CC BY
56
МАТЕМАТИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 20-23.
УДК 512.536 О.В. Князев
МАКСИМАЛЬНЫЕ ПОЛУГРУППЫ ГРУППОИДА МНОГООБРАЗИЙ ВПОЛНЕ ПРОСТЫХ ПОЛУГРУПП
Многообразия вполне простых полугрупп относительно операции умножения Мальцева образуют группоид, строение которого уже неплохо изучено. Цель данной заметки - указать все максимальные подполугруппы группоида многообразий вполне простых полугрупп.
Ключевые слова: полугруппа, вполне простая полугруппа, многообразие вполне простых полугрупп, умножение Мальцева.
1. Предварительные замечания
Вполне простые полугруппы рассматриваются здесь как алгебры сигнатуры < , -1 >, где -1 есть взятие обратного элемента к данному в макси-
мальной подгруппе, содержащей данный элемент. В этой сигнатуре, как хорошо известно, класс всех многообразий вполне простых полугрупп является многообразием.
Для удобства читателя приведем некоторые необходимые сведения и перечислим используемые нами обозначения.
По теореме Риса [1] всякая вполне простая полугруппа 3 изоморфна некоторой регулярной рисовской полугруппе М(А; I, Л; Р) матричного типа над группой А с сэндвич-матрицей Р = (ряр). В дальнейшем полугруппу М(А; I, Л; Р) будем называть рисовской полугруппой, а вполне простую полугруппу 3 отождествлять с некоторой изоморфной ей рисовской полугруппой.
Если 3 = М(А; I, Л; Р) - рисовская полугруппа, В - группа, порожденная элементами сэндвич-матрицы Р, то полугруппу 3 будем обозначать через М(А; I, Л; В). Если р - конгруэнция на 3, то классы этой конгруэнции, являющиеся подполугруппами полугруппы 3, будем называть р-подполу-группами полугруппы 3.
Ниже используются следующие обозначения: Т - тривиальное многообразие; О - многообразие всех групп; СА (РА, ЬА, ЛА) - многообразие всех вполне простых полугрупп (всех прямоугольных групп, всех левых групп, всех правых групп) с максимальными подгруппами из многообразия групп А. Нам также удобно обозначать произвольные многообразия вполне простых полугрупп, пересекающиеся с О по А, через ХА, УА, ХА; вербальную ХА-конгруэнцию полугруппы 3 (т. е. наименьшую конгруэнцию на 3, фактор-алгебры по которым принадлежат ХА) - через р(ХА, 3); операцию умножения Мальцева [2] в классе всех вполне простых полугрупп через • ; свободное произведение групп в классе О всех групп - через *.
Мы часто пользуемся многими известными свойствами умножения многообразий групп [3]. Эту возможность дает очевидный факт: операция умножения многообразий групп в классе всех групп совпадает с операцией умножения многообразий групп в классе всех многообразий вполне про-стъх полугрупп.
Операция умножения многообразий групп является ассоциативной
[3]. Значит, для произвольного многообразия А групп можно говорить о его натуральной степени п, которая будет обозначаться через Ап.
Для доказательства основного результата работы нам потребуются следующие утверждения.
© О.В. Князев, 2013
Лемма 1 ([4], лемма 6). Пусть А # Т есть многообразие групп. Тогда объединение бесконечной цепочки многообразий СА с СА2 с с ... с САп с... совпадает с многообразием СО всех вполне простых полугрупп.
Лемма 2 ([4], предложение 1). Пусть А, В - произвольные многообразия групп и многообразие ХА содержит многообразие РТ прямоугольнъх полугрупп. Тогда
1) ХА^ЯБ = ЬА^ЯБ = ЯА^ЬБ = ХА^ЬБ = = ОА^Б = А^РБ;
2) УБ^ХА = Б^ХА;
3) А^ЯА = ЯА^Б = ЯА^ЯБ = Я(А^Б);
4) А^Б = ЬА^ЬБ = Ь(А^Б).
Лемма 3. Пусть ХВ - нетривиальное многообразие вполне простых полугрупп, содержащее многообразие РТ прямоугольных полугрупп. Тогда для любого нетривиального многообразия А групп найдутся натуральные числа п и I такие, что (((...(Ап•ХВ)»А1)»А1)» ...)»Аг <г(Ап»ХВ}»0.
Доказательство. Хорошо известно, что для нетривиального многообразия А групп всегда найдется простое число р такое, что многообразие Ар всех абелевых групп экспоненты р содержится в А. Пусть Ар с А и ХБ - нетривиальное многообразие вполне простых полугрупп, содержащее РТ. Из леммы 1 следует, что существует натуральное число п такое, что многообразие С(Ар)п всех вполне простых полугрупп с максимальными подгруппами из (Ар)п не включается в многообразие ХБ. Если Аг есть свободная группа конечного ранга г многообразия (Ар)п, то для всякого натурального числа п можно подобрать натуральное число г такое, что некоторая полугруппа М(Аг, I, I; Аг) содержит свободную полугруппу ранга к многообразия С(Ап)р (см. строение свободных вполне простых полугрупп в [5]).
Объединение всех многообразий, порожденных свободными алгебрами конечных рангов многообразия С(Ар)п, суть С(Ар)п. Но С(Ар)п <£ ХБ. Значит, найдется натуральное число э такое, что некоторая полугруппа 3 = М(Аэ, I, I; Аэ) не принадлежит многообразию ХБ. Возьмем группу В, изоморфную группе Аэ. Заменим в полугруппе 3 структурную группу Аэ на свободное произведение В*Аэ групп В и Аэ. Получим полугруппу
31 = М(В*Аэ; I, I, Аэ). Покажем, что 31 г г (Ап^ХБ)^О. Предположим противное, что
31 е (Ап^ХБ)^О. Тогда на полугруппе 31 существует конгруэнция р такая, что 31 /ре О, а все р-подполугруппы полугруппы 31 принадлежат произведению Ап^ХБ. Нетрудно понять, что р-эквивалентности на строках и столбцах полугруппы 31 суть универсальное отношение, а единственная р-подполугруп-па ее есть полугруппа, изоморфная некоторой полугруппе 32 = М(Н; I, I, Аэ), где Н -
нормальное замыкание группы Аэ в группе В*Аэ. По известной теореме Куроша о подгруппах Н является свободным произведением Р*Аэ группы Аэ и некоторой неединичной свободной группы Р. По предположению
32 = М(Н; I, I, Аэ) е (А^ХБ). Значит, существует конгруэнция р1 на полугруппе 32 такая, что 32/р 1 е ХБ, а р-подполугруппы полугруппы 32 принадлежат Ап. Полугруппа
3 = М(Аэ; I, I, Аз) не принадлежит ХБ. Тогда
32 г ХБ. Отсюда р-подполугруппы Н группы Р*Аэ суть неединичные группы. При этом Н е Ап. Вновь по теореме Куроша группа Н содержит свободную группу порядка 2. Получили противоречие с тем, что НеАп. Таким образом, 31 г (Ап^ХБ)^О.
Покажем, что 31 е (.. .(((Ап^ХБ)^Ач>Ач> •...)• Ап , где п - произведение натуральных чисел п и Группы В и Аэ принадлежат многообразию (Ар)п групп. Отсюда (Ар)п -вербальная подгруппа группы В*Аэ - будет свободной группой (см., например: упражнение 16 [6, с. 256]). Пусть Ог есть ((Ар)п)‘ -вербальная подгруппа группы В*Аэ, е - единица группы В*Аэ. Тогда если г пробегает все натуральные числа, то оОг = {е}. Следовательно, найдется натуральное число
7 такое, что 3/О] г (Ап^ХБ)^О, где 3]/О] -фактор-полугруппа полугруппы 3, соответствующая нормальной подгруппе О■/ структурной группы В*Аэ и отношениям равенства на множестве I. В противном случае 31 е (А^ХБ)^О. Обозначим фактор-группу В*Аэ/О] через О. Заметим, что О является Ап'-вербальным произведением группы В и Аэ. Для всякого натурального числа й многообразия (Ар)а есть локально конечное многообразие групп (см., например: следствие 21.14 из [6]). Отсюда группа В и Аэ конечны. Тогда и группа О также конечна. Группа О принадлежит многообразию (Ар)п' групп. Следовательно, О есть р-группа. Тогда группа О - нильпотентна.
Рассмотрим нормальное замыкание Н1 группы Аэ в О. Отметим, что Н1 = Аэ[В, Аэ], где [В, Аэ] - взаимный коммутант групп В и Аэ в группе О. Обозначим [О, О] через у1, а [В, Аэ] - через Дъ По индукции для любого натурального п>2 определим уп = [уп-1, О], Рп = [вп-1, Аэ]. Будем считать, что Нп есть нормальное замыкание группы Аэ в группе Нп-1. Тогда Нп =Аэвп и Рп с уп . Группа О - нильпо-тентная группа. Это значит, что найдется натуральное число к такое, что ук =1. Таким образом, рк = 1 и Нп = Аэ. Следовательно, полугруппа 31 принадлежит произведению (...(((Ар)п^ХБ)^(Ар)п')^... (Ар)п')^(Ар)п' которое,
так как (Ар)п' с Ап', содержится в произведение (.(((Ап^ХБ) • Ап') • Ап')^...) • Ап'. Лемма доказана.
Следующую лемму можно доказать рассуждениями, напоминающими доказательство предыдущей леммы.
22
О. В. Князев
Лемма 4. Пусть В - нетривиальное многообразие групп и многообразие ХВ строго содержит многообразие РВ. Тогда (XB•О)•О ФХВО.
Следствие. Пусть ХВ есть нетривиальное многообразие вполне простых полугрупп, содержащее многообразие PT. Для всякого нетривиального многообразия А групп найдутся натуральные числа п и I такие, что (.((Ап«ХБ)*А1)*.)*А1 Ф (Ап*ХБ)«(А1*А1«.«А1).
Лемма 5 ([4], лемма 5). Для всяких многообразий А, Б, Б групп имеем А«(Б«ХБ) = = (А«Б)«ХБ.
2. Максимальные полугруппы группоида многообразий вполне простых полугрупп
Договоримся о следующих обозначениях: Пб - полугруппа всех многообразий вполне простых полугрупп, содержащих многообразие РТ прямоугольных полугрупп (то, что это действительно полугруппа показано в [4]); Gs - полугруппа всех многообразий групп; Ls (.Кб) - полугруппа всех негрупповых многообразий левых (правых) групп. В [4] доказано, что группоид многообразий вполне простых полугрупп суть полурешетка перечисленных выше полугрупп. Нам потребуются еще два множества. Это ПБ1={ХАе еП | РОсХА} и П2 = {ХБеП1 (ХБ«О)«О= =ХБ«О}. Заметим, что Пб1 есть полугруппа с нулевым умножением. Из лемм 3 и 4 следует, что П32 строго содержится в Пй.
Теорема.. Следующие множества и только они являются максимальными подполугруппами группоида многообразий вполне простых полугрупп:
1) П5и{ГГ; ЛТ; Т};
2) ПБи^Би{Т}; 2') ПБ1иЛзи{Т};
3) ПБ1и{Ю; ЛО; Т};
4) О^зиС 4') ОиЛБиС
5) Пйги{Ю; ЛО; О; Т};
6) ПБ2и{Ю; LT; О; Т}; б') ПБ2и{ЯО; ЛТ; О;
Т};
7) ПБ2и{РТ; О; Т}.
Доказательство. Разобьем доказательство теоремы на две части. Во-первых, покажем, что все перечисленные в теореме множества являются максимальными подполугруппами группоида многообразий вполне простых полугрупп. Во-вторых, убедимся, что других максимальных полугрупп в нем нет.
Часть 1. 1) Пусть 8=Пзи{^Г; ЛТ; Т}. Покажем, что Б - полугруппа. В [4] доказано, что Пб является полугруппой. Из леммы 2 для всякого многообразия ХА из ПБ имеют место равенства: Т«ХА=ЦТ«ХА=ЛТ«ХА=ХА,
ХА«ЦГ=ХА«ЛТ=СА, ГГ«ЯТ=ЯТ«ГГ=РТ. Таким образом Б есть группоид. Проверим этот группоид на ассоциативность. Из лемм 2 и 5 следует, что если в произведении трех многообразий крайний правый множитель из Пб, то такое произведение ассоциативно. Рассмотрим другие возможности. Пусть ХА, УБеПБ. Тогда (XA•УБ)•LT=C(A•Б)=XA• •(УБ•LT). (ХА^Т)«ЯТ=СА«ЛБ=СА. ХА«^Т«
•ЛТ)=ХА«РТ=СА. ^Т«ХА)^Т=СА. LT•(XA•
•LT)=LT•CA=CA. ЯТ«(ХА^Т)=СА. (ЛТ«ХА)«
•LT=CA. (ХА^Т)^Т=СА^Т=СА. XA•(LT•LT)= =ХА^Т=СА. Таким образом Б - полугруппа.
Убедимся, что Б есть максимальная подполугруппа данного группоида. Пусть Б включается в полугруппу Б1. Если многообразие БфТ групп принадлежит полугруппе Б1, то произведение Б•LT=LБ также находится в Б1. Тогда (ХА^Б)^Б=С(А«Б)« •ЬБ=С(А«Б)«Б и XA•(LБ•LБ)=XA•L(Б•Б)= =СА«(Б«Б). Очевидно, если АфО, то С(А«Б)«Бф фСА«(Б«Б). Следовательно, Б1 не будет полугруппой. Выше отмеченные равенства также утверждают, что в Б1 нет многообразий из Lsu Лб, отличных от LT и ЛТ. Тогда Б1=Б.
2) Пусть 8=ПБи^зи{Т} и ХА еПБ1. Из леммы 2 следует, что XG•LA = С. Опираясь на это равенство, легко проверить, что Б -полугруппа. Покажем, что полугруппа Б будет максимальной подполугруппой. Пусть Б включается в полугруппу Б1. Предположим, что нетривиальное многообразие А групп принадлежит Б1 и ХБ еПБ1. Тогда произведение (...((Ап«ХБ)«А1)«..)«А1 находится в Б1. Отсюда, учитывая следствие, получаем, что Б1 не будет полугруппой. Таким образом, полугруппа Б1 из многообразий групп может содержать только многообразие Т. Пусть ЛБеБь Тогда имеют место равенства: ^Т«ЛБ)«ЛБ=РБ«ЛБ=СБО, LT•(ЛD•ЛD)=LT• •Л(БО)=Р(БО). Но многообразие СБО совпадает с РрО), лишь когда Б=Т. Многообразие 1А.Ф LT находится в Б. Получаем, что (ЛT•LA)•LA=PA•LA=CA•A, ЛT•(LA•LA)= =Р(А«А). Но СА«АФ Р(А«А). Ассоциативность нарушена, значит в Б1 нет многообразий из Лб. В полугруппе Б1 нет многообразий из ПБ\ПБ1 (см.: 1)). Следовательно, 8=81.
3) Пусть 8=Пslu{LG; ЛО; Т}. Останавливаться на проверке того, что множество Б есть полугруппа, не будем. Покажем, что Б является максимальной подполугруппой. Из следствия следует, что в любой полугруппе Б1, содержащей Б, нет многообразий групп, отличных от многообразия Т. Если в Б есть многообразие !АфЮ, то !А«(ЛО«ЛО)= =LA•Л(G•G)=CA•G и (!А«ЛО)«ЛО=(СА«О)«ЛО= = С. Но СА«ОФ с. Значит, !А«(ЛО«ЛО)Ф(1А* •ЛО)«ЛО.
Пусть в Б1 имеется многообразие ХА из П\П1. Тогда ХА«(ЛО«ЛО)=СА»Оф(ХА«ЛО)«ЛО.
Итак, Б = Б1.
Рассуждения в оставшихся случаях этой части доказательства теоремы аналогичны проделанным, и мы их опускаем.
Часть 2. Покажем, что только перечисленные в теореме полугруппы являются максимальными подполугруппами группоида многообразий вполне простых полугрупп.
Пусть Б - максимальная подполугруппа этого группоида. Разобьем доказательство на несколько случаев.
1) Пусть элементом подполугруппы Б является многообразие ХА из Пб и Аг{Т, О}. Заметим, что если ХА=РА, то ХА«ХА= =РА«РА=А«РА=СА*А. Значит, в полугруппе Б обязательно найдется многообразие УБ, отличное от РБ, такое, что Бг{Т, О}. Из леммы
4 и следствия следует, что в Б нет многообразий групп, отличных от тривиального многообразия Т. Выясним, какие элементы из полугруппы 1,б могут быть в Б. Воспользуемся равенствами: (XA•LБ)•RБ=C(A•Б)•Б и ХА^Б«ЛБ)=СА«(Б«Б). Нетрудно понять, что С(А«Б)«Б=СА« (Б«Б) тогда и только тогда, когда А=О или Б=Т. По условию многообразие А отлично от О. Получаем, что Б=Т. Тогда, если в полугруппе Б есть элемент из Ls, то это многообразие LT полугрупп левых нулей. Аналогичные рассуждения относительно элементов полугруппы Лб показывают, что если в Б есть элементы из Лб, то это только многообразие ЛТ полугрупп правых нулей. Следовательно, полугруппа Б включается, а значит, совпадает с максимальной полугруппой Пви{ЦГ; ЛТ; Т}.
2) Пусть РТе8 и элементом подполугруппы Б будет многообразие ХА такое, что ХА из ПБ и Ае {Т, О}. Предположим сначала, что в полугруппе Б нет других элементов из Пб, кроме РТ. Тогда в Б могут быть многообразия Т, LT, ЛТ и других элементов из Об, Ls, Лб в Б нет (А^Т=1А, LA•PT= СА). Значит, 8=^Т; ЛТ; Т; РТ}. В этом случае полугруппа Б не является максимальной в группоиде многообразий вполне простых полугрупп. Она содержится в полугруппе Пзи{ЦТ; ЛТ; Т}. Пусть теперь ХАфРТ. В этом случае ХАе Пб1 = {ХБеПБ] РИс ХБ}. Таким образом, из Об, Ls, Лб в Б могут быть только элементы множества {ЛО; ЛТ; О; Т; LT; Ю} (A•PT=LA•PT=RA•PT=CA). Но (PT•LG)•LG=C и РТ«(Ю«Ю)=РО. Отсюда Юг8 и ЛОг8. Получаем, что 8=Пэ2^>{РТ; О;Т}.
3) Пусть элементом подполугруппы Б будет многообразие ХАеПБЛПБг. Из следствия следует, что если в Б есть многообразие из ПБ, отличное от тривиального, то полугруппе Б не могут принадлежать нетривиальные многообразия групп. Заметим, что
Пб1фПб2. Тогда если АеО и Ае8, то А=Т. Отсюда если в Б есть элементы из Ls, но нет из Кб, то 8=ПsnuLsu{T}. Если в Б есть элементы из Р, но нет из Ls, то 8=ПБ1иРи{Т}.
Пусть теперь полугруппе Б принадлежат элементы из и Лб одновременно и LБе8, Бг{Т, О}. Тогда многообразий из Лб в 8 нет. Действительно, (1А«ЛБ)«ЛБ=СБ«(БО). Значит, Бе {Т, О}. Следовательно, когда в Б присутствуют элементы из 1,б и Кб, они выбираются только из множества {ЛО; ЛТ; LT; Ю}. Допустим, что в полугруппе 8 есть многообразие LT. Тогда в 8 не могут находиться многообразия ЛО и ЛТ ^Т«ЛТ=РТг8, (LT•ЛО)•ЛО=C, LT•(ЛО•ЛО)=PG). Таким образом, LTг 8. Итак, из 1,б и Лб в полугруппе 8 могут быть одновременно лишь ЛО, Т, Ю. Тогда 8=Пб1^){Ю; ЛО; Т}.
4) Пусть элементом полугруппы 8 будет многообразие ХА такое, что ХАеПБг и ХАфС. Если LБе8, то LB•XA=B•XAеS, и Бп«ХАе8, где пе^ Далее, (((Бп«ХА)«Б1)«.) •Б1с
с(((Бп«ХА) •О)«.)«О=(Бп«ХА)«О, где 1 По лемме 3, (((Бп«ХА)«Б1)«. )«Б1^(Бп«ХА)«О. Следовательно, (Бп«ХА)«Оф((Бп«ХА)«О)«О. Значит, Бе{Т, О}. Тогда из Об, и Лб в полу-
группе 8 могут быть только элементы множества {ЛО; ЛТ; О; Т; LT; ЬО}. Пусть в 8 есть элементы, принадлежащие Ls, но нет элементов, принадлежащих полугруппе Лб. Тогда 8=Пяги{Ю; LT; О; Т}. Заметим, что LT•PT=PT и (LT•ЛО)•ЛОф(LT•ЛО)•ЛО. Тогда если в 8 есть элементы из Ls и Лб, то
8=ПБги{Ю; ЛО; О; Т}.
Оставшиеся возможности рассматриваются аналогично предыдущим.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972. Т. 1. 288 с.; Т. 2. 238 с.
[2] Мальцев А. В. Об умножении классов алгебраических систем // Сибирский математический журнал. 1967. Т. 8. № 2. С. 346-365.
[3] НейманХ. Многообразия групп. М. : Мир, 1969. 264 с.
[4] Князев О. В. О группоиде многообразий вполне простых полугрупп // Изв. вузов. Матем. 1988. № 10. С. 5-10.
[5] Расин В. В. Свободные вполне простые полугруппы // Исследования по современной алгебре. Свердловск, 1979. С. 140-151.
[6] Магнус И., Каррас А., Солитер Д. Комбинаторная теория групп. М. : Наука, 1974. 455 с.
