Продолжение частичной полугрупповой операции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

УДК 512.53

ПРОДОЛЖЕНИЕ ЧАСТИЧНОЙ ПОЛУГРУППОВОЙ ОПЕРАЦИИ А. О. Петриков

Аннотация. Исследуется внутреннее продолжение частичных операций на частичной полугруппе. Рассматриваются продолжения частичной полугруппы внутренним образом до полной с сохранением ассоциативности. Рассмотрены возможности продолжения частичной операции на частичной полугруппе ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы стандартным и нестандартным способами. Получен отрицательный ответ на вопрос о том, любое ли продолжение частичной операции на частичной полугруппе ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы является вполне простой полугруппой, и всякое ли продолжение стандартно. Однако в некоторых случаях ответы положительные. Получены необходимые и достаточные условия продолжаемости частичной операции на частичной полугруппе ненулевых вычетов, а также частичной операции на полугруппе ненулевых (2 х 2)-матриц над полем. Показана единственность продолжения частичной операции на полугруппе ненулевых (2 х 2)-матриц над полем.

DOI 10.25587/SVFU.2017.2.9244

Ключевые слова: частичная операция, частичная полугруппа, вполне 0-простая полугруппа, полугруппа вычетов.

1. Введение

Частичные алгебраические операции, т. е. операции, определенные, возможно, не для всех значений аргументов, всегда привлекали внимание специалистов — во-первых, по причине того, что они являются обобщением обычных операций, и, во-вторых, ввиду их распространенности. Систематическое изложение теории частичных бинарных операций можно найти в монографии [1]. Попытка свести изучение частичных бинарных операций к обычным приводит к вопросу о возможности продолжения частичной операции до полной с сохранением тех или иных свойств, например ассоциативности.

В данной работе нас будут интересовать внутренние продолжения (см. [2]), т. е. такие, которые не предполагают добавления новых элементов. В. В. Розен в [3] ввел понятие сильной ассоциативности частичной бинарной операции. Частичная бинарная операция называется сильно ассоциативной, если для любых элементов a, b, c произведения (ab)c и a(bc) либо оба не существуют, либо оба существуют и в этом случае равны друг другу. Множество с сильно ассоциативной частичной бинарной операцией назовем частичной полугруппой. Несложно видеть, что любая частичная полугруппа может быть получена из

© 2017 Петриков А. О.

некоторой полугруппы с нулем, если удалить нуль и объявить неопределенными произведения, которые ранее равнялись нулю. Необходимые и достаточные условия внутренней продолжаемости полугруппы частичных преобразований с единицей были получены Е. С. Ляпиным в 1982 г. [2].

Нас будет интересовать вопрос о внутреннем продолжении частичной полугруппы до полной с сохранением ассоциативности. Существование внутренне продолжаемой частичной полугруппы очевидно. В качестве внутренне непродолжаемой частичной полугруппы можно взять полугруппу из [4], т. е. подполугруппу полугруппы частичных непустых преобразований трехэлемент-

a b c \ „ / a b c

ного множества, состоящую из элементов 1 b c \ „ (b

a a a

2

3

a b c \ / b c \ / b c

b b b), 4 = ^ a a), 5 = ^ a b

умножение в ней описывается в табл. 1.

6

Таблица 1. Непродолжаемая частичная полугруппа

a a

c

7

8

1 2 СО 4 5 6 7 00

1 1 1 3

2 1 2 3 7 8 8 7 8

СО 1 1 3 1 1 3 - -

4 4 4 6

5 4 4 6 7 7 8 - -

6 4 4 6 4 4 6 - -

7 7 7 8

00 7 7 8 7 7 8 - -

Полугруппой S1 назовем полугруппу S, если S содержит единицу, иначе

S U{1}.

Отношения Грина ii?, Jz?,Л?, JP на полугруппе S определяются обычным образом: ^ = {(a, b) | aS1 = bS1}, J? = {(a, b) | S 1a = S 1b}, Ж = M П Jz?, Jf = {(a, b) | S1aS1 = S 1bS1}. Для элемента a G S через R(a),L(a),H(a), J(a) обозначаются i?-, Jz?-, J?’-, ^-классы, содержащие a. Напомним, что множества i?-, Jz?-, ^-классов являются частично упорядоченными множествами.

Предложение 1. Если полугруппа S с нулем имеет одноэлементный минимальный ненулевой J? -класс, то частичная операция на S \ {0} может быть продолжена до полной ассоциативной операции.

Доказательство. Пусть минимальный ненулевой одноэлементный ^-класс состоит из элемента a. Множество I = {0, a} является идеалом полугруппы S. При замене всех неопределенных произведений в S \ {0} на a частичная полугруппа S \ {0} станет полной, и ассоциативность будет сохраняться, так как a — нуль в продолженной полугруппе. □

2. Частичная полугруппа ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы

Простая полугруппа S — это полугруппа, не содержащая собственных идеалов. Вполне простая полугруппа S — это полугруппа, единственным идеалом которой является лишь S и имеющая примитивный идемпотент (т. е. минимальный относительно естественного порядка на множестве идемпотентов: e < f ef = fe = e). Вполне 0-простая полугруппа S — это полугруппа с нулем, идеалами которой являются лишь {0} и S, причем S2 = {0}, имеющая минимальный ненулевой идемпотент. Хорошо известная теорема Сушкевича — Риса утверждает (см. [5, теорема 3.5]), что вполне 0-простые полугруппы — это в точности рисовские матричные полугруппы S = Ж® (G,I,A,P) над группой с нулем G0 с сэндвич-матрицей P = ||рл^|леЛ^е/, где pAi £ G0, причем в каждой строке и в каждом столбце матрицы P присутствуют ненулевые элементы (см. [5]).

Элементы полугруппы ^#°(G, I, Л, P) рассматриваем как (I х Л)-матрицы над G° = G U {0}, где 0 £ G, у которых не более одного элемента отлично от 0. Ненулевые элементы из S имеют вид (g)iа, где g £ G, i £ I, А £ Л. Тогда для A = (a)iA, B = (bj из S произведение имеет вид

A о B = APB = (a) iA о (bj

(apAj b)iM, PAj = °

0, PAj = 0.

Частичную операцию на множестве ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы можно продолжить до полной, как показывает следующее предложение.

Предложение 2. Частичную полугруппу ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы M = Ж°(G, I, Л, P) \ {0} можно продолжить внутренним образом до полной.

Доказательство. Заменим все нулевые элементы сэндвич-матрицы P любыми элементами группы G, например единицей e. Получим новую сэндвич-матрицу Р. Положим A * B = APB для A, B £ M. Тогда для любых матриц A, B, C £ M будет выполняться равенство

(A * B) * C = (ApB)pC = Ap(BpC) = A * (B * C)

в силу ассоциативности умножения матриц. При этом все ранее существовавшие произведения останутся неизменными, а не существовавшие в M произведения примут ненулевые значения. Следовательно, частичную полугруппу ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы можно продолжить без добавления элемента. □

Назовем стандартным способ продолжения операции на Ж°(G, I, Л, P) \ {0}, описанный в предложении 2. Заметим, что стандартных продолжений может быть много. Любое другое продолжение частичной полугруппы ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы назовем нестандартным.

Лемма 3. Пусть S = ^#0(G, I, Л, P) — вполне 0-простая полугруппа, M = S \ {0} — частичная полугруппа ненулевых элементов. Если (M, *) — продолжение частичной операции ■ на M, (M, *) — вполне простая полугруппа и Ж,- и Jzf-классы в (M, ■) и (M, *) одни и те же, то продолжение * стандартное.

Доказательство. Всякая вполне 0-простая полугруппа, очевидно, удовлетворяет следующему условию: для любых a,b,c из ab = c =0 следует, что с°Ла, и cJfb. Для вполне простой полугруппы условие упрощается: для любых a, b, c из ab = c следует, что cMa и cJfb. Рассмотрим произвольные i £ I и ц £ Л. Так как ii?- и Jzf-классы в (M, ■) и (M, *) одни и те же и (M, *) вполне проста, то элемент (e)iA * (ej лежит в том же ^-классе, что (e)iA, и в том же Jzf-классе, что (ej. Следовательно, (e)iA * (ej = (g)iM при некотором g £ G. Если p\j = 0, то g = p\j; в случае, когда (e)i\ * (ej = (g)iM и p\j = 0, положим

ръ = g.

Пусть a,b £ G и p\j = 0. Найдем такие v £ Л и k £ I, что pvi = 0 и pMk = 0.

Имеем (a)iA * (bj = ((a.p-/)iv ■ (eb) * ((ej ■ (P-fcb)= (aP-i1)iv * (e)iA *

(e)jM * (P-fcb) = (aP-1) iv * ((e)iA * (ej ) * (P-fc) = (aP-1) iv ■ (pAi)iM ■ (P-fcb) =

(aP-iVv^Aj PMkP-k1b) iM = (apAj b)iM.

Таким образом, продолжение * стандартно: (M, *) = ,M(G, I, Л, P'), где _ f PAi, PAi = 0, n 1 PAi, PAi = 0.

Замечание 4. Пусть |I| < то или |Л| < то. Ниже будет доказано (см. предложение 7), что в этом случае полугруппа вполне проста, поэтому для утверждения о том, что продолжение * стандартно, достаточно требовать сохранения fi1- и Jzf-классов.

Пусть S = Ж°(G, I, Л, P) — вполне 0-простая полугруппа. Тогда Ri = {(g)iA | g £ G, А £ Л}, LA = {(g)iA | g £ G, i £ I} — ненулевые fif и Jzf-классы.

Теорема 5. Пусть S = ^#0(G,I^,P) — вполне 0-простая полугруппа, M = S \ {0} — частичная полугруппа ненулевых элементов из S. Если * — полная ассоциативная операция, продолжающая частичную операцию ■ на M, то Ж,-, Jzf - и Ж-классы полугруппы (M, *) являются объединениями соответственно &-, Ж-, Ж-классов полугруппы S, причем если R и R' — Ж-классы полугруппы (M, *), R = У Ri, R' = У Ri, где Ri — Ж-классы полугруппы S,

iG/i iE/{

то между множествами I1 и I' существует взаимно однозначное соответствие. Аналогичное утверждение имеет место для Ж-классов.

Доказательство. Тот факт, что при продолжении операции ненулевые классы отношений Грина могут лишь увеличиваться, очевиден. Поэтому fi1-, Jzf-, ^-классы в (M, *) являются объединениями классов (S, ■). Выберем какие-либо индексы i1 £ I1, i'1 £ I[, А £ Л и элементы a £ Rii П La, a' £ Ri' П La. Для

каждого i £ I1 возьмем элемент ai £ Ri П La. Так как a, ai £ R, существует элемент si £ M такой, что a * si = ai. Так как a, a' £ La, то a' = ua, a = va'

при некоторых u, v £ S. Положим a'i = uai для каждого i £ I\. Так как vai = vuai = vua * si = a * si = ai, то a!i £ L\. Пусть a!i £ Rj при некотором j £ I. Так как a!i £ R, то j £ I[. Таким образом, имеем отображение i ^ j, I\ ^ I[. Осталось проверить, что отображение i ^ j взаимно однозначно. Пусть i,k £ I\ и ua-i,uak £ Rj при некотором j. Так как vu = 0 и uai = 0, то vua-i = 0. Аналогично vuak = 0. Таким образом, (vuai,vuak) £ Мs, т. е. (ai,a^) £ Ms, поэтому i = k. Этим доказано, что отображение i ^ j инъективно. Возьмем теперь любое j £ I[ и элемент b £ Rj П L\. Так как отображения x ^ ux, y ^ vy являются взаимно однозначными и взаимно обратными соответствиями между классами R и R', сохраняющими Jzf-классы, то vb £ Ri П L\ для некоторого i £ I\. Так как u ■ vb = b £ Rj П L\, то i ^ j. Этим доказана сюръективность отображения i ^ j. Теорема доказана. □

Естественно возникают следующие 2 вопроса:

1) для всякого ли продолжения частичной операции на M = ^°(G, I, A, P)\ {0} полугруппа будет вполне простой;

2) всякое ли продолжение стандартно?

Мы увидим, что на оба вопроса в общем случае ответ отрицательный. Тем не менее, в некоторых важных частных случаях ответы положительные.

Предложение 6. При любом ассоциативном продолжении * полугруппа (M, *) проста.

Доказательство. Пусть a, b £ M. Так как S = M U {0} — 0-простая полугруппа и a, b = 0, то b £ SaS и a £ SbS. Следовательно, b = xay, a = ubv при некоторых x, y, u, v £ S. Так как a, b = 0, то b = x * a * y, a = u * b * v. Следовательно, (M, *) — простая полугруппа. □

Предложение 7. Если |I| < ж или | A| < ж, то при любом ассоциативном продолжении операции на M полугруппа (M, *) вполне проста.

Доказательство. Из предложения 6 знаем, что (M, *) — простая полугруппа. Пусть |I| < ж (случай |A| < ж рассматривается аналогично). Тогда полугруппа S = M U {0} имеет лишь конечное число ^-классов. Ранее отмечали, что ^-классы полугруппы (M, *) являются объединением ненулевых ii?-классов полугруппы S. Следовательно, полугруппа (M, *) также имеет лишь конечное число ^-классов. Так как в одном ^-классе идемпотенты попарно не сравнимы (в смысле естественного порядка), то (M, *) не имеет бесконечно убывающих последовательностей идемпотентов. Отсюда следует, что в (M, *) есть примитивный идемпотент. Наконец, так как (M, *) проста и имеет примитивный идемпотент, то (M, *) вполне проста. □

Следующее утверждение касается вполне 0-простых полугрупп S = Ж0(G,

l, A, P) с конечным числом ^-классов. Положим m = |I|, n = |A|. При этом

m, n < ж, а группа G может быть бесконечной. Сэндвич-матрица P имеет размер n х m. Пусть заданы разбиения множеств I и A: I = U Ia, A = U Je.

aeA уев

Тогда имеем разбиение матрицы P на подматрицы Pap = HpA^Uej ,ieia ■ Разбиение будем называть нетривиальным, если не все подматрицы имеют размер 1 х 1. Предложение 8 дает необходимое условие наличия нестандартного продолжения частичной операции на ^#0(G, I, Л, P) \ {0}. Напомним, что обязательным требованием к матрице P является существование в каждой строке и каждом столбце ненулевого элемента.

Предложение 8. Пусть S = Ж0(G, I, Л, P) — вполне 0-простая полугруппа, M = S \{0} — частичная полугруппа ее ненулевых элементов, и пусть I и Л конечны. Если частичная операция на M имеет нестандартное продолжение до полной ассоциативной операции, то матрица P имеет нетривиальное разбиение на подматрицы одного размера такое, что каждая подматрица содержит не более одного ненулевого элемента.

Доказательство. Если есть нестандартное продолжение *, то ввиду теоремы 5 ^-классы полученной полугруппы будут являться объединениями некоторых ненулевых ^-классов полугруппы S, и то же имеет место для Jzf-классов, причем количество ^-классов полугруппы S, входящих в один i^-класс полугруппы (M, *), одно и то же, и аналогичное верно для Jzf-классов. По лемме 3 ^?-и Jzf-классы полугруппы (M, •) не совпадают с ^- или Jzf-классами полугруппы (M, *). Так как |I|, |Л| < ж, ввиду предложения 7 (M, *) — вполне простая полугруппа. Поэтому имеем нетривиальное разбиение матрицы P на подматрицы одного размера. Если в одной подматрице будет более одного ненулевого элемента, то соответствующий ^-класс будет содержать более одного идемпотен-та, что невозможно (хорошо известно, что ^-класс, содержащий идемпотент, является группой, а в группе ровно один идемпотент.) □

Замечание 9. Предложение 8 позволяет устанавливать несуществование других продолжений (за исключением стандартных). Например, конечная вполне 0-простая полугруппа с матрицей P, у которой на диагонали стоят нули, а остальные элементы ненулевые, не имеет нестандартных продолжений.

Приведем пример нестандартного продолжения.

Пример 1. Пусть S = ^#0(G, {1, 2}, {1, 2},P) — вполне 0-простая полугруппа. Будем считать, что G — произвольная группа, а сэндвич-матрица P

что рассматриваемый пример является минимальным по размерам сэндвич-матрицы, допускающей разбиение на подматрицы, удовлетворяющее требованиям предложения 8.

Элементы частичной полугруппы M = S \ {0} имеют вид (g)j, где g £ G, i, j < 2. Разбиению матрицы P на подматрицы, как показано в табл. 2, соответствует в S объединение ^-классов R1 и R2 в один i^-класс; покажем, что это может быть сделано.

имеет вид

Так как S вполне 0-проста, то p1, p2 = 0. Ясно,

Ввиду леммы 3.6 из [5]

Таким образом,

Таблица 2. Разбиение матрицы P на подматрицы

Pi 0

0 Р2

в частичной полугруппе M имеем

(g)iA • (h)j>

(gh)iM,

не существует,

если Л = j, если Л = j.

Очевидно, что S = AUBUCUD, где A = {(g)u | g G G}, B = {(g)i2 | g G G}, C = {(g)2i | g G G}, D = {(g)22 | g G G}. Множества A, B, C, D — в точности ненулевые ^-классы полугруппы S. Умножение в M этих множеств можно расположить в табл. 3.

Таблица 3. Умножение в M множеств

А В С D

А А B - -

В - - A B

С С D - -

D - - C D

Продолжим операцию • в M до операции * согласно правилам (g)i1 * (h)2j = (g)i2 * (h)ij = (gh)3-l,j. Это умножение соответствует табл. 4.

Таблица 4. Продолженное умножение в M множеств

А В С D

А А B C D

В С D A B

С С D A B

D A B C D

Полугруппа (M, *) является правой группой. Здесь AUC и BUD — группы, изоморфные группе G х Z2. Если Z2 = {0,1} с операцией сложения по модулю 2, то (g)ii ^ (g, 0), (g)2i ^ (g, 1) — изоморфизм AU C с G х Z2, а (g)2i ^ (g, 1), (g)22 ^ (g, 0) — изоморфизм B U D с G х Z2. Очевидно, что продолжение * является нестандартным.

Не всегда продолжение частичной полугруппы ненулевых элементов вполне 0-простой полугруппы определяет вполне простую полугруппу. Следующий пример является одним из таких.

Пример 2. Пусть I M = ^T°(G,I,A,P), M

Л = {0,1,2,...}, G = {e}, ра* =

S \ {0}. Продолжим частичное умножение на S

е, при Л = i, 0, при Л = i,

следующим образом: (e)j * (е)ы = (e)i+k-minjj,k),j+i-minjj,k). Нетрудно проверить, что прежние соотношения (e)j • (e)jm = (e)im остаются выполненными. Полугруппа (M, *), полученная продолжением частичной операции на M, изоморфна бициклической полугруппе (см. [5, § 1.12]). Она не является вполне простой, так как имеет сравнимые идемпотенты (e)n > (e)22 > (e)33 > ....

3. Необходимые и достаточные условия продолжаемости (Zn \ {0}, •)

Для полугруппы (Zn, •), как нетрудно проверить, ^-классы образуют решетку, изоморфную решетке делителей числа n (или, что то же самое, прямому произведению конечного числа конечных цепей). Если n четно, то одноэлементный минимальный ненулевой ^-класс — это J{y).

Следующая теорема дает полный ответ на вопрос о продолжаемости операции в частичной полугруппе S = (Zn \ {0}, •).

Теорема 10. Пусть S = (Zn \ {0}, •) — частичная мультипликативная полугруппа вычетов. Частичная операция на S продолжается до полной ассоциативной операции в том и только том случае, если выполнено одно из следующих условий:

(1) n четно;

(2) n = pk, где k G N, а p — нечетное простое число.

Доказательство. Необходимость. Пусть операция на S продолжается, но не выполнено ни (1), ни (2). Тогда n можно представить в виде n = uv, где u, v — нечетные числа, u,v > 1 и (u, v) = 1.

Продолжение операции • умножения по модулю n будем обозначать через

*. Очевидно, что x * y = xy, если xy /n.

Обозначим a = u * v. Докажем, что a. u или a. v. Пусть a /u и a / v.

Тогда a(u + 1) / uv (иначе a. u). Отсюда получаем: a • (u + 1) = a * (u +1) =

(u * v) * (u + 1) = u * (v * (u + 1)) = u * (v • (u + 1)) = u * v = a. Таким образом,

(u + 1)a = a, откуда ua = 0, а значит, a . v; противоречие тому, что a /u и a /v.

Итак, a . u или a . v. Далее будем считать, что a . u. Имеем a = uk. Положим d = (k, v). Тогда k = kid, v = vid для некоторых ki, vi таких, что (ki, vi) = 1. Заметим, что vi — нечетное. Докажем, что vi = 1. Действительно, если vi = 1,

то v = d и a = uk = ukid = ukiv . uv, что невозможно. Таким образом, vi > 3.

Найдем такое t, что t /vi, (u + t) /vi и t /u. Действительно, возьмем

t =1, если (u + 1) /vi, и t = 2, если (u + 1). vi. Проверим, что (u + t)a /uv.

Действительно, если (u + t)a. uv, то (u + t)ukid. uvid, поэтому (u + t)ki . vi. Так

как (ki, vi) = 1, то (u + t). vi. Но это противоречит выбору числа t. Проверим,

далее, что ta .uv. Действительно, если ta: uv, то tukid: uv\d, откуда tki : vi, а значит, t: vi; снова противоречие с выбором t.

Отметим, что поскольку (u + t)a /uv и ta /uv, выполняются a * (u +1) = a • (u + t) и a * t = a • t. Далее получаем

a(u + t) = a * (u + t) = (u * v) * (u + t) = u * (v * (u + t))

= u * (v • (u + t)) = u * (v • t) = u * (v * t) = (u * v) * t = at.

Итак, (u * t)a = ta. Следовательно, ua = 0. Это означает, что a:v. Так

как a: u и a: v, то a: uv, что невозможно. Следовательно, выполнено условие (1) либо условие (2).

Достаточность. Допустим, что выполняется условие (1), тогда полугруппа имеет два минимальных ненулевых ^-класса, один из которых состоит из одного элемента Тогда по предложению 1 операция в частичной полугруппе продолжается до полной ассоциативной операции.

Допустим, что выполняется условие (2). Пусть a = plx, b = pmy, где (x,p) = (y,p) = 1. Тогда определим операцию *, полагая a * b = ab = pl+mxy, если l + m < k, и a * b = pk-ixy, если l + m > k. Пусть a = plx, b = pmy, c = prz. Покажем ассоциативность данной операции:

1) l + m + r < k

(a * b) * c = pl+mxy * c = pl+m+rxyz,

2) l + m + r > k

(a) l + m < k, m + r < k

(a * b) * c = pl+mxy * c = pk-ixyz,

(b) l + m < k, m + r > k

(a * b) * c = pl+rnxy * c = pk-ixyz,

(c) l + m > k, m + r < k

(a * b) * c = pk-ixy * c = pk-ixyz,

(d) l + m > k, m + r > k

(a * b) * c = pk-ixy * c = pk-ixyz,

Таким образом, операция в частичной полной ассоциативной. □

a * (b * c) = a * pm+ryz = p1+m+rxyz;

a * (b * c) = a * pm+ryz = pk-ixyz;

a * (b * c) = a * pk-iyz = pk-ixyz;

a * (b * c) = a * pm+ryz = pk-ixyz;

a * (b * c) = a * pk-iyz = pk-ixyz. полугруппе может быть продолжена до

4. Частичная полугруппа ненулевых матриц над полем

Пусть S — множество ненулевых матриц размера 2 х 2 над полем F. Очевидно, что относительно обычного матричного умножения S — частичная полугруппа. Обозначим через M частичную полугруппу 2 х 2 матриц ранга 1. Нетрудно видеть, что M U {0} — вполне 0-простая полугруппа, поэтому частичная операция на M продолжается до полной ассоциативной операции. Верно ли это утверждение для частичной полугруппы S? Оказывается, что положительный ответ имеет место лишь для поля из двух элементов. Матрицы размера 2 х 2 будем рассматривать как линейные операторы a : F2 ^ F2,

(ж, у) ^ (ж, у) • ^ Y ^ ^ . Ядро ker a и образ im a определяются обычным образом: ker a = {v G F2 | va = 0}, im a = F2a.

Теорема 11. Частичная операция на полугруппе S всех ненулевых матриц размера 2 х 2 над полем F продолжается до полной ассоциативной операции в том и только том случае, если |F | = 2.

Доказательство. Для каждого одномерного подпространства K пространства F2 обозначим через Ьк какую-либо матрицу, для которой ker Ьк = im tk = K. Так как Ьк • Ьк = 0 в полугруппе всех матриц, произведение Ьк • Ьк не определено в S. Очевидно, Ьк — матрица ранга 1.

Докажем необходимость условия |F| = 2. Предположим, что операция умножения в S продолжается до полной ассоциативной операции *. Рассмотрим произведения Ьки *Ьк и Ьк * иЬк, где и — обратимая матрица. Пусть p G K\{0}, а q — такой вектор из F2 \ K, что qtк = р. Тогда p, q — базис пространства

F2 ив этом базисе матрица оператора Ьк имеет вид [Ьк ] = ^ 1 0 ^ (здесь

первая строчка — координаты вектора рЬк, вторая — вектора qtк). Оператор

а 0

и выберем так, чтобы его матрица в базисе р, q имела вид [и] а, д = 0. Тогда

в 7

где

[иЬк ] = [и][Ьк ]

[Ьк и] = [Ьк ][и] =

Отсюда видно, что

кег(Ьк и) = кег(иЬк) = ш(Ьк и) = т(иЬк) = K. Обозначая через е единичную матрицу, получим

Ьки * Ьк = (аЬк) * Ьк = ае • Ьк * Ьк = а(Ьк * Ьк)

Ьк * иЬк = Ьк * (дЬк) = Ьк * (Ьк • те) = (Ьк * Ьк) • де = д(Ьк * Ьк).

Следовательно, при а = д операция * неассоциативна. Если |F| > 2, то такие элементы а, д могут быть выбраны. Таким образом, для ассоциативности условие | F| = 2 необходимо.

Теперь докажем достаточность условия |F| = 2. Имеем F = {0,1} — поле из двух элементов. Положим tx * tx = tx для каждого одномерного подпространства K. Определим другие произведения a ■ b, которые ранее не были определены. Пусть a ■ b не определено. Это значит, что ab = 0, т. е. im a С ker b. Отсюда видно, что a, b £ M и im a = ker b = K, где K — некоторое одномерное подпространство пространства F2. Так как im a = im tx, то a = utx для некоторой матрицы u £ S. Так как ker b = ker tx, то b = tx v для некоторой матрицы v £ S. Теперь полагаем a * b = utx v. Это произведение действительно существует, так как im(utx) = K, а ker v = K ввиду существования произведения txv. Проверим корректность этого определения. Пусть a = u'tx, b = txv'. Тогда

utxv = utx ■ v = utx ■ v = u' ■ txv = u' ■ txv' = utxv'.

Заметим, что матрицы u и v могут быть выбраны из S \ M.

Пусть K — одномерное подпространство пространства F2, а g — обратимая матрица. Докажем, что g-1txg = Atx', где K' = Kg, а A £ F\{0}, поле F произвольное. Действительно, нетрудно проверить, что ker(g-1txg) = im(g-1txg) = K'. Пусть p £ K' \ {0}, а q — какой-либо вектор с условием qtx' = p. Тогда p, q — базис пространства F2 ив этом базисе имеем

[tx'] = (? 0), ig-1txgi=(A Л)

для некоторого A £ F \ {0}. Отсюда g-1txg = Atx'. Если |F| = 2, то A = 1, а значит, g-1txg = tx'.

Докажем ассоциативность операции

a ■ b, если a ■ b определено в S,

a * b = <

[ utxv, если a = utx, b = txv.

Пусть a, b, c £ S. Разберем ряд случаев.

Случай 1: b £ S \ M. В этом случае произведения ab и bc существуют при любых a, c. Разобьем этот случай на ряд других случаев.

Случай 1.1: ab ■ c существует. Тогда, так как S — частичная полугруппа, a ■ bc тоже существует и ab ■ c = a ■ bc.

Случай 1.2: ab ■ c не существует. Тогда a ■bc тоже не существует. Очевидно, a, c £ M. Следовательно, im a = ker(bc) и im(ab) = ker c. Обозначим K = im a, K' = ker c. Очевидно, K и K' — одномерные подпространства и Kb = K'. Так как im a = K, то a = utx при некотором u £ S \ M. Так как ker c = K', то c = tx'v при некотором v £ S \ M. Так как ker(b-1txb) = im(b-1txb) = K', согласно сделанному ранее замечанию b-1txb = tx'. Теперь получаем

(a * b) * c = ab * c = utxb * c = (ub ■ b-1txb) * tx' v = ubtx' * tx'v = ubtx'v,

a * (b * c) = a * bc = utx * btx'v = utx * (btx' b-1 ■ bv)

= utx * tx bv = utx bv = ub ■ b-1tx b ■ v = ubtx' v.

Таким образом, (a * b) * c = a * (b * c).

Случай 2: b £ M. Разберем ряд случаев, возникающих внутри этого случая.

Случай 2.1: произведения ab и bc существуют. Так как b £ M, то im(ab) = im b = ker c, поэтому произведение ab ■ c существует. Но тогда произведение a ■ bc также существует и (ab)c = a(bc), т. е. (a * b) * c = a * (b * c).

Случай 2.2: произведение ab существует, а bc нет. Тогда imb = kerc. Имеем b = gtK, c = Ikv, где g, v — обратимые матрицы. Далее получаем

(a * b) * c = ab * c = agtK * tKv = agtKv, a * (b * c) = a * (gtK * tKv) = a * gtKv = agtKv.

Случай 2.3: произведение ab не существует, а bc существует. Этот случай разбирается аналогично предыдущему.

Случай 2.4: произведения ab и bc не существуют. Тогда im a = ker b = K, im b = ker c = K7. Имеем

a = utK, b = tK v = u7tK', c = tK' v7;

(a * b) * c = utKv * tK'v7 = uu'tK' * tK'v7 = uu'tK'v'

a * (b * c) = utK * u'tK'v' = utK * tKvv7 = utKvv7 = uu'tK'v7.

Таким образом, (a * b) * c = a * (b * c). □

Замечание 12. Оказывается, что продолжение частичной операции на частичной полугруппе S из теоремы 11 единственно.

Матрицы ранга 1 вместе с нулевой матрицей образуют полугруппу M U {0}, которая вполне 0-проста, содержит 9 + 1 элементов и, как будет видно из дальнейшего, изоморфна рисовской матричной полугруппе Ж0(G,/,A,P) над

/0 e e \

группой с нулем {0, e}, с сэндвич-матрицей P = I e 0 e I . Действительно,

\e e 0/

имеется ровно три одномерных подпространства пространства (Z2)2: это Ki = {(0,0), (0,1)}, K2 = {(0,0), (1,0)}, Кз = {(0, 0), (1,1)}.

и

Для любых i,j £ {1, 2, 3} есть ровно одна матрица ранга 1, у которой ядро равно Ki, а образ равен Kj. Изобразим это в табл. 5, где элементы в строке имеют одинаковые образы, а элементы в столбце — одинаковые ядра.

Замена диагональных элементов 0 элементом e определяет естественным образом продолжение частичной операции на M. Так как множество M конечно, ввиду предложения 7 любое ассоциативное продолжение * частичной операции на M будет давать вполне простую полугруппу. Ненулевые ^- и Jzf-классы полугруппы MU{0} будут совпадать с соответствующими классами полугруппы

Таблица 5. Строение частичной полугруппы матриц ранга 1

im

Ki K2 K3

Ki

ker K2

K3

0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1

1 0 0 0

0 0

1 0 1 0 1 0

1 1 0 0

0 0

1 1 1 1 1 1

(M, *), поскольку два ^-класса «склеиться» в один не могут по теореме 5, а если «склеиваются» все три ^-класса, то какой-либо з^-класс будет содержать два идемпотента, что невозможно, так как з^-класс, содержащий идемпотент, является группой (см. лемму 2.15 из [5]). Неопределенными в M являются произведения (e)a ■ (e)u (i = 1, 2, 3). Но поскольку i?- и Jzf-классы в (M, ■) и (M, *) одни и те же, то (e)^ * (e)^ = (e)^. В обозначениях теоремы 11 это означает, что мы обязаны определить tx * tx = tx. Отсюда видно, что ассоциативное умножение * распространяется на все множество S однозначно.

Достаточность в теореме 11 первоначально была установлена с помощью компьютера. А именно, было установлено, что частичная операция на частичной полугруппе ненулевых (2 х 2)-матриц над полем Z2 = {0,1} продолжается, причем однозначно, до полной ассоциативной операции. Результаты компьютерных вычислений приведены в табл. 6 и 7, где

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

0 0 0 1

0 0 1 0

9 =

0 0 1 1

10

0 1 0 0

11

1 0 0 0

12

1 1

0 0

13

0 1 0 1

14

1 0 1 0

15

1 1 1 1

ЛИТЕРАТУРА

1

2

3

4

5

6

7

8

1. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Частичные алгебраические действия. С-Пб.: Образование, 1991.

2. Ляпин Е. С. О внутреннем продолжении частичных действий до полных ассоциативных // Изв. вузов. Математика. 1982. №7. C. 40—44.

3. Розен В. В. Частичные операции в упорядоченных множествах. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1973.

4. Петриков А. О. Частичные полугруппы и отношения Грина // Электрон. информ. системы. 2014. №3. С. 65-72.

Таблица 6. Частичная полугруппа ненулевых (2 х 2)-матриц над полем Z2 = {0,1}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 2 1 5 6 3 4 10 11 12 7 8 9 13 14 15

3 3 4 6 5 2 1 13 14 15 7 8 9 10 11 12

4 4 3 2 1 6 5 7 8 9 13 14 15 10 11 12

5 5 6 4 3 1 2 13 14 15 10 11 12 7 8 9

6 6 5 1 2 4 3 10 11 12 13 14 15 7 8 9

7 7 8 9 9 7 8 7 8 9 - - - 7 8 9

8 8 7 7 8 9 9 - - - 7 8 9 7 8 9

9 9 9 8 7 8 7 7 8 9 7 8 9 - - -

10 10 11 12 12 10 11 10 11 12 - - - 10 11 12

11 11 10 10 11 12 12 - - - 10 11 12 10 11 12

12 12 12 11 10 11 10 10 11 12 10 11 12 - - -

13 13 14 15 15 13 14 13 14 15 - - - 13 14 15

14 14 13 13 14 15 15 - - - 13 14 15 13 14 15

15 15 15 14 13 14 13 13 14 15 13 14 15 - - -

Таблица 7. Продолжение частичной полугруппы ненулевых (2 х 2)-матриц над полем Z2 = {0, 1}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 2 1 5 6 3 4 10 11 12 7 8 9 13 14 15

3 3 4 6 5 2 1 13 14 15 7 8 9 10 11 12

4 4 3 2 1 6 5 7 8 9 13 14 15 10 11 12

5 5 6 4 3 1 2 13 14 15 10 11 12 7 8 9

6 6 5 1 2 4 3 10 11 12 13 14 15 7 8 9

7 7 8 9 9 7 8 7 8 9 7 8 9 7 8 9

8 8 7 7 8 9 9 7 8 9 7 8 9 7 8 9

9 9 9 8 7 8 7 7 8 9 7 8 9 7 8 9

10 10 11 12 12 10 11 10 11 12 10 11 12 10 11 12

11 11 10 10 11 12 12 10 11 12 10 11 12 10 11 12

12 12 12 11 10 11 10 10 11 12 10 11 12 10 11 12

13 13 14 15 15 13 14 13 14 15 13 14 15 13 14 15

14 14 13 13 14 15 15 13 14 15 13 14 15 13 14 15

15 15 15 14 13 14 13 13 14 15 13 14 15 13 14 15

5. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972.

Статья поступила 15 ноября 2016 г., окончательный вариант — 12 апреля 2017 г.

Петриков Александр Олегович Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники», пл. Шокина, 1, Зеленоград 124498 [email protected]

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2017. Том 24, № 2

UDC 512.53

INNER EXTENSIONS OF PARTIAL OPERATIONS ON A PARTIAL SEMIGROUP A. O. Petrikov

Abstract: We analyse inner extensions of partial operations on a partial semigroup. The problem of extension of a partial operation internally to a full one with preservation of associativity is studied. The possibilities of continuing a partial operation on a partial semigroup of non-zero elements of a completely 0-simple semigroup by standard and non-standard methods are considered. A negative answer is obtained in relation to the question about whether any extension of a partial operation on a partial semigroup of non-zero elements is a completely simple semigroup, and whether any extension is standard. However, in certain cases the answers are positive. The article deduces the necessary and sufficient conditions of extendibility of a partial operation on a semigroup of residue modulo n, and also of a partial operation on a semigroup of non-zero elements of (2 x 2)-matrices over the field. The uniqueness of the extension of a partial operation on the semigroup of non-zero (2 x 2)-matrices over a field is shown.

DOI 10.25587/SVFU.2017.2.9244

Keywords: inner extension, partial semigroup, completely 0-simple semigroup, semigroup of residue modulo n.

REFERENCES

1. Lyapin E. S. and Evseev A. E., Partial Algebraic Actions, Obrazovanie, St. Petersburg (1991).

2. Lyapin E. S. “On the internal continuation of partial actions to complete associative,” Izv. vuzov, Mat., No. 7, 40-44 (1982).

3. Rozen V. V., Partial Operations in Ordered Sets, Izd. Saratov. Univ., Saratov (1973).

4. Petrikov A. O. “Partial semigroups and Green’s relations,” Electron. Inform. Syst., No. 3, 65-72 (2014).

5. Clifford A. and Preston Gh., Algebraic Theory of Semigroups, Mir, Moscow (1972).

Submitted November 15, 2016, Revised version April 12, 2017 Alexander O. Petrikov

National Research University of Electronic Technology,

1 Shokin Square, Zelenograd 124498, Russian Federation [email protected]

© 2017 A. O. Petrikov