О математической постановке задачи движения вязких сжимаемых теплопроводящих жидкостей в термоупругой трубке Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2013, том 23, № 4, c. 85-90

= МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ :

УДК 534.131.2

© Б. П. Шарфарец, Н. Н. Князьков, Т. Н. Пашовкин

О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКИХ СЖИМАЕМЫХ ТЕПЛОПРОВОДЯЩИХ ЖИДКОСТЕЙ В ТЕРМОУПРУГОЙ ТРУБКЕ

Представлена математическая модель, позволяющая рассчитывать стационарные температурные поля и поля упругих колебаний в термоупругой трубке и вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости при условии связанности упругих и тепловых процессов. Освещены термодинамические процессы и вопросы постановки краевых условий.

Кл. сл.: термоупругость, вязкость, тензор напряжения

ВВЕДЕНИЕ

При изучении динамических процессов в трубках, наполненных жидкостью, часто возникает необходимость учета как теплопроводности вязкой жидкости, заполняющей трубку, так и эффекта связанной термоупругости самой трубки, выполненной из некоего упругого материала. Отметим, что решение системы уравнений Навье—Стокса с учетом теплопереноса также сводится к решению связанной задачи для системы уравнений, включающих, например, вектор скорости течения жидкости и ее температуру. Поскольку задача термоупругости обычно ставится и решается в линейном приближении, то и систему Навье— Стокса целесообразно линеаризовать.

Ранее одним из авторов публиковались работы по сходной тематике, однако без учета теплопроводности и вязкости [1, 2]. Между тем, игнорирование этих факторов в ряде случаев может быть недопустимым.

В настоящей работе рассматривается в общем виде задача о движении вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости в упругой теплопроводной трубке бесконечной длины, сводящаяся к решению линеаризованной системы уравнений Навье— Стокса и связанной системы термоупругости, описывающей динамику трубки. Подразумевается, что возмущение является гармоническим во времени.

СИСТЕМА УРАВНЕНИИ НАВЬЕ—СТОКСА

Система уравнений Навье—Стокса для описываемого случая имеет наиболее полный вид [3]:

уравнение неразрывности сжимаемой жидко-

сти

^ +div (pv ) = 0

(1)

- уравнение Навье—Стокса сжимаемой вязкой жидкости

dv

+ (vV)vJ = _V^ + ^ ++ ^JVV- v , (2)

- уравнение теплопереноса сжимаемой вязкой жидкости

PTf5 + v-vSJ = ^ + V-(*-VT) . (3)

dt

dx,r

(

Здесь и' = ц

dv,. dv, —'- +—-

dx, dx,

2 —(

3

dv

Л

dx

Я dv,

dx

к I I /

вязкий тензор напряжений; р — плотность; р — давление; v — вектор скорости; Т — абсолютная температура; т], д — соответственно коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; к — коэффициент теплопроводности жидкости; 5 — энтропия единицы массы жидкости.

Ранее подход к подобному решению для случая вязкой, теплопроводящей однородной безграничной жидкости был предложен, например, в работах [4-6]. Здесь придерживаемся подхода, изложенного в [6].

Уравнения (1)-(3) содержат пять уравнений при семи неизвестных. Для разрешимости этой системы необходимо добавить два термодинамических уравнения состояния, а именно зависимости

плотности р и энтропии 5 через давление р и температуру:

Р = Р(Р,Т ) , (4)

5 = 5 (р,Т) . (5)

В Приложении приведен подробный вывод следующих соотношений, лаконично изложенных, например, в [4, 5]:

dр = 7гdp - ар dT, с

d5 = — dT - -^р.

Т Р

(6) (7)

Расшифровка всех обозначений дана в Приложении.

Пусть в состоянии равновесия (покоя) жидкость характеризуется параметрами (используем индекс 0) v0, р0, р0, Т0. Возмущенное состояние будем характеризовать штрихованными добавками с порядком приближения, равным количеству штрихов, а именно: V = V 0 + V'+ V"+...,

Р = Р0 + Р'+ Р"+..., Р = Р0 + Р'+ Р"+..., Т = Т0 + +Т'+... Аналогично и для параметров 7 = Г0 + /'+..., - = -0 + а'+..., 77 = ^ + ...,

я = я+я'+... и т. д.

Рассмотрим вначале случай неподвижной изначально жидкости v0 = 0 . Температура окружающей капилляр среды имеет постоянную температуру, также равную Т0.

Линеаризуем систему уравнений Навье— Стокса (1)—(3), оставляя стандартно только величины первого порядка малости (в переменных коэффициентах пока принимаются их значения, соответствующие равновесному состоянию температуры Т0 и обозначаются нулем в нижнем индексе) и исключая переменные р ' и 5' с использованием соотношений (6), (7). Из этих соотношений имеем: 8р' 70 8р' дТ' 85' ср0 дТ' а0 8р'

~8Г'

= + а0р0 8t с0 8t

С02р0 Га Т -V. V '

(1а)

8р

8* 70 ^ 0 81 Р0 ^ = ^^'+1?0 + у V', (2а)

ДТ '-

1 8Т' а0Т0 8р'

Х0 8

кп

8t

(3а)

Здесь %0 =

— равновесный коэффициент

Р0ср0

температуропроводности.

Для гармонических процессов с фактором после исключения р' с помощью выражения (1а) последние выражения приводятся к системе из двух уравнений [5, 6] (далее фактор е-"* опущен и выписаны выражения для амплитуд соответствующих величин при сохранении обозначений):

(

Ду'+

гс,

I + Я +_

3 По 70" К

2 Л

а с

VV• V '+ — V' = VT', (8)

0

га К

70^0

ДТ'+-"-Т • = V. V'.

70X0 аХ7о

(9)

Здесь у0 =^0 / р0 — кинематическая вязкость. После представления скорости V' через скалярный и векторный потенциалы

V' = Vр'+Vx у' в [5, 6] получено:

(Д + А )р = -

гаап

Аз

-Т'

(Д + А2 )Т • =(1 - 70) А1 р-.

а0Х0

Здесь

А = 70®2 / (с02Аз);

(10) (11)

(12)

А2 = г® (70 + Аз -1) / (Х0А370); (13) Аз = 1 - г® 70 (я + 4^0 / 3) / (Р0С02); (14)

8* Т0 8* р0 8*

V5' = -рр0 VT'- — Vp'. Окончательно линеаризо-Т0 р0

ванная система уравнений Навье—Стокса приобретает вид [5, 6]

(д + k32) у' = 0, ^

1 + г

(15)

Здесь Зу =у]2у0 / а — глубина проникновения вязкой волны.

Таким образом, при решении линеаризованной системы уравнений Навье—Стокса получается система двух связанных уравнений в частных производных, например для переменных Т' и V' (8, 9) или (10, 11) для переменных Т' и скалярного потенциала р' с коэффициентами, определенными из (12)—(14). Векторный потенциал у' находится из простого уравнения (15).

СИСТЕМА УРАВНЕНИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ

В случае влияния температуры на деформацию, в частности, однородных изотропных упругих тел процесс описывается линеаризованной системой связанных динамических уравнений термоупругости [7, 8]:

р = + (Л + М)УУ- и -ГУТ'+ р1f, (16)

8t

лт-1 дТ--©У-8* = -Ш. Л 8t дt к

лоемкость п ри постоянной деформации; © =

к

8^

1 8Т'

р— = МЛи + (Л + М)УУ-и-ГУТ'

^©У-8* = лт •.

Л 8t 8t

МЛи + (Л + м)УУ- и + ра2и = ГУТ

га,

ЛТ '+ — Т' = -га©У- и . Л

2 Г ЛФ + ( к * Г Ф =-Т'

У х) Л + 2^

(к \ )2 =

а

(Л + 2М) / р '

ЛТ'+ —Т' = -га©У-и . Л

(22)

(23)

После замены в (23) У - и = ЛФ и представления ЛФ из (22)

(17)

ЛФ = -

Г

Здесь введены обозначения: Л , М — упругие модули Ламе для тела; р1 — его плотность; f — массовая сила; Г = (3Л + 2м)<^ — термомеханическая постоянная; аг — коэффициент линейного

термического расширения тела; Л = — — коэф-

се

фициент температуропроводности; к1 — коэффициент теплопроводности тела; се — удельная теп-

ГТ

1 1о .

Л + 2м

Т'-(к \ )2 Ф,

получаем из (23)

ЛТ'+ —Т' = -га ©У - и = -га ©ЛФ = Л

(

(к '1 )2 Ф-

Г

-Т'

Т0 — равновесная температура тела; ш — мощность внутренних источников тепла, отнесенная к единице объема.

При условии отсутствия массовых сил и тепловых источников уравнения термоупругости упрощаются:

= га©

Л + 2М откуда окончательно имеем

ЛТ'+ га ^ 1 + ©^Т' = га ©(к\ )2 Ф . (24)

Таким образом, для термоупругого тела получена связанная система уравнений (22), (24). Для векторного потенциала Т из (20) легко получить

(Л + к 'з2)¥ = 0, к'

г—2

а

V С у

(25)

(18)

(19)

Для стационарного процесса с временным фактором е-м система уравнений (18), (19) преобразуется соответственно к виду (обозначения для амплитуд оставляем прежними для упрощения записи)

(20)

(21)

После стандартного представления

и = УФ + Ух Т через скалярный и векторный потенциалы выражения (20), (21) преобразуются к виду

2 М

где с1 =— — квадрат скорости поперечных ко-Р1

лебаний в упругом теле.

КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

К уравнениям для однозначного их разрешения обычно добавляются краевые и начальные условия. Поскольку будем изучать стационарные задачи, ограничимся только краевыми условиями. Будем разделять температурные и механические краевые условия.

Механические краевые условия Механические краевые условия на границе упругого тела и жидкости при наличии вязкости в жидкости подразумевают выполнение двух условий:

- непрерывность вектора скорости на границе раздела [3];

- непрерывность компонентов тензоров напряжений на границе [10].

2

При контакте жидкости или упругого тела с вакуумом подразумевается равенство нулю компонентов тензора напряжений на границе.

На бесконечной границе принимается условие отсутствия деформаций [10].

Температурные краевые условия

- Краевые условия температурного сопряжения на границе раздела жидкости и трубки при г = а1, где а1 — внутренний радиус трубки:

Т '(г = а) = Т2\г =

к

8Т1 '(г = а1) 8Т2 '(г = а1)

8г

= к

8г

Это означает непрерывность температуры и теплового потока на границе

- При теплообмене нагретого тела с окружающей средой принимается закон Ньютона конвективного теплообмена. Согласно этому закону, количество теплоты q, отдаваемое в единицу времени единицей площади граничной поверхности с температурой Т (х, *) в окружающую среду с температурой Тш,равно

q(x,*) = а[Т(х,*)-ТоШ].

(26)

а

[Т (х, *) - ] = -

к-

8Т (х, *)

8п

работка генетического анализатора для секвенирова-ния и фрагментного анализа ДНК" (шифр заявки "20112,2-522-014-001", Государственный контракт № 16,522,12,2014 от 10 октября 2011 г.).

Приложение.

ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ

Здесь приведем некоторые термодинамические соотношения, следующие из первого начала термодинамики (закона сохранения энергии) [3, 1114]. Рассмотрим однофазную систему (однородная среда). Наиболее важными переменными состояния термодинамической системы являются абсолютная температура Т, плотность р, удельный

объем V (объем единицы массы V = —), энтропия

Р

единицы массы 5 , внутренняя энергия единицы массы е и давление р. Структура однофазной системы определяется функциональными соотношениями между переменными состояния. Следуя Гиббсу, выбирают в качестве основного соотношения [11]

е = е(5^)

(П1)

Здесь а — коэффициент теплопередачи; х принадлежит граничной (в данном случае торцевой поверхности).

Согласно закону Фурье и закону сохранения энергии, выражение (26) равно

(функция е(5V) предполагается заданной заранее) и принимаются следующие определения р и Т:

8е ^ 8е р =—, Т = — . 8V 85

(П2)

Здесь х — точка поверхности тела (жидкости); к — коэффициент теплопроводности тела (жидкости); п — вектор внешней нормали к поверхности теплообмена.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе представлена математическая модель, позволяющая рассчитывать стационарные температурные поля и поля упругих колебаний в термоупругой трубке и вязкой тепло-проводящей сжимаемой жидкости при условии связанности упругих и тепловых процессов. Освещены термодинамические процессы и вопросы постановки краевых условий.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках Федеральной целевой программы "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 20072013 годы" и опытно-конструкторской работы "Раз-

Полное дифференцирование (1) приводит с учетом (П2) к важному выражению:

Т<Ъ = dе + pdV = dе--p-dр , (П3)

Р

которое для обратимых процессов (в этом случае выполняется равенство Td5 = SQ , а элементарная работа при квазистатическом расширении системы под воздействием всестороннего давления равна SA = pdV) сводится к выражению, совпадающему с формулировкой первого начала термодинамики:

SQ = dе + pdV = dе-^dр. (П4)

Р

Здесь SQ — элементарное количество теплоты, подводимое к удельному объему V .

Между параметрами равновесного состояния термодинамической системы существует аналитическая связь [12]. Различные соотношения между переменными состояния Т , е , 5 , V, р и р, которые можно получить из (П1)-(П4), называются

уравнениями состояния. Ясно, что, зафиксировав две переменные (в данном случае 5 и V), можно определить все остальные. Уравнение, связывающее независимые внутренние и внешние параметры в равновесном состоянии системы, называется уравнением состояния. В общем виде это уравнение можно записать так

Е (р,У ,Т ) = 0:

(П5)

5 = 5 (Р,Т) .

(П7)

dр =

г8р 8р

Jт

dP + |8р1 dT ,

( Яо Л

& =

85 8р

Ут АР + у р

dT.

(П6а)

(П7а)

с =

"V

1

Рр

где Р — адиабатическая сжимаемость среды

р.=1

р

8р

Рт = -р

8р 8р

ут

соотношением РТ = р, где у = — — отношение

удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме. Тогда для первой производной из (П6а) имеем

^ 8р V8Р Ут

= рРт = урР, = ^г.

(П8)

если в качестве независимых параметров принимается давление, температура и объем.

Рассмотрим два термических уравнения состояния, которые в дальнейшем будут использоваться:

Е (р,р,Т) = 0, которое разрешим относительно р

р = р(р,Т) , (П6)

и Е2 (5, р,Т) = 0, которое разрешим относительно 5

Упростим вторую производную справа в (П6а). Используя изобарный коэффициент расширения [13, т. 5, с. 82]

1 I 8У

а = —

V V 8Т

1 18р

РV8T

имеем

8р 8Т

= -ар

(П9)

Далее упростим выражение | — I из (П7а).

8Т

Перепишем (П6), (П7) в дифференциальной форме:

Имеем [13, т. 5, с. 77] ср = Т| | . Откуда полу-

VдT

чаем

8Т

р Т

(П10)

Преобразуем выражения (П6а) и (П7а), используя известные термодинамические соотношения. Для первой производной справа в (П6а) понадобятся следующие соотношения. Для скорости звука в жидкостях справедливо выражение [13, т. 4, с. 546]

Наконец, найдем выражение для (П7а). Согласно [14, с. 277] имеем

V8Р УТ

из

(

Откуда

V8? УТ

1 18р

8У

8Т Ур р2V8Tур

V8Р УТ

а

р

(П11)

Учитывая выражения (П8)-(П11), (П6а) и (П7а) преобразуются к виду

которая связана с изотермической сжимаемостью среды РТ

dр = Уrdp - арdT , с

= — dт - аdp .

Т

р

(П6б)

(П7б)

Отметим, что в работах [5, 6] последние выражения были приведены ранее в окончательном виде без вывода и расшифровки коэффициентов а , у и с .

с

р

р

р

р

р

5

с

90

Б. П. ШAPФAPЕЦ, H. H. ЕНЯЗЬШВ, Т. H. ПAШOВKИH

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарфарец Б.П. Собственные колебания наполненного жидкостью упругого цилиндрического капилляра конечной длины. I. Теория // Научное приборостроение. 2010. Т. 20. № 1. С. 78-86.

2. Шарфарец Б.П. Собственные колебания наполненного жидкостью упругого цилиндрического капилляра конечной длины. II. Численный эксперимент // Научное приборостроение. 2010. Т. 20. № 1. С. 8795.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

4. Акуличев В.А., Алексеев В.Н., Буланов В.А. Периодические фазовые превращения в жидкостях. М.: Наука, 1986. 280 с.

5. Doinikov A.A. Theory of acoustic radiation pressure for actual fluid // Physic. Rev. E. 1996. V. 54. N 6. P. 6297-6303.

6. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 101. N 2. P. 713-721.

7. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

8. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

9. Жигалин А.Г., Лычев С.А. Замкнутые решения динамических задач связанной термоупругости для цилиндра и шара // Вычисл. мех-ка сплошн. сред. 2011. Т. 4, № 2. С. 17-34.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 247 с.

11. Серрин Дж. Математические основы классической механики. М.: Иностр. лит-ра, 1963. 256 с.

12. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1991. 376 с.

13. Физическая энциклопедия / Гл. ред. А.М. Прохоров. Т. 1-5. М.: Большая Советская (Российская) энциклопедия, 1988-1998.

14. Кикоин А.К., Кикоин И.К. Общий курс физики. Молекулярная физика. М.: Наука, 1976. 480 с.

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Шарфарец Б.П., Князьков Н.Н.)

Институт биофизики клетки РАН, Московская обл., г. Пущино (Пашовкин Т.Н.)

Kонтакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]

Mатериал поступил в редакцию 10.04.2013

ABOUT MATHEMATICAL TASKING FOR MOVEMENT OF VISCOUS COMPRESSIBLE HEAT-CONDUCTING FLUIDS

IN THERMOELASTIC TUBE

B. P. Sharfarets1, N. N. Knyazkov1, T. N. Pashovkin2

1 Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg 2Institution for Cell Biophysics of RAS, Pushchino, Moscow region

The mathematical model, permissive to estimate the stationary temperature fields and fields of the flexural oscillations in the thermo elastic tube and viscous heat-conducting compressible fluid provided of connectedness of elastic and heat processes is represented. The thermo dynamical processes and problems for positioning of boundary conditions are considered.

Keywords: thermoelasticity, viscosity, tension tensor