О методе расчета неразрезных балок Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539

О МЕТОДЕ РАСЧЕТА НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК

Канд. техн. наук ЯКУБОВСКИЙ А. Ч., канд. техн. наук, доц. ЯКУБОВСКИЙ Ч. А.

Белорусский национальный технический университет

Неразрезными, или многопролетными, называются статически неопределимые балки, которые перекрывают несколько пролетов (два и более) и не имеют промежуточных шарниров. Неразрезные балки составляют важный класс статически неопределимых стержневых систем и часто встречаются как в строительстве, так и в других отраслях современной техники.

Наиболее широко применяемым на практике общим методом расчета статически неопределимых систем является метод сил. Он подробно освещается в учебной литературе по сопротивлению материалов [1-4]. Однако в настоящее время в технических вузах республики метод сил используется лишь для расчета статически неопределимых рамных конструкций, в то время как расчет неразрезных балок производится с использованием так называемых уравнений трех моментов. Наконец, расчет статически неопределимых стержневых систем, работающих на растяжение-сжатие, выполняется с применением метода совместности перемещений. Этот метод трудоемок и неэффективен, так как изображение системы в деформированном состоянии вызывает значительные трудности, связанные с необходимостью соблюдения условия неразрывности деформаций, а составление требуемых геометрических соотношений статически неопределимых систем два и более раза является весьма непростой задачей, требующей большого объема вычислений.

Применение метода расчета неразрезных балок с использованием уравнений трех моментов также имеет ряд существенных недостатков и является лишь искусственным преобразованием метода сил [5]. Обоснована и возможность применения метода сил для расчета любых статически неопределимых систем (стержневых, рамных, балочных, пространственных), что значительно упростило бы изложение учебного материала.

Однако опыт показывает, что использование единого метода (метода сил) для расчета статически неопределимых систем вызывает неприятие со стороны многих преподавателей (в том числе доцентов и профессоров) кафедр «Сопротивление материалов» технических вузов Республики Беларусь.

Нами предлагается расчет неразрезной балки при силовом воздействии двумя методами -методом сил и методом с использованием уравнений трех моментов. Сопоставление этих методов расчета позволит оценить достоинства каждого из них и сделать окончательные выводы.

Пример. Подобрать двутавровое сечение неразрезной балки, находящейся под внешним силовым воздействием.

Расчет методом сил (рис. 1).

1. Устанавливаем степень статической неопределимости балки (рис. 1а). Известна формула для определения лишних связей в статически неопределимых стержневых системах: Л = С0 + 2Ш ~ ЗД. Здесь С0 - число опорных связей; Ш - количество промежуточных шарниров; Д - число дисков. Для неразрезных балок (при Ш = 0 и Д = 1) она преобразуется в более простую

Л = С0-3. (1)

В нашем случае С0 = 6. Тогда Л = 6 - 3 = 3. Следовательно, балка три раза статически неопределима.

2. Выбираем основную систему. Для этого устанавливаем шарниры в сечениях над промежуточными опорами и в защемлении (рис. 16). В качестве неизвестных принимаем опорные изгибающие моменты Хъ Х2,

3. Составляем канонические уравнения метода сил. Для трижды статически неопределимой балки с учетом того, что 813 = 831 = 0, матрица системы канонических уравнений приобретает трехдиагональную структуру:

8гЛ + $22^2 + ^23^3 + ^2F ~ ® ’ О + 832-^2 5з:Дз ^ъу ~ ® •

(2)

Такая структура уравнений сохраняется при любом числе пролетов.

4. Строим единичные (рис. 1в) и грузовые (рис. 1г) эпюры изгибающих моментов, рассматривая каждый пролет балки как отдельную простую двухопорную балку, последний пролет рассматривается вместе с консолью.

<71= 20 кН/м 80 ^

40 кН

^гтттТГ Тттг^

25 кН т = 60 кЙ-м

^ Цг= 15 кН/м ТТ> г

23,61

Рис. 1

5. Находим коэффициенты и свободные члены канонических уравнений (2) по интегральной формуле Максвелла - Мора, заменяя интегрирование «перемножением» эпюр по правилу А. Н. Верещагина:

Мсъ = 0,56 - 60 + -59,44кНм.

Изгибающий момент посередине участка с распределенной нагрузкой д\ составит

М,

1 +

1

,=з м = (-92,22)+-2- (-5 83 3) +

+ | 360 + 120 _20 3 1^,6907 пи м

§2з ~ 532 - ; 8зз ~ ЕЗ ’

А _^{МРМЛ_,_ЬЬ А _525. А 430 -2JJ ЕЗ ЕЗ ' ЕЗ’ ър ЕЗ ■

6. Подставляя найденные величины в систему уравнений (2) и решая ее, находим:

Хх = 23,61 кН м; Х2 = -92^2 кН м;

Х3 = -5833 кНм.

7. Строим эпюру изгибающих моментов для всей балки. Для вычисления изгибающих моментов в характерных сечениях балки используем формулу

М = МхХх + М2Х2 + МЪХЪ + Мр. (3)

Вычисляем:

Мх =1-23,61 = 23,61 кНм;

МЛ=~2Ъ,61+^ (-92^2)+30 = -4,31 кН-м;

М2 =1-(-92,22)=-92,22 кНм;

Мв=~{-9Я22)+| (—5833)+120— 5037 кНм;

Л/3 = 1 • (-58,33) = -5833 кН-м;

М4 = - 30 кН м; М0 = 0;

М£ев=| (-5833)+ 20 = 0,56 кНм;

По расчетам строим эпюру М (рис. 1д).

8. Строим эпюру поперечных сил. Для этого используем дифференциальную зависимость Журавского при изгибе и формулу для определения поперечной силы на участке, где действует распределенная нагрузка:

е=^Г; О=О0 + Мш~^~- ^

Здесь 2о - поперечная сила в сечении от распределенной нагрузки. Знак поперечной силы при рассмотрении балки слева направо устанавливается по следующему правилу: на участках с возрастающим изгибающим моментом поперечная сила положительная и наоборот. Вычисляем:

0и = _23>61 + 4>31 = -931 КН;

6л2 = - 92,22 ~ 4,31 = -293 кН;

п -ЯМг~^) , Мв-М2 _ 20-6

^2~ 2 + /,-3 " 2 +

+

а

5037-(-92,22) д83[77

О

» 2 ' г,-з

= _2^6 + 50,37-(-92^2) = _36|23 2 6

Овз = -50’37 3 58,33 = -36,23 кН; 2ЗС = 5833 + 0,56 = 14,72 кН;

Ос4 = 5-—\ 30 =Н72 кН;

Q^ = qгa = \5■2 = Ъ0 кН; <2В = 0 .

По расчетам строим эпюру <2 (рис. 1е). Вычисляем максимальный изгибающий момент на участке с распределенной нагрузкой Ц\. По эпюре <2 находим:

2 = = 419 м.

0 qx 20 ’ ’

мтгх = 0^—+М2 = 83,772 4,19 - 9Я22 = 83,28 кНм.

9. Проверяем правильность выполненных расчетов.

Статическая проверка. Из эпюры £) находим опорные реакции неразрезной балки по формуле

(5)

где 0;ав, 2"ев- поперечные силы, действующие

справа и слева от л-й опоры.

Вычисляем:

Л, = -931 кН; ^ = 8^77—(—2931) = 113,08 кН;

Д,=14,72-(-36£3) = 50,95 кН;

Д* = 30-14,72 = 15,28 кН.

Проверяем равновесие всей балки:

Бу = 0; £^ + 1^ = 0;

^?1 + ^ +Л3 + Л4 --Р’-?1(/2 ~3)-^2а = 0;

-931+113,08+50,95+15,28-20-20-6-15-2 = 0;

-179,31 + 17931 = 0.

Кинематическая (деформационная) проверка заключается в проверке равенства нулю угла поворота сечения в защемлении 0! = 0, а также взаимного угла поворота сечений над промежуточными опорами (например, 02 = 0). Проверяем последнее условие

3-431 2 1 3-431 (2 1 ! Л 2 3 2 2 \3'2 3 )

3-92,22 Г1 1 . 2 ^ , 2 г 20-62 1 + 1/3 , ---2--3'2 + 3'ТЗ'6'1------Г~ +

+

6-5037 (2 1 1 Л 6-92,22 (2

2 Ч 3 ‘ 3 3 ) 2

у-1+Н,+

+

3-5037 2 1 3-5Ш 1 1'

2 3 3 2 ‘з'З

=-^(34664-34$64) = 0.

10. Подбираем двутавровое сечение балки. Для этого из условия прочности при изгибе находим требуемый момент сопротивления сечения при допустимом напряжении [а] = 160 МПа

IМ

ЦТ > ■ ЦЩ

мм3 =

3-23,61 1 1 2 3 2

_ 92,22-10 з

[а] - 160 -576,35-10

= 576353 см3.

По таблице сортамента выбираем двутавр № 33, у которого 597 см3.

Расчет с использованием уравнений трех моментов (рис. 2).

1. Устанавливаем степень статической неопределимости балки (рис. 2а)

Л = С0-3 = 6^-3 = 3.

2. Выбираем основную систему (рис. 26). Как и в методе сил, в сечениях над опорами устанавливаются шарниры. Однако в отличие от метода сил выбор основной системы в данном случае осуществляется с выполнением дополнительных, во многом искусственных, требований, а именно:

а) если балка имеет жесткое защемление, то оно отбрасывается, а вместо него вводится нулевой (фиктивный) пролет, длина которого /о= 0;

б) если балка имеет консоли, то они отбрасываются, а нагрузка, действующая на них, приводится к ближайшей опоре.

Наличие этих требований является существенным недостатком метода.

3. Записываем систему уравнений трех моментов, каждое из которых записывается для двух соседних пролетов и трех опор (отсюда и их название):

сОрДо , <оД

4 4

М010 + 2А/|(/0 + -А^Г 2^ — —6 *

щ+ш2(/,; (6)

,12 + 2М3{12+13)+М,13 =-б/«^+^),

М-

где са,- - площадь грузовой эпюры изгибающих моментов в г-м пролете; а,- - расстояние от центра тяжести эпюры до крайней левой опоры;

6, - то же правой опоры.

Здесь имеем:

4 = 0; со0 = 0; ^ = 0;

= -30 кНм.

М _ ДО _ 15-2

4. Строим грузовые эпюры изгибающих моментов от действия внешней нагрузки в каждом пролете в отдельности (рис. 1г). Последний пролет рассматривается без консоли (рис. 2в).

5. Вычисляем правые части уравнений трех моментов (6):

^ = 0; -^- = 45 кН м2; ^=420 кН м2;

= 45 кНм2; ^ = 480 кН м2;

к к

®А._

= 40 кНм .

6. Подставляя числовые значения найденных величин в систему уравнений (6) и решая ее, получим:

Мг = 23,61 кНм; М2 = -92,22 кН м;

М3 = -58,33 кН м.

7. Так как при расчете балки с использованием уравнений трех моментов не записывались канонические уравнения метода сил и не строились единичные эпюры изгибающих моментов, не имеется возможности построить окончательные эпюры М и () для всей балки сразу наиболее простым способом с применением аналитической формулы (3). Конечно, при этом методе расчета можно также построить эпюру изгибающих моментов для всей балки путем построения эпюры опорных моментов и ее графического сложения с грузовыми эпюрами. Однако такой способ построения не нашел применения из-за его сложности. Поэтому на практике поступают следующим образом. Строят эпюры £? и М от действия заданной внешней нагрузки и найденных опорных моментов, рассматривая каждый пролет в отдельности. А затем путем их совмещения получают окончательные эпюры для неразрезной балки. Такой способ является также трудоемким, требующим значительных дополнительных расчетов и построений.

Пролет 1

Пролет 2

Пролет 3

9,31 кН М ^ F

29,31 кН 83,77 кН

36,23 кН

14,72 кН 15,28 кН

9,31

23,61

92,22

Н 2 ^ 4г Г *

30

тпгтпшг 11111

0,56

Р Т}>— *-30

58,33 59,44

й

кН

К

кН-м

Рис. 3

Опуская весьма громоздкие вычисления, связанные с нахождением опорных реакций и выполнением необходимых расчетов для построения эпюр и М для каждого пролета, приводим лишь окончательный вид этих эпюр (рис. 3).

8. Строим эпюры £) и М для всей балки путем совмещения на общей базе соответствующих эпюр (рис. 1е, д).

9. Проверку правильности расчетов выполняем так же, как в предыдущем методе расчета. Однако для кинематической проверки необходимо построить единичные эпюры изгибающих моментов (рис. 1в) и каждую из них перемножить по правилу Верещагина с окончательной эпюрой изгибающих моментов неразрезной балки.

10. Подбор двутаврового сечения балки выполняется, как в предыдущем методе расчета.

ВЫВОД

Расчет неразрезных балок с использованием уравнений трех моментов является неэффективным, громоздким и устаревшим методом. Поэтому целесообразно при расчете любых статически неопределимых стержневых систем, в том числе и неразрезных балок, применять единый метод расчета - метод сил.

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1986.-512 с.

2. Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. - М.: Высш. шк., 1989. - 624 с.

3. Горшков Н. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. - М.: Физмат-лит, 2002. - 544 с.

4. Старовойтов Э. И. Сопротивление материалов. -Гомель: БелГУТ, 2004. - 376 с.

5. Якубовский А. Ч., Якубовский Ч. А. Общий метод расчета статически неопределимых систем // Машиностроение. ~ 2005. - Вып. 21.

т