О решении линеаризованной задачи движения вязкой теплопроводной жидкости в термоупругой трубке с помощью несвязанных уравнений Кирхгофа Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2014, том 24, № 2, с. 27-32 ФИЗИКА И ХИМИЯ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ — -

удк 534.131.2 © Б. П. Шарфарец

О РЕШЕНИИ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧИ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ТЕРМОУПРУГОЙ ТРУБКЕ С ПОМОЩЬЮ НЕСВЯЗАННЫХ УРАВНЕНИЙ КИРХГОФА

Получены несвязанные уравнения типа Кирхгофа, позволяющие решать связанные линеаризованные уравнения термоупругости для твердых тел и связанные уравнения системы Навье—Стокса для вязкой тепло-проводящей жидкости как в стационарном, так и в нестационарном случаях. Уравнения записаны для скалярных потенциалов смещения твердого тела и скорости в жидкости, а также для полей температуры в твердом теле и жидкости. Полученные уравнения предоставляют дополнительные возможности для расчетов указанных полей в упругих областях, контактирующих с жидкостью.

Кл. сл.: вязкая теплопроводная сжимаемая жидкость, термоупругость, уравнение Кирхгофа, связанные уравнения

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] описана математическая модель, позволяющая рассчитывать стационарные температурные поля и поля упругих колебаний в термоупругой трубке и вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости при условии связанности упругих и тепловых процессов. При решении задачи о движении жидкости в трубке использовалась система связанных уравнений Навье—Стокса и теплопереноса. И если в случае, когда жидкость занимает неограниченное пространство, решение связанной системы уравнений получается достаточно просто [2, 3], то в случае, описанном, например, в [1], аналитическое решение такой системы становится крайне проблематичным в силу существенного различия краевых задач для упругих и температурных компонентов поля. Отметим, что в [2, 3] упругие и температурные компоненты поля описывались через единые собственные функции оператора Лапласа. В рассматриваемой в [1] постановке задачи такой подход несправедлив в силу связанности продольных и поперечных компонент упругих полей (на границах сред происходит взаимная трансформация продольных волн в поперечные и обратно).

Существует, однако, возможность перехода от системы связанных уравнений второго порядка для потенциальных составляющих поля и температуры в упругой трубке и в жидкости к одному уравнению — т. н. уравнению Кирхгофа [2]. Это уравнение относительно либо температуры, либо скалярного потенциала скорости жидкости (деформации упругого твердого тела). Уравнение

Кирхгофа уже является уравнением четвертого порядка (в полном согласии с принципом сохранения трудностей).

Представляет интерес получение системы несвязанных уравнений типа Кирхгофа в такой мультифизичной задаче, каковой является движение вязкой теплопроводной жидкости в термоупругой трубке.

ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Таким образом, необходимо получить уравнение Кирхгофа линеаризованной задачи для случая вязкой теплопроводной жидкости, находящейся в термоупругой трубке.

Напомним постановку краевой задачи о течении вязкой теплопроводной жидкости в термоупругой трубке [1].

Пусть в состоянии равновесия (покоя) жидкость характеризуется параметрами (используем индекс 0): v0, р0, р0, Т0 (соответственно скорость, давление, плотность, абсолютная температура). Возмущенное состояние будем характеризовать штрихованными добавками с порядком приближения, равным количеству штрихов, а именно: v = v 0 + v'+ v"+ ..., р = Р0 + Р '+ Р "+ ..., р = Р0 + +р'+ р"+..., Т = Т0 + Т'+.... Аналогично и для вводимых ниже параметров у = у0 + у'+..., а = = а0 + а'+..., ц = ц0 + ..., д = д0 + д'+... и т. д.

В работе [3] приведена стандартная линеаризованная система уравнений Навье—Стокса

-р- = ^-V-V 'I, (1)

дt У0 \ 0 дt '

Р0 = -Vp'+ ц Av'+I д + у IVV - V', (2)

р + р^. V' = 0.

дt 0

(3)

^0 д?

к0 д?

жидкости; а = ц

/ —у,. —у, 2 „ —у,

- + -

дх, 3

дх,

I )

РТ - = РТ д?

д* I -т 1 dT + 1-1 К—¥ )т dV . Тогда

( д* I дТ + (—4 —VI

К —ТI v )Т д? )

Учитывая соотношения [5, с. 185-187]

= -

/V /Т /V

предыдущее выражение в виде

rтlдs дТ ^а дV дТ 1 а др

р! — = р^ — + р!--= р^--Т---.

д? д? В д? д? р р д?

Здесь а = 1 I — термодинамический коэф-

фициент расширяемости; ¡3 = —1

Г дV^

др

тер-

В [1] приведено также линеаризованное уравнение теплопереноса, полученное изначально в [3],

ДТ >—. 1 дТ'_ а0Т0 дР '

v Г /т

модинамический коэффициент сжимаемости; ср , cV — удельные теплоемкости при постоянном

давлении и объеме соответственно.

Из линеаризованного уравнения неразрывности

(3) имеем = —р^- V'. С учетом этого послед-

д?

нее выражение в линеаризованном виде запишется

однако здесь представим его несколько в другом виде, следуя методике преобразования общего уравнения теплопереноса, приведенной в работе [2]. Линейная часть общего уравнения теплопере-носа [4, с. 272]

рТ + V -V* | = а' ^ + V - (К7Т)

в сжимаемой жидкости имеет вид

д*

р0Т0^7 = к0ДТ д?

т. к. все отброшенные члены носят порядок выше первого. Здесь * — энтропия единицы массы жидкости; к — коэффициент теплопроводности

д*

дТ' Т а

р0Т0 = р0с 0 +

д?

д?

V-V'.

В итоге уравнение теплопереноса в линейном приближении примет вид

ДТрсСю =_! Ъа V-v-.

к

- к0 30

С дУ1

дх

Это выражение совпадает с уравнением (2.148) работы [2]. Положив ^ = ср / у , а кроме того, исполь-

Та2

зуя выражение [2, с 87] ср — су = су (у — 1) = ——

Та ^ (у — 1)

и следующее из него равенство — = р —---,

3 а

перепишем последнее уравнение теплопереноса в виде

вязкий тензор напряжений; ц , д — соответственно коэффициенты сдвиговой и объемной вязкости; с0 — равновесная скорость звука в жидкости.

Представим энтропию * в переменных Т , V (здесь V — удельный объем, или объем единицы 1

р

дтаг = (^—1) V, V,.

1аУа д? ааУа1а

(4)

Это выражение уже совпадает с полученным иначе выражением (12) работы [3] с точностью до гармоничности процесса в указанной работе.

Для сокращения выкладок необходимо представить вектор колебательной скорости V' в виде суммы потенциалов

V' = V \ + V '? = gradФ + го№ .

(5)

| =[ —р 1 = а / В , запишем дV I К—Т 1

Здесь V \, V '? — продольная и поперечная составляющие колебательной скорости соответственно; Ф, ^ — ее скалярный и векторный потенциалы. Подставляя (5) в (1), (2), получаем:

др '_ с0р0 г — дф

и

д? у0 К д?

дVФ ( п I

р — = -Vp'+ noVДФ +1 ?0 + у IVДФ,

(6)

или

, i 4^0

р "аФ = " p + + if 1ДФ •

(7)

Уравнение (10) в гармоническом случае преобразуется к виду

AT'+ ia-^T' = (Го ~^ АФ .

Из выражения (7) следует полезное выражение для p'

p' = ic +^?о]АФ~Роа? • (8)

ХоГо аоГоХо

Из (12) находим

3

at

Дифференцируя (7) по t и подставляя в него зна-

ap'

чение —— из (6), получаем

at

ДФ = —ДФ — Т'. Дз

После подстановки этого выражения в предыдущее получаем

с +

со2 С з ) a

АФ +

AT'+ p2T' =

(1 ~ Го) Pi

Ф .

«оХоГо

(13)

a2ф c2 aT1

АФ__= « _ Здесь приняты обозначения:

at at2 уо о at

Го

/ро , где ^ —

Г 4л

Вводя обозначение Е = I д0 + —

совокупный коэффициент вязкости, перепишем последнее уравнение в виде

(

\

1 +

Со2 at)

АФ ~

a 2ф aT '

= ао-

о at

со2 at2

ATar:=(го~1) аф .

ХоГо at аоГоХо

a^

Ро — = ^о.

at

АФ + ДФ = ~

iaa,

T'.

P1 = Го®2/ (Со2Рз) ,

Р2 = 1®

: Рз + Г ~ 1

ХоГоРз

(9)

рз = 1 ~ 1аГо

Со +

4^о

РоСо

Наконец, подставляя в (4) выражение (5), получаем

(1о)

После применения операции rot к обеим частям (2) получаем стандартное уравнение для векторного потенциала в вязкой жидкости

Выражения (12), (13) представляют собой связанную систему уравнений относительно температуры Т' и скалярного потенциала Ф в гармоническом случае и совпадают с выражениями [3, (14, 15)]. Получим из них уравнения Кирхгофа для обеих переменных. Для скалярного потенциала Ф

(А + Р2 )(А + й) + fi^M

Рз аоХо

(11)

и для температуры

Выражения (9)-(11) полностью описывают в линейном приближении поведение вязкой теплопроводной жидкости. Причем связанными остаются выражения (9) и (10) для скалярного потенциала Ф и температуры Т'. Векторный потенциал ^ подчиняется автономному параболическому уравнению (11).

Далее получим уравнения Кирхгофа. Вначале рассмотрим более простой гармонический случай. Пусть имеет место гармонический процесс с фактором е~"м (далее фактор е~"м опущен и выписаны выражения для амплитуд соответствующих величин при сохранении обозначений). Выражения (9)-(11) преобразуются к виду

(А + р )(А + Р2) + (1 ~ Г) Р1

рз «оХоГо

Ф = о (14)

T' = о (15)

получаем в силу коммутации операторов (Д + Д ) и (Д + Д) совершенно идентичные уравнения

Кирхгофа для гармонического случая.

Для (11) в гармоническом случае получаем уравнение [1, 2]

(А + Кз2 ) Y = о,

К =

1 +1

(16)

(12)

Здесь 8у =у]2у0 /" — глубина проникновения

вязкой волны.

Для связанных уравнений термоупругости в упругой теплопроводящей трубке имеем [1, 6]

з

2

ДТ'+ + ©1 Т' = а©(£\)2 р, (17)

ДР + (£ \ )2 Р= Г. Т'.

4 + 2^1

(18)

Здесь введены обозначения: р, V — скалярный и векторный потенциалы смещения в трубке; 4, — упругие модули Ламе для трубки; р1 — ее плотность; Г = (34 + 2ц1)а1 — термомеханическая постоянная; а1 — коэффициент линейного терми-

к

к

новесная температура тела; (£ '1 )2 = Вводя обозначение

а

(4 + 2^1) / р1 '

¡4 = i®[д+0J , перепишем (17) в виде

ДТ'+ В4Т' = а©( £ \ )2 р.

(17а)

(д + (£ '1 )2 )(Д + ¡4)

—ш©( £ \)

+ , 2 Г

4 + 2^1

(Д + ¡4 )(д + ( £ '1 )2) —

Г

т - = 0,

(19)

а©( £ \ )

р = 0.

(20)

4 + 2^1

Для векторного потенциала V легко получить

[1]

(д + £ '32) V = 0, £ '32 =

а

а

к с?)

(21)

определяют оба потенциала колебательной скорости и температуру в жидкости, а (19)-(21) определяют оба потенциала смещения и температуру в твердом теле. К уравнениям (14)-(16), характеризующим поля в жидкости, необходимо добавить выражение, определяющее давление. Для этого преобразуем уравнение (8) применительно к гармоническому случаю:

р' = | $0 + 4Ц0|ДФ + i®РoФ .

(22)

ческого расширения; Л = — — коэффициент тем-

сЕ

пературопроводности; к1 — коэффициент теплопроводности трубки; се — удельная теплоемкость

ГТ

при постоянной деформации; © = —0 ; Т0 — рав-

При решении несвязанных уравнений (14)-(16), (22), а также (19)-(21) необходимо учитывать механические и тепловые краевые условия задачи, подробно описанные в [1].

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ВРЕМЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПРОЦЕССА

Исходными для дальнейших преобразований примем уравнения (9) и (10).

Введем следующие дифференциальные операторы:

На основании выражений (17а) и (18) получаем для упругой трубки уравнения типа Кирхгофа:

А(—*, —?) = 1 +

К

Ь2(д х, д?) = Д —

^(д,) = а0 ^ , д?

М—

с 2 —

д—у--1

с02 д?2

1 д_ Х0У0 д?

х) =

(У0 — 1)

а0У0Х0

Д.

Тогда уравнения (9) и (10) перепишутся в операторном виде так:

Д(д х, д ? )Ф = Lз(дt )Т', L2(дх,д?)Т' = LA(дх)Ф .

(23)

(24)

Здесь с{ = — — скорость поперечных колебаний 'А

в упругом теле.

Таким образом, несвязанные уравнения (14)-(16)

После умножения уравнения (23) на оператор L2(д х, — ?) слева получаем (очевидно, что операторы коммутируют вследствие постоянства коэффициентов)

L2(д х, д ?) Д(д х, д? )Ф = L2(д х, д?) Lз(дt )Т' = = Lз(дt) L2(д x, д? )Т' = Lз(дt) L4(д x )Ф.

Тогда окончательное уравнение типа Кирхгофа для скалярного потенциала имеет вид

[ Ь2 (д x, д?)Д(дx, д ?) — ¿3(д ? )ЬА(д x )]Ф = 0. (25)

Аналогичным путем получаем уравнение типа Кирхгофа для температуры Т':

А(д х, 5 () L2(8 х, 5 ()Т' = Ц(д х, д,) L4(д х )Ф = = L4(д х) Ll(д х, 8, )Ф= L4(д х) Lз(д, )Т', или в компактном виде

[ А(д x, д, )Ь2(д^, д,) —ЬА(д^) 4(д, )]Т' = 0. (26)

Дифференциальные операторы в (25) и (26) полностью совпадают, вследствие того что составляющие их операторы являются коммутирующими. Отметим, что уравнения (25), (26) так же, как и в стационарном случае, имеют четвертый порядок по пространственной координате.

Таким образом, поле в жидкости полностью задается скалярным потенциалом, определяемым из (25), векторным потенциалом, определяемым уравнением (11), температурным полем, определяемым уравнением (26), и полем давления (8).

Рассмотрим уравнения типа Кирхгофа в нестационарном случае для упругого твердого тела. Общие уравнения термоупругости для твердого тела при отсутствии источников записываются так [6, с. 1, 24]:

L7 = Г.

Pi = МАи + Ц + M)W-и -TVT'

dt

1 dT ' du

AT---= ©V--.

Л dt dt

Последние уравнения запишем через потенциалы р и у (см. [1]):

1 d 2р

Ар---—i- = ГТ

Ау -

с,2 dt2

_L dy

С7 "dt2"

,2 = Л + 2M1

1 ~

P

= о,

с 2 = А s _

P1

дт—1Т = ©д^.

Л д, д,

Поступая так же, как для случая нестационарного процесса в жидкости, имеем

[Ь6(д^, д, ^, д,) — L7L8(дx, д, )> = 0, (27)

[Х,^, д, )L6(дx, д,) — , д, ]Т' = 0. (28)

Здесь операторы имеют следующий вид:

4(dx,dt) = ©А- .

dt

Таким образом, взамен связанных уравнений термоупругости выписаны несвязанные уравнения типа уравнения Кирхгофа для твердого термоупругого тела, позволяющие получить в нем все характеристики полей.

ВЫВОДЫ

Таким образом, получены несвязанные уравнения типа Кирхгофа, позволяющие решать связанные линеаризованные уравнения термоупругости для твердых тел и связанные уравнения системы Навье—Стокса для вязкой теплопроводящей сжимаемой жидкости как в стационарном, так и в нестационарном случаях. Уравнения записаны для скалярных потенциалов смещения твердого тела и скорости в жидкости, а также для полей температуры в твердом теле и жидкости. Полученные уравнения позволяют рассчитывать все нужные компоненты волновых полей в термоупругой твердой среде и в вязкой сжимаемой теплопроводной жидкости. Это предоставляет дополнительные возможности для расчетов указанных полей в упругих областях, контактирующих с жидкостью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарфарец Б.П., Князьков Н.Н., Пашовкин Т.Н. О математической постановке задачи движения вязких сжимаемых теплопроводящих жидкостей в термоупругой трубке // Научное приборостроение. 2013. Т. 23, № 4. С. 85-90.

2. Акуличев В.А., Алексеев В.Н., Буланов В.А. Периодические фазовые превращения в жидкостях. М.: Наука, 1986. 280 с.

3. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula // J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 101, nu. 2. P. 713-721.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

5. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов вузов. М.: Наука, 1971. 939 с.

6. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

L5(d x, dt ) = А —1 , 5 с12 dt2

L6(d ,d,) = А -——, 6V x' t} Л dt

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, [email protected]

Материал поступил в редакцию 15.10.2013

32

E. n. fflАP®АPЕЦ

ABOUT THE SOLUTION OF THE LINEARIZED PROBLEM OF MOVEMENT OF VISCOUS HEAT-CONDUCTING LIQUID IN THE THERMOELASTIC TUBE BY MEANS OF KIRCHHOFF'S

UNTIED EQUATIONS

B. P. Sharfarets

Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, RF

The untied equations like Kirchhoff, allowing to solve the connected linearized equations of thermoelasticity for solid bodies and the connected equations of system of Navier—Stokes for viscous heat-conducting liquid both in stationary, and in non-stationary cases are received. The equations are written down for scalar potentials of shift of a solid body and speed in liquid, and also for temperature fields in a solid body and liquid. The received equations give additional opportunities for calculations of the specified fields in the elastic areas contacting to liquid.

Keywords: viscous heat conducting compressible fluid, thermoelasticity, Kirchhoff's equation, coupled equations

REFERENСES

1. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula. J. Acoust. Soc. Am., 1997, vol. 101, nu. 2, pp. 713-721.

Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich, [email protected]

Article arrived in edition: 15.10.2013