CC BY
47
УДК 911.2:551.4
О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССА ТРАНСФОРМАЦИИ СЕЛЕВОГО ПОТОКА
© 2012 г. Е.В. Кюль1, Д.Р. Джаппуев2
1Центр географических исследований Кабардино-Балкарского научного центра РАН, ул. Балкарова, 2, г. Нальчик, КБР, 360000, kbncran@mail.ru
Национальный парк «Приэльбрусье», ул. Лесная, пос. Эльбрус, КБР, 361603, elbruspark@land.ru
The Center of Geographical Researches of the Kabardino-Balkar Centre of Science of the Russian Academy of Sciences, Balkarov St., 2, Nalchik, KBR, 360000, kbncran@mail.ru
2National Park «Prielbrusie», Lesnaya St., 2, settlement Elbrus, KBR, 361603, elbruspark@land.ru
Рассматриваются вопросы математического моделирования процесса трансформации селевых потоков. Применен способ структурного моделирования. При этом рассмотрены аксиомы математической структуры модели трансформации: 1) норм существования; 2) модели обогащения смеси твердым веществом; 3) модели частичного распада, и непосредственно сама модель существования селевой смеси (на примере условий схода селя в бассейне р. Большая Алматинка).
Ключевые слова: трансформация селевых потоков, структурное моделирование, селевая смесь, динамическое равновесие, теория катастроф, скорость движения потока, вязкость селевой смеси, Z-функция.
In article questions of mathematical modelling ofprocess of transformation of earth flows are considered. Authors apply a way of structural modelling. Axioms of mathematical structure of model of transformation such as axioms are thus considered: 1) norms of existence; 2) models of enrichment of a mix a firm substance; 3) models ofpartial disintegration, and directly model of existence sell mixes (on an example of conditions of a descent lodging in river pool Big Almatinka).
Keywords: transformation of earth flows, structural modelling, sell a mix, dynamic balance, the theory of accidents, speed of movement of a stream, viscosity sell mixes, Z-function.
Математическое описание процесса трансформации селевых потоков является одним из важнейших вопросов проблемы расчета характеристик селевых потоков. Ряд авторов обосновывают необходимость его решения и приводят укрупненный алгоритм модели трансформации [1 - 5].
Из возможных способов формализации сложного многофакторного и многогранного процесса, каким является селевой процесс, единственно приемлемым в настоящее время следует считать структурное моделирование.
Следует привести высказывание И.М. Яглома [6], который считает, что общее понятие математической модели той или иной реальной системы означает определенную математическую структуру в смысле Н. Бур-баки [7], неопределяемые объекты и отношения которой понимаются как те или иные объекты реального мира и реально существующие отношения между ними.
Математическая структура, по Н. Бурбаки [7], -это система вида = М; Яь Д2, ...Да состоящая из основного множества элементов М = { а, Ь, с,...} и тех или иных отношений Дь Д2, ..., Дк , в которых находятся его элементы.
Для того чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют некоторым условиям, которые являются аксиомами изучаемой структуры. При этом аксиоматика предполагает поиск глубоких причинных связей между элементами структуры и вывод логических следствий при отказе от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов.
Элементами математической структуры модели трансформации селевого потока по мере движения его
по руслу являются основные характеристики потока: скорость, глубина, расход и характеристики селевой смеси - плотность, вязкость, предельное напряжение сдвига. Отношения между этими элементами частично определены ранее при описании процессов, составляющих трансформацию (например, набора, отложения, частичного распада, движения). Каждую такую модель можно рассматривать как математическую структуру более низкого уровня - подструктуру.
Аксиомами математической структуры модели трансформации являются аксиомы теории существования и основополагающие аксиомы указанных структур, основными из которых можно считать следующие:
Аксиомы теории существования.
Aj. Селевой процесс как отклик сложной системы русло - поток стремится к динамическому равновесию.
А2. Равновесное состояние наступает в результате обогащения селевой смеси твердым веществом и формирования при этом массы высокой плотности либо частичного распада смеси до состояния наносо-водного (водного) паводка, либо в случае остановки.
А3. Реологические свойства селевых смесей -вязкость, предельное напряжение сдвига и скорость их распада - являются непрерывными функциями плотности.
А4. Селевая смесь, обладающая пластическими свойствами в мере, достаточной для того, чтобы все частицы ее твердой фазы находились в квазивзвешен-ном состоянии, перемещается без распада и остановки при выполнении условия H>t0/pcg sin а, где t0 - предельное напряжение сдвига; pc - плотность; Н - глубина потока.
Аксиомы модели обогащения смеси твердым веществом.
Ль Водный поток расходом выше критического значения, поступающий в очаг селеформирования (селевое русло), при определенных условиях - достаточное количество рыхлообломочных грунтов, достаточная длина и уклон русла - трансформируется в селевой поток.
А2. Селевые потоки, твердая фаза которых представлена полидисперсными частицами, включающими валунно-глыбовые фракции, не образуются на малых уклонах (1 - 5°).
А3. В составе селевой смеси во взвешенном состоянии могут перемещаться только фракции, гидравлическая крупность которых (с учетом действия архимедовой силы и степени стесненности падения частиц) не превышает максимальной величины поперечных пульсаций скорости потоков.
Аксиомы модели частичного распада селевых смесей.
Аь В процессе частичного распада селевых смесей происходит осаждение частиц, гидравлическая крупность которых превышает величины поперечных пульсаций скорости в потоке.
А2. Предельная концентрация частиц, гидравлическая крупность которых не превышает величины поперечных пульсаций скорости в потоке, зависит от энергии, которой обладают объемы, участвующие в пульсационном движении.
А3. Предельное содержание твердой фазы в потоках, в которых поперечные пульсации скорости практически отсутствуют, определяется размерами и концентрацией частиц, удерживаемых в квазивзвешен-ном состоянии за счет проявления пластических свойств селевых смесей.
Модель существования селевой смеси.
Селевой очаг можно представить как систему, которая в отсутствии селевого потока находится в равновесии. В некоторых случаях достаточно небольшого увеличения расхода воды, чтобы эта система перешла в неустойчивое состояние, проявляющееся в формировании селевого потока.
Система очаг - сель является открытой, так как происходит постоянный обмен энергией и веществом между потоком и руслом. Приток энергии происходит за счет перемещения массы потока с одного потенциального уровня на другой. Расходование энергии идет на вовлечение в движение частиц твердого вещества, перемешивание селевой смеси, преодоление сил вязкого и кулоновского трения, создание сейсмических и акустических волн, диссипацию. Вдали от равновесия происходит как бы самоорганизация - формирование селя высокой плотности с образованием череды валов. Селевой процесс в свою очередь также представляет собой сложную динамическую систему, которая, согласно первой аксиоме, стремится к динамическому равновесию.
Определим понятие «состояние динамического равновесия». Состояние устойчивого равновесия характеризуется тем, что селевая смесь с критической плотностью может существовать без распада и остановки, т.е. сохраняя свои характеристики при движении на определенном уклоне русла. Состояние неустойчивого равновесия характеризуется тем, что все
время происходит либо распад смеси и затухание селевого процесса, либо набор вещества и развитие селевого процесса, т.е. малейшие изменения плотности со временем растут в ту или иную сторону.
Вторая аксиома определяет два состояния устойчивого динамического равновесия селевой смеси, наступающих в результате указанных в ней процессов, третье состояние - по существу квазистатическое равновесие. Аксиомы А3 и А4 определяют условия первого устойчивого динамического равновесия в случае наличия у селевой смеси пластических свойств.
Известно, что плотность является чутким индикатором состояния селевой смеси. Главные факторы, ответственные за состояние селя: уклон русла (/); гранулометрический состав твердой составляющей потока (Г); его глубина (Н). Тогда состояние селевой смеси определяется точкой в четырехмерном пространстве {р, и Г, Н}. Два последних фактора являются в большинстве случаев зависимыми, поэтому можно считать пространство состояний трехмерным. В этом пространстве состояния равновесия образуют поверхность, проекция которой на горизонтальную плоскость I, Н образует, по терминологии теории катастроф [8], сборку («кривую катастроф»), в вертикальной плоскости р, и она образует «кривую состояний» (2-функцию) (рис. 1).
р, кг/м3
1крг 1крТ '
Рис. 1. Кривая состояния селевой смеси: 1, 2 - динамически
устойчивое равновесие; 3 - неустойчивое равновесие
Кривая состояния позволяет очертить области той или иной фазы эволюции смеси, предсказать, что произойдет в данных условиях: обогащение смеси рыхлообломочными породами, частичный распад или остановка.
Из теории устойчивости динамических систем известно, что если устойчивое положение равновесия описывает установившийся режим, то при слиянии с неустойчивым система должна совершить скачок и перескочить на совершенно другой режим. В нашем случае при подходе к ¡кр1 - со 2-го на 1-й, при подходе к ¡кр2 - с 1-го на 2-й равновесное состояние в рассматриваемой окрестности исчезает - посткритическая бифуркация. Скачки такого рода изучает теория катастроф [8]. Методы теории катастроф применимы непосредственно к системам, в которых в каждый момент времени на фоне изменяющейся ситуации минимизируется (или максимизируется) некоторая функция, например энергия (или энтропия). Таковой системой и является система очаг - сель. Функция состояния селевой смеси рассчитывается из условия минимизации энергии (мощности), затрачиваемой потоком на перемещение твердого материала.
Перемещение обломков селями происходит путем качения и скольжения наиболее крупных из них на стадии формирования селя и во взвешенном состоянии остальных [9]. Взвешивание частиц возможно либо в процессе турбулентного перемешивания, либо вследствие проявления пластических свойств смесей. Перемещение твердых частиц в составе потока во взвешенном состоянии требует существенно различных энергетических затрат в зависимости от гранулометрического состава и плотности смеси (рис. 2).
N<Be , N п взе ВТ
а
32О0 —
2 4 ОО -
76ÜO
воо 1
о, 2
о, 6
о, в
р, кг/м
z?oo -
твоо —
74,00 ~
'/ООО
Рис. 2. К расчету функции состояния селевой смеси: а -графики мощностей (1,2,3,4) и Nп взв (1 □□□□ р",3',4')
для
различных уклонов русла 3,5,7 и 9° соответственно; б - 7-функция для условий Б. Алматинка
Условие минимизации заключается в том, что доля мощности, которую поток в заданных условиях может затратить на взвешивание твердых частиц Nn взв, должна быть равна мощности Neзe, которую ему необходимо затратить на взвешивание частиц СФГ практически всех крупностей (вплоть до йгр, близкого йтах, для исключения образования самоотмостки, препятствующей селеформированию; йгр - разграничивает область взвешиваемых и катящихся обломков на гранулометрической шкале). Расчет мощностей производится для различных значений концентрации твердого вещества в селевой смеси вплоть до предельной (Спр) при определенной глубине потока Н. Предельная концентрация обусловлена предельной упаковкой обломков.
Мощность, необходимая для взвешивания определяется в соответствии с алгоритмом, разработанным
Б.С. Степановым [2]. Мощность, которую поток может затратить на взвешивание Nn тв, находится исходя из концепции, что она составляет к-ю долю от полной мощности пульсационного движения Nn, т.е. Nn <ззе = =К и равна при С < 0,5 N взв = 0,1^2рсН1/2(5т а)32, при С > 0,5
N взв = ( —I х Я яша-
sma
(2MV )
PcH1
-0,001VH Л
1 - e
где скорость движения потока V рассчитывается по полной формуле Б.С. Степанова [2]; ^ - вязкость селевой смеси.
Результаты расчета мощностей Nвзe и Nn взе для различных уклонов и кривой состояния для селей на конкретном объекте, в данном случае Б. Алматинка [9], при глубине 4 м показаны на рис. 2.
Таким образом, можно сделать основной вывод, что совместное решение уравнений, описывающих зависимости мощности, которая может быть затрачена на взвешивание твердой фазы смеси, и мощности, необходимой для взвешивания как функции концентрации частиц в смеси, позволяет построить поверхность сборки, сечение которой определяет кривую селевого процесса. Разработка детального алгоритма модели существования позволила выполнить расчеты 2-функций для рассмотренных выше селепроявлений.
Литература
1. Мочалов В.П., Степанов Б.С. Гляциальные паводки и методы борьбы с ними // Тр. МГИ. Вып. 58. М., 1986. С. 104 -108.
2. Степанов Б.С. Основные характеристики селевых потоков и селевой массы. Методы измерений // Тр. КазРНИИ. Вып. 79. М., 1982. 136 с.
3. Степанова Т.С. О роли дисперсности селеформи-рующих грунтов в образовании селей // Селевые потоки. Вып. 9. М., 1985. С. 23 - 32.
4. Тевзадзе В.И. Модели селевых процессов и методы расчета характеристик селевых потоков // XVI Всесоюзная науч.-техн. конф. по методам расчета и прогноза селевых потоков : тез. докл. М., 1981. С. 37 - 43.
5. Церетели Э.Д., Церетели Д.Д., Эдилашвили Г.В. Об устойчивости пород и условиях развития селевых явлений на Большом Кавказе (в пределах Восточной Грузии) // Проблемы геологии и металлогении Кавказа. Тбилиси, 1976. С. 379 - 387.
6. Яглом И.М. Булова структура и её модели. М., 1980. 96 с.
7. Бурбаки Н. Общая топология. М., 1968. 272 с.
8. Арнольд В.И. Применение функций от матриц к теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1957. 454 с.
9. Голубович В.А., Котлярова В.К., Нагорнов И.К. К вопросу о склоновой и ручейковой эрозии в очагах рассредоточенного селеобразования // Селевые потоки. Вып. 5. Л., 1980. С. 78 - 81.
10. Киренская Т.Л., Степанов Б.С., Хонин Р.В. Селевой поток в бассейне р. Большая Алматинка 19 августа 1975 г. // Селевые потоки. Вып. 2. М., 1977. С. 115 - 119.
Поступила в редакцию
24 ноября 2011 г.
