CC BY
0О МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ И ИХ
СВОЙСТВ
Хайитмурадов Ш.С.1, Останов К.2, Олимов А.3
1Хайитмурадов Шерзод Сагдуллаевич - преподаватель, кафедра методики точных и естественных наук, Национальный центр подготовки новым методикам педагогов Самаркандской области; 2Останов Курбон -доцент, кандидат педагогических наук, кафедра теории вероятностей и прикладной математики;
3Олимов Агабек- студент, математический факультет, Самаркандский государственный университет имени Шарафа Рашидова; г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: рассматриваются вопросы методики изучения биномиальных коэффициентов и их свойств. Кроме того, рассмотрены бином Ньютона, понятие биномиальных коэффициентов, доказательства их свойств уроках математики. В 1767 году Ньютон доказал биномиальную формулу Ньютона для дробных чисел п. А.К. Маклорен использовал эту формулу для рациональных показателей степени. Наконец, в 1825 году Н. Абель доказал биномиальную теорему для любых комплексных значений показателя. Их также называют биномиальными коэффициентами. В этом случае определение дается в зависимости от расположения этих коэффициентов в формуле бинома Ньютона. Приведены некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые напрямую связаны с группировками и, естественно, также представляют свойства треугольника Паскаля.
Ключевые слова: биномиальные коэффициенты, бином Ньютона, треугольник Паскаля, полиномиальные коэффициенты, группировки, урок математики.
УДК 372.851
1. Бином Ньютона. Вспомним следующие две формулы сокращенного умножения из школьного курса математики:
(а + Ь)2 = а2 + 2ab + Ь2-квадрат суммы; (а + Ь)3 = а3 + 3a2b + 3аЪ2 + а3 — куб суммы;
Вычисляем следующие два, а именно 4-й и 5-й степеней суммы:
(а + Ъ)4 = (а + Ь)(а + Ъ)3 = (а + b)(a3 + 3а2Ъ + 3аЪ2 + а3) = а4 + 4а3Ъ + 6а2Ь2 + 4аЪ3 + Ъ4 (а + Ъ)5 = (а + Ъ)(а + Ъ)4 = а5 + 5а4Ь + 10а3Ь2 + 10а2Ь3 + Sab4 + Ъ5
Таким образом, биквадрат (т.е. четвертая степень) суммы
(а + Ъ)4 = а4 + 4а3Ъ + 6а2Ъ2 + 4аЪ3 + Ъ4
и пятая степень суммы
(а + Ь)5 = а5 + 5а4Ь + 10а3Ь2 + 10а2Ь3 + Sab4 + b5
Нетрудно заметить, что полиномиальные коэффициенты в правых частях формул упомянутых сумм квадрата, куба, биквадрата и пятой степени представляют собой числа С™ (п = 2,3,4,5) в соответствующих рядах треугольника Паскаля.
2.Биномиальные коэффициенты. Теорема 1. Для всех действительных чисел a и b и натуральных чисел n справедлива формула
(а + b)n = ап + С1ап-1Ь + С2ап-2Ь2 + - + C£-1abn-1 + Ъп
Доказательство. Используем метод математической индукции. Основание: при n=1 формула верна: (а + Ъ)1 = а + Ъ.
Индуктивный переход: пусть доказываемая формула верна для n = k, т.е.
(а + b)k =ak + Clak-1b + C^ak-2b2 + - + c£-1 abk-1 + bk.
Докажем, что формула верна и при n=k+1. Действительно, используя формулу = С™ + С™+1
получаем:
(а + b)k+1 =(а + b)(a + b)k = (а + b)(ak + C^ak-1b + C2ak-2b2 + -+ с£-1а bk-1 + bk)
= ak+1 + Cf,akb + C2 ak-1b2 + -+ C^a bk + C0akb + C^ak-1 b2+.. +Cj^-1abk + bk+1 = ak+1 + (C0 + ф akb + (C1 + C2)ak-1b2 + - + (СЦ-1 + сЦ)аЬк + bk+1 = ak+1 + C1+1akb + Cj*+1 ak-1b2 + - + СЦ+1а bk + bk+1.
Полиномиальное разложение (представление) выражения (а + Ь)"для произвольных действительных чисел a и b и натурального числа n называется биномом Ньютона. Вообще, если к словосочетанию «бином Ньютона» подойти с критической точки зрения, возникают сомнения относительно обоих слов в нем: во-первых, выражение (а + Ь)пне является биномом (т.е. биномом) для натуральных чисел n больше единицы; во-вторых, распространение этого выражения на натуральные числа было известно еще до Ньютона.
Греки знали линейное разложение выражения (а + Ь)"только тогда, когда n=2 (то есть формулу суммы квадратов). Умар Хайям и Али Кушчи смогли обобщить выражение (а + Ь)пдля натуральных чисел с n>2. В 1767 году Ньютон доказал биномиальную формулу Ньютона для дробных чисел n. А К. Маклорен
использовал эту формулу для рациональных показателей степени. Наконец, в 1825 году Н. Абель доказал биномиальную теорему для любых комплексных значений показателя. Их также называют биномиальными коэффициентами и обоначают С™. В этом случае определение дается в зависимости от расположения этих коэффициентов в формуле бинома Ньютона. Число С™ есть коэффициент выражения ап-тЬт в разложении (а + Ъ)п = Т1?п=0С™ап-тЬт.
Теорема 2. Для всех действительных чисел а и Ь и натуральных чисел п справедлива формула
(a-b)n = ^(-1)mQ
Доказательство. Если мы заменим b на (-b) в биномиальной формуле Ньютона, мы получим искомую формулу.
Пример 1. Следующие формулы сокращенного умножения выведены, в частности, из последней формулы:
формула квадрата разности при n=2
(а - Ъ)2 = а2 - 2аЪ + Ъ2;
формула куба разности при n=3
(а - bf = а3 - 3а2Ь + ЪаЬ1 -ЬЪ.
Свойства биномиальных коэффициентов. Приведем некоторые свойства биномиальных коэффициентов. Эти свойства напрямую связаны с группировками и, естественно, также представляют свойства треугольника Паскаля.
Свойство 1. Справедливо равенство
4-1
■ = ™ (т = 0,1,2.....п-1)
-m-L-!v »»»» у
С}{1 т+1
Действительно,
_п!_
Сп+1 (т + 1)\(п-т-1)\ т\(п-т)\
С™ п\ (т + 1)\(п-т-1)\
т\ (п — т)\
т\(п — т — 1)\(п — т) п — т
т\ (т + 1)(п — т — 1)\ т + 1' Это свойство показывает, что любые два последовательных элемента в ряду биномиальных коэффициентов можно легко вычислить, если один из них известен:
п — т т+1
рт+1 _ _рт рт _ _рт+1
где т=0,1,2,...,п-1.
Свойство 2. Для произвольного натурального числа п сумма всех биномиальных коэффициентов С™ (т = 0, п) равна 2п, т.е.
Сп + Сп + Сп + • • • + Сп + Сп 2 Это равенство можно получить путем принятия а=Ь=1 в биномиальной формуле Ньютона. Свойство 3. Сумма нечетных биномиальных коэффициентов равна сумме четных биномиальных коэффициентов.
Действительно, в биномиальной формуле Ньютона при а=1 и Ь=-1 получим равенство
0 = С0-С1 + С2 — С3 +... + (—1)пс% Из этого равенства следует, что утверждение свойства истинно. На основе свойств 2 и 3 создаем следующее свойство.
Свойство 4. Для наибольшего нечетного числа т, не превосходящего натуральное число п
С1 + С3 + ... + С? = 2п-1
и для наибольшего четного числа т, не превосходящего натуральное число п
гчп _ пп—1
^п = 2
Свойство 5. Для нечетного числа п справедливы следующие соотношения
п-1 п-1 ^ п-1 ^ п-1 I ^
Г° < Г1 < ... < Г~ = Г~+ Г~+ > Г~+ > ... > гп
а для четного числа п
п п п+±
г0 < г1 < .•• < с2 с2 > с2 > .•• > сп
^ ^ ^ ип' п п п'
Свойство 5 биномиальных коэффициентов является подтверждением указанного выше свойства
треугольника Паскаля, согласно которому биномиальные коэффициенты сначала растут от С° = 1до а затем уменьшаются до С™ =1, и когда п нечетно, два средних члена ряда биномиальных коэффициентов равны, а когда п четно, средний член является самым большим и единственным [1]. Справедливы следующие свойства 6-8: Свойство 6. С + СЦ+1 + .•• + С£+к =СЦ:1+1. Свойство 7. (С0)2 + (ф2 + .■■+ (Сп)2=С2П.
П
т=и
п
Свойство 8. СпСт + СпСт + ••• + СпСт Сп+т. Последнее равенство называется тождеством Коши.
Пример 2. Конечное множество А имеет элементы из 2А и биномиальные коэффициенты от числа этих элементов. Эту связь можно выразить следующим образом. Поскольку конечное множество А равно 2А и его элементы состоят из подмножеств множества А, эти подмножества можно разделить на (|А|+1) группы в соответствии с их мощностями. Понятно, что здесь числовая группа к (^ = 0, состоит из всех подмножеств мощности, равной к, а количество подмножеств в ней равно С^. Учитывая это соображение, получаем другое доказательство теоремы 1, используя свойство 2.[3],[4].
Биномиальные коэффициенты можно записать в форме треугольника Паскаля бесконечной треугольной таблицы, в п-й строке которой стоят числа С0, С^,... ? С£, причем строки таблицы сдвинуты таким образом, что каждое число п-й строки в соответствии с формулой равно сумме двух ближайших к нему чисел (п - 1)-й строки. Первые 11 строк (от нулевой до десятой) треугольника Паскаля показаны на рис. 1.
1 10 45 120 200 252 200 120 45 10 1
Биномиальные коэффициенты обладают рядом удивительных арифметических свойств. Подсчитаем, например, сколько нечетных чисел имеется в каждой строке треугольника Паскаля. Мы получим последовательность чисел 1, 2, 2, 4, 2, 4, 4, 8, 2, 4, . . . Сразу трудно угадать общий закон для членов этой последовательности. Однако видно, что все выписанные числа являются степенями двойки! Можно доказать, что число нечетных чисел в каждой строке действительно является степенью двойки [2].
Список литературы
1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М.: "Наука". - М., 1969 г.
2. Винберг Э. Б. Удивительные свойства биномиальных коэффициентов // Мат. Просвещение. Третья серия. Вып. 12. Изд.-во МЦНМО. 2008.
3. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. Основания информатики. М.: Мир, 1998.
4. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Изд.-во «Мир», 1990. 440 с.
