CC BY
9
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 512.53
О МИНИМАЛЬНО ПОЛНЫХ ПОЛУГРУППАХ
О. В. Князев
Омский государственный педагогический университет, г. Омск, Россия
Информация о статье Аннотация. Заметка посвящена изучению минимально полных полугрупп. Доказы-
Дата поступления вается, что бесконечная непериодическая полугруппа вида Bn,k = (a, b | aba = a,
12.03.2017 bab = b, an = bk = 0) является минимально полной полугруппой в классе всех полу-
групп.
Дата принятия в печать 04.04.2017
Дата онлайн-размещения 15.07.2017
Ключевые слова
Полугруппа, подполугруппа, минимально полная полугруппа
ON MINIMALLY COMPLETE SEMIGROUPS
O. V. Knyazev
Omsk State Pedagogical University, Omsk, Russia
Article info Abstract. This note is devoted to the study of minimally complete semigroups in the class
Received of all semigroups. It is proved that an each infinite non-periodic semigroup of the form
12.03.2017 Bn,k=(a, b | aba = a, bab = b, an=bk=0) is minimally complete in the class of all semigroups.
Accepted 04.04.2017
Available online 15.07.2017
Keywords
Semigroup, subsemigroup, minimally complete semigroup
Теория абелевых групп дает яркий пример развитой структурной теории. При этом немаловажную роль в этой теории играют понятия полноты, редуцированности, периодичности, сервантности и слабой сервантности (чистоты). Л. М. Мартынов в 2000 г. показал в работе [1], что к определению этих понятий возможен другой подход, использующий теорию многообразий групп. Это дало возможность определить их аналоги для произвольных алгебр. В
работе [1] предлагалась обширная программа по изучению универсальных алгебр, различных классов алгебр. В последующие годы проводились исследования по многим аспектам этой программы. Эти исследования убедительно показали плодотворность и важность предложенного Л. М. Мартыновым подхода, идущего из теории абелевых групп, для развития структурных теорий других универсальных алгебр. В 2016 г. вышел обзор Л. М. Марты-
ISSN 1812-3996-
нова [2], который подводит итоги проделанной работы, уточняет и ставит новые проблемы для исследователей. В частности, в статье [2] ставится проблема 3.10: «Охарактеризовать минимально полные алгебры данного многообразия алгебр». Здесь мы продолжаем изучать минимально полные полугруппы. Ранее полные и минимально полные полугруппы исследовались, например, в работах [3-9]. Полную информацию по этому вопросу можно найти в статье [2].
Напомним необходимые определения. Пусть V - многообразие всех полугрупп, L(V) - решетка подмногообразий многообразия V, XeL(V), AeV. Произвольное дизъюнктное семейство полугрупп называется россыпью, а полугруппы, которые ее составляют, - компонентами россыпи. На множестве S(A) всех россыпей, компоненты которых являются подполугруппами данной полугруппы A, естественным образом определяется частичный порядок < :
{А,- : /е I} < {Bj : j eJ} » (V/eI)(3jeJ)(A/с Bj).
Ясно, что S(A) есть полная (в обычном смысле) решетка, наименьшим элементом которой является пустая россыпь. Договоримся операцию пересечения в этой решетке обозначать через л. Ядром ker(p) конгруэнции рна полугруппе A называется россыпь, компоненты которой суть в точности все р-классы, являющиеся подподполугруппами полугруппы A. Ядро X-вербальной конгруэнции рХ, A) на A называют Х-вербалом полугруппы A и обозначают через X(A). Если ядро конгруэнции состоит из одной под-подполугруппы, то мы не будем различать одноэлементные семейства подподполугрупп и сами эти подполугруппы. В частности, под ядром конгруэнции будем понимать соответствующую подполугруппу. (Уточнения и общие свойства сформулированных выше понятий можно найти в статье [2].) Подполугруппу C полугруппы A будем называть X-чистой в A, если X(C) = X(A)лC. В случае, когда это равенство выполняется для любого атома решетки L(V), будем говорить, что подполугруппа C полугруппы A является чистой в A. Полугруппу A называют простой по чистоте, если A не тривиальна и любая чистая подполугруппа из A либо тривиальна, либо совпадает с A.
Полугруппу A называют X-полной полугруппой, если X(A) = A, если A - X-полная полугруппа по любому атому решетки L(V), то говорят, что A является полной полугруппой. Полную полугруппу, не имеющую нетривиальных полных собственных подполугрупп, называют минимально полной полугруппой.
Нетрудно понять, что у минимально полной полугруппы нет нетривиальных чистых подполугрупп. Поэтому изучение минимально полных полугрупп дает продвижение в ответе и на проблему 3.22 ([2]): «Описать простые по чистоте алгебры данного многообразия».
Напомним, что атомами решетки ¿(V) подмногообразий многообразия V всех полугрупп являются следующие многообразия и только они: L = [xy = x] -многообразие всех полугрупп левых нулей; R = [xy = y] - многообразие всех полугрупп правых нулей; S = [xy = yx, x2 = x] - многообразие всех коммутативных связок; Ap = [xy = yx, xp = y] - многообразие абелевых групп простой экспоненты p (где p пробегает множество всех простых чисел); Z - многообразие полугрупп с нулевым умножением.
Особую роль в исследовании полных полугрупп играет полугруппа Bn,k (в частности, 62,2), которая может быть задана в классе всех полугрупп с нулем следующим копредставлением:
Bn,k = (a, b\ aba = a, bab = b, an = bk = 0), где n, k > 1.
Основной результат заметки
Теорема. Полугруппа Bn,k является минимально полной полугруппой.
Доказательству теоремы предпошлем несколько лемм.
Условимся, что если A - полугруппа, то A2 = {aia2¡ai,a2eA}. Полугруппу A с нулем называют нильпотентной, если An= {0}, для некоторого натурального n.
Хорошо известна и легко доказывается следующая лемма.
Лемма 1. Полугруппа A является Z-полной полугруппой тогда и только тогда, когда A2 = A.
Заметим, что по лемме 1 среди нетривиальных нильпотентных полугрупп Z-полных полугрупп нет.
Лемма 2. Всякая полугруппа с нулем - Ap-пол-ная полугруппа.
Доказательство. В группе существует единственный идемпотент - единица группы. Если на полугруппе A с нулем построить конгруэнцию pAp, A), то в ркласс 0p(Ap' A) соберутся все идемпотенты полугруппы A, в частности 0. Этот ркласс является единичным элементом в фактор-группе A/p(Av, A). Следовательно, все элементы полугруппы A попадают ркласс 0P(Ap,A). Тогда Ap(A) = A, т. е. полугруппа A - Ap-полная полугруппа.
Лемма 3. Всякая полугруппа с нулем - L-пол-ная (R-полная) полугруппа.
Доказательство. Рассмотрим на полугруппе A с нулем конгруэнцию p(L, A). Хорошо известно, что в классе всех полугрупп многообразие L задается тождеством xy = x. Пусть ae A. Выходит, что 0p(L- A) = = (a 0)p(L' A) = ap(LA) 0p(L' A) = ap(LA). Делаем вывод: L(A) = = A. Итак, полугруппа A - L-полная полугруппа.
Лемма 4. Полугруппа Bn,k есть полная полугруппа.
Доказательство. Из лемм 2 и 3 следует, что полугруппа Bn,k является Ap-, L-, R-полной полугруппой. Из определения Bn,k вытекает, что a,be (Bn,k)2. Но {a, b} - множество образующих полугруппы Bn,k и поэтому (Bn,k)2 = Bn,k. Следовательно, по лемме 1 полугруппа Bn,k является Z-полной.
Докажем теперь, что Bn,k есть S-полная полугруппа. Предположим противное, что S(Bn,k) Ф Bn,k. Это означает, что порождающие элементы a и b полугруппы Bn,k находятся в разных компонентах полурешетки полугрупп, на которые конгруэнция p(S, Bn,k) разбила полугруппу Bn,k. Пусть этими компонентами будут полугруппы Se и Sf , т. е. aeSe , beSf .
Рассмотрим все возможные случаи. Напомним, что стандартный частичный порядок < на полурешетке определяется следующим образом: если d и k есть элементы полурешетки, то d < k тогда и только тогда, когда d k = d.
Пусть e < f. Тогда Se Sf = Sf Se с Se. В этом случае a, baeSe, а значит, и bab = b eSe. Получили противоречие с тем, что элементы a и b находятся в разных компонентах полурешетки полугрупп. Пусть теперь e и f несравнимы. Тогда Se Sf с Sef и Se n S fe = 0. Но abe Sef. Таким образом и aba = a e Sef. Получили противоречие с тем, что Se n S fe = 0. Доказали что, порождающие элементы a и b полугруппы Bn,k находятся в одной компоненте полурешетки полугрупп. Наше предположение о том, что S(Bn,k) Ф Bn,k, оказалось неверным. Следовательно, полугруппа Bn,k есть S-полная полугруппа. Лемма доказана.
Доказательство теоремы. По лемме 4 полугруппа Bn,k является полной. Покажем, что Bn,k есть минимально полная полугруппа. Для этого убедимся, что всякая нетривиальная собственная подполугруппа A полугруппы Bn,k не будет полной полугруппой. Отметим, что I = Bn,k\{a, b, ab, ba} является идеалом полугруппы Bn,k.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть n = 2. Тогда рутинная проверка показывает, что множество всех различных элементов полугруппы Bn,k есть объединение следующих попарно не пересекающихся множеств:
-ISSN 1812-3996
{a, 0}, {b, b2, ..., bk-1}, {ab, ab2,.., abk-1}, {ba, b2a,..., bk-1a}, {ab2a,..., abk-1a}.
В этом случае идеал I и все его подполугруппы будут конечными нильпотентными полугруппами. Поэтому любая из этих полугрупп не будет совпадать со своим квадратом. Это означает по лемме 1, что такие полугруппы не являются Z-полными. Нам остается исследовать подполугруппы полугруппы Bn,k , содержащие хотя бы один элемент множества {a, b, ab, ba}, но не одновременно a и b. Сделаем это. Пусть B с I и A1 = {a} u B. Полугруппа Ai - нильпотент-ная полугруппа, а значит, не является Z-полной. Пусть Ai = {ab} u B. Тогда Ai есть полурешетка двух полугрупп {ab} и B. Следовательно, Ai не является S-полной полугруппой. Все остальные возможности проверяются аналогично.
2. Пусть n > 2 и k > 2. Рассмотрим конгруэнцию p, порожденную множеством пар {(a, aba); (b, bab); (an, 0); (bk, 0)}, на абсолютно свободной полугруппе F0(a, b) с нулем и двумя образующими a и b. Очевидно, что на полугруппу Bn,k можно смотреть как на фактор-полугруппу F°(a, b)/p. Под длиной I(w) элемента w полугруппы Bn,k будем понимать длину минимального по длине слова из p-класса конгруэнции p, представляющего элемент w. Договоримся «работать» с элементами полугруппы Bn,k, представленными словами минимальной длины. Пусть B - нетривиальная подполугруппа идеала I. Покажем, что B Ф B2. Пусть W1, W2 e B. Понятно, что I(W1W2) < < I(w1) + I(w2). Уменьшение длины произведения w1w2 может произойти только на «стыке» слов w1 и W2, если: а) там встретятся as и a1 такие, что s +1 > n; б) встретятся bs и b1 такие, что s + I > k; в) появится слово aba или bab. Выясним, как уменьшится длина I(W1W2) слова W1W2 по сравнению с суммой I(W1) + I(W2).
В случаях а) и б): W1W2 = 0. Рассмотрим случай в). Пусть W1 = va и W1 = baIV2, где s, I < n; vi, V2- элементы полугруппы Bn,k или пустые символы. Тогда W1W2 = V1asbaIV2 = V1as+I-1V2. Заметим, что vi не может оканчиваться справа на arb. В противном случае W1 = V1as = V3arbas = V3ar+s-1. И для элемента W1 найдется представление в виде слова меньшей длины. По этой же причине V2 не может оканчиваться слева на bar, а I > 2 в слове W1 = bdv2. Это означает, что слово V1as+I-1V2 есть слово минимальной длины из p-класса, представляющего произведение W1W2. Следовательно, либо произведение W1W2 равно 0, либо разность (I(w1) + I(w2)) - I(W1W2) < 2. Рассмотре-
Вестник Омского университета 2017. № 2(84). С. 4-7
ISSN 1812-3996-
ние других возможностей случая в) приводит также к нулю или неравенству ¡№1) + ¡№2) - /(^1^2) < 2.
Вернемся к полугруппе В. Если в В все элементы, кроме нуля, имеют длину / > 3, то в В2 все элементы, кроме нуля, имеют длину / > 3 + 3 - 2 = 4. Следовательно, В Ф В2 и полугруппа В не является Z-полной полугруппой. Пусть теперь в полугруппе В есть элементы длины 2, а это могут быть только а2 или Ь2. Тогда /(а2 Ь2) = 4, а если /№1) > 3, то /(а2 Wl) > > 2 + 3 - 2 = 3. Значит, и в этом случае полугруппа В не является Z-полной. Показали, что любая нетривиальная подполугруппа идеала I не будет полной полугруппой. Остается исследовать (как это было и при
п = к = 2) подполугруппы полугруппы Вп,к, содержащие хотя бы один элемент множества {а, Ь, аЬ, Ьа}, но не одновременно а и Ь. Сделаем это. Пусть В с I, и А1 = {а} и В - подполугруппа полугруппы Вп,к. Элемент а может «получиться» только из произведения аЬа. Но аЬ, Ьа £ А1. Значит, А1 Ф (А1)2. Пусть теперь А1 = {а, аЬ} и В. Тогда А1 есть полурешетка двух полугрупп {аЬ} и {а} и В. Следовательно, А1 не является 5-полной полугруппой. Пусть теперь А1 = {Ьа, аЬ} и В. Тогда А1 есть полурешетка трех полугрупп {аЬ}, {Ьа} и В. Рассуждения в оставшихся случаях похожи на предыдущие. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Мартынов Л. М. О понятиях полноты, редуцированности, примарности и чистоты для произвольных алгебр // Универсальная алгебра и ее приложения : тр. междунар. семинара. Волгоград, 2000. С. 179-190.
2. Мартынов Л. М. Полнота, редуцированность, примарность и чистота для алгебр: результаты и проблемы // Сиб. электрон. мат. изв. 2016. № 13. С. 181-241.
3. Финк Т. Ю. Конечные полные полугруппы // Естественные науки и экология: ежегодник : межвуз. сб. науч. тр. Омск : Изд-во ОмГПУ, 1999. Вып. 4. С. 8-14.
4. Финк Т. Ю. Вложимость и минимальная полнота конечных полугрупп // Математика и информатика: наука и образование. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2001. Вып. 1. С. 20-25.
5. Князев О. В., Финк Т. Ю. Минимальные полные периодические полугруппы с нулем, в которых множество нильэлементов не образуют подполугруппу // Математика и информатика: наука и образование. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2009. Вып. 8. С. 12-15.
6. Князев О. В., Финк Т. Ю. Минимально полные конечные полугруппы с нулем, в которых множество нильэлементов является подполугруппой // Математика и информатика: наука и образование. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2010. Вып. 9. С. 14-18.
7. Князев О. В. О чистых алгебрах // Вестн. Ом. ун-та. 2001. № 3. С. 18-20.
8. Князев О. В. О минимально полных коммутативных нильполугруппах // Математика и информатика: наука и образование. Омск : Изд-во ОмГПУ, 2010. Вып. 9. С. 12-14.
9. Князев О. В. Простые по чистоте вполне регулярные полугруппы // Вестн. Ом. ун-та. 2006. № 4. С. 1720.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Князев Олег Викторович - кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и методики обучения математике, Омский государственный педагогический университет, 644099, Россия, г. Омск, наб. им. Тухачевского, 14; e-mail: knyazev50@rambler.ru.
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Knyazev Oleg Viktorovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, Docent of the Chair of Mathematics and Methods of Teaching Mathematic, Omsk State Pedagogical University, 14, Naberezhnaya Tukchachevskogo, Omsk, 644099, Russia; e-mail: knyazev@rambler.ru.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ
Князев О. В. О минимально полных полугруппах // Вестн. Ом. ун-та. 2017. № 2 (84). С. 4-7.
FOR CITATIONS
Knyazev O.V. On minimally complete semigroups. Vest-nik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2017, no. 2 (84), pp. 4-7. (in Russian).
