СВОЙСТВА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

СВОЙСТВА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

Неъмат Сафоевич Мустафоев

Старший преподаватель кафедры «Высшая математика» Бухарского инженерно-

технологического института mamatov. tulkin@mail. ru

АННОТАЦИЯ

Биномиальные коэффициенты

V k У

они имеют необычно большое количество

применений и, безусловно, являются одним из наиболее важных комбинаторных терминов. Их важнейшее свойство изложено в теореме о степени биномиальности, то есть в так называемой. Биномиальная формула. Биномиальная формула и расположение треугольника биномиальные коэффициенты обычно связаны с Блезом Паскалем (Blaise Pascal), который описал их в 17 веке. Однако они также были известны китайскому математику ар Чан Хуэю (Yang Hui) в 13 году персидские математики ар Омар Хаджам (Омар Хайям) в 11 веке.

Ключевые слова: биномиальные коэффициенты, полиномиальные коэффициенты.

PROPERTIES OF BINOMIAL COEFFICIENTS

Ne'mat Safoevich Mustafoev

Senior Lecturer of the Department of Higher Mathematics, Bukhara Engineering

Technological Institute mamatov. tulkin@mail. ru

ABSTRACT

Binomial coefficients have an unusually large number of uses and are certainly one of the most important combinatorial terms. Their most important property is stated in the theorem on the degree of binomiality, that is, in the so-called. Binomial formula. Binomial Formula and Triangle Arrangement Binomial coefficients are commonly associated with Blaise Pascal, who described them in the 17th century. However, they were also known to the Chinese mathematician ar Chang Hui in the 13th century Persian mathematicians ar Omar Hajam (Omar Khayyam) in the 11th century.

Keywords: binomial coefficients, polynomial coefficients.

ВВЕДЕНИЕ

Биномиальная теорема является теоремой элементарной алгебры и описывает коэффициенты степени биномы, когда она представлена в развернутом виде. Коэффициенты, возникающие при биномиальном развитии, называются биномиальными коэффициентами. Они идентичны числам, которые появляются в треугольнике Паскаля. Эти числа можно вычислить с помощью простой формулы, в которой используется факториал. Те же коэффициенты встречаются

и в комбинаторной, где выражение xn~kyk равно числу различных комбинаций к-

элементов, выбранных из набора из n членов.

Как раздел математики, комбинаторика более подробно преподается в средних школах. В рамках этого материала мы изучаем биномиальные коэффициенты, которые необходимы для продолжения изучения основных принципов комбинаторного подсчета (вариации, перестановки и комбинации). Поэтому применение коэффициентов биномов широко распространено и, как было показано, обладает целым рядом свойств.

В дополнение к биномиальным коэффициентам, которые относятся к определенному типу чисел, существует множество различных чисел, которые могут быть классифицированы в группу по некоторым общим свойствам. Так, например, с самого раннего знакомства с математикой мы узнаем, что для четных и нечетных чисел квадраты и кубы чисел также являются одной особой категорией чисел. Помимо этих более простых чисел, существуют некоторые более сложные типы чисел, такие как Фибоначчи, Каталан, Мерсен, гармоника, Бернулли и другие числа.

Чтобы продолжить примеры, в которых используется идея испарителя, мы должны сначала напомнить себе некоторые важные вещи о биномиальных коэффициентах и вспомнить некоторые тождества, которые мы докажем комбинаторными, а не стандартными алгебраическими доказательствами. Кроме того, чтобы проиллюстрировать комбинаторное доказательство красоты, мы сделаем больше примеров, чем нам нужно, чтобы дать текст. Определение. Пусть n - натуральное целое число, а к-неотрицательное целое число. Мы

V k У

определяем биномиальный коэффициент подмножеств множеств [п].

КОЭФФИЦИЕНТЫ В БИНОМИАЛЬНОЙ ФОРМУЛЕ

как число всех к-пробитых

Коэффициенты в биномиальной формуле, такие как называются биномиальными коэффициентами. Коэффициент читается как

f n 1 f n 1 f n 1 f n 1 f n л

l0 у l1 у 12 у l n у l n - к у

"«"над "к". Эти коэффициенты

n

V к у

получают по

формуле для неповторяющихся комбинаций. Формула для комбинаций

Г n 1 def

V к у

П!

def

к !(n - к)!

Также n ! = (n -1) • (n - 2) •... • 2 -1 ^ n • (n -1)!.

Следующее относится к биномиальным коэффициентам:

С,Л def (n\def Л„ Л

n

V 0 у

= 1

А

= 1,

z-tn _

ск =

V n у n!

n n

V к ^ ^ n к у n!

потому что по формуле для комбинаций

n

Cn - к =

. Так как

n!

n!

-, потому что n ! = n !,

к!(п - к)!' п-к (и - к)!к Г (и - к)!к! к!(п - к)!:

(и - к)\к!= к! (и - к)\ по закону коммутации мы приходим к выводу, что

. Это потому, что это так

(n +1)!

f n 1 f n 1 Г n 1 + fn 1 f n +11

1 к у 1 n - к у Vк у 1 к + 1 1 к + I

'n + 1Л vк + 1у

(n +1)!

П

V к у

+

(к + 1)!(n +1 - к -1)! (к + 1)!(n - к)' n! n!

гп Л

к +1

n!

V'w 1 V

к!(п - к)! (к + 1)!(n - к - 1)Г k!(n - к)(n - к -1)! n! _ п!(к +1 + n - к)_ (n +1)!

(к +1)! к! (n - к -1)! = (n - к )(к +1)! "(к + 1)!(n - к )! '

а это значит, что

f n 1 fn 1 f n +11

+ =

V к у 1 к +1 1 к + 1

Коэффициент перед к-м членом равен

Гп ^

vк - 1у

п, к Е N.

ВЫВОД БИНОМИАЛЬНОМ ФОРМУЛЫ

По биномиальной формуле мы определяем результат и коэффициенты, лежащие перед сводками, которые определяют результат выражения, в котором определенный бин умножается на себя определенное количество раз.

Давайте начнем с формулы: (а + ЬУ = а + Ь.

Умножив обе стороны этой формулы на (а+Ь), получим: (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2 .

Продолжая умножать обе стороны формулы на (a+b), мы получаем формулу, в которой вычисляется результат выражения (а + b), n е N, где, соответственно, вычисляется произведение n равных факторов (а + Ъ)-(а + b)-... -(а + b), где bin

V

n

(a+b) встречается n раз.

Выражение (1) (а + b)-(a + b)-... -(а + b) мы вычисляем по:

V

n

• мы извлекаем a из каждого фактора и получаем а-а -... - а = ап потому что в

V

п

выражении (1) a умножается n раз на себя;

• мы извлекаем b из одного фактора и из всех других a, поэтому получаем выражение (2) ап-1b. Есть такие возможности СП, то есть n, что означает, что мы получаем n терминов, таких как выражение 2;

• возьмем число k такое, что 1<k<n. Из выражения (1) мы можем извлечь фактор k на Ск способами, а из остальных п - к число факторов равно a. Тогда мы получим выражение ап-kbk и есть такие выражения СП,

поскольку термин ап к может быть определен в СП_к, Ьк на СП. Так как

СП = СП_к если мы определим Ьк на СП мы также определили an'k таким же

количеством способов. То же самое верно, если мы сначала определим выражение ап'к;

из каждого фактора мы берем число Ь и получаем Ьп. Отсюда и формула:

•п-1 . ип

(a + bj = an + Cnan Л +... + Cnkan ~ kbk +... + Cnn_xabn 4 + bn или формула:

(a + bf =

V 0 У

anb° +

гпл

V1 У

an-1b1 +

п

v 2 у

an - 2b2 +... +

п

vn - 1У

albn-1 +

п

a °bn

v n у

называется биномиальной формулой.

В нем мы замечаем, что а начинается с п-й степени и уменьшается до 0-этой, в то время как Ь начинается с 0-этой и достигает п-й степени.

Биномиальная формула доказывается математической индукцией, которую я не буду применять в этой статье.

REFERENCES

1. Veljan, D. (1989). Combinatorics with graph theory. School Book.- Zagreb.

2. Mamatov, T (2019). Mapping properties of mixed fractional differentiation operators in Holder spaces defined by usual Holder condition. Journal of Computer Science and Computational Mathematics, vol. 2 (9), 29-34.

3. Mamatov, T. (2019). Composition of mixed Riemann-Liouville fractional integral and mixed fractional derivative. Journal of Global Research in Mathematical Archives, vol. 6 (11), 23-32.

4. Маматов, Т. Ю. (2013). Смешанные дробные интегральные операторы в пространствах Гельдера. «Наука и Мир», Волгоград, № 1 (1), 30-38

5. Mamatov, T. (2019). Fractional integration operators in mixed weighted generalized Holder spaces of function of two variables defined by mixed modulus of continuity.

"Journal of Mathematical Methods in Engineering" Auctores Publishing, vol. 1(1)-004, 1-16

6. Mamatov, T. (2018). Mixed fractional integration operators in mixed weighted Holder spaces. (Monograph Online Sources), LAP LAMBERT Academic Publishing, Beau Bass in, 73.

7. James, A.& Anderson,J. (2005). Discrete Mathematics with Combinatorics, faculty of computer science. Belgrade.

8. Gross,J&Yellen, J.(1999). Graph theory and its applications. CRC Press, New York.

9. Balakrishnan, V.K. (1995). Combinatorics. Shaum's outline series.