Развитие комбинаторных сведений до середины XVII столетия Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_________________

Математика. Механика. Информатика Вып. 1(13)

УДК 517.3

Развитие комбинаторных сведений до середины XVII столетия

А. Е. Малых

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет Россия, 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24 malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

А. С. Бойко

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет Россия, 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24 alenyhka.88@mail.ru; 89504547858

Рассмотрено развитие комбинаторных сведений до середины XVII столетия. Описано получение формул для подсчета различных видов соединений. Выполнен сравнительный анализ таблиц биномиальных коэффициентов, полученных учеными разных стран. Оценен вклад

Б.Паскаля в развитие учений о сочетаниях и разложение степени бинома. ,

У* «

Ключевые слова: комбинаторные соединения; биномиальный треугольник', таблицы биномиальных коэффициентов.

Введение

Первые комбинаторные сведения возникли в результате практической деятельности человека. Еще в древности люди столкнулись с ситуациями, в которых приходилось выбирать предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наиболее оптимальные.

Работа А.Е.Малых [1], посвященная историческому процессу развития биномиальной теоремы до начала XIX столетия, содержит и некоторые результаты о комбинаторных соединениях. В предлагаемой статье сведения о последних расширены; временной промежуток ограничен серединой XVII в.

К числу первых стран, в которых появились комбинаторные сведения, относится Индия. Одним из стимулов к их возникновению послужило построение ведийских стихосложений с различными размерами стихов. Оно осложнялось тем, что необходимо было учитывать не только число слогов, но и долготу гласных звуков в каждой слоговой группе. В трактате "Чхандах-сутра" Пингалы (200 г. до

н.э.) описан метод, называемый "меру-прастара". Согласно комментатору Халайуд-хи (X в.), его применял автор для нахождения числа слогов, взятых по 1, 2, 3,..., п, а также для представления разложения бинома до шестой степени в виде треугольника (рис. 1). Он использовался для решения комбинаторных задач. Очевидно, Пингала знал соотношение, которое имеет аналитический вид

£с‘= 2"-1 [2].

к=1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

Рис. 1. Разложение натуральных степеней бинома Пингалы

© Малых А. Е., Бойко А. С., 2013

Ряд комбинаторных правил и задач был рассмотрен средневековыми индийскими математиками. Брахмагупта (598-660) провел математическое исследование структуры индийского стиха. Он получил число комбинаций для стихов 2-, 3- и 4-стопного размеров, рассмотрев случай, когда число слогов в строфе 24, а наименьшее их количество, содержащееся в одной паде, определяющей размер стиха, равен 4. Ал-Бируни (973-1048) в трактате "Индия" изложил результаты исследования, проведенного Брахмагуптой. На основании изучения стиха он дал анализ ряда комбинаторных задач.

Магавира (IX в.) в словесной форме указал мультипликативную формулу для нахождения числа сочетаний:

П 1 О

1-2 '.„'гп

Это правило он иллюстрировал тремя примерами. В одном из них ученый подсчитывал число различных ожерелий, которые можно получить из определенного числа бриллиантов, сапфиров, изумрудов, кораллов и жемчугов.

В "Патиганите" (Искусство вычисления на доске) Шридхары (1Х-Х вв.) имелся небольшой раздел, посвященный сочетаниям, состоящий из двух правил и одной задачи. Формулу для нахождения числа сочетаний из п элементов, взятых по 1, 2,..., т,..., п элементов, он привел в виде первого правила

п п-1 п-2 п-т 2 1

1 2 3 т +1 п-1 п

Второе касалось получения блюда из двух вкусовых оттенков. Для этого следует по порядку к последующим прибавить первый, а для трех и более вкусовых оттенков следует предшествующий прибавить к остальным. Для иллюстрации Шридхара привел пример приготовления блюда с 6 вкусовыми оттенками. При этом он получил следующие комбинации: 6, 15, 20, 15, 6, 1, т.е. фактически выполнил подсчет в виде

]ГС'=2б-1, где«=6. (2)

<=1

Бхаскара Акария (1114-1185) словесно представил правила для нахождения числа сочетаний и размещений как с повторением, так и без повторения элементов. В труде "Ли-лавати" (Прекрасная, ок. 1150), составлявшем

вторую часть трактата "Сидханта-широмани", ученый подсчитал все возможные стихи, используя при этом перестановки. Следует отметить, что он рассматривал перестановки как без повторения, так и с повторением элементов [2].

Вопросы, близкие к комбинаторным, были рассмотрены в китайской рукописи "Книга перемен" ("И-Цзин", УШ-УП вв. до н.э.). По мнению ее автора, все в мире является сочетанием двух начал - мужского (ян) и женского (инь), которые обозначались символами —* и — — —, а также 8 стихий (Земля, Горы, Вода, Ветер, Гроза, Огонь, Облака и Небо). Каждой непрерывной черте ставили в соответствие число 9, а каждой прерывистой

- 6. Из них составляли 8 триграмм (рис. 2). В дальнейшем из последних составили 64 гексаграммы. При их подсчете китайские ученые использовали правило нахождения размещений с повторениями элементов, современная

запись которого Агп =пг [3].

III 122 "1 111 111 ■ ■ 1 111

Небо Облака Огонь Гроза Ветер Вода Горы Земля

? 6 5 4 0

Юг Восток Восток Северо- восток Юго- запад Запад Северо- запад Север

Рис. 2. Триграммы в китайской рукописи "И-Цзин"

Комбинаторные задачи и в дальнейшем привлекали внимание китайских ученых. И.Синь, светское имя которого Чжан Гэ-суй (683-727), рассчитал возможные расположения в игре го для различного числа рядов и фигур. Так, для 5 рядов и 25 фигур он нашел число рассматриваемых сочетаний равным 827288699443. Однако трудно судить о видах соединений, которые рассматривал автор, так как правила он не указал [4].

Китайские ученые так же, как и индийские, представляли таблицы разложения натуральных степеней бинома. Однако их они использовали для извлечения корней степени п. Так, Цзя Сянь (1010-1070), написавший трактат "Объяснение таблиц цепного метода извлечения корней" (ок. 1100), привел треугольную таблицу чисел, являющихся разложением бинома до шестой степени. Ян Хуэй (XVIII в.) указал подобную таблицу в сочинении "Подробный анализ методов счета" (1261). В трактате "Яшмовое зеркало четырёх элементов" (1303) Чжу Ши-цзе (1260-1320)

привел треугольную таблицу чисел вплоть до восьмой степени (рис. 3) [5].

Рис. 3. Треугольная таблица Чжу Ши-Цзе

Определенные представления о комбинаторике, однако в меньшем объеме, были и у греческих ученых. При помощи геометрической алгебры пифагорейцы (У1-У вв. до н.э.) изучали фигурные числа, разделяя их на плоские и телесные [5].

Создатель символической логики Аристотель (384-322 до н.э.) перечислил все типы трехчленных силлогизмов, а его ученик Ари-стоксен (IV в. до н.э.) рассмотрел различные комбинации длинных и коротких слогов разных размеров в стихах. Хрисипп (III в. до н.э.) и Гиппарх (II в. до н. э.) пытались подсчитать число утверждений, получаемых из 10 исходных положений.

Ряд открытий в области комбинаторики сделали два еврейских ученых Рабби бен Эзра (1093-1167) и Леви бен Герзон (1288-1344). Первый знал о зависимости, аналитически записываемой как С” = Спп~т, однако общего закона не установил, а лишь привел конкретные примеры: Су -С75, Су=С74 [3]. Леви бен Герзон в своей арифметике (1321) дал мультипликативное представление (1). Здесь же содержались правила нахождения числа перестановок из п элементов Рп = \-2-,..-п,

которые он получил, используя индуктивный подход и размещения при т-п [6].

Персидский математик Насир ад-Дин ат-Туси (1201-1274) также занимался разложением натуральной степени бинома. В сборнике по арифметике (1265) он привел треугольную таблицу чисел вплоть до 12 степени.

Ученые средневековой Западной Европы также проявляли интерес к комбинаторике. Несколько комбинаторных задач содержались в труде Леонардо Пизанского (Фибоначчи) (1170-1250) "Книга абака" (1202). К ним относились задача об отыскании наименьшего количества гирь, с помощью которых можно взвесить любой товар весом от 1 до 40 фунтов. В его знаменитой задаче о кроликах для подсчета была представлена рекуррентная формула и„ = ип_х +ип_2 [5].

В Западной Европе также занимались построением таблиц разложения натуральной степени бинома. Впервые треугольная таблица чисел была опубликована в сочинении Петра Апиано (1495-1552) "Новое и хорошо обоснованное наставление по арифметике для всех купцов" (1527). Вслед за ним Михаэль Штифель (1487-1567) в своей "Полной арифметике" (1544) привел таблицу биномиальных коэффициентов. В ней элементы первого

столбца равнялись единице, второго - натуральным числам. Элементы всех столбцов, кроме первого, были образованы как сумма чисел предыдущей строки, стоящих над ним и слева от него (рис. 4).

{ ■ -тй

2 -

3 3 V Ч ‘

4 6 ' '■■■■

5 10 10

■6 15 20

7 М 35 35

8 3 55 Ш ;.ч

в'“ V'--■

* *. * ,♦

ч * « ■ *

II 136 680 3980 6188 Ш76 ШШ ШО ^ Рис. 4. Таблица М. Штифеля

Никколо Тарталья (1499-1557) придал таблице в "Общем трактате о числе и мире" (1556) вид четырехугольника (рис. 5). Здесь элементы первой строки и такого же столбца равнялись единице. Остальные были представлены в виде суммы чисел, стоящих перед

ним и над ним, а коэффициенты различных степеней разложения бинома располагались по диагоналям, соединяющим числа первого столбца с числами такой же строки [5]. Однако во всех перечисленных работах изучались

только коэффициенты разложения.

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 3 6 10 15 21

' 1 4 10 10 35 56

--..к, 1 5 15 35 70 126

1 6 21 56 126 252

.О 1 7 28 84 210 462

1 8 36 120 330 792

■ - ■ Рис. 5. Четырехугольник Н. Тартальи

Джироламо Кардано (1501-1576) в "Новом труде о пропорциональностях" (1570) ввел рекуррентное соотношение

Ск„ + С^+1 = С**,1. Ему было известно также

мультипликативное представление (1). Кардано привел, хотя и без доказательств, формулу (2) [3].

Однако основные достижения в формировании комбинаторики относятся к XVII столетию. Парижский преподаватель математики Пьер Эригон (1580-1643) определил в “Практической арифметике” (1634), составлявшей второй том "Курса математики", число сочетаний из п элементов по т [6]. Он первым в Западной Европе указал аналитическую запись мультипликативного представления (1). Такую же формулу получил в 1656 г. преподаватель в Лувене и Антверпене Андре Таке (1612-1660). Он посвятил сочетаниям и перестановкам небольшую главу в "Теории и практике арифметики". А. Таке ввел термин "перестановка" (рентою) [7].

Основная заслуга в развитии учения о сочетаниях и разложении степени бинома принадлежала Блезу Паскалю (1623-1662).

В его письмах (1654) к Пьеру Ферма (1601-1655) были рассмотрены задачи азартных игр, которым он пытался дать математическое обоснование, используя для этого сочетания и изучая их свойства. Одна из задач касалась раздела ставки между игроками. При решении Б. Паскаль изложил правило. Пусть игроку А до выигрыша всей игры не хватает т партий, а игроку В - п партий, тогда ставка должна делиться между игроками в следую-

/?-1 т~\

щем отношении ХСт+„-1 : £с;+и_, [8].

В "Трактате об арифметическом треугольнике" (1665) и "Трактате о числовых порядках" (1665) Б. Паскаль привел таблицу биномиальных коэффициентов в форме треугольника, которую нашел независимо от других учёных и расположил по-иному (рис. 6). Он подробно исследовал ее и установил свойства, которые сформулировал в виде следствий, дав каждому строгое доказательство. Таких следствий 19: 11 из них касались чисел, расположенных в клетках, а 8 - их отношений [8]. ;

8

і

Рис. 6. Треугольник Б. Паскаля

Для перевода словесных формулировок следствий в формализованную запись введем следующие обозначения: Н,; - клетка, находящаяся на пересечении строки г и столбца у; а1 ] - число, стоящее в клетке N ; р:, д / -

номера строк и столбцов соответственно; N..

- количество клеток в п-м основании треугольника; 5" - сумма всех чисел, стоящих в

клетках и-ого основания; 5* - сумма к чисел, стоящих в последовательных клетках п-го основания, считая с одного из концов; Ь1„ - число, стоящее в /-й клетке п-го основания, считая слева; - номер /-й клетки п-го основания, считая слева; п1; - номер основания,

которому принадлежит клетка Ы1" -

число клеток в г-й строке до п-го основания; Nр '.Ыц - число клеток в строках (столбцах)

до клетки Ы,! включительно. Тогда результаты Б. Паскаля во введенных обозначениях приобретут вид:

^1 I ^1,15 I 1?2,..,,

ai,j Та,-,, k=1

І

і — 2,3;..., j —1,2,3,..., ctjj — ,/-i>

it = l

і J

і —j — 2,3,...; <3,+1j+1 1 — У1 / ,».

k=\ /=1

/',7 = 1,2,...;

aij U = U2...;S”=2S”:i; S” = 2й4; 5; -1 = £5я*, * = 1.2,...;= £,+#?;

ы

ct-s j — 2aj_ii — 2й!^_|, z = 2,3,..., д'+и _ // = 12 ■

------ — ----------------5 *9J

a,j Pi

1 _ >l.j

'ij

m=1

Следующие свойства справедливы для любого и, а,^ соответственно:

: . Ъ[ _и-(/-1).

, 6м /-1 ’ п

I

1ви ■ ап-1+\,1 =п-.р„ / = 1,2,...;

" ./ = 1 / к

*=1 /«і

:4аг ■ =п:(п +1).

Б. Паскаль отметил, что можно получить ряд других свойств [8].

Основная заслуга ученого заключается в том, что числа таблицы он впервые отождествил с сочетаниями; чётко изложил их свойства и привел необходимые доказательства. Действительно, представляя число стоящим в некоторой строке (Аг+1) такого же столбца, ученый по существу пользовался современ-

ным обозначением С"+я. Следует отметить,

что Б.Паскаль первым употребил термин «сочетание» (combination). "Если из нескольких предметов надо выбрать заданное количество, то все способы выбрать среди имеющихся предметов столько, сколько указано, называются различными сочетаниями. Например, если из четырех предметов, обозначаемых четырьмя буквами А, В, С, D, требуется выбрать, скажем, какие-нибудь два, то все способы выбора двух предметов среди четырех, представленных для выбора, называются сочетаниям" [8, с. 16].

Используя графическое представление арифметического треугольника, он доказал важнейшую теорему, аналитический вид ко-

К

торой ак і = Скп . Она справедлива для

лю-

м

бой суммы чисел какого-либо основания и указывает на связь между сочетаниями и числами, стоящими в ячейках квадрата:

а, . — С'п1\. Поэтому все, доказанное для

арифметического треугольника, верно и для числа сочетаний.

Б.Паскаль сформулировал также свойства сочетаний, представив их в виде лемм (аналитическая запись имеет вид: С" = 0,

при т<щ С\ =т,с: =1 ,Спт =СГ), и указал мультипликативную запись (1). Рассуждения при их доказательстве носили общий характер, поэтому могут быть перенесены на любые натуральные значения тип.

Следует отметить, что при доказательстве теорем о свойствах чисел арифметического треугольника ученый ввёл с опорой на геометрическую интерпретацию метод математической индукции, изложив его в ясной и определённой форме.

Б. Паскаль нашел и осветил применение арифметического треугольника, в том числе к изучению фигурных чисел, свойств сочетаний, к разложению степеней биномов и апо-томов.

Заключение

Таким образом, показано развитие учения о комбинаторных видах соединений в указанные промежутки времени. Рассмотрены приемы разложения степеней биномов ученых Индии, Китая, Греции, стран ислама, Западной Европы. Оценен вклад Б.Паскаля в

тельно продвинуто дальше по сравнению с его предшественниками, современниками, а также последователями Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716), Якобом I Бернулли (1654-1705).

Список литературы

1. Малых А.Е. Из истории биномиальной теоремы // Ярославский педагогический вестник. Т. Ш (Естественные науки): научный журнал. Ярославль: Изд-во ЯГ11У. 2010. № 3.. С. 25-30.

2. Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики. М.: Наука, 1977. 186 с.

3. Малых А.Е. Структура элементарной комбинаторики до начала XVIII века // Вестник Пермского университета. Сер.: Мате-

матика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 1(5). С. 111-118.

4. Березкина Э. Математика Древнего Китая. М.: Наука, 1980. 312 с.

5. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3 т. / под ред. А.П.Юшкевича. T.I: История математики с древнейших времен до начала нового времени. М.: Наука, 1970. 352 с.

6. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / под ред. А.П.Юшкевича. T.II: Математика XVII столетия. Гл. V. Комбинаторика и теория вероятностей. М.: Наука, 1970. С. 81-97.

7. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины столетия. М.: Изд-во Физматлит, 1960. 468 с.

8. Pascal В. Traite du Triangle Arithmetigue. Oeuvres. Paris, 1908. T.3.

The development of combinatorial knowledges to the middle of the XVII century

A. E. Malykh, A. S. Boyko

Perm State Humanitarian Pedagogical University, Russia, 614000, Perm, Sibirskaja St., 24 malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

The development of combinatorial knowledges to the middle of the XVII century is considered. Receiving the formulae for calculation of different types of compositions is described. The comparative analysis of the tables of the binomial coefficients, obtained by scientists of different countries, is performed. The contribution of B. Pascal in the development of the knowledges about combinations and decomposition degree of binom is estimated.

Key words: combinatorial compositions; binomial triangle; the tables of binomial coefficients.