CC BY
9УДК: 513.83; 519.21; 519.219; 533.9.01; 621.383.8
Проняев В.В., патентовед ООО «Цвет» (Воронеж, Россия)
О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ НЕОБРАТИМОСТИ
В ПРИРОДЕ ХАОСА И ПОРЯДКА
Аннотация. Для природы хаоса и порядка, рассматривая их с позиции детерминированной необратимости и всеобъемлющей теории ОНДС (открытые неравновесные динамические системы), строится математическая модель из разных областей математики: топологии, восходящей к Дж. Адамсу, модели произведений случайных матриц и др., с целью подтвердить, как именно единственно правильную эту позицию, и, то, что более сложная система разрушает менее сложную (рассматривая всё это, например, с позиции аттракторов). На основании этого обосновывается вывод (заключение), что не только к физическим, но и к чисто математическим проблемам возможно применять «инструментарий» теории ОНДС, а также за счёт чего обеспечивается «живучесть» уединённой волны в теории солитонов. А это за счёт того, что сумма энергии движения и внутренней энергии системы сохраняется вдоль её траектории. Из всего этого могут возникнуть некоторые Приложения, например, то, что касается физики нашего сознания.
Ключевые слова: вероятность, энтропия, аттрактор, энергия, модель, нарушении, симметрия.
Введение
В последнее время формируются обширные области исследования богатые фундаментальными результатами и приложениями именно на основе взаимопроникновения идей, достижений, методов, анализа из различных областей математических знаний, например, топологии, алгебраической топологии, комбинаторной геометрии, гомологической алгебры, математической физики и т.д. Многое из этих исследований основано на сопоставлении подобных приёмов, действий с последующим обобщением. Воспользуемся этим при рассмотрении природы хаоса и порядка с позиции детерминированной необратимости (подкреплённой известными фундаментальными уравнениями) в контексте теории ОНДС (открытые неравновесные динамические системы) и некоторыми разделами математических знаний. Из этого могут возникнуть некоторые Приложения, например, по части моделирования мыслительных процессов с «выходом» на известный парадоксальный астрономический «эффект» профессора Н.А. Козырева.
1. Представление различных областей математических знаний, задействованных в данной статье.
а) Напомним, что модели произведений случайных матриц имеют весьма распространённое физическое применение. В статье [1], где рассматривается уход на
бесконечность произведения случайных матриц (т. е. необязательно слабо симметрично распределённых) формулируется теорема, в которой при выполнении конкретных условий с вероятностью единица справедлива следующая оценка: ¡(п) < С ехр(-Ьп), Ь > 0 (1), с выполнением неравенства Ш(п) > ]п, ] > 0 (2).
Здесь /(п) - нкоторая величина (функция), или характеристическая функция, используемая весьма сложным образом, чтобы обеспечить оценку (1), С - положительные числа с п и Ш уходящим в бесконечность. А условие это, когда последовательность сомножителей g1, ..., §п, опосредованно связанных с компонентами оценок (1) и (2), обладает свойством распределения произведения кп§п (в контексте произвольных распределений уходящих на бесконечность произведения произвольных матриц), где кп не зависит от ^п и имеет распределение 1/^п с мажорированием известной меры Хаара в некоторой (не зависящей от п) окрестности единицы некоторой группы О. Эта группа имеет унитарное представление и также опосредованно весьма сложным образом связанная с оценками (1) и (2) с не зависящим от п числовым множителем (более подробно - см. [1]). В общем, здесь используется унитарные представления и слабо симметричные меры. Важно одно, что для дальнейших выкладок, которые понадобятся в дальнейшем, - имеем оценки (1) и (2) с вероятностью единица, а входящие в них компоненты (в т.ч. и связанные опосредованно) с несимметричными распределениями, укажут на аналогичные результаты по части нарушения симметрии в п. 2д (см. далее по тексту - доказательство Модельного предложения).
б) При рассмотрении приближения функции двух переменных суммой произведений функций одного переменного в пространствах Соболева Ж(О') в статье [2], в одной из задач, ищут число ш и функции а и Ь принадлежащих Ж(1) с учётом, что
\\a\W1 = \\ЬЩ2 = 1 (3)
и функционал
Л(щп; а, Ь) = \\и - ш аЬ\\Ж2 (4)
принимает наименьшее значение. Здесь обозначают отрезок [0, 1] через I, квадрат 0 < х , у <1 - через О', тензорное произведение функций а(х) и Ь(х) - через аЬ; и -аппроксимируемая функция. При этом, имеем теорему, где задача на минимум функционала (4) эквивалентна задаче на максимум функционала:
(и, ab)*W2(G) / ||аЬ|| W2(G) (5), где * - обозначается «в квадрате».
в) В статье [3], касающейся перемежаемости старших моментов в модели ветвящегося процесса с диффузией в случайной среде, рассматривается вероятностное
34
пространство (Б, ¥, Р) и заданы неотрицательные случайные величины ц+(х, и) и ц-(х, и). При фиксированном и развитие ансамбля частиц происходит по следующему закону: в начальный момент времени I = 0 в произвольной точке х в решётке Z(с размерностью Л) находилась одна частица, которая независимо от прочих за время Л с вероятностью уЛ (у - постоянная диффузия) может перейти в одно из соседних состояний х', \х - х' \ = 1, дать «потомство» с вероятностью ц+(х, и)Ш, или погибнуть с вероятностью ц-(х, При этом имеют уравнение с моментом т1: йт1/& = у л т1 + д+(х, и)т1 (5),
и теоремой, где решение этого уравнения (5) или момент решения - т1(х, у, t, и) для любого у с вероятностью единица асимптотически растёт при t стремящемся в бесконечность (здесь у, также как и х - точка), точнее: Р {и : 1т 1п т1/(п ^ **} = Л** (6). Здесь ** - есть 1/И, где И >1.
Самое главное, это то, что в доказательстве утверждения (6), в конечном итоге, определяющий вклад, вносит траектория, быстро попадающая в высокий максимум потенциала (траектория за время t уходящая на большие расстояния).
г) Представим следующий раздел математики - бесконечнократные пространства петель [4], восходящий к Дж. Адамсу. Под пространством петель понимают функциональное пространство непрерывных отображений w : I ^ X единичного интервала I = [0, 1] в пространство Х, переводящих 0 в х0 и 1 в х0. При рассмотрении формальных свойств трансфера (позволяет определить в каждой из групп некоторой теории когомологий дополнительную структуру) рассмотрен пример, в котором используется сплетение групп. Если 82 8п обозначает подгруппу в 82п, состоящую из перестановок р, сохраняющих множество пар (1, 2), (3,4), ... , (2п-1, 2п), при этом р может переставлять пары и менять местами элементы любой пары. Эта подгруппа входит в точную последовательность
1 ^ (82 82) ^ 82 \8п ^ 8п ^ 1 (7).
При рассмотрении пространства вложений / : {1, 2, ... , г} ^ Я, элемент этого пространства рассматривают как набор из г различных точек в Я, помеченными символами 1, 2, . , г.
Это пространство стягиваемо, и на нём свободно действует группа 8г с рассматрением пространства В8г (где г = 2(т+п). Далее строят накрывающее пространство, рассматривая пространство наборов из г точек в Я, сгруппированных в т+п пар, которые ничем друг от друга не отличаются. Производя далее аналогично построение
групп для замкнутой «квадратной» диаграммы (назовём её В, более подробно в [4]), получают следующие выражение для некоторых разновидностей групп: И(Б(82 ^т+п)) ^ Н(В^2(т+п)) ^ Н(В^2т S2n)) (8). При этом группа (в которой 8 обозначает сумму) 8И(Б(@2 \Sm-q) (82 \Бп-ф) (9),
связана с первой и третьей группой диаграммы (8), в общем откуда и получается эта замкнутая «квадратная» диаграмма В, при этом первая группа выражения (8) «генерирует» группу (9), а группа (9) «генерирует» третью группу выражения (8). В группе (9), суммирование производится по несколько усложнённой схеме и собственно она является как бы замыкающим «элементом» этой диаграммы В (по Дж. Адамсу, который также упоминает в данном контексте чисто алгебраическую проблему — поиск формул двойных смежных классов).
Схематично «квадратная» диаграммы В выглядит так: 8И(Б@2 ÍSш-q)Sq(S2 \Бп-ф) ^ Н(В^2 \Б(ш+п))
Ч/ Ч/ (В)
Н(В^2т S2n)) ^ И(Б($2(ш+п)) д) Далее, перейдём к самому главному разделу из статьи [5] - детерминированная необратимость в природе хаоса и порядка (сокращённо ДНПХ). Она следует из фундаментальных уравнений динамики систем при рассмотрении 2-ух фазовых подпространств в контексте принципа дуализма симметрии в классической механике. Всё это рассматривается в аспекте проблем универсальности процессов нарушения пространственно-временных симметрий с наличием механизма эволюционной нелинейности (для различных процессов спонтанного нарушения симметрии). И здесь важно отметить, что при возникновении именно новых систем, аттракторов, имеет место спонтанное нарушение симметрии. Заметим, что необратимость обусловлена нелинейной трансформацией энергии движения тела в её внутреннюю энергию, тепловую. При этом имеем переход от модели тела в виде МТ (материальных точек) к моделе тела СЧ (структурированные частицы), т. е. МТ ^ СЧ (10).
Нарушение симметрии времени связано с тем, что энергия движения тела в результате её трансформации во внутреннюю энергию, обусловленную движением МТ относительно ЦМ (центра масс) — не сохраняется, но самое главное полная энергия системы сохраняется, т. е. имеем некоторое действие так называемого «регулятора», подчинённому закону сохранения энергии. В достаточно широких пределах — все тела
есть ОНДС (как совокупность движущихся относительно друг друга СЧ), при этом имеем известную иерархическую «лестницу» (диаграмму): МТ ^ СЧ ^ НС ^ ОНДС (11).
Здесь НС — неравновесные системы (где установление равновесия связано со стремлением к нулю относительных скоростей СЧ). Важно, что сумма энергии движения и внутренняя энергия системы сохраняется вдоль её траектории. При этом, в сложной ОНДС стационарность обеспечивается равенством входящих и исходящих потоков энергии, вещества, энтропии для каждой ступени иерархической «лестницы», т. е. неравновесность и порядок, есть например - аттрактор, возникающий через хаос при разрушении прежнего аттрактора как изменение внешних условий или эволюции системы (с изменением состояний и типов симметрии системы). ОНДС между собой рассматриваются как относительно простые и сложные именно с позиции иерархии в контексте составных элементов.
2. Модельное предложение.
Детерминированную необратимость в природе хаоса и порядка (ДНПХ),
именно с позиции теории ОНДС, возможно смоделировать используя разное математическое «наполнение» из разных разделов математики — см.п.2, в их взаимопроникновении, где основополагающую роль в контексте иерархической «лестницы» (диаграммы) (11) играют как подобные ей модели - выражения(7), (8) и (9). Из этого следует, что разрушению аттрактора (или системы) способствует более динамичный и сложный (энергетически «насыщенный») аттрактор, который присутствует всегда как «двигатель» постоянного процесса эволюции: всё дело — в нелинейности, в контексте принципа дуализации симметрии и как следствие наличие «генетически зарезервированной» информации. Всё это указывает на то (что касается физических процессов нашего Мироздания),что теории ДНПХ / ОНДС абсолютно верные и единственно правильные. В дальнейшем эти процессы, более детально возможно изучать с помощью данного математического «наполнения».
Доказательство
Вначале заметим, (в контексте п. 2а — последний «фрагмент» текста), что оценки (1) и (2) с их несимметричными распределениями вполне могут подойти для процессов нарушения пространственно-временных симметрий, что и требуется в п.2д (вероятность их появления равна единице - см. п.2а). При этом имеем с учётом выражений (3), (4) и (5), как бы наличие «перетекания» энергетических «составляющих» в системе, но всё равно сумма энергии движения и внутренняя энергия системы сохраняется вдоль её траектории (имеем как максимум функционала, так и его минимум - см.п.2б). Это подтверждается
37
выражениями (5) и (6), поскольку траектория попадает в высокий максимум потенциала, что и говорит о её «живучести» (вероятность равна единице - см. п.2в).
Далее, имея в виду вышеупомянутые обоснования о «вероятности равной единице», при сопоставлении их с выражением (7), обнаруживается другое обоснование, которое «раскрывается» в топологическом аспекте. А именно, возвращаясь к ДНПХ, это не что иное как нарушение симметрии времени, которое как бы «интегрировано» в эти подгруппы выражения (7) в контексте нелинейной трансформации энергии. При этом заметим, процесс может на каком-то интервале времени «проходить через ноль» согласно отображениям, см. п. 2г. и, например, оценке (1). Более того, при сопоставлении перехода (10) и иерархической «лестницы» /диаграммы (11) с выражениями (8) и (9) диаграммы В топологического «наполнения», обнаруживаются подобные объекты (в контексте как бы «накрывающего пространства» - см. п. 2г).
Это однозначно - переход (10) и первая группа выражения (8); вторая (средняя) группа выражения (8) и НС диаграммы (11); третья группа выражения (8) и ОНДС диаграммы (10).
Но тогда возникает вопрос - а группа (9) в замкнутой диаграмме В какую играет
роль?
Из ДНПХ имеем (см. п. 2д), что новый аттрактор возникает через разрушение прежнего («старого»). Так вот, это и есть «замыкающее звено» в этом во всём сопоставлении. Однозначно, выражение (9) есть новый аттрактор с соответствующей ему ОНДС. Логично было бы записать (в данном контексте) выражение (11) как МТ ^ СЧ ^ НС ^ ОНДС ^ ОНДС* (12).
ОНДС* - новый аттрактор с обновлённой системой.
И здесь важно отметить, что выражение/группа (9), т. е. ОНДС* выглядит несколько сложнее чем третья группа выражения (8), или ОНДС (без звёздочки). Это однозначно указывает на то, что этот переход в диаграмме В - и есть разрушение прежнего аттрактора (менее сложного) более сложным аттрактором (сложным — по части энергетической «насыщенности» и более сложной динамики. В смысле постоянного «двигателя» эволюции). Также важно отметить, что стрелка в диаграмме (12) повёрнута в противоположную сторону («вспять»), как в диаграмме В. Это однозначно говорит об одном - что новая система ОНДС* (с более сложным аттрактором) «приостановила действие», в смысле разрушила прежнюю ОНДС (с её менее сложным аттрактором). Если бы эта стрелка была в одном направлении со всеми, типа из менее сложного аттрактора сразу получается более сложный (т. е. через разрушение) - это было бы слишком просто, потому что отсутствовала именно причина, по которой появляется этот усложнённый
38
аттрактор. Диаграмма Б, как бы подсказывает эту причину. Как ранее в п.2д отмечалось аттрактор возникает через хаос в результате изменении внешних условий или эволюции системы, когда состояние системы с одним типом симметрий сменяется на её состояние с другим типом симметрий, при этом вспомним о нелинейности. Вобщем, имея классический процесс ОНДС по диаграмме (11) и подобный процесс по диаграмме (8), уже запускается параллельно процесс, как бы с «генетически зарезирвированной» информацией (с другим типом симметрий) — это выражение (10) ^ ОНДС*, или подобный ему: первая группа выражения (8) ^ группа (9). А вышеупомянутая стрелка противоположного направления указывает ещё и на то, что от сложного к простому перейти легко, а вот от простого к сложному весьма затруднительно, т. е. необходимы конкретные условия (см. выше) генерирующие это (практически невозможно). Понятно, что для этого нужно как бы продолжение диаграмм Б и (12), т. е. это чистая формальность типа автоморфизма: Б ^ группа (9) и (12) ^ ОНДС*(в смысле то, что группа (9) и соответственно ОНДС* присутствующие в диаграммах Б и (12)). При этом, в этой диаграмме Б, её первую группу выражения (8), рассматривая её как ранее указывалось подобное выражению (10) как входящему в (11), переход к выражению/группе (9) - означает только одно (как уже отмечалось - см. п. 2д) - ОНДС (в принципе) есть совокупность движущихся относительно друг друга СЧ. Короче, здесь имеем подтверждение основополагающей концепции ДНПХ с задействованием разных разделов математики. И как вывод: в дальнейшем, ДНПХ возможно будет более детально изучать с привлечением вышеуказанных разделов математических знаний. Окончание доказательства.
Заключение
Здесь была построена математическая модель с привлечением разных разделов математических знаний. Возникает вопрос - а с привлечением других разделов математики возможно ли смоделировать нечто подобное? Конечно можно. Тем более, будет чего с чем сравнивать в аспекте разного математического «наполнения» более детальных исследований ДНПХ. При этом обнаружится «инструментарий», в смысле конкретные приёмы совместно с теорией ОНДС для решения проблем уже чисто математических из разных разделов математических знаний.
Вспомним из известной теории солитонов - всё-таки почему же так «живуча» эта уединённая волна? Очевидно, что теория ОНДС в контексте теории ДНПХ с приведённым здесь математическим «наполнением» отвечает на этот вопрос. А это то, что сумма энергии движения и внутренней энергии системы вдоль её траектории -
сохраняется. Короче из всего представленного здесь, может возникнуть некоторое новое Приложение для дальнейших более глубоких исследований.
Одно из этих Приложений (вкратце) представим здесь. Это поиски эффективной модели наших мыслительных процессов (в аспекте математического моделирования нашего сознания). Вначале перепишем диаграмму В в виде:
ЗИ С1
\ (а1) \ (а)
8И(Б@2 ÍSш-q)Sq(S2 \Бп-ф)^ И(Б(82 \Б(ш+п)) (б1)| | (б) Н(В^2т S2n))^ И(Б($>2(ш+п))
I (в) |
С3 С2 (В*),
т. е. назовём её диаграммой В*. Далее представим весьма известные факты в этом контексте.
В настоящее время основной теорией насчёт природы нашего сознания является теория Пенроуза-Хамероффа, при этом отношение научного мира к ней остаётся пока весьма сдержанным. Суть её - в нашем мозге происходят квантово-механические процессы: мозг - квантовое «компьютерное устройство», а сознание - его «программа». Пока ещё никто, из научного мира, внятно, не предложил объяснения нашего сознания -состояния, при котором мы осознаём себя, в т. ч. и способность мыслить.
Довольно известны высказывания видного учёного нейробиолога П.М. Балабана: «В нашем мозге мыслей нет! Мозг только участвует в мыслительном процессе». Многие известные в мире научные центры пытаются обнаружить в нашем мозге мыслительный процесс. Пока их попытки тщетны. Здесь же сделаем «упор» на то, что наше сознание -некая абстрактная «топологическая» субстанция» с квантовой «накачкой» именно вокруг нас (мозг здесь некая энергетическая субстанция), а не в нашем мозге, т. е. вне тела человека, в аспекте развития идей и методов, опубликованных ранее на страницах данного журнала в статье [6]. Попробуем в продолжение этих соображений, с помощью приведённого здесь Модельного предложения (п.3) обосновать это.
Вначале напомним весьма известные положения, подтверждённые экспериментальными данными ведущих научных центров мира. Убеждение в том, что мы свободно выбираем наши поступки - есть самое главное для нашей картины мира. Но экспериментальные данные, указывают, что наше субъективное восприятие свободы -всего лишь иллюзия, а наши поступки, определяющиеся процессами в мозге, скрыты от
нашего сознания и что самое главное, происходящими задолго до появления принятого решения. Нобелевский лауреат Р. Сперри показал, что у людей с перерезанной перемычкой, соединяющей левое и правое полушария мозга, возникают две независимые личности, т. е. одна в левом, другая - в правом полушарии. Физиолог Б. Либет обнаружил в мозге некий «потенциал готовности», возбуждение в определённой зоне мозга, которое возникает за сотни миллисекунд до того, как человек примет сознательное решение к действию. Вот на основании этих данных и будем моделировать процесс деятельности нашего сознания.
За основу возьмём вышеуказанную диаграмму Б*. В этой диаграмме, С1, С2, С3 -есть этапы «работы» нашего сознания, как бы «подключённого» к этим динамическим стадиям теории ОНДС (при рассмотрении нашего Мироздания, или Вселенной с квантово-механическими процессами), при этом ЗИ, есть зарезирвированная информация. Далее, (а), (б), (в) - один канал, назовём его 1-ый канал коммутации и (а1), (б1) - 2-ой канал коммутации. Ясно, что 2-ой канал коммутации короче (на один «шаг», в смысле «быстрее») из-за вышеупомянутой ЗИ. Вот, почему обнаруживается этот потенциал «готовности». Всё это (2-ух канальность) согласуется с 2-ух фазовыми подпространствами (в [5] их объединение называют дуальным SD - пространством) в контексте нелинейности и принципа дуализма симметрии (см. п. 2д). При этом вспомним о двойных смежных классах в алгебре (см. п.2г). Мозг здесь выполняет роль энергетической субстанции, где определённые «конфигурации» молекул, отвечающие за память совместно с нашим созерцательно-экзестенциальным существованием всего лишь участвуют в этом процессе, но сами мысли есть некая «проекция» вокруг нас квантово-механических процессов на основе резонанса (подробнее в [6]). А что общего между нашим сознанием и знаменитым парадоксальным астрономическим «эффектом» профессора Н.А. Козырева? Как, довольно известно, результаты подобные козыревским были получены группой учёных под руководством академика М.М. Лаврентьева из СО РАН [7] и киевскими учёными [8]. А общее, это очевидно - «генетически зарезервированная» информация, которая следует из диаграммы Б* («сигнал» не нада ждать - он уже «рядом», в смысле «здесь») с позиции большое и малое в нашем Мироздании повторяют друг друга. Короче имеем всеобъемлющую как бы физико-математическую аналогию по части дуализма в контексте дуального 8Б - пространства.
В итоге имеем, что решение многих актуальных проблем современности по части физических процессов, происходящих в нашем Мироздании лежит в «плоскости» теорий ОНДС/ДНПХ. Здесь стоит сформулировать следующий
Вывод
Скорость течения настоящего, проигрывает в скорости весьма «живо» параллельно формирующемуся будущему, т. е. происходит «резервирование» информации, в контексте разрушения более сильным аттрактором (будущего) менее сильного (слабого) аттрактора (настоящего) и это есть сама суть эволюционного поступательного движения в нашем Мироздании с позиции теории ОНДС, как единственно верной теории.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тутубалин В.Н., Уход на бесконечность произведения случайных матриц, // Вестник Московского университета, серия 1, Математика, механика, 1990, №3, С 6-13.
2. Поспелов В.В., Приближение функции двух переменных суммой произведений функций одного переменного в пространствах Соболева, // Вестник Московского университета, серия 1, Математика, механика, 1990, №4, С 6-10.
3. Яровая Е.Б., Перемежаемость старших моментов в модели ветвящегося процесса с диффузией в случайной среде, // Вестник Московского университета, серия 1, Математика, механика, 1990, №4, С 79 ... 82.
4. Адамс Дж., Бесконечнократные пространства петель, Перевод с англ. под ред. Д Б. Фукса, М., Мир, 1982, С 119-121.
5. Сомсиков В.М., Детерминированная необратимость в природе хаоса и порядка /Проблемы эволюции открытых систем, 2019, Вып. 25, Том 1 (янв. -июнь), С 4555.
6. Проняев В.В., Математические модели мыслительных процессов (физика сознания) //Вестник Мордовского университета, Т. 25, №3. - 2015. - С. 103-111.
7. Лаврентьев М.М. и др., О дистанционном воздействии звёзд на резистор, //Доклады РАН CCCР, 1990, Т. 314, №2, С 325-355.
8. Акимов А.В. И др., Предварительные результаты астрономических наблюдений неба по методике Н.А. Козырева // АН Украины, Главная астрономическая обсерватория, Препринт, ГАО — 92-5р., 1992, С 16.
