Из истории формирования, развития и приложений основных математических методов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8

Малых Алла Ефимовна

доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, e-mail: malych@pspu.ru,

Данилова Вера Ильинична

кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики

e-mail: vi-dan@mail.ru Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»,

Пермь, Россия 614990, Пермь, Сибирская, 24, (342) 238-63-75

ИЗ ИСТОРИИ ФОРМИРОВАНИЯ, РАЗВИТИЯ И ПРИЛОЖЕНИЙ ОСНОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

Malykh Alla Efimovna,

doctor of physical and mathematical sciences, professor of the Higher mathematics chair, e-mail: malych@pspu.ru

Danilova Vera Ilyinichna

candidate of pedagogical sciences, lecturer of the Higher mathematics chair, e-mail: vi-dan@mail.ru Federal State Budget Educational Institution of Higher Professional Education «Perm State Humanitarian Pedagogical University» Perm, Russia, 614990, Perm, Sibirskaja, 24, (342) 238-63-75

FROM THE HISTORY OF FORMATION, DEVELOPMENT AND APPLICATIONS OF THE PRINCIPAL MATHEMATICAL METHODS

Аннотация: указаны четыре математических метода решения задач и доказательства теорем. Отмечены имена ученых, внесших вклад в их формирование и развитие. Показаны многочисленные примеры применения этих методов. Приведена историческая справка.

Ключевые слова: методы: апагогический; доказательства от противного; индуктивный; неполная и полная индукции; математическая индукция; трансфинитная индукция; принцип включения и исключения.

Abstract: four mathematical methods of solved problems and proof theorems are described. The names of scientists who contributed to their formations and development are noted. Numerous examples of application of these methods are shown. The historical information is reduced.

Keywords: methods: apagogic; method of proof by contradiction; inductive; incomplete and complete inductions; mathematical induction; transfinite induction; principle of inclusion and exclusion.

© Малых А.Е., Данилова В.И., 2017

РАЗДЕЛ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА Till

Первые математические теории стали формироваться еще в Древней Греции (VI-IV вв. до н.э.) и, как правило, на геометрическом материале. Самым ранним из них был апагогический. Он заключался в том, что вместо рассматриваемого утверждения доказывалось аналогичное ему, но более легкое. Наподобие тому, как в наши дни перед некоторыми теоремами доказывается лемма.

В рассматриваемое время на площадях была популярной игра «Диалектика», заключавшаяся в том, что один из игроков, например, А выдвигает определенные требования, с которыми должен согласиться другой игрок В. Каждого из них окружали свои болельщики. Если же В не соглашается с ними, то игра не могла быть начата.

Цель заключалась в том, что В задает такую серию логических вопросов, чтобы А смог последовательно отказаться от выдвинутых требований. Если такое произойдет, то выигрывает В. В противном случае победителем становится А. Эта игра и стала основой для формирования метода приведения к нелепости. Сейчас мы называем его методом доказательства от противного. Во многих школьных учебниках по геометрии он используется довольно часто и способ доказательства состоит в том, что сначала делается предположение, противоположное тому, что утверждается в теореме. При помощи рассуждений и, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, приходят к выводу, противоречащему либо условию, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. В связи с этим делают заключение о том, что предположение было ложным, а потому теорема верна.

Таким методом доказывается, например, теорема: через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Аналогичным методом Евклид (III в. до н.э.) доказал в своих «Началах» теорему о бесконечности множества простых чисел. Он предположил противное, что простых чисел существует конечное множество. Пустьpi,p2, ..., pk - все простые числа. Рассмотрим число n = pipr...pk +1. Оно больше 1 и должно быть составным, так как среди перечисленных простых чисел его нет.

С другой стороны, n при делении на pi, pi, ..., pu дает в остатке 1, т.е. не делится ни на одно из них. Поэтому является простым. Пришли к противоречию. Следовательно, допущение неверно и множество простых чисел бесконечно.

Метод от противного используется при доказательстве утверждений о единственности (канонического представления натуральных чисел, неполного частного и остатка при выполнении деления одного целого числа на другое); несуществования объектов, обладающих определенным свойством (конечного базиса в пространстве многочленов произвольной степени); в векторной алгебре при доказательстве теорем о существовании и единственности разложения векторов по заданным базисам.

Следующим, одним из наиболее ранних и активно используемых в наши дни методом является индуктивный.

Под индукцией понимают форму мышления, при помощи которого мысль наводится на некоторое общее положение или утверждение, присущее всем дискретным объектам рассматриваемого множества. Термин «индукция» в переводе с латинского языка «induction» означает «наведение». Индукция часто используется совместно с другой формой мышления - дедукцией; в переводе с латинского «deduction», означающего «выведение».

Так как оба термина имеют латинское происхождение, то еще задолго до этого в Древней Греции метод стал использовать в неявном виде уже Евклид в своих «Началах» (III в. до н.э.). В отчетливом виде он появился в «Трактате об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля (1665). Возможно, ученый знал, что такой метод использовал Франческо Мавролико еще в 1575 г. Сравнительно недавно выяснилось, что принцип был сформулирован Леви бен Гершоном в 1321 г.

Термин «математическая индукция» впервые появился в статье Августа де Моргана «Индукция (математическая)» в Британской энциклопедии (1838). Благодаря Исааку Тодгентеру (1820-1884), многократно употреблявшему этот термин в своем популярном учебнике алгебры, он стал общепринятым.

В математику слово индукция было введено Джоном Валлисом в его «Всеобщей Арифметике» (1656). Ученый позаимствовал этот термин из философии, где он означал переход от частного к общему и четко отделил математический смысл от философского.

В математике под индукцией, называемой еще индуктивным умозаключением, понимают четыре вида индукции.

1. неполная индукция - это заключение (или вывод) от частного к общему. Другими словами общий вывод, основанный на изучении отдельных частных фактов (наблюдений).

Пример 1. Рассмотрим трехчлен x2 + x + 41. Его указал великий Леонард Эйлер (1707-1783). Он заметил, что, подставив вместо x нуль, получается простое число. При x = 1 значением многочлена является 43 - также простое число. Продолжая подставлять в трехчлен последовательно значения х = 2; 10, каждый раз ученый получал простые числа: 47; 53; 61; 71; 83; 97; 113; 131; 151 соответственно. На основании этих результатов еще нельзя утверждать, что, подставляя в трехчлен вместо х любое натуральное число, всегда в результате окажется простое число.

Хотя индукция широко используется в математике, но применять ее нужно умело. Если в приведенном выше примере вместо х подставлять значения

х = 0, 1, 2, ..., 39, то результатом во всех случаях будет простое число. Однако при х = 40 значение трехчлена равно 412, т.е. - число составное.

Приведем еще один пример утверждения, которое верно лишь в нескольких случаях, а вообще - ложно.

Пример 2. Двучлен хп - 1, где п е N, представляет большой интерес в математике. В частности, он тесно связан с классической задачей деления окружности на п равных частей, а также в области комплексных чисел, появившихся в первых десятилетиях XIX в.

Математиков интересует также вопрос о разложении этого двучлена на множители с целыми коэффициентами. Рассматривая его разложение при многих частных значениях п, ученые заметили, что все коэффициенты разложения по абсолютной величине не превышают единицы. Действительно:

X - 1 = X - 1,

.X2 - 1 = (х - 1)-(х + 1), X3 - 1 = (х - 1) ■ (х2 + X + 1), X4 - 1 = (х - 1)-(х + 1)-(х2 + 1),

х5 -1 = (х -1) ■ (х4 + X3 + X2 + X + 1),

X6 -1 = (х - 1) ■ (х +1) ■ (х2 + х +1)- (х2 - X +1),

Были составлены многочисленные таблицы, в которых при разложении бинома на множители коэффициенты этим свойством обладали. Однако попытки доказать этот факт для любого п не увенчались успехом.

В 1938 г. в выпуске 4 журнала «Успехи математических наук» была опубликована заметка выдающегося советского математика, члена-корреспондента АН СССР Михаила Григорьевича Чеботарева (1894-1947), в которой он предложил нашим математикам выяснить этот вопрос. Его решил в самом начале Великой Отечественной войны молодой ученый Валентин Константинович Иванов [4]. Он показал, что указанным свойством обладают все двучлены хп - 1, степень которых меньше 105. Одним из множителей х105 -1 является многочлен

х48 + х47 + х46 - х43 - х42 - 2х41 - х40 - х39 + х36 + х35 + + х34 + х33 + х32 + х31 - х28 - х26 - х24 - х22 - х20 + х17 + + х16 + х15 + х14 + х13 + х12 - х9 - х8 - 2х7 - х6 - X5 + X2 + X +1. А он уже не обладает указанным выше свойством.

Пример 3. Наконец покажем, что всякое утверждение может стать математическим фактом только тогда, когда оно строго доказано. В противном случае никакие ссылки на очевидность, интуицию или авторитеты не делают это высказывание истинным. Так, при подстановке п = 1, 2, ... в выражение £ = 991п2+1 (п е N не будет получен точный квадрат даже при очень больших натуральных числах. Но и после этого нельзя утверждать, что £ не является точным квадратом. Великий Леонард Эйлер, сформулировавший

этот математический факт, выполнил трудоемкую проверку для всех значений n < 1000. Не получив при этом противоречия, он сформулировал свое утверждение как гипотезу: «Ни при каком натуральном значении n выражение S = 991n2+1 не является полным квадратом». Шли годы... Однако в начале 50-х годов XX в. было доказано с помощью ЭВМ, что S может быть полным квадратом. Наименьшим при этом является двадцатидевятизначное число n = 12 055 735 790 331 359 447 442 538 767.

2. Индукция является полной, если вывод, основан на рассмотрении всех частных фактов (геометрических фигур, объектов, чисел) или всех элементов конечного множества.

Примером 4 использования такой индукции является доказательство теоремы о величине вписанного в окружность угла. При этом рассматриваются все частные случаи расположения центра окружности О по отношению к сторонам угла: а) О принадлежит одной из сторон угла; б) О лежит внутри угла; в) О лежит вне вписанного угла (рис.1).

а)

б)

Рис. 1

Пример 5. Методом полной индукции доказывается и лемма в алгебре многочленов: высший член произведения двух многочленов от п переменных равен произведению их высших членов. При доказательстве рассматриваются произведения четырех видов одночленов двух многочленов

/и g от п переменных: Ах"1 х... - высшего члена /; Бх^1 х^2... х^п -

произвольного члена /; Сх[}хр2... хППп - высшего члена g; Эх^1 х^2... произвольного члена g.

у 2 У n _

... Xn

Всего при умножении получится четыре вида одночленов:

АСха1 а2 +У2 хап +Гп АПга1га2 +52 °п +Зп ОГг^ г^2 +Г2 хРп +Гп

.А-^^А^ х^ ... хп , А^^Ух^ х^ ... хп , ^У^^х^ х^ ... хп

ББх^1 +§1х^2... х^п . Требуется показать, что член

АСха1 +Г1 ха2 +Г2... хОп+7п является высшим членом произведения / ■ g, т.е.

он выше всех остальных, причем в последнем случае возникают 3 подслучая.

Вывод, сделанный на основании применения полной индукции, всегда является верным. А так как утверждения, основанные на применении полной индукции, всегда истинны, то иногда ее называют совершенной индукцией.

3. Наконец, индукция, названная математической, является одним из важнейших доказательств в математике, основанном на аксиоме (принципе) математической индукции. Аксиома математической индукции состоит в том, что: если предложение А(п), где п е N, истинно для п = 1 и из предположения о том, что оно истинно для некоторого натурального числа п = к, вытекает, что оно истинно для следующего числа п = к + 1, то предложение верно для любого п е N. В символической форме принцип записывается в виде: (А(1)) & (А(к) ^ А(к +1)) ^ ((Уп)А(п)).

Заметим, что аксиома индукции была введена итальянским математиком профессором Туринского университета (с 1890) и членом Туринской АН Джузеппе Пеано (1858-1932) в 1892 году [1].

Доказательство, основанное на принципе математической индукции, называется методом математической индукции; оно состоит из двух частей: в первой проверяется истинность высказывания А(1) - построение базиса индукции; во второй части, индуктивной, предполагается, что А(п) верно при п = к и доказывается истинность высказывания А(п) при п = к + 1. Другими словами, в этой части доказательства устанавливается А(к) ^ А(к+1). Если это выполняется, то утверждается истинность предложения А(п) для любого п е N.

Пример 6. Применим метод математической индукции к доказательству следующего тождества А(п):

A(n) : 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n + 1)(2n + ^. v 7 6

Заметим, что в словесной форме суммирование квадратов n первых

натуральных чисел умели выполнять еще древние вавилоняне.

1. Для n = 1 А(1) истинно, так как:

1 -(1 +1)-(2 • 1 +1)

= 6 '

1 = 1.

2. Докажем, что A(k) ^ A(k+1). Предположим, что A(k) истинно, т.е.

12 + 22 + 32 + . . . + к2 = к(к +1)(2k +1) верно при k е N (*).

6

Докажем, что оно выполняется при n = k + 1, т.е.:

12 + 22 + 32 + ... + к2 + (к +1)2 = (к +1)(к + 2)(2к + 3).

А(к +1): (12 + 22 + 32 +... + к2)+(к +1)2 = к(к +1)(2к +1) + (к +1)2 =

_ (к +1)(к (2к +1) + б(к +1)) _ (к + 1)(2к2 + 7 к + б) _ = б = б =

(к +1)2(к + ^ + (к + 1)(к + 2^ + з) б б '

Следовательно, А(п) справедливо для любого натурального п.

Метод математической индукции нашел широкое применение в математике при выводе формул биномиальной и полиномиальной теорем, логарифмов, комбинаторики, доказательстве метода включения-исключения, теории чисел и др.

Приведем несколько примеров его использования при решении разнообразных задач.

Пример 7. Применение метода математической индукции при доказательстве формул.

Пусть А(п): 1 + 3 + 5 + _ + (2и -1) = и2.

1. Очевидно, что утверждение истинно при п = 1. Левая часть в этом случае содержит одно слагаемое 1, а правая равна 1 2. Тогда рассматриваемое равенство обращается в тождество: 1 = 1 2.

2. Докажем, что А(к) ^ А(к+1). Предположим, что А(к) истинно, т.е.

1 + 3 + 5 +... + (2к -1) = к2 при к е N.

Докажем, что оно верно при п = к + 1:

1 + 3 + 5 +... + (2к -1) + (2к +1) = (к +1)2.

А(к +1): (1 + 3 + 5 +... +(2к- 1)) + (2к +1) = к2 +(2к +1) = (к +1)2.

Следовательно, по принципу математической индукции А(п) справедливо для любого натурального п.

Следует заметить, что рассматриваемое равенство о сумме первых п нечетных чисел было известно еще философам Древней Греции, но доказывали они его геометрически, представляя квадрат со стороной п в виде объединения гномонов (рис. 2), площади которых равны 1, 3, 5,..., (2п-1) [5].

1 2 3 4 5 ...

Рис. 2

Пример 8. Применение метода математической индукции в задачах на суммирование.

Выведем формулу для суммы: Бп = +—1—I—1—+... +---Д-г.

1 ■ 2 2 ■ 3 3 ■ 4 п ■(п +1)

11 112

Суммы первых нескольких слагаемых: & =-= —; =--+--= _;

1 1 ■ 2 2 2 1 ■ 2 2 ■ 3 3

„1113

^ =--!---^--= — позволяют выдвинуть гипотезу о том, что

3 1 ■ 2 2 ■ 3 3 ■ 4 4

111 1 п

Бп =-+-+-+ ... +

5

1 • 2 2 • 3 3 • 4 п •(п +1) п + Г Докажем это равенство методом математической индукции.

1. Истинность утверждения Бп при п = 1, 2, 3 уже установлена.

2. Докажем, что Б(к) ^ S(k+1). Предположим, что Б(к) истинно, т.е.

111 1 к

=-+-+-+ ... +-7-ч =-.

к 1 • 2 2 • 3 3 • 4 к - (к +1) к +1 Докажем, что при п = к + 1

к+1 = Ь2 + 2^3 + 3^4 + ... + к • (к +1)+ (к + 1^(к + 2)" к + 2 ' Действительно,

' 1 1 л 1 к 1

к+1

1 1 1 1

+-+-+ ... +

+ 7-^-ч = - +

1 • 2 2 • 3 3 • 4 "' к •(к +(к + 1)^(к + 2) к +1 (к + 1)^(к + 2) к2 + 2к +1 (к +1)2 к +1

(к + 1^(к + 2) (к + 1^(к + 2) к + 2'

Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для любого натурального п.

Пример 9. Применение метода математической индукции к решению неравенств.

Установить, для каких натуральных значений п, справедливо неравенство 2п > 2п +1.

1. Пусть п = 1. В левой части неравенства получим 2, а в правой - 3. Неравенство не выполняется. Аналогичный результат получаем при п = 2: соответственно, слева 4, а справа - 5. Пусть п = 3, тогда 23 = 8, а 2^3 + 1 = 7. 8 > 7 - истинно.

2. Проверим, выполняется ли А(к) ^ А(к+1)? Предположим, что

неравенство 2к > 2к +1 верно.

Выясним справедливость неравенства при п = к + 1. Действительно, 2к+1 = 22к >2 • (2к + 1) = (2к + 3) + (2к - 1) > (2к + 3) = 2(к + 1) +1. Следовательно,

неравенство 2п > 2п +1 будет выполняться при всех п > 3, где

п е N.

Пример 10. Применение метода математической индукции

к доказательству неравенств.

тг ...1 3 5 2п -1 1 Докажем неравенство Л(п):------...--< . г •

2 4 6 2п -43п +1

1. Проверим справедливость утверждения при п = 1: 1 < , 1 =, т.е.

2 л/34 +1

1 1 ^

— < —. Это истинное неравенство. 2 2

2. Предположим, что неравенство верно при п = к:

1 3 5 2к -1 1

<

2 4 6 2к л/3к +1 Исходя из этого допущения, докажем, что при п = к + 1 будет выполняться неравенство:

Л 1 3 5 2к -1 2к +1 1 Л(к +1):------...----т-

2 4 Г 2к 2(к +1) s/3k + 4

1 3 5 2к -1 2к +1 1 2к +1 2к +1

<

2 4 6 - 2к 2(к +1) л/3к+Г 2(к +1) ^4(3к + 1)(к +1)2

_ 2к +1 __2к +1__ 2к +1 _ 1

д/(12к + 4)(к2 + 2к +1) л/12к3 + 28к2 + 20к + 4 ^(2к +1)2 (3к + 4) ^3к + 4

По принципу математической индукции неравенство верно для любого натурального п.

Пример 11. Применение метода математической индукции к задачам на делимость.

Докажем, что при любом натуральном п выражение

A(n): (2п+2 • 3п + 5п - 4) ! 25.

1. При п = 1 имеем: 21+2 • 31 + 5 Л - 4 = 25. 25! 25 -утверждение истинно.

2. Предположим, что при п = к оно верно: (2Ш • 3к + 5к - 4) ! 25. Докажем, исходя из этого предположения, что при п = к + 1 выполняется

Ak+i: (2к+3 • 3к+1+ 5(к + 1) - 4) ! 25.

Преобразуем левую часть соотношения: (2к+3 • 3Ш+ 5(к + 1) - 4) = 6-2ш • 3к + +5к + 1 = 6^(2к+2 • 3к + 5к - 4) - 25(к -1). Уменьшаемое делится на 25, так как множитель (2к+2 • 3к + 5к - 4) : 25 по допущению, а вычитаемое также имеет множитель 25. Поэтому по свойству делимости целых чисел их разность делится на 25.

Таким образом, по принципу математической индукции утверждение верно при любом натуральном п.

Метод математической индукции может быть применен и для изучения свойств числовых последовательностей. Большинство формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями, целесообразно выводить при помощи этого метода ввиду того, что определения прогрессий даются с помощью перехода от п к п + 1. Он применим для изучения и других видов последовательностей.

В примере 12 покажем, что если последовательность задана соотношениями а1 = 2, ап+1 = 3ап + 1, то ее п-й член находится по формуле

ап = 1 (5 • 3п-1 -1), где п е N.

Решение. 1. Найдем несколько первых членов последовательности, применив рекуррентные соотношения и, соответственно, формулу п-го члена:

п а1 = 2, ап+1 = 3ап + 1 ап = 1 (5 • 3п-1 -1)

1 а1 = 2 а1 =1 (5 • 30 -1) =1 • 4 = 2 1 2х '2

2 а2= 3-2 + 1 = 7 а2 = 1 (5 • 31 -1) = 1 • 14 = 7

3 а3 = 3^7 + 1 = 22 а3 =1 (5 • 32 -1) =1 • 44 = 22

Равенства выполняются при п = 1, 2, 3.

2. Допустим, что формула верна при п = к: ак = 1 (5 • 3к-1 -1).

Проверим истинность ее при п = к + 1: ак+1 = 3ак + 1 = 3^ 1 (5 • 3к 1 -1) +1 =

= 1 (5 • 3к - 3)+1 = 1 (5 • 3* -1).

По принципу математической индукции формула верна при любом натуральном п.

Применим метод математической индукции для изучения свойств конечных множеств.

Пример 13. Лемма. Существует 2п наборов длины п, элементами которых являются нули и единицы, где п - число символов, входящих в набор.

1. Пусть п = 1: Имеем 2 набора {0},{1}.

2. Предположим, что утверждение леммы справедливо для п = к, т.е. существует 2* наборов длины к, элементами которых являются нули и единицы.

Пусть ац, «12, ..., - первый набор,

а2Ъ «22, ..., а2* - второй набор,

а , а к , ..., а - 2к-й набор для всех ац е {0,1}.

Применим к первому набору следующее преобразование: сначала допишем в конце набора 0, а затем 1. В результате, из одного набора длины к получим два набора длины (к+1).

а11 а12 ••• а1к 0,

а11 а12 ••• а1к 1

Таким же образом поступим с каждым из 2к наборов. Всего наборов

о ок ок+1

получится: 2^ 2 = 2 .

По принципу математической индукции утверждение леммы справедливо для любого натурального числа п.

Аналогично решается задача о нахождении числа подмножеств конечного множестваМ, содержащего п элементов. Количество подмножеств у него 2п.

Находит применение метод математической индукции и в геометрии при решении разнообразных задач на разбиение геометрических объектов: прямой на интервалы, плоскости на области и т.д.

4. Трансфинитная индукция - это обобщение метода математической индукции. Она состоит в следующем: пусть дано некоторое вполне упорядоченное множество А; его можно считать множеством всех трансфинитов (меньших некоторого данного). Кроме того, дано некоторое утверждение P(a), которое сформулировано для каждого a е А и такое, что P(a) истинно для первого элемента А и верно для a, если оно выполняется для всех элементов, предшествующих a. Тогда, P(a) справедливо для всех элементов a е А.

Еще одним важным комбинаторным методом является принцип включения и исключения. Исторически он появился в результате математического анализа карточной игры, называвшейся в Германии «Treize» (тринадцать); Франции «Le problème des rencontres» (задача о встречах); Англии «Meeting» (встреча). Различные игровые ситуации этой задачи приводили к разработке соответствующего метода. Поэтому иногда принцип называют еще символическим методом, принципом перекрестной классификации, методом решета и др.

Однако следует заметить, что логические рассуждения, на которых основаны указанные методы, появились значительно раньше. При анализе мемуара [10] Пьера Ремона де Монмора (1678-1719) можно видеть, что метод включения - исключения он с успехом применил для решения «задачи о встречах», т.е. в случае когда ни один из n элементов не занимает первоначальной позиции. Так как Монмор вел переписку с Николаем I Бернулли - племянником Якоба I Бернулли, - то по-видимому ему было известно о получении Николаем общей формулы для числа полных смещений всех n элементов рассматриваемого множества.

Несколько позже английский ученый Абрахам де Муавр (1667-1754) в работе [11] мог также использовать этот метод. В своем трехтомнике [12] «История теории чисел» американский математик Леонард Юджин Диксон

(1874-1954) указал на появление метода у Даниэля да Сильва - португальского математика (1814-1878). Первое образование Даниэль получил в Лиссабоне (Королевское военно-морское училище), а второе - в математическом отделении университета г. Коимбры. Впоследствии он стал там профессором. Принцип же включения - исключения содержится в его публикации 1854 г.

Метод, который будет представлен ниже, часто применяется для решения задач, которые носят комбинаторный характер.

Основной характеристикой конечного множества Х является число его элементов. Оно называется его мощностью и обозначается п(X). Так для множестваX = (х1, X2, ..., Xm} вводится обозначение п^ = m.

Задачи, в которых следует определить мощность конечного множества, часто решают с помощью диаграмм (кругов) Эйлера-Венна. Такое название они получили по имени великого Леонарда Эйлера (1707-1783), швейцарца по происхождению, проработавшего 25 лет в Петербургской Академии наук, и английского математика Джона Венна (1886-1921), занимавшегося вопросами логики.

Для лучшего понимания метода (принципа) включения-исключения вначале рассмотрим частные примеры.

Пример 1. В научно-исследовательском институте работают 67 человек. Из них 47 человек знают английский язык, 35 - немецкий и 23 человека - оба языка. Сколько человек в институте не знают ни английского, ни немецкого языка.

Решение. Пусть п - общее число сотрудников (п = 67). Сначала следует разбить все множество сотрудников института на группы, не имеющие общих элементов. В одну из них войдут лишь те, которые знают только английский язык, в другую - лишь те, которые знают только немецкий, в третью - те, кто владеет обоими языками, а в последнюю - те, кто не знает ни английского, ни немецкого. Изобразим условие задачи на кругах Эйлера-Венна (рис. 3).

В условии задачи дано, что третья часть состоит из 23 человек, другими словами

п(А) П п(Н) = 23. Но так как английский знают 47

Рис. 3

человек, то одним этим языком владеют 47 - 27 = 24 человека. Аналогично только немецким языком владеют 35 - 23 = 12 человек. Из этого

заключаем, что общее число людей, владеющих одним из языков, равно 24 + 23 + 12 = 59 человек.

Всего же в институте работают 67 человек. Следовательно, на долю тех, которые не владеют ни английским, ни немецким приходится 67 - 59 = 8 человек. Этот ответ можно записать в виде: 8 = 67 - (24 + 23 + 12) = 67 - 59.

В символической записи он имеет вид п( А и Н ) = п - п(А) - п(Н) + п(А П Н).

Отсюда видна закономерность: из общего числа сотрудников института вычитается (исключается) число знающих английский и число знающих немецкий язык. При этом некоторые сотрудники попали в оба списка и оказались исключенными дважды. Это те, которые владеют обоими языками. Поэтому, прибавляя это число (23), получим количество сотрудников, не знающих ни одного из иностранных языков. Оно равно 8.

Усложним теперь рассмотренную выше задачу на случай знания трех языков, т.е. еще и французского.

Пример 2. Пусть в дополнение к условиям предыдущего примера 20 человек знают еще и французский, английский и французский - 12 человек,

6

немецкий и французский - 11, а все три языка -5 человек. Эти данные, включая и условие примера 1, занесем на круги Эйлера-Венна (рис. 4). Только английский и французский, без немецкого знают 12 - 7 = 7 человек, а немецкий и французский без английского 11 -5 = 6 человек. Поэтому только один

Рис. 4

французский знают 20 - (7 + 5 + 6) = 2 человека. Эти же сотрудники входят в число тех 8 человек (пример 1), которые не знают ни немецкого, ни английского языка. Поэтому таких 6 человек (8 - 2). Запишем последовательно решение в аналитическом виде:

n( Л и Н и Ф )= п - (п(Л) + п(И) + п(Ф)) +

+ п(Л П Я) + п(Н П Ф) + п(Л П Ф) - п(Л П Я П Ф).

Процедура вполне понятна. Сначала из общего числа сотрудников вычитают число тех, которые знают только один из языков (может быть, среди них есть и другие). При этом некоторых вычли дважды, так как они знают два языка. Поэтому прибавляют числа, показывающие, сколько человек владеют двумя языками (а может, еще и третьим). Но владеющие тремя языками были вычтены трижды, а потом трижды прибавлены. Их надо тогда вычесть, поэтому 5 человек и вычитают.

Сформулируем теперь принцип включения-исключения в общем виде. Пусть имеется п объектов, из которых п(Л) обладают свойством А. Символом А обозначим отсутствие у объекта свойства А. Поэтому всегда выполняется равенство п( А ) = п - п(Л), так как каждый из объектов или обладает, или не обладает свойством А. Если же речь идет об объектах, обладающих двумя свойствами А1 и А2, то число элементов, не обладающих ни А1, ни А2, задается

аналитически в виде п( Л1 и А2 ) = п - (п(Л1) + п(А2)) + п( Л1 П А2 ). Так как

при вычитании п(Л1) и п(А2) из общего количества объектов п значение п(Л П

А2) вычитается дважды, а потому должно быть восстановлено. Этим, очевидно, и оправдывается термин «включение и исключение». Сам процесс состоит во включении «всего» и исключении лишнего; во включении ошибочно исключенного и т.д., т.е. в альтернативном включении и исключении.

Принцип включения - исключения может быть сформулирован в виде теоремы: Если из п объектов п(Л1) обладают свойствам Л1, п(Л2) обладают

свойствам Л2 и т.д.; п( Л1 П А2 ) обладают как свойством Л1, так и Л2, и т.д.;

п( А1 П А2 П А3) обладают свойствами А1, А2 и А3 и т.д., то число объектов

п( А1 и А2 и А3 и ...), не обладающих ни одним из этих свойств, находится по формуле:

п( А1 и А2 и А3 и ...) = п - (п(А\) + п(А2) + п(А3) + ...) + + (п(А1 П А2 ) + п(А1 п А3 ) + ... + п(А1 П Ап ) + ... + п( Ап-1 п Ап )) -

- (п( А1 П А2 П А3 ) + п( А1 П А2 П А4 ) + ... + п( Ап-2 П Ап-1 П Ап )) + ... (1)

Докажем формулу (1) методом математической индукции. Прежде всего, заметим, что п( А ) = п - п(А) применимо к любой совокупности объектов, определенной соответствующим образом. В силу этого замечания

1. п( А1 и А2 и ... и Ап-1 и Ап) = п( А1 и А2 и ... и Ап-1) -

- п( А1 и А2 и ... и Ап-1 и Ап).

2. Предположим, что формула (1) выполняется для (п - 1) свойств А1, А2, ..., Ап-1, т.е.

п( А1 и А2 и ... и Ап-1) = п - (п(А1) + п(А2) + ... + п(Ап-1)) + (п( А1 П А2 ) + ... + + п(Ап-2 П Ап-1)) +...+ (-1)п-1 п( А1 П А2 П ... П Ап-1)).

Применив это соотношение к совокупности п(Ап), получим п( А1 и А2 и ... и Ап-1 и Ап) = п(Ап) - (п( А1 П Ап ) + п( А2 П Ап ) + ... + п(Ап-1 П Ап)) +

+ п( А1 П А2 П Ап) +...+ (-1)п-1 п( А1 П А2 П ... П Ап-1 П Ап)).

Вычтем только что полученное равенство из предыдущего, получим равенство

(1) для п свойств А1, А2, ... , Ап-1, Ап.

Так как (1) справедливо для п свойств, будучи справедливым для (п - 1)

свойств, а для п = 1 оно выполнено, то теорема доказана.

Ниже приведем две задачи, предлагавшиеся на экзаменах при поступлении в один из центральных вузов.

Пример 3. На пробных вступительных экзаменах в Московский государственный университет леса по математике присутствовало 221 человек, по физике - 226 человек, по русскому языку - 229 человек. Экзамен и по физике, и по математике сдавали 214 человек; по физике и по русскому языку - 215 человек; по математике и по русскому языку 213 человек. 208 абитуриентов сдавали экзамен по всем трем предметам. Сколько абитуриентов сдавали хотя бы один экзамен?

Решение. Пусть Х1 - множество абитуриентов, сдававших математику, Х2 - физику, Х3 - русский язык. Тогда

п(Х1 и Х2 и Хз) = п(Х1) + п(Х2) + п(Хз) - п( Х П Х2 ) - п( Х П Хз ) - п( Х2 П Хз ) +

+ п(Х1 П Х2 П Хз) = 221 + 226 + 225 - 214 - 213 - 215 - + 208 = 242.

Заметим, что в некоторых случаях мощность множества можно определить непосредственно из анализа кругов Эйлера-Венна. Приведем соответствующий пример 4. Среди абитуриентов, выдержавших вступительные экзамены в Московский государственный университет леса, оценку «отлично» получили: по математике - 48 человек, по физике - 37, по русскому языку - 42, по математике или физике - 75, по математике или русскому языку - 76, по физике или русому языку - 66, по всем трем предметам - 4. Сколько человек получили только одну оценку «отлично»? Ровно два «отлично»? По меньшей мере одно «отлично»?

Решение. Заполним круги Эйлера-Венна с учетом условий задачи (рис. 5).

Через М, Ф и Р обозначим множества абитуриентов, сдавших на «отлично» соответственно математику, физику или русский язык; эти множества по условию имеют соответственно 48, 37 и 42 элемента. Общая часть всех трех предметов имеет 4 элемента. Пусть а, Ь, с, х, у, z - число абитуриентов, которые получили оценку «отлично» по одному или двум из трех предметов.

ф

М / Ь 37

48 х 4 ^ ) У \Р 42

а у с

Рис. 5

Используя круги Эйлера-Венна, условия задачи можно представить

в виде системы из шести уравнений с шестью неизвестными a, b, c, x, y, z.

a + x + y = 48 - 4 = 44, b + x + z = 37 - 4 = 33, с + y + z = 42 - 4 = 38, a + b + x + y + z = 75 - 4 = 71, a + с + x + y + z = 76 - 4 = 72, b + с + x + y + z = 66 - 4 = 62.

Но по условию задачи нужно определить не неизвестные, а суммы a+b+c и x+y+z. Для их нахождения сложим сначала три первых, а затем три последних уравнения системы:

\a + b + с + 2(x + y + z) = 115, [2(a + b + с) + 3(x + y + z) = 205.

Рассматривая последнюю систему уравнений как систему с двумя

неизвестными v = a +b +c и u = x + y + z:

fv + 2u = 115, 2v + 3u = 205,

получим v = a +b +c = 65, u = x + y + z = 25.

Наконец, последнее интересующее нас число

a +b +c + x + y + z +4 = 94.

Рассмотренные выше методы являются наиболее ранними. Первые два появились еще в Древней Греции (VI-V вв. до н.э.), третий - в эпоху Возрождения, а последний, начиная с исследований Б. Паскаля (1623-1662). Со времен Г.В. Лейбница (1646-1716) опережающими темпами стал формироваться метод производящих функций. В ХХ-ХХ1 вв. он активно используется в теории перечисления - одной из центральных частей комбинаторного анализа, а также в математическом анализе. Однако изучение его заслуживает специального исследования.

Список литературы

1. Peano G. Sui fondamenti della geometria // Rivista di Matematika. -1894. - V. 4. -P. 51-59.

2. Соминский И.С. Метод математической индукции.- М. : Наука, 1974.

3. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. - М. : ИЛ, 1963.

4. Иванов В.К. Решение одного из вопросов теории чисел // В ж. УМН, 1941.- Вып. 4. -С. 313-317.

5. Избранные вопросы математики: 9 кл. Факультативный курс. - М. : Просвещение, 1979. - Раздел «Метод математической индукции». - С. 5-27.

6. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. - М. : МГУ, 1985. - Изд. 2.

7. Холл М. Комбинаторика. - М. : Мир, 1970.

8. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. - М. : Наука, 1969.

9. Рыбников К.К. Дискретная математика. - М. : Изд-во Московского государственного университета леса, 2003. - Ч. I. Конечные алгебраические структуры и функции.

10. Montmort P.R. Essay d'analyse sur les jeux hazapg. - Paris, 1713. - 2-me ed.

11. Moivre A.M. The doctrine of chances ets... - London, 1718.

12. Dicksen L.E. History of the theory of number. - N.-Y., 1934. - T. I-III.