. А именно справедливо следующее утверждение, в котором последовательность итерационного процесса (1) сходится в пространстве Ео с норм ой || • ||о к элемен ту ио € € Б, на котором достигается минимум функционала / на множестве В.
Утверждение 1. Пусть:
1) имеется такой элемент и0 € В, что /(и0) =
2) для любых х, Н € Е0, таких, что х + ЬН € В для Ь € [0,1], функция (Г(х + ЬН), Н)о интегрируема по £ на [0,1] и
(Г(х + Н) - Гх, Н)о > ||ННо7 (||Н11о) > где 7(Ь) — неотрицательная функция, интегрируемая на [0, Е] для любого Е > 0, такая, что функция
я
с(Е) = J 7(Ь) А о
возрастает;
3) оператор Г потенциален на множестве В с потенциалом /.
Тогда последовательность итерацион-
Ео
нормой |Н|о к ио. □
Действительно, условия 2), 3) утверждения 1 обеспечивают выполнение условий теоремы 2. Следовательно, последовательность {щ}™^^ итерационного процесса (1) минимизирует функционал / на множестве В.
Из неравенства /(и)-/(ио) ^ с (||и — ио||о), выи € В
143-144], имеем неравенства
/К) — /(ио) > с (||щ — ио|о) (г > 1),
с использованием которых получаем выполнение заключения утверждения 1. Утверждение 1 доказано.
ио
ется единственной точкой абсолютного минимума /В уравнения Гх = 0 (х € В).
Замечание 2. Если К = Е и Кг является линейным многообразием для каждого г ^ 1, то при Ео = В И Ег = Кг (г > 1) множество В\ = 0 и следствия 2 и 3 совпадают.
Литература
1. Фонарёв А.А. Об одном новом методе решения вариационных неравенств // Изв. вузов. Математика. - 1988. - № 11. - С. 53-61.
2. Гловински Р., Лионе Ж.-Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. - М.: Мир, 1979.
3. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. - М.: Наука, 1972.
4. Фонарев А.А. Об одном методе решения задачи о минимальных поверхностях // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: сб. научн. тр. - Иркутск: Иркут, ун-т, 1993. - С. 199-204.
5. Фонарёв А. А. О решении одной задачи с препятствием // Проблемы современной математики в задачах физики и механики: междувед. сб. научн. тр. - М.: МФТИ, 1989. - С. 132-135.
6. Киндерлерер Д., Стпампаккъя Г. Введение в вариационные неравенства и их приложения. - М.: Мир, 1983.
7. Фонарёв А.А. О некотором свойстве строго монотонных нелинейных операторов в нормированных пространствах // Научный вестник МГТУ ГА. Серия Математика и физика. - 2007. - № 114.
- С. 56-61.
Поступила в редакцию 11.01.2011
