CC BY
58
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 511.17+519.114 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-257-269
Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых
коэффициентов
Пачев Урусби Мухамедович — доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры геометрии и высшей алгебры, Кабардино-Балкарский государственный университет имени X. М. Бербекова. e-mail: urusbi@rambler.ru
Аннотация
В работе рассматриваются вопросы, касающиеся алгебраических и арифметических свойств таких комбинаторных чисел как биномиальные, полиномиальные и гауссовы коэффициенты.
Для центральных биномиальных коэффициентов и (^Т-1) установлено новое свойство сравнимости по модулю р3• (2р — 1), те равному степени простого числа, где р и (2р — 1) — простые числа, при этом используется теорема Волстенхолма о том, что при р ^ 5 эти коэффициенты соответственно сравнимы с числами 2 и 1 по модулю р3.
В части, относящейся к гауссовым коэффициентам (") ^ исследованы алгебраические и арифметические свойства этих чисел. Пользуясь алгебраической интерпретацией гауссовых коэффициентов, установлено, что число ^-мерных подпространств п-мерного векторного пространства над конечным полем из q элементов равно числу (п — &)-мерных его подпространств, при этом число д от которого зависит гауссовый коэффициент должно быть степенью простого числа, являющегося характеристикой этого конечного поля.
Получены оценки снизу и сверху для суммы (к) всех гауссовых коэффициен-
тов, достаточно близкие к ее точному значению (формула для точного значения такой суммы пока ещё не установлена), а также асимптотическая формула при д ^ то. В виду-отсутствия удобной производящей функции для гауссовых коэффициентов мы пользуемся исходным определением гауссового коэффициента (к)9> при этом считаем, что д > 1.
При исследовании арифметических свойств делимости и сравнимости гауссовых коэффициентов используется понятие первообразного корня по данному модулю. Получены условия делимости гауссовых коэффициентов ^ и (рк) та простое чиело р, а также вычислена сумма всех этих коэффициентов по модулю простого числа р.
В заключительной части приводятся некоторые нерешенные задачи теории чисел, связанные с биномиальными и гауссовыми коэффициентами, которые могут представлять интерес для дальнейших исследований.
Ключевые слова: центральные биномиальные коэффициенты, теорема Волстенхолма, гауссовый коэффициент, сумма гауссовых коэффициентов, делимость на простое число, сравнение по данному модулю, первообразный корень по данному модулю.
Библиография: 17 названий. Для цитирования:
У. М. Пачев. Об алгебре и арифметике биномиальных и гауссовых коэффициентов // Чебы-шевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 257-269.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.
UDC 511.17+519.114 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-257-269
On algebra and arithmetic of binomial and gaussian coefficients
Pachev Urusbi Muhamedovich — doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, professor of the department of geometry and higher school, Kabardino-Balkarian state university named after II.M. Berbekov. e-mail: urusbi@rambler.ru
Abstract
In this paper we consider questions relating to algebraic and arithmetic properties of such binomial, polynomial and Gaussian coefficients.
For the central binomial coefficients (2p) and (2pT11), a new comparability property modulo p3 ■ (2p — 1), which is not equal to the degree of a prime number, where p mid (2p — 1) are prime numbers, Wolstenholm's theorem is used, that for p > 5 these coefficients are respectively-comparable with the numbers 2 and 1 modulo p3.
In the part relating to the Gaussian coefficients the algebraic and arithmetic properties of these numbers are investigated. Using the algebraic interpretation of the Gaussian coefficients, it is established that the number of fc-dimensional subspaces of an n-dimensional vector space over a finite field of q elements is equal to the number of (n — k) -dimensional subspaces of it, and the number q on which The Gaussian coefficient must be the power of a prime number that is a characteristic of this finite field.
Lower and upper bounds are obtained for the sum (fc)q Gaussian coefficients
sufficiently close to its exact value (a formula for the exact value of such a sum has not yet been established), and also the asymptotic formula for q ^ <x. In view of the absence of a convenient generating eunction for Gaussian coefficients, we use the original definition of the Gaussian coefficient and assume that q > 1.
In the study of the arithmetic properties of divisibility and the comparability of Gaussian coefficients, the notion of an antiderivative root with respect to a given module is used. The conditions for the divisibility of the Gaussian coefficients ^d (pk) % a prime number p are obtained, and the sum of all these coefficients modulo a prime number p.
In the final part, some unsolved problems in number theory are presented, connected with binomial and Gaussian coefficients, which may be of interest for further research.
Keywords: central binomial coefficients, Wolstenholme's theorem, Gaussian coefficient, the sum of Gaussian coefficients, divisibility by prime number, congruences modulo, primitive roots for this module.
Bibliography: 17 titles. For citation:
U. M. Pachev, 2018, "On algebra and arithmetic of binomial and gaussian coefficients" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 257-269.
1. Введение
В работе рассматриваются некоторые вопросы, относящиеся к таким смежным областям математики как комбинаторика, алгебра и теория чисел. Многие комбинаторные числа представляют собой алгебраические выражения в общем случае дробного вида и нужно установить их целостность, а также делимость на степени простых чисел. Например, для некоторых
вопросов нужно знать наивысший показатель с которым входит данное простое число р в разложение п! на простые множители. Этот показатель, как известно, оказывается равным сумме
+
+ ..., где [ ] — целая часть числа. Отсюда получается независимое от комбинаторики
доказательство целости полиномиального коэффициента ? . ? "¡'——т, где п\ + ...+пк = п и
• •'?2 •• ••• •'к •
щ ^ 0. При этом конечно нужно подсчитать сколько раз входит простое число р в числитель и знаменатель этого выражения и ещё воспользоваться очевидным свойством: [а + /] ^ [а] + [/].
Многочисленные подобные утверждения о целости различных выражений составленных из факториалов можно найти в книге P. Bachmann [1].
В теории чисел большое внимание уделяется вопросу делимости и сравнимости центральных биномиальных коэффициентов и (^Г-1), для простого числа р. Первый результат в этом вопросе был получен Волстенхолмом [2] в 1862 г., установившим, что выполняются сравнения = 2 (mod р3) или что то же самое (^Г-1) = 1 (mod р3). С помощью этого результата мы в теореме 1 устанавливаем ещё одно свойство сравнимости центральных биномиальных коэффициентов по модулю не равному степени простого числа.
Ближайшим обобщением биномиальных коэффициентов являются полиномиальные коэффициенты, которые появляются в полиномиальной формуле
(Х1 +... + Хк)п = V ( п )х?
П 1 Х?1Х?2 . . . Х?к Х Х2 хк
Х1 + ...+Хк-П
где
п \ п!
/ „ ч
\п1,п2, . . . ,пк J
П\! ■щ! ■ ... ■ Пк!
есть полиномиальный коэффициент.
Для них по сравнению с биномиальными коэффициентами мало известных результатов, имеющих приложения особенно в теории чисел. В связи с этим мы в теореме 2 переносим результат предложения 1 о делимости биномиальных коэффициентов на простое число на полиномиальные коэффициенты и как следствие получаем ещё одно доказательство малой теоремы Ферма (относительно трёх имеющихся доказательств этой теоремы см. [3]).
Ещё одним из обобщений биномиальных коэффициентов являются гауссовы коэффициен-
решения некоторых важных вопросов теории чисел, в частности для определения знака так называемой гауссовой суммы. Мы будем пользоваться современным обозначением гауссовых коэффициентов, а именно гауссовый коэффициент определяется равенством
п\ (Яп - 1) Ьяп-1 - 1) ■ ... ■ Ьчп-к+1 - !)
(!)
Ч а (Ф - 1)(якг1 - 1) ■ ... ■ (Я - 1)
Q
При q = 1 получаем неопределённоеть вида 0, но если перейти к пределу то
О'
/п\ /п\ п!
9™ W 0 = W = к!(п -к)!
и значит, есть обобщение биномиального коэффициента.
Несмотря на то, что гауссовый коэффициент задаётся дробью, тем не менее при каждом значении д, п и к этот коэффициент получается целым числом, иначе говоря, есть цело-
С помощью гауссовых коэффициентов удаётся решить один вопрос о числе й-мерных и (п — £;)-мерных подпространств пмерного векторного пространства над конечным полем ^ из
g элементов. Особый интерес представляет вопрос о сумме ^fc=o (fc)g гауссовых коэффициентов. Для неё не удаётся получить точное значение как в случае биномиальных коэффициентов, ввиду чего мы даём только оценки сверху и снизу и её асимптотику при q ^ ж.
Пользуясь понятием первообразного корня по дан ному модулю р мы доказываем свойство делимости гауссовых коэффициентов (fc)^ на простое число р, а также вычисляем сумму всех гауссовых коэффициентов по модулю простого числа р.
2. Арифметические свойства биномиальных и полиномиальных коэффициентов
Биномиальные коэффициенты являются самыми известными среди всех комбинаторных чисел. Сначала они определяются как число fc-элементных подмножеств n-элементного множества, называемое числом сочетаний без повторений из п элементов по к элементов. Оно обозначается через С^ и равно щ^ГГДв 0 ^ к ^ п.
Эти же числа появляются в биномиальной формуле для (а + b)n = ^^=o акЬп~к, где (fc) = fc!(гГ-fc)! есть биномиальный коэффициент из п по к.
Биномиальные коэффициенты могут быть изучены с различных точек зрения, например, с выявлением интересных алгебраических и арифметических свойства этих чисел.
Мы не будем рассматривать широко известные алгебраические тождества с биномиальными коэффициентами. Гораздо больший интерес представляют исследования арифметических свойств делимости биномиальных коэффициентов.
Самый простейший факт, связанный с делимостью биномиальных коэффициентов на простое число, содержится в следующем утверждении.
Предложение 1. Если р ^ простое число « 1 ^ к ^ р — 1, то биномиальный коэффициент (fc) делится на р.
Доказательство см. [8], где даются два доказательства.
Особый интерес гредставляют свойства сравнимости для центральных биномиальных коэффициентов вида (2;) и (^f—]1) по модулю степеней числа р. Относительно них известен следующий результат.
Теорема (Волстенхолм). Пусть простое число р ^ 5. Тогда = 2 (mod р3) или, что то же самое, (^Г]1) = 1 (mod р3).
Доказательство было дано Волстенхолмом [2] в 1862 г.
Доказательство также приводится в [3], опираясь на понятие сравнения по любому модулю степеней простого числа р для рациональных чисел, при этом используются также свойства поля классов вычетов Zp.
г
бый результат о том, что = 2 (mod р2).
Действгтельнг, воспользуемся известным соотношением для биномиальных коэффициен-
™в(2т) = ®2 + ®2 + .•. + ©2.
Учитывая, что (д) = (р = 1 в силу предложения 1 получим = 2 + р2к при некотором целом fc, оттуда = 2 (mod р2).
Согласно теореме Волстенхолма центральные биномиальные коэффициенты и (^Г-1) при простом р содержатся в классах вычетов 2 (mod р3) и 1 (mod р3) соответственно, а в силу предложения 1 (fc) при 1 ^ к ^ р — 1 лежит в классе 0 (mod р). Возникает вопрос в каких классах вычетов будут содержатся и ("^Г-1) п0 модулю р3 (2р — 1), если 2р — 1 также есть простое число. Ответ даёт следующая
Теорема 1. Если р и 2р — 1 являются простыми числам,и, то для центральных биномиальных коэффициентов выполняются следующие условия сравнения
1) (2р) = 2 (1 - 8р3) (mod р3 ■ (2р - 1));
2) (2fr11) = 1 - 8р3 (mod р3 ■ (2р - 1)).
Доказательство.
1) Пусть р и 2р - 1 простые числа. В силу теоремы Волстенхолма имеем сравнение = 2 (mod р3) и ещё выполняется сравнение = 0 (mod 2р - 1). Поэтому рассматриваем систему сравнений
{х = 2 (mod р3), х = 0 (mod 2р - 1),
единственным решением которой по модулю р3 ■ (2р - 1) в силу китайской теоремы об остатках является класс вычетов, содержащий число (2f)- Следуя доказательству китайской теоремы об остатках в случае двух сравнений по модулям т\ = р3 и Ш2 = 2р - 1 имеем х = с\М\М' + с2М2М!2 (mod р3 ■ (2р - 1)), где в нашем случае с\ = 2, с2 = 0^ правые части этой системы, при этом Mi = Ш2 = 2р - 1, М2 = mi = р3. Находим обратные для Mi и М2 соответственно по модулям р3 и 2р - 1. Имеем MiM'i = 1 (mod mi), т. е. (2р - 1) M'i = 1 (mod р3). Решая это сравнение по способу Эйлера получаем M'i = (2р - 1)^(р )-i (mod р3), т. е. M'i = (2р - 1)р —р -i (mod р3). Применяя биноми-
рЯ —р2 —i 3 2 3 2
альную формулу имеем М[ = (р —fc —^ (2р)к(- 1)р —р —i—k (mod р3) и, оставляя в
(P3—Pk2—i\ (2г)к(-1)р3—р2—i—к (mod г3)
fc=0
(р3 —p2—i\
правой части слагаемые при 0 ^ к ^ 2, получаем М[ = -1 + (р3 - р2 - 1) 2р-(р ^ ) Ар2 (mod р3), откуд a M'i = -1 - 2р - Ар2 (mod р3), т. е. можем в зять M'i = -Ар2 - 2р - 1.
Аналогично устанавливается, что М2 = 8 (mod 2р - 1), т. е. М2 = 8.
Тогда по формуле х = ciM\M[+с2М2М2 (mod р3^(2р - 1)), получаем, что х = 2 (1 - 8р3) (mod р3 ■ (2р - 1)), и значит, = 2 (1 - 8р3) (mod р3 ■ (2р - 1)).
2) Так как (^.Т/) = (p+iHp+2i)-^(2p~-1) и ПрИ этом по условию 2р - 1 — простое число, то
(^"i1) = 0 (mod 2р - 1). Тогда как и в предыдущем случае рассматриваем систему сравнений
{х = 1 (mod р3), х = 0 (mod 2р - 1),
единственным решением которой по модулю р3 (2р - 1) является класс вычетов, содержащий число (2^). Следта предыдущим рассуждениям, получаем, что (2f_—/) = 1 -8р2 (mod р3 ■ (2р - 1)).
Теорема 1 доказана. □
Относительно других результатов, связанных с теоремой Волстенхолма, см. [9], а что касается вопросов разложимости центральных биномиальных коэффициентов в произведение таких же коэффициентов см. [10, 11].
Перейдём теперь к рассмотрению полиномиальных (мультиномиальных) коэффициентов, при этом мы не будем затрагивать их комбинаторные интерпретации.
Полиномиальные коэффициенты появляются в полиномиальной формуле
(Xi + Ж2 + ... + хк )П = V ( П )
П1 +„о=n \ni,n2,...,nkJ
п 1 ™«2,.. ™«fc ^i ^2 ^к ,
n1+n2+-"+nfc =п
где
п \ п!
{ п )
П1! ■ п2! ■... ■ Пк!
— есть полиномиальный коэффициент и з п по П1, п случае к = 2 получаем
биномиальные коэффициенты {П™П2) = = {п2)-
На полиномиальные коэффициенты мы переносим результат предложения 1 о делимости на простое число р.
Теорема 2 .Если р — простое число и щ = р при всех г = 1, 2,...,к, то справедлива делимость р\ {п1,п^,пк)-
Доказательство. По определению полиномиального коэффициента имеем
п1 + п2 + ... + пк = р, п1 ^ 0,п2 ^ 0,... ,пк ^ 0,
и значит, в силу условия т = 0 получаем, что 0 ^ п < р. Тогда р \ п! и значит, р \ п1! ■ п2! ■ ... ■ пк!•
Но так как -г—¡—^-г = р—.—т^-г^-г и учитывая, что ( п ) есть целое число по-
р\П1! •П2! •■■■•Пк! г р]П1! •П2! •■■■•Пк! ' ,П2,...,Пк>
(Р-1) ! I I I
лучаем . !' !' п ! также есть целое число и, при этом, р не сокращается с п1! ■ п2! ■ ... ■ пк!•
Ъ ! •П2 ! • ■■■ •Пк !
Следовательно, р \ {П1П™ Пк)>4- т- Д-
Опираясь на теорему 2 в сочетании с тождеством
Е ( п )
=„ \п1, п2, . . . , пк/
п 1 =кП п1, п2,
"1+"2 + ---+пк =п п 1 >0, п2>0, ...,Пк >0
получаем малую теорему Ферма о том, что р \ кр — к (относительно трёх других её доказательств см. [3]).
3. Алгебраические свойства гауссовых коэффициентов
Гауссовы коэффициенты впервые появились в работе Гаусса [4] по теории деления круга при вычислении значений периодов длины \ где п — простое число, т. е. когда совокупность корней уравнения деления круга хп-1 + хп-2 + ... + 1 = 0 распадается на два периода, являющиеся корнями некоторого квадратного уравнения с некоторыми коэффициентами из
п
Рассматриваемый вопрос был применён Гауссом к определению знака так называемой гауссовой квадратичной суммы
' о =
е п г,
п
щим в границах от 1 до ^
Установление знака гауссовой суммы О проводится Гауссом при помощи исследования двух особых рядов:
те те
¡(х, т) = 1)м(т, у) и Р(х, т) = ^ х^ (т, у), ^=1 м=1
где
(1 — хт) (1 — хт-1) ■ ... ■ (1 — хт-^+1) (т,у) = (1 — х)(1 — х2) ■ ... ■ (1 — х^) , (1)
при этом (т, у) в дальнейших исследованиях был назван гауссовым коэффициентом.
Правая часть (1) несмотря на её дробное выражение является многочленом от ж с целыми коэффициентами (см. [5]).
Соотношение (1) можно преобразовать следующим образом
„т— 1
— | р ||
(т,ц) =
(хт - 1) (хт-1 - 1) ■ ... ■ (хт-11+1 - 1)
(х* - 1)(х*-1 - 1) ■... ■ (х - 1)
По аналогии с биномиальными коэффициентами мы будем пользоваться современным обозначением гауссовых коэффициентов
(3.
- 1) (дк-1 - 1) ■... ■ (д - 1)
(2)
'п\ (Т - 1) {яп-1 - 1) ■ ... ■ (дп-к+1 - 1)
Для гауссового коэффициента (2) при д = 1 получается неопределённость вида 0 и именно в этом неопределённом случае гауссовый коэффициент будет совпадать с биномиальным коэффициентом, т. е. (П) 1 = (П) = щПП-к)\-
Действительно, разделив каждый сомножитель числителя и знаменателя левой части (2) на д - 1, получаем следующее представление гауссового коэффициента
п\ 1 + д + д2 + ... + дп-1 1 + д + д2 + ... + дп-2 1 + д + д2 + ... + дп-к
(п)
(3)
к) д 1 1 + д "' 1 + д + д2 +... + дк-1
откуда при д = 1 имеем
/п\ п(п - 1) ■... ■ (п - (к - 1)) п! /п\
\к)1 = 1 ■ 2 ■...-к = к!(п -к)! = V k),
т. е. получился биномиальный коэффициент (п). Из (2) и (3) получаем (п) = 1 и (п) = 1.
Рассмотрим смысл гауссовых коэффициентов в теории векторных пространств над конечным полем Ря из д элементов.
Пусть д есть степень простого числа. Через Уп(д) обозначим п-мерное векторное пространство над полем Рд, при этом Уп(д) = |(а1, а2,..., ап) Е | а% € Рд}.
Предложение 2. Число к-мерных подпространств п-мерного пространетва, Уп(д) равно гауссовому коэффициенту (п)д-Доказательство см. [12].
Гауссовы коэффициенты мы будем рассматривать как д-аналоги биномиальных коэффициентов и в отношении их свойств.
Предложение 3. Гауссовы, коэффициенты обладают свойством симметрии, т. е.
п = / п \ \к; д \п—Ыд"
Доказательство непосредственно следует из определения.
Из предложений 2 и 3 выводится свойство подпространств конечномерного векторного пространства над конечным полем.
Теорема 3. Число к-мерных подпространств п-мерного векторного пространства над конечным, полем из д элементов рано числу (п - к)-м,ерн,ы,х его подпространств. Доказательство. В силу предложения 2 имеем, что число (п,к) й-мерных подпространств п-мерного векторного пространства Уп(д) над пол ем Рд из д элементов равно гауссовому коэффициенту т. е. Сд(п, к) = Ск)д- Но так как по предложению 3 справедливо
равенство (п)д = {п—к)д> т0 ^(п, к) = Сд(п, п - к), ч. т. д. □
Как и биномиальные коэффициенты гауссовы коэффициенты обладают свойством унимодальности, т. е. имеет место следующее.
Предложение 4. Пусть п Е N. Последовательность {| к = 0,...,п} гауссовых коэффициентов удовлетворяет свойствам,:
а) Од < (П)д < . . < (¡)д > (п+)д > ... > Од пРи четном п;
б) Од < (и), < ... < ()д = ()д > ... > Оучётном п.
Доказательство проводится аналогично случаю биномиальных коэффициентов изложенному в [14].
п
Рассмотрим ещё вопрос о сумме ^ (Щ) всех гауссовых коэффициентов. Для суммы всех
к=0 4
биномиальных, так и полиномиальных коэффициентов имеются точные значения.
Насколько нам известно, в математической литературе нигде не встречается решение этого вопроса в случае гауссовых коэффициентов.
Для биномиальных коэффициентов имеется производящая функция равная (1 + х)п, т. е.
п
(1 + х)п = (Пк)хк ■ Приведём имеющийся ^-аналог для этого равенства. к=0
ство П {1 + хяк) = ^ (П) Ц (2 ) хк, где (Щ) — гауссовый коэффициент.
Доказательство см. [13]. Довольно простой вывод этого равенства имеется в [6]. Приведённое равенство представляет собой обобщение биномиальной формулы так как при подстановке ц = 1 оно переходит в обычный бином Ньютона вида (1 + х)п.
Из предложения 5 следует, что произведение (1 + хд) + 2) ■ ... ■ (1+хqп) является
- 1 „ " (п\ к(к+1)
производящей функцией для Ц 2 ■
Пользуясь предложением 5 можно получить следующее неравенство ^П (п) ^ 2п с]~.
к=0 4
Для получения более точной оценки сверху мы воспользуемся исходным определением гауссового коэффициента.
Теорема 4. Для суммы всех гауссовых коэффициентов при 1 справедливы неравенства
1 ^^ (п\ . п2
Доказательство. Сначала доказываем верхнюю оценку. Имеем ^fc=0 GDg = 2 + Sfc-i (Ц)д-
Получим оценку сверху для каждого гауссового коэффициента.
тт (п\ (9n-1)(?n~ 1-l):..{qn~k+1-l) а"-а"-■ап-к+1 пк пк-к2 пк
Из d) = - k\w . 1 Л .—получае м [пЛ < q1 \ 1 —^ = 2к ■ qak к < 2к -а 4
при этом учитывается, что пк — к2 4 ^ при 0 4 к 4 п.
"2 п2
Тогда, включая и случай q = 1, будем иметь ^fc=o (!k)q 4 (2п — 2) q" 4 2nq"4, тем самым верхняя оценка доказана.
Теперь перейдём к нижней оценке. Имеем ^fc=o Ck)q > max Ck)q-
В силу предложения 4 имеем
max (П)
. .") если почетно,
п \ I Ч2Уq
04к4п\к) I ("^Л если п^ нечётно,
4 1 4 2 'q
Соответственно этому рассмотрим два случая:
а) (-) > * -2*Г= " = ^"т
' y2Jq q2^q2-1 •... • д 2 ^ 2 Ъ
б) (Л) > 2 „_ 1 п—1 1- = -Т^г^ 2 2 = -Т^ГЯ 4 4
Объединяя теперь случаи а) и б), получаем © > Г1 4 4- Теорема 4 доказана.
□ 2
Несмотря на то, что гауссовы коэффициенты не обладают производящей функцией с удобным алгебраическим описанием, тем не менее, для суммы всех гауссовых коэффициентов удаётся получить асимптотическую формулу при д ^ ж (комбинаторное описание коэффициентов производящей функции для даётся в [13]).
Теорема 5. Для суммы всех гауссовых коэффициентов справедлива асимптотическая формула
Е(п\ I д 4 при чётных п
к=° 4 7
к I 1 "2 1
к/ д \2д 4 4 при нечётных п > 1,
где — — знак асимптотической эквивалентности. Доказательство.
п
1) Сначала рассматриваем случай чётного п. Так как (П)д есть многочлен относительно д то для степени такого многочлена имеег
то для степени такого многочлена имеем deg (П) = пк — к2. Но учитывая, что ^ (П)
° " к=0 4
degУ"^ (П) = тах < deg (П) > = тах {пк — к2} = П-
п
пк
к=°
£ (п)
п 2 2
п\ "2 т2_ 1
,, д 4 +а1д 4 + ... + а8,
к
к=°
где а1,а2,... ,а3 — целые числа зависящие только от п; в = Пг- Запишем эту сумму ещё
п "2 / \
в следующем виде ^ (к)д = ( 1 + а4 + ... + "агТ )) откуда при д ^ ж получаем, что
к=° \ я 4
п
п
ЕСП)я -
к=°
2) Пусть теперь п — нечётное число. В этом случае deg ^ (П) = п— !• Учитывая, что
к=° 4
п
ляющихся наибольшими из всех этих коэффициентов (это следует из предложения 4), п 2
получаем deg ^ (П) = п— Ц и используя теперь предыдущие рассуждения из первого
к=°
" (п\ - "2 1 к
случая, получаем ^ (п) — 2д 4 1.
к=°
□
Относительно оценок и асимптотик для разных видов сумм, содержащих биномиальные коэффициенты см. [15].
4. Арифметические свойства гауссовых коэффициентов
Распространим на гауссовы коэффициенты арифметические свойства делимости и сравнимости. Рассмотрение таких свойств для гауссовых коэффициентов опирается на понятие первообразного корня по простому модулю р, при этом целое число д называется первообразным корнем по простому модулю р, если др-1 = 1 (mod р), но дк ф 1 (mod р) при 1 4 к < р-1. В теории чисел доказывается, что первообразные корни существуют только по модулю т вида т = 2; 4;ра;2ра, где р — простое число, а— натуральное число.
1, относящиеся к биномиальным коэффициентам.
Теорема 6. Если р — простое число и q — первообразный корень по модулю р, то для гауссового коэффициента (fy пр и 2 4 к 4 р — 2 справедлива делим ость р\
Доказательство. Пусть q — первообразный корень то простому модулю р, т. е. др-1 ф 1 (mod р), но дт ф 1 (mod р^и т 4 р — 2. Значит, (qk — 1) ■ ... ■ (с — 1) ф 0 (mod р) при
2 4 к 4 р — 2. При этом в числителе гауссового коэффициента (все сомножители за исключением второго сомножителя не делятся р, а второй сомножитель в силу малой теоремы Ферма делится па р. Значит, учитывая при этом и (р-не делятся па р, получаем, что
р \ Cfyq ПРИ 2 4 к 4 р — 2, ч. т. д. □
Представляют интерес вопросы, связанные с делимостью гауссовых коэффициентов вида Ск)^ и Ск )q на возможные степени простого числа р при условии, что q есть первообразный корень по модулю ра ил и 2ра. Мы рассматриваем этот вопрос в следующем частном случае.
Теорема 7. Если р прсстое число и q первообразный корень по модулю р2, то для гауссового коэффициента (Pk)q справедлива делим ость р \ (r>k)q пр и р + 1 4 к 4 р2 — р — 1-ДОКАЗАТЕ р + 1 4 к 4 р2 — р — 1
по модулю q2, то р2 \ qp -р — 1, но qk ф 1 (mod р2). Тогда число сомножителей знаменателя (iqk — 1) ■ (qk-1 — 1) ■... ■ (q — 1) коэффициента {рк делящихся точно на р, будет равно целой
части
к
р-1
(это следует из того, что р2 \ 1 — 1 при всех 0 ^ I < к). Поэтому получаем Г _к_ "1
следующую точную делимость рЬ-1] || (qk — 1) ■ (дк-1 — 1) ■ ... ■ (^ — 1) на степень простого числа р.
Аналогично, числитель (^¡р2 — ■ ^qp2-1 — ■... ■ ^qp2-к+1 — гауссового коэффициента р—1 сомножителей, делящихся па р. Но так как среди этих сомножителей есть ср*-р — 1, который делится па р2, то имеем делимость
(Pk)q также имеет
+1 \ (qP2 — 1) ■ (/-1 — 1) ■ ... ■ (/-k+1 — 1) .
Следовательно, р \ (р^)^ ч. т. д. □
Следующий результат даёт значение суммы всех гауссовых коэффициентов (по про-р
р
р
ведливо сравнение (к) ф 4 (mod р). к=0 q
Доказательство. По свойствам гауссовых коэффициентов имеем
s =(о),+й+(о.+с—о.+g (D.=2+2 g с:
Отсюда, переходя к сравнению по модулю р, в силу теоремы 5, будем иметь ^ (к) = 2+2 qP_1
к=0 q q
р р
(mod р) или, что то же самое, ^ = 4 + q -q (mod р). Так как по условию q — первообразный
к=0 q
корень по модулю р, то р \ q — 1. Но то малой теореме Ферма р \ qp — q. Следовательно, р
Y^ (к) = 4 (mod р), ч. т. д. □
к=0 q
фициентов в виду того, что в них q выбиралось первообразным корнем по модулям pup2 соответственно.
5. Заключение
В этой части мы приводим некоторые нерешенные задачи теории чисел, связанные с биномиальными гауссовыми коэффициентами, которые могут представлять интерес для дальнейших исследований.
1. Следующая гипотеза о простых делителях биномиальных коэффициентов, представлена Малышевым A.B. в [16].
Гипотеза. Пусть п, к — целые числа, 0 ^ 2к ^ п. Пусть биномиальный коэффициент (fc) = и ' v-> каждый простой множитель числа, и меньше чем к, а каждый, простой
к
Доказаны [17], что и < v за исключением 12 случаев:
ы- Ы- w- Ы ■ Кк)-
Немного изменим постановку задачи. Пусть = U ■ V, где каждый постой множитель числа U не больше чем к. Доказано, что и здесь U < V за исключением конечного числа пар п и к. Помимо (*) найдено ещё 7 исключений:
(9)■ (з)■ (з) - (?) - (?)- (82)- (:62) -
Предположено [17], что других исключений нет. Доказать или опровергнуть эту гипотезу. 2. Представляет интерес исследовать сравнение для центральных биномиальных коэффициентов по модулям, содержащим два и более простых делителей.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bachmann Р. Niedere Zahlen theorie. I und II. Teil, Leipzig, 1902 und 1912, 402 p. und 480 p.
2. Wolstenholme J., On certain properties of prime numbers. Quart. J. Pure Appl. Math. 5 (1862), 35-39.
3. Винберг Э. Б., Удивительные свойства биномиальных коэффициентов// Мат. Просвещение. Третья серия. Вып. 12. Изд.-во МЦНМО. 2008.
4. Gauss С. F., Summatio quarumdam serierum singularium, Comment. Soc. Reg. Sci. Gottin-gensis, 1 (1811): Werke, Vol. 2, P. 11-45
5. Стенли P. Перечислительная комбинаторика. Изд.-во «Мир», 1990. 440 с.
6. Шокуев В. Н. Гауссовы коэффициенты. 1988. Нальчик: КБГУ. 98 с.
7. Шокуев В. Н. Основы теории перечисления для конечных нильпотентных групп // Записки научных семинаров ПОМИ. 1994. Т. 211. С. 174-183.
8. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. Изд.-во «Мир», 1987. 415 с.
9. Dzhumadil'daev A. S., Yeliussizov D. A. Wolstenholme's theorem ащк црфе binomial coefficients// Сибирские электронные математические известия. Т. 9, 2012, С. 460-463.
10. Erdos P. On some divisibility properties of (2™). Canad. Math. Bull. 1964, Vol. 7, No 4, P. 513-518.
11. Moser R. Insolvabilitv of (2™) = (2™) ■ (2Д. Canad. Math. Bull. 6 (1963). Pp. 167-169.
12. Айгнер M. Комбинаторная теория. M.: «Мир», 1982. 556 с.
13. Polia G., Aalexanderson G. L. Gaussian binomial coefficients// Elemente der Mathematik, Vol. 26, N 5, 1971. pp. 102-109.
14. Липский В., Комбинаторика для программистов. М.: «Мир», 1988. 213 с.
15. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1986, 384 с.
16. Берник В. П., Ковалевская Э. И. Нерешённые задачи теории чисел. Минск. 1990. Препринт №35 (335)/ АН БССР. Ин.-т математики.
17. Ecklund (Jr) Е. F., Eggleton R. В., Erdos P., Selfridge J. Z. On the prime factorisation of binomial coefficients// Austral. Math. Soc., Ser. A. 1978. Vol. 26. P. 257-269.
REFERENCES
1. Bachmann P. Niedere Zahlen theorie. I und II. Teil, Leipzig, 1902 und 1912, 402 p. und 480 p.
2. Wolstenholme J., On certain properties of prime numbers. Quart. J. Pure Appl. Math. 5 (1862), 35-39.
3. Vinberg, E. B. 2008, Udivitelnie svoistva binomialnih koeffitsientov [Amazing problems of binomial coefficients]. M. 62 pp. (Russian).
4. Gauss C. F., Summatio quarumdam serierum singularium, Comment. Soc. Reg. Sci. Gottin-gensis, 1 (1811): Werke, Vol. 2, P. 11-45
5. Stanley, R. Enumerative combinatorics, by Wadsworth, inc. California. Vol. 1, 1986.
6. Shokuev, V. N. 1988, "Gauusovi koeffitsienti" [Gaussian coefficients]. Nalchik. 98 p. (Russian).
7. Shokuev, V. N. 1994, "Osnovi teorii perechisleniva diva konechnikh nilpotentnikh grupp" [Foundations of enumeration theory for finite nilpotent groups]. Zap. Nauchn. Sem. POMI. Vol. 211, pp. 174-183. (Russian).
8. Ireland, К. and Rosen, М. 1982, "Klassichesloe vvedenie v sovremennuvu teotivu chisel" [A Classical Introduction to Modern Number Theory]. Springer. 385 p.
9. Dzhumadil'daev A. S., Yeliussizov D. A. Wolstenholme's theorem ащк црфе binomial coefficients// Сибирские электронные математические известия. Т. 9, 2012, С. 460-463.
10. Polia G., Aalexanderson G. L. Gaussian binomial coefficients// Elemente der Mathematik, Vol. 26, N 5, 1971. pp. 102-109.
11. Erdos P. On some divisibility properties of (2™). Canad. Math. Bull. 1964, Vol. 7, No 4, P. 513-518.
12. Moser R. Insolvabilitv of (2?) = (2™) ■ (2Д. Canad. Math. Bull. 6 (1963). Pp. 167-169.
13. Ainger, M. Combinatorial theory. Springer-Verlang. Berlin Heidelberg New York, 1979,
14. Lipski, W. 1988, "Kombinatorika diva progamistov" [Combinatorics for programmers]. M. Mir, 213 pp. (Russian)
15. Yablonskv S. V. 1986, "Vvedenie v diskretnuvu matematiku" M.: Nauka, 384 p. [Introduction to discrete mathematics]. (Russian)
16. Bernik, V. I., Kovalevskv, E. J. 1990, "Nereshennie zadachi v teorii chisel" [Unsolved problems in number theory]. Preprint N35 (435), Minsk. 1990. 39 p. (Russian)
17. Ecklund (Jr) E. F., Eggleton R. В., Erdos P., Selfridge J. Z. On the prime factorisation of binomial coefficients// Austral. Math. Soc., Ser. A. 1978. Vol. 26. P. 257-269.
Получено 30.07.2018 Принято к печати 15.10.2018
