Некоторые особенности численного решения задач термоупругости и гидродинамики теплопроводящей сжимаемой вязкой жидкости с помощью универсальных пакетов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2016, том 26, № 3, c. 57-63

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ

Светлой памяти Николая Николаевича Князькова

УДК 519.63+535.5.01+539.32

© Б. П. Шарфарец, Е. Б. Шарфарец, |Н. Н. Князьков, Т. Н. Пашовкин

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ И ГИДРОДИНАМИКИ ТЕПЛОПРОВОДЯЩЕЙ СЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПАКЕТОВ

Проделан выборочный анализ адекватности конкретного пакета по численному решению задач математической физики. Анализ показал необходимость обязательной верификации алгоритмов, принятых в пакете для моделирования, по нужным исследователю математическим моделям, а не по имеющимся в пакете. Это предполагает прописывание в пакете оригинальных пользовательских моделей.

Кл. сл.: теплоперенос в жидкости, термоупругость, уравнение Навье—Стокса

ВВЕДЕНИЕ

Численное моделирование физических процессов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, приобрело в последнее время "эпидемический" характер, что можно объяснить остро назревшей необходимостью решения насущных прикладных задач, не решаемых или очень непросто решаемых аналитическими или асимптотическими методами. К настоящему времени разработано большое количество универсальных пакетов на основе метода конечных элементов, позволяющих решать широкий класс задач механики сплошных сред: гидродинамики, газодинамики, деформируемого твердого тела и т. п. В качестве примеров таких пакетов можно назвать "ANSYS", "NASTRAN", "COMSOL", "ASKA", "ADINA" и др.

Особенно актуальным такое моделирование становится при решении т. н. связанных задач, когда в реальном физическом процессе присутствуют различные поля, взаимодействующие друг с другом (решение таких задач в аналитическом виде, за исключением некоторых частных случаев, весьма проблематично). В качестве таких процессов можно упомянуть связанные задачи термоупругости, задачи гидродинамики при учете уравнений тепло-переноса и т. п. Упомянутые пакеты, как правило, предусматривают возможность решения таких мультифизичных задач. При этом от пользователя требуется высокая квалификация для грамотного выполнения всей работы, начиная с выбора корректной математической модели и постановки краевых и начальных условий и заканчивая адекватной интерпретацией конечных результатов.

В настоящей работе на примере решения связанных задач термоупругости и системы уравнений Навье—Стокса для вязкой сжимаемой теп-лопроводящей жидкости показаны особенности работы пакета "COMSOL Multyphysics".

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ—СТОКСА. СЛУЧАЙ ТЕПЛОПРОВОДЯЩЕЙ, ВЯЗКОЙ, СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Разбор алгоритмов решения системы уравнений Навье—Стокса начнем с уравнения теплопе-реноса. В [1] приведена следующая модель тепло-переноса в жидкости

рср ^ + V 'VТ^ = -У- q + а ':8 -

-рщц+^р) (1)

Здесь р, ер — плотность и удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении; ц — плотность потока тепла; а' — вязкий тензор напряжений; 8 — тензор скорости деформации;

8 = - (Уу + (Уу >Т > (значок Т в верхнем индексе

означает транспонирование, и его не надо путать с абсолютной температурой); у , р — скорость и давление в жидкости; Т — абсолютная температура, Т = Т0 + в, где Т0 — равновесная температура, в — переменная ее часть, для которой справедливо условие в / Т0 «1. Наконец о ':8 означает скалярное

произведение двух тензоров, о':S = ^^a\JSjJ .

• j

Обозначим © = V •v, X и u — параметры Ламе жидкости.

Здесь уместно отметить, что в литературе по гидродинамике, и иностранной (см., в частности работу [2], которая представляет в знаменитой физической энциклопедии "Handbuch der Physik", т. VIII/I, механику жидкости), и отечественной (см. классическую монографию [3]), приняты следующие нотации вязкого тензора напряжений в однородной изотропной среде. В векторной и координатной записи выражение для вязкого тензора напряжений либо имеет вид [2, с. 204]

а' = 2^S + ¿©I,

(

° гк = И

либо [3, с. 72]

dv, + ÖVk

dx, dx,.

\

1 с dv, dx,

а' = 2^S + | С -3П |©I

гк = П

(dv dvk 2 dv, г 1 к — 8Л—!-

+

\ÖXk дхг 3

дх,

dv, дх,

Здесь I — единичный тензор; г и g — сдвиговая и объемная (вторая) вязкость. Как будет показано ниже, тензор вязких напряжений в [1] принят несколько в иной форме. В (1)член

определяет работу давления, а член

a ':S (3)

нагрев, вызванный наличием вязкости [1]. Учитывая закон Фурье

q = -kVT

(к — коэффициент теплопроводности), малую величину члена (2) при малых числах Маха, а также малость члена (3), выражение (1) переписывают в "облегченном" виде [1]

дТ

РСР + РСР (v-уТ) = V-(kVT) . (4)

При к = const имеем дТ

pcp — + pcp (v • VT ) = КТ. (1а)

На допустимости таких упрощений остановимся ниже.

Следующие уравнения системы Навье—Стокса: собственно уравнение Навье—Стокса и уравнение неразрывности — представлены в [1] в следующем виде

р(| ♦( V?) V ) =

= -Ур + и^ + Vv)T -2и(?-V)I^, (5)

^ + ?•( ру ) = 0.

Последнее выражение (уравнение неразрывности) общеизвестно и в комментариях не нуждается. Не так с уравнением (5). Отметим, что наличие в (5) только коэффициента сдвиговой вязкости и отнюдь не говорит о том, что уравнение (5) описывает движение несжимаемой жидкости.

Уравнение Навье—Стокса для сжимаемой жидкости при постоянных коэффициентах вязкости описывают обычно либо в терминах коэффициентов динамической вязкости (параметров Ламе) X и и [2, с. 206]

Р^ + ( V •?) V ^ = -?р + + (Х + и)??-V, (6) либо в терминах коэффициентов т] и д [3, с. 73] р ^ + (V • V) V^ = -?р + цИп + + V? • V . (7)

Между параметрами Ламе, с одной стороны, и сдвиговой и объемной вязкостью, с другой стороны, как видно из сравнения (6) и (7), имеет место соотношение

, 2

п = и д = ¿+3И.

(8)

Известно [3, с. 73, 274], что т] > 0 и д > 0 .

Выражения (6) и (7) с учетом соотношений (8) тождественны. Выражение (6) может быть записано в виде (см. [2, (61.1), с. 204 и (61.4), с. 206])

р(! + ( V-?) V ) =

= -?р + ?-(и(?у + ?у)г + V) I). (9)

Сравнение выражений (5) и (9) показывает, что они совпадают при условии

3Х + 2и = 0. (10)

Если перейти в (10) к параметрам т] ид , используя (8),

3Х + 2/ = 3К ") + 2] = 3С ,

то получим

3С = 0,

или

с = 0.

(10а)

Выражение (10) представляет собой соотношение Стокса между коэффициентами вязкости жидкости [2, с. 208]. Здесь приведем цитату из этой работы о пределах справедливости соотношения Стокса (10): "...можно утверждать следующее: для одноатомных газов (соотношение) выполняется с достаточной степенью точности; с другой стороны, для жидкостей и многоатомных газов коэффициент X > 0 может иногда во много раз превосходить коэффициент /".

Выражение (10а) показывает, что соотношение Стокса (10) равносильно равенству нулю второй (объемной) вязкости С , что для обычных жидкостей далеко от реальности (см., например, статью "Объемная вязкость" в Физической энциклопедии. Т. 3. М.: БРЭ, 1992. 395 с.). В соответствии с этим фактом необходимо контролировать реальные значения параметров X и / на предмет их соответствия соотношению Стокса (10), либо решать корректные уравнения (6) или (7).

Отметим, что в работе [4, с. 23] сказано следующее (перевод авторов): "вторая вязкость д существенна только для сжимаемых жидкостей (акустика), а для многих простых жидкостей предположение Стокса

4

д « — т] 3

является хорошим приближением".

Здесь необходимо уточнить, что последнее соотношение совпадает с соотношением Стокса (10а) только при условии т] = 0 . Отметим, что выраже-

4

ние д = — т], действительно, эквивалентно соотно-3

шению (10) 3Х + 2/ = 0 при д = т] = 0 , что следует из (8) и является банальным.

Как видно из выражения (7), при выполнении равенства (10а) это уравнение тождественно совпадает с уравнением (5). Отметим, однако, что равенство нулю объемной вязкости отнюдь не говорит о несжимаемости жидкости, которая и в (5), и в (7), и в (6), и в (9) при этом подразумевается сжимаемой в силу отличия от нуля дивергенции скорости в последних членах справа в этих уравнениях.

Таким образом, уравнение (5) описывает динамику вязкой сжимаемой жидкости при равной ну-

лю объемной вязкости, что в общем случае не соответствует действительности.

Замечание 1. В пакете существует возможность создавать пользовательские уравнения, поэтому, вероятно, можно модифицировать уравнение Навье— Стокса (5) к виду (6) или (7).

Остановимся на версии (1) уравнения теплопе-реноса. В отечественной литературе принята следующая координатная нотация уравнения теплопе-реноса в вязких сжимаемых жидкостях [3, с. 272]:

РТ (I+ V ) = £ + ».

Перепишем его в векторном виде:

рТ^ + у= ст-V-q . (11)

Воспользуемся далее известным термодинамическим соотношением (см., например, [5], [6])

ds = с- dT - — dp .

Т

(12)

Р

Здесь 5 — энтропия единицы массы жидкости; ср — удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении; а — изобарный коэффициент расширения (коэффициент температурного расширения)

1 ( дV

а = —

VI дТ

1 ( др

Р^дТ

(13)

где V — удельный объем. Из (12) получаем выражения

с а

Vs = VT--Vp ,

Т Р

д5 ср дТ а др

дt Т дt р дt после подстановки которых в (11) получаем

РТ

[ср дТ а др (с —-----+ у

Т дt р дt

а,

VT -—Vp Т р и

= ст ':8 - V-q

или окончательно:

дТ

др

рср I — + у - VT I = Та I — + у - Vp I - V - q + ст ':S .

р 1 дt | | дt 1

Подставляя в последнее выражение значение а из (11), получаем

р

р

'дТ_ dt

pc\ — + v•VT | =

(14)

что в точности совпадает по форме с выражением (1), принятом в пакете.

Замечание 2. Несмотря на кажущееся совпадение уравнений теплопереноса в жидкости (1) в пакете и общепринятого (14) (см. [2, 3]), между ними имеется существенное различие, заключающееся в различиях тензоров вязких напряжений в том и в другом случаях. Стандартный тензор вязких напряжений приведен выше и равен а' = 2 и + Х©1, а соответствующий тензор, фигурирующий в пакете, можно определить из пакетной версии уравнения Навье—Стокса (5):

т 2

а' = и^ + Vv) --и(у- V)I .

Далее остановимся на вопросе правомерности отбрасывания членов (2) и (3) в выражении (1) при переходе к выражению (1а).

Рассмотрим член (2), отвечающий за работу

Т (др) (др ( ч )

давления,--1 — I I--+(V- V)р I.

' р{дТ )р ^

Т ( д )

Величина--1 — I , согласно (13), равна

Р\дт ) р

- Т (Р = та.

Р^дТ

Величина [ dp + (v •V)p |, согласно [2, с. 15], рав-

на

5p + ( v •V) p 1 = dp , 5t }F) dt

dp

где — — полная производная давления по вре-dt

мени. Окончательно имеем

- РЙТ) р (I + < V Р ) = Та'-Р,

Анализ члена (V -V)р говорит о том, что он имеет второй порядок малости по сравнению со

др

слагаемым — при малых числах Маха. Таким

дt

образом, можно приближенно написать

- Р(! ) , Й + <W) p )-T-f.

Отсюда видно, что работа давления пренебрежимо мала только в случае малых а и / или ма-

5p тэ

лых производных давления — . Во всех осталь-

5t

ных случаях нет оснований пренебрегать этим членом по сравнению, например, с членом v • VT в (1), который в общем случае является величиной второго порядка малости при малых числах Маха.

Анализ члена (3) a ':S показывает, что он имеет величину второго порядка малости и при малых числах Маха сравним с членом v • VT справа в (1).

Отметим, что в [1] предусмотрена возможность учета в (1) обоих слагаемых (2) и (3) и вместе, и по отдельности. При добавлении члена a ':S , названного в пакете Viscous heating Term, необходимо учитывать Замечание 1.

Замечание 3. Для работы с несжимаемой жидкостью необходимо просто принять V • v = 0 в уравнении Навье—Стокса (5), которое принимает в этом случае вид

p[f + (v• V)v 1 = -Vp + V• (ju(Vv + Vv)T) .

Таким образом, математическая модель системы уравнений Навье—Стокса для вязкой тепло-проводящей сжимаемой жидкости в пакете принята с некоторыми натяжками. А именно, при использовании уравнения Навье—Стокса (движения) (5) необходимо внимательно следить за справедливостью выполнения соотношения Стокса (10). При использовании уравнения теплопереноса (1) необходимо контролировать правомерность пренебрежения членами (2) и (3), по необходимости используя в (3) корректный вязкий тензор напряжения a' = 2pS + A0I.

Отметим, что система уравнений Навье—Стокса представляет собой систему связанных уравнений, в которые входят все искомые поля.

ТЕРМОУПРУГОСТЬ

Уравнение теплопроводности в твердых телах с учетом влияния деформации на температуру при не зависящих от температуры и пространственных координат коэффициентах в работах [8, 9] выглядит следующим образом:

c — + K-TV• — - к,ДТ = 0. (15)

е 5t 5t 1

Здесь введены обозначения, соответствующие [8, 9] (которые будут далее фигурировать и в линейном

p

уравнении упругости): Т — абсолютная температура тела; и — вектор смещения; се — удельная теплоемкость при постоянной деформации; 2

К = X / — объемный модуль упругости;

а — коэффициент термического расширения тела (11); X, // — упругие модули Ламе для тела; р1 — его плотность; к1 — коэффициент теплопроводности тела.

В работе [10, с. 174] получено уравнение, совпадающее с (15), в котором вместо удельной теплоемкости при постоянной деформации се фигурирует совпадающая с ней теплоемкость при постоянном объеме су. Перепишем поэтому (15) в более привычном виде:

^ — + КаТУ- — - к\ДТ = 0. (15а)

v дt дt 1

(В работе [10] допущена описка: вместо верного

Ка2Тп

соотношения cp - cV =

Pi

р,с — + р,с v-VT - к, AT = 0,

Их p 8t p 1 '

или после деления на к

8T

рс--к AT = 0.

Их p 8t 1

влияние механической деформации на температуру. В пакете предусмотрен учет такого влияния добавкой опции "Pressure Work", которая равна [12]

8^ 8 T—— = Та—(ст,, + и22 + ст33) , 8t 8t ;

где sel — эластичная добавка к энтропии, равная в изотропном случае

Sel = a(CTii + СТ22 + СТ33 ) .

После чего уравнение теплопроводности приобретает в [12] вид

8T 8 PiCp — + Та-оп - к, AT = 0, (17)

8t 8t

-, следующего из со-

отношений [11, с. 70, (16. 9), (16. 10)], фигурирует соотношение ср - су = Ка 2Т0; Т0 — равновесная

температура).

Уравнение теплопроводности в [1] для движущихся твердых тел при постоянном коэффициенте теплопроводности к1 имеет вид

где, как обычно, по повторяющемуся индексу ведется суммирование

В (17) во втором слагаемом принимаем Т = Т0 вследствие допущения Т - Т0 ■ Т .

Согласно [8, с. 14] имеет место равенство

аи = 3К(е -ав) .

Здесь е = divu ; в = Т - Т0. Подставляя все величины в (17), получаем

8T

8u

8T

PC — + 3KaT0V---3Ka 2T0--к, AT = 0 .

8t

8t

8t

рс 8T PC

+ i-L_p. v-VT-AT = 0. (16) к, 8t к,

Здесь р,, cp — соответственно его плотность

и удельная теплоемкость при постоянном давлении; v — вектор скорости поступательного движения (translational motion) твердого тела как це-к

лого; —— = х, — коэффициент температуропро-

р,с

,p

водности тела. Практически такое же уравнение для движущегося тела получено в работе [7, с. 21].

При условии равенства нулю скорости поступательного движения тела v = 0 уравнение (16) упрощается до обычного уравнения теплопроводности [i]

дв дТ

Здесь учтено, что — = . Далее для упрощения последнего уравнения воспользуемся приве-

Ка2Тп

денным выше тождеством с - су =-, или

р р1

срр1 = р1су + Ка2Т0. Тогда последнее уравнение запишется в виде

(Ас^ + Ka2T0 )8T + 3KaT0V -

8u

"87

8t

2 8T

- 3Ka 2T0--к, AT = 0,

0 8t 1

или

(pccv -2Ka2T0)— + 3KaT0V- —-^AT = 0. (18)

8u

8t

8t

Как видно, в уравнении (16) не учитывается

Как видно, (18) совпадает с (15), (15а) по структуре, но отличается коэффициентами. При этом они не приводятся друг к другу принципиально, т. к. не могут быть получены друг из друга умножением одного из уравнений на функцию или

CTll = CTl + СТ22 + СТ33 .

константу (вектора коэффициентов двух уравнений линейно независимы: при вторых членах они отличаются втрое, а при третьих — равны).

Определяющее уравнение в изотропной, однородной среде, связывающее тензор напряжения а с тензором деформации е и возмущением температуры в = T - ^ при условии малости деформа-в / T0, где ^ — равновесное имеет вид (закон Дюамеля—Неймана) [8, с. 14]

ции и отношения в/ Т0, где значение температуры тела

a = 2^1s + u + KaU)I.

(19)

Линейное уравнение движения, соответствующее (19), имеет вид [8 с. 22]

p = MAu + (Д+ m)VV^u-KaVв . (20)

dt

В пакете [12] определяющее уравнение носит название закона Дюамеля—Гука и применительно к нашему случаю имеет вид

a = C: (s - aUI).

(21)

Здесь C — тензор упругости, и в изотропном однородном случае представляет собой симметричную квадратную разреженную матрицу, все отличные от нуля элементы которой суть только постоянные величины и , X или X + 2 и .

Отметим, что выражение (19) также получено из выражения типа (21) (см. выражение (11) работы [8, с. 13]) с помощью упрощения тензора упругости C для случая однородного изотропного материала. Отсюда следует, что определяющее уравнение (21) должно совпадать с определяющим уравнением (19) в случае изотропного однородного материала.

Таким образом, при реализации термоупругой модели твердого тела существуют отклонения уравнения теплопроводности от классического вида, хотя по структуре выражения близки.

ВЫВОДЫ

Проделанный выборочный анализ адекватности конкретного пакета по численному решению задач математической физики показал необходимость обязательной верификации алгоритмов, принятых в пакете. После этого необходимо либо следовать пакету, либо прописывать в пакете собственные математические модели.

Благодарности. Авторы выражают благодарность сотрудникам Лаборатории биолюминесцентных биотехнологий Сибирского федерального университета за предоставленную возможность ознакомиться

с пользовательской документацией программного пакета COMSOL Multyphysics®.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. COMSOL. User's Guide. CFD Module.

URL: http ://www. comsol.com/model/download/155593/ IntroductionToCFDModule.pdf.

2. Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. М.: Ин. лит., 1963. 256 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

4. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford: University Press, 2008. 346 p.

5. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula // J. Acoust. Soc. Am. 1997. Vol. 101, nu. 2. P. 713-721.

6. Шарфарец Б.П., Князьков Н.Н., Пашовкин Т.Н. О математической постановке задачи движения вязких сжимаемых теплопроводящих жидкостей в термоупругой трубке // Научное приборостроение. 2013. Т. 23, № 4. С. 85-90. URL: http://213.170.69.26/mag/ 2013/full4/Art11.pdf.

7. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с.

8. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.

9. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

10. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. М.: Наука, 1976. 584 с.

12. COMSOL. User's Guide. Structural Mechanics Module. URL: http ://www. comsol.com/model/download/143401/ IntroductionToStructuralMechanicsModule.pdf.

Институт аналитического приборостроения РАН, г. Санкт-Петербург (Шарфарец Б.П., Шарфарец Е.Б., Князьков Н.Н.\)

Институт биофизики клетки РАН, Московская обл., г. Пущино (Пашовкин Т.Н.)

Контакты: Шарфарец Борис Пинкусович, sharb@mail.ru

Материал поступил в редакцию. 26.02.2014

ISSN 0868-5886

NAUCHNOE PRIBOROSTROENIE, 2016, Vol. 26, No. 3, pp. 57-63

SOME FEATURES OF THE NUMERICAL SOLUTION OF TASKS OF THERMOELASTICITY AND HYDRODYNAMICS HEAT-CONDUCTING COMPRESSED VISCOUS LIQUID BY MEANS OF UNIVERSAL PACKAGES

B. P. Sharfarets1, E. B. Sharfarets1, |N. N. Knyaz'koV', T. N. Pashovkin

1 Institute for Analytical Instrumentation of RAS, Saint-Petersburg, RF 2Institute of Cell Biophysics, RAS, Pushchino, Moscow Region. RF

2

The selective analysis of adequacy of a concrete package according to the numerical solution of problems of mathematical physics is done. The analysis showed need of obligatory verification of the algorithms accepted in a package for modeling, on the mathematical models necessary to the researcher, instead of on available in a package. It assumes prescription in a package of original user models.

Keywords: heat transfer in fluid, thermoelasticity, Navier—Stokes equation

REFERENCES

1. COMSOL. User's Guide. CFD Module.

URL: http: //www. comsol. com/model/download/155593/ IntroductionToCFDModule.pdf.

2. James Serrin. Mathematical principles of classical fluid mechanics. Berlin, 1959 (Russ. ed.: Serrin Dzh. Matema-ticheskie osnovy klassicheskoy mechaniki zhidkosti. Moscow, In. lit. Publ., 1963. 256 p.).

3. Landau L.D., Lifshiz E.M. Teoreticheskaya fizika. T. 6. Gidrodinamika [Theoretical physics. Vol. 6. Hydrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1988. 736 p. (In Russ.).

4. Bruus H. Theoretical Microfluidics. Oxford: University Press, 2008. 346 p.

5. Doinikov A.A. Acoustic radiation force on a spherical particle in a viscous heat-conducting fluid. I. General formula. J. Acoust. Soc. Am., 1997, vol. 101, nu. 2, pp. 713-721.

6. Sharfarez B.P., Knyaz'kov N.N., Pashovkin T.N. [About mathematical tasking for movement of viscous compressible heat-conducting fluids in thermoelastic tube]. Nauchnoe Priborostroenie [Scientific Instrumentation], 2013, vol. 23, no. 4, pp. 85-90. URL: http://213.170.69.26/mag/2013/full4/Art11.pdf (In Russ.).

7. Karslou G., Eger D. Teploprovodnost' tverdych tel [Heat conductivity of solid bodies]. Moscow, Nauka Publ., 1964. 488 p.

8. Novazkiy V. Dinamicheskie zadachi termouprugosti [Dynamic problems of thermoelasticity]. Moscow, Mir Publ., 1970. 256 p.

9. Novazkiy V. Teoriya uprugosti [Elastic theory]. Moscow, Mir Publ., 1975. 872 p.

10. Landau L.D., Lifshiz E.M. Teoreticheskaya fizika. T. 7. Teoriya uprugosti [Theoretical physics. Vol. 7. Elastic theory]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 248 p.

11. Landau L.D., Lifshiz E.M. Teoreticheskaya fizika. T. 5. Statisticheskaya fizika [Theoretical physics. Vol. 5. Statistical physics]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 584 p.

12. COMSOL. User's Guide. Structural Mechanics Module. URL: http ://www.comsol. com/model/download/143401/ IntroductionToStructuralMechanicsModule.pdf.

Contacts: Sharfarets Boris Pinkusovich, sharb@mail.ru

Article received in edition: 26.02.2014