О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННО РАССРЕДОТОЧЕННОЙ ЭКОНОМИКИ ВАЛЬРАСА. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЕЕ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

УДК 330; 519.8; 621.6

О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВЕННО РАССРЕДОТОЧЕННОЙ ЭКОНОМИКИ ВАЛЬРАСА. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ЕЕ СОСТОЯНИЯ

РАВНОВЕСИЯ

Коваленко Алексей Гаврилович

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия

Аннотация

Строятся математические модели, являющиеся развитием модели экономики Вальраса, как дезагрегированной децентрализованной пространственно рассредоточенной системы. Субъектами рынков являются

- множества домашних хозяйств, покупающих с локальных товарных рынков различные виды товаров, производящих и продающих на рынки труда различные виды труда;

- множества предприятий, потребляющих с локальных товарных рынков товарные ресурсы, и с локальных рынков труда трудовые ресурсы, производящих и продающих на локальные товарные рынки свою продукцию;

- множества перекупщиков, покупающих товар с локальных рынков по низкой цене и продающих на другой локальный рынок по более высокой цене. Ресурсами, использующими перекупщиками являются различные товары с товарных рынков, и требуемые виды труда, покупаемые на рынках труда;

- транспортная сеть, по которой носители труда осуществляют транспорт труда от домашних хозяйств до предприятий.

На локальных товарных рынках осуществляется товарно-денежный обмен, при котором устанавливается лидерство субъектов. В статье описываются методы отыскания состояния равновесия, применяемые в «цифровой экономике».

Summary

The mathematical models which are development of model of economy of Walras as the disaggregated dispersed system decentralized spatially are under construction. Subjects of the markets are

- sets of the households buying different types of the goods making and selling different types of work on labor markets from local commodity markets;

- sets of the enterprises consuming commodity resources from local commodity markets and from the local labor markets human resources making and selling the products on local commodity markets;

- a great number of the dealers buying goods from the local markets at low price and selling on other local market at higher price. Resources, the using dealers are various goods from commodity markets, and the required types of work bought in labor markets;

- transport network on which carriers of work carry out work transport from households to the enterprises.

In local commodity markets commodity-money exchange at which leadership of subjects is established is carried out. In article the equilibrium state search methods applied in "digital economy" are described.

Ключевые слова: Модель полного экономического равновесия Эрроу-Дебре, пространственно рассредоточенные экономические системы, несовершенная и совершенная конкуренция, сетевые задачи теории игр, теория гидравлических систем, поиск состояний равновесия, цифровая экономика.

Keywords: Model of complete economic equilibrium to Errou-Debra, the economic systems spatially dispersed, the imperfect and perfect competition, network problems of game theory, the theory of hydraulic systems, search of conditions of balance, digital economy.

Введение

Проблема описания экономической системы и существования ее равновесия была изложена еще в работе Л. Вальраса [1]. Л. Вальрас понимал, что «.. .эта теория является математической, изложение и доказательство существование равновесия должно быть математическим». Авторами этой математической модели стали Эрроу и Дебре, независимо от них МакКензе. Подробное описание модели и доказательство существования равновесия приведено в работе[13], для доказательства использовалась выдающаяся теорема Какутани о неподвижной точке. Модель имела чисто теоретический интерес, взаимодействия субъектов основывались только на совершенной конкуренции, невозможно было проведения численных экспериментов, что позволяло применять для анализа реальных систем. В этой модели отсутствовала пространственная компонента экономики, и соответственно основной ее носитель - перекупщик. А ведь именно перекупщики являлись основой перехода от локальной экономики к глобальной, международной экономике.

Вычислительный аспект в модели экономики привнес Василий Леонтьев моделями межотраслевого баланса (затраты - выпуск). И как развитие выделяются меж - страновые балансы (экспорт — импорт), меж- отраслевой баланс, межрегиональный баланс, балансы предприятий; баланс спроса и предложения и т. д. [5].

Отметим, что анализу российской экономики с помощью вычислимых моделей на основе модели Эрроу - Дебре, посвящена работа [11].

Моделям рынков несовершенной конкуренции посвящена работа [14]. Используются экстремальные постановки субъектов рынков, на основе

этого рассматривается и анализируется широкий спектр проблем этих рынков несовершенной конкуренции. Однако в построенных моделях отсутствует пространственно-ценовая дифференциация рынков.

В данной работе строятся модели, связывающие между собой рассредоточенными рынками различных видов товаров и различных видов труда пространственно расположенные множества домашних хозяйств, предприятий. Организуя различные виды лидерства на товарных рынках, удается строить как рынки совершенной, так и несовершенной конкуренции. Структурная концентрация рынков, близких территориально, позволяет организовывать кластеры. Административное деление субъектов рынков позволяет организовывать районы, области, страны [5].

Описательная модель рассматриваемой экономической системы.

Поведение рынка совершенной конкуренции однородного продукта (однопродуктовый рынок) описывается кривыми спроса потребителей и предложений производителей товара. Равновесие рынка, достигается в точке пересечения этих кривых.

Определение. Рынок будем называть сосредоточенным (локальным), если поведение всех его субъектов (потребителей и производителей) можно описать одной кривой спроса и одной кривой предложений.

Графический пример описания такого рынка смотри на рис. 1.

D-D - кривая спроса S-S - кривая предложения Рис. 1. Однопродуктовый сосредоточенный рынок

Сосредоточенный рынок неявно предполагает, что на рынке встречаются два субъекта (вообще говоря, агрегированные): производитель и потребитель. Эти субъекты расположены там, где осуществляется обмен, или их кривые приведены к условиям этого места. В экономической теории эти кривые строятся как функции отклика задач оптимального управления субъектами обмена.

Реальная экономика обладает также следующими свойствами:

S неравномерностью географических и физических свойств территорий,

S разбросанностью размещения различных видов природных ресурсов,

^ разбросанностью и ограниченностью мест для комфортной жизни людей,

^ склонностью людей к определенным видам труда и соответственно к производству отдельных видов продуктов,

^ потребностью к потреблению продуктов, которые производятся вдали от мест проживания.

Это далеко не полный перечень причин, которые приводит рынок к пространственному рассредоточению, и соответственно к появлению субъектов, которые играют роль перекупщиков, покупая продукцию на одном локальном рынке, и продавая ее на другом [6]. История развития человечества показывает, что перекупщики являются не менее важной составляющей в сравнении с производителями и потребителями, они являются одной из движущих сил познания и освоения новых территорий.

Классическим примером однопродуктового рассредоточенного рынка в его полном многообразии, охватывающий все страны, является международный нефтяной рынок [15]. Нефть добывается практически на всех континентах, нефть и ее производные продукты используются практически во всех уголках земного шара. Ее добывают, продают, покупают, перепродают, транспортируют, перерабатывают. Нефть по своим свойствам разнородна, это дает не только пространственную дифференциацию этого товара, но и дифференциацию по ее свойствам.

Наверное, ни в какой другой отрасли так явно не выражены все формы экономических взаимодействий субъектов рынков (структур рынков). Игры на нефтяном рынке определяют политику государств, и наоборот. Мировой нефтяной рынок есть единый организм, который влияет на принятие решений практически на любой территории, и не учитывать этого нельзя.

Известно несколько, достаточно близких по смыслу, определений рынка. Одно из них приведено выше. Для понимания пространственно -рассредоточенного рынка в этих определениях следует выделить и уточнить, что на рынке взаимодействуют именно собственники товара, и рынок связан с местом, где товар меняет своего собственника. Отметим, что связь рынка с местом обмена важна не только как экономический аспект, но и как юридический. Если потребителей, производителей, перекупщиков описывать соответственно кривыми спроса, предложения, торгово-транспорт-ными кривыми, то модель рассредоточенного рынка совершенной конкуренции описывается задачей потокораспределения теории гидравлических сетей (ТГС) [12]. Математическая постановка модели однопродуктового рассредоточенного рынка совершенной конкуренции приведена в работе [7]. Графический пример такого рынка приведен на рис. 2.

Рис. 2.

Пример модели структуры однопродуктового рассредоточенного рынка

Развитие этой модели для многопродуктового случая и некоторые свойства модели приведены в работах [6], [8]. Полное описание моделей совершенной конкуренции и их исследование приведено в работе [8]. Модели несовершенной конкуренции в рассредоточенных рынках описаны в работе

[9].

Важным моментом рыночного обмена является характер взаимодействия субъектов рынков. Если на локальном рынке ни один из субъектов не является лидером (т.е. не влияет на нем на цену), то этот локальный рынок является рынком совершенной конкуренции. Если все локальные рынки являются совершенными конкурентами, совершенным конкурентом будет экономическая система. Если хотя бы на одном локальном рынке лидером (т.е. не влияет на нем на цену) становится один из его субъектов, рассредоточенный рынок становится рынком несовершенной конкуренции. В каждом узле может быть свой лидер из числа субъектов этого узла.

Равновесие на рынках совершенной конкуренции устанавливается стихийно. Согласно Адаму Смиту, равновесие устанавливает «невидимая рука рынка», которую можно считать лидером на этом рынке [2]. Заметим, что полный анализ причин богатств народов невозможен без пространственной рассредоточенности моделей, так как ресурсы, которые питают экономику, различны как по видам, по объемам, так и по пространственному расположению.

Данная статья посвящена следующему этапу развития моделей рассредоточенного рынка. В экономической системе, особенно если она рассредоточена, взаимовлияние влияние субъектов зависит от степени удаленности, лидерства в пределах локального рынка, взаимного расположения в структуре связей системы. Большое количество локальных рынков и возмож-

ность варьирования в них субъектами, владеющими стратегической переменной, дают огромное количество вариантов рыночных структур. Для анализа этих структур мы предлагаем численные методы оптимизации и численные методы ТГС, которые широко применяются трубопроводных система энергетики [12]. Получившиеся методы являются развитием методов и приложений теории игр [2].

1. Описание экономической системы.

Укрупнено экономическая система состоит из:

♦ ♦ множества домашних хозяйств, основой существования которых является потребление продукции, покупаемых с различных рынков. Бюджетные средства, на которые покупаются товары, домашние хозяйства получают за счет продажи своего труда, а также за счет акций от предприятий, акций от перекупщиков, осуществляющих куплю - продажу товаров.

♦ ♦ множества предприятий, потребляющих:

- труд домашних хозяйств (обмен деньги-труд осуществляется на рассредоточенных труда);

- товары - ресурсы, выпускаемые другими предприятиями (товарно-денежный обмен на рассредоточенных товарных рынках);

- ресурсы территории, на которой они находятся;

- прибыль предприятий распределяется на оплату труда, оплату приобретаемых ресурсов, оплату по акциям домашних хозяйств-собственников предприятий.

♦ ♦ Множества перекупщиков, которые:

- покупают товары у предприятий;

- перепродают между собой, и в конечном итоге, транспортируют товары посредством соответствующей транспортной системы;

- продают товары домашним хозяйствам;

♦ ♦ транспортной системы, по которым носители труда (представители домашних хозяйств) несут по свой труд от мест проживания до мест потребления (предприятий), взамен получая оплату за труд.

Для анализа подобных систем в настоящее время широко используются высоко агрегированные макроэкономические модели. В данной статье мы используем развитии моделей микроэкономики [3], ТГС [12] и моделей теории игр [2].

2. Математические модели субъектов экономической системы 2.1. Модели типа (товары ^ труд) домашних хозяйств на основе функций полезности. Задача домашнего хозяйства. 2.1.1. Построение математической модели функционирования домашнего хозяйства.

В соответствии с современным представлением экономической теории, под домашним хозяйством будем понимать совокупность лиц, совместно добывающих и потребляющих необходимые предметы (блага) существова-

ния. Домашнее хозяйство может состоять из одного человека, живущего самостоятельно. Деятельность, направленную на добычу средств существования, будем называть трудом. Использование, применение добытых предметов существования, будем называть потреблением. Домашнее хозяйство -это низший, неделимый субъект экономической системы.

Пусть Ж конечное множество видов товаров экономической системы, w - вид товара w е Ж. Пусть Ь конечное множество видов труда экономической системы, I - вид труда, Модели потребления домашних хозяйств в микроэкономическом анализе широко известны [3], и строятся на основе теории бинарных отношений, задаваемых в пространстве наборов (векторов) потребления с одной стороны. Эти отношений позволяет строить так называемые порядковых функции полезности, максимизация которых при бюджетном ограничении дает задачу потребителя. Очень продуктивный подход, но возникает вопрос, откуда берется бюджет? Его нужно заработать, т.е. за счет труда. Современная микроэкономика использует естественное деление предметов (так как дальнейший анализ связан с обменом, то будем применять слово «товар») потребления на отдельные виды. И для каждого вида существует соответствующая единица измерения, позволяющая проводить количественное сравнение наборов товаров в пределах одного вида. Сравнение наборов товаров несет в себе построенное бинарное соотношение и, соответственно, функция полезности [3].

Гораздо сложнее дело обстоит с моделями труда. Труд - деятельность, направленная, прямо или косвенно, на приобретение товаров потребления. Естественным является деление труда на отдельные виды. Под видом труда будем понимать однородные деятельности, неотличимые друг от друга. Примерами таких видов труда являются деятельность слесарей, деятельности токарей, плотников, землекопов т.д. Отметим, что эти виды деятельности тоже могут в свою очередь на подвиды. Будем считать, что такое разбиение не бесконечно. Характерной чертой вида труда является возможность его измерения. Наиболее естественной (но не обязательной) единицей изменения физических видов труда при производстве той или иной продукции является объем затрачиваемой энергии, или затрачиваемого времени. Будем считать, что каждый вид труда измеряется в условных единицах (у.е.). Два вида можно считать одинаковыми, если они могут производить одинаковую продукцию и различие может быть лишь в затратах у.е.

Обозначим через xw набор товаров потребления, х1 набор выполняемого труда, то каждая компонента набора х = (xw, х1) имеет свою единицу измерения. Если ХЖ пространство видов предметов потребления, и пространство ХЬ видов труда, то прямое произведение X = ХЖ х ХЬ этих пространств дает полное пространство, описывающее состояние экономической системы. Будем считаем, что для любого домашнего хозяйства в пространстве X можно определить бинарное отношение строгого порядка « ^ » и порядка эквивалентности « « », устанавливающее предпочтение на нем. На этой основе может быть построена функция полезности и = и(х) = и(xw, х1).

Пусть ДХ множество домашних хозяйств в экономической системе. Пусть г е ДХ. Считаем, что для любых х, у е X домашнее хозяйство г либо х у (читаем «х предпочтительнее у для домашнего хозяйства г), либо у х (читаем «у предпочтительнее х для домашнего хозяйства г), либо х «. у (читаем «х эквивалентно у» для домашнего хозяйства г).

Считаем, что на основе введенного таким образом порядка, может быть получена функция полезности иг = иг (х) = иг (хы, х1). Обычно для домашнего хозяйства наборы ш е ХЖ являются благом, х1 е ХЬ антиблагом.

В дальнейшем, так как каждому I может свой набор товаров и свой набор видов труда, будем применять Х№г и ХЬг.

2.1.2. Модели типа (плата за труд + плата за накопления ^ товары потребления ^ труд) на основе функций полезности. Функционирование домашнего хозяйства в структуре экономической системы.

Для описания структуры связей между объектами пространственно рассредоточенной экономической системы будем применять обозначения теории графов. Полностью эти структуры будут описаны далее, применяемые здесь обозначения им соответствуют, и не мешают пониманию описываемых моделей.

Каждое домашнее хозяйство узла / еДХ, на суммарный доход приобретает товары потребления и поставляет свой труд на рынки труда. Суммарный доход состоит из:

1) доход Д1 от продажи своих видов труда;

2) доход Д 2 от владения акциями предприятий;

3) доход Д ■ от владения акций перекупщиков.

Доход по акциям - это вложения в предприятия и перекупщиков в предыдущие периоды.

Будем считать, что каждое домашнее хозяйство I е ДХ в результате своей деятельности максимизирует свою полезность. Максимум полезности домашнего хозяйства будет иметь вид

Щ = Щ (х) =Щ((^^ (0; К^ (0) ^ ПМХ

где 0ДХ () - набор переменных (параметров), по которым проводится

оптимизация, в частности 0дх (0 = (\еУ + (0; (хК)

л

П (/)' V(/)

У

У^ (г) - множество дуг, по которым товар поступает с товарных рынков, V (г) - множество дуг, по которым труд выходит на рынки труда.

Для V еУ^ (г) цена товара, поступающего по дуге V из узла НЦу), равна Рцу), поэтому затраты на приобретение товаров будет иметь вид ^ РЩч)хж^,.

vеVW (г)

Таким образом, бюджетное ограничение будет выглядеть

X рЩу) щ * Д1 + Д 2 + Д

. Доход от продажи труда

Первая часть от продажи труда вычисляется по зависимости

д 1 = X • ч

(г)

где VI (г) - множество дуг, выходящих из узла г в узлы рынков труда Н2(у), V е ¥[ (г); РА2(у) - цена труда в этих узлах.

Доход по акциям предприятий.

Обозначим через J1 множество предприятий, акционером которого является домашнее хозяйство г, ^ с ПР. Возьмем предприятие у е Ji, прибыль этого предприятия л . Через I обозначим множество домашних хозяйств - акционеров предприятия у, между которыми распределяется эта прибыль. Введем коэффициенты а| - доля прибыли, получаемая домашним хозяйством к от предприятия у . Эти коэффициенты должны обладать свойствами

Хак = 1, ак > 0, к е ^.

ке1у

Тогда вторая часть бюджета домашнего хозяйства будет равна

Д 1=Ха'Л ,

■М

Доход по акциям от перекупщиков.

Пусть w - некоторый продукт, w еЖ, и - перекупщик этого товара и еVw, обозначим УУ = у У, - множество всех перекупщиков. Обозначим че-

wеW

рез множество перекупщиков, акционером которого является домашнее хозяйство г. Возьмем перекупщика е JУi, прибыль перекупщика л р. Через 1У обозначим множество домашних хозяйств - акционеров перекупщика , между которыми распределяется эта прибыль. Введем коэффициенты /Зкр - доля прибыли, получаемая домашним хозяйством к от перекупщика . Эти коэффициенты должны обладать свойствами

Ха* = 1, > 0, к е Ур.

ке1У ^

Тогда третья часть бюджета домашнего хозяйства будет равна

д 3= V,

Задача домашнего хозяйства.

Оптимизируемый критерий задачи домашнего хозяйства ДХ(г) узла г имеет вид

3

V еУ;м (г)

иг = иг (х) =и ((шу) .; (х1у) .) ^ мах

г г\ / т у-,уеУ№(г)'^ у-,уеУь(гУ (г)

(2.1)

ограничения, накладываемые бюджетом, имеют вид

X ^ ^ XР1л2^) ■ хК + + XР

v еу + (г)

' V ~ / " ' Л2^) V

(г) ¡Щ

„ Ж

IV IV

¡еу,

(2.2)

Так, как мы считаем, что домашние хозяйства непосредственно связаны дугами с узлами локальных рынков экономической системы, потоки по дугам обозначены , начало дуг обозначены Ы(у), конец дуги обозначены Н2(у), то задача домашнего хозяйства ДХ(г) будет иметь вид

и = и (х) =и ((а ) + ; (а ) ) ^

г "г ""АУЧч/ъс:17+ГЛ' Г/ГСЛ/

мах

у уеУ+(I) у уеУ£ (I)

(2.2)

X ^) 4у * XРк2М ■ а. + Х^ + /Рж

(у) ЧV — X 1к2(у) Уу

уеУ^ (г) /е/

Для дуги у е Ущ0 узел М(у) принадлежит рынку товара w, для которого М(у) е Еw. Для дуги у е У~(0 узел Н2(у) принадлежит рынку труда 1, для которого узел Н2(у) е Е1.

2.2.. Модели типа (товары+ресурсы территории+труд ^товары) предприятий на основе производственных функции. Задача предприятия

Обозначим через ПР множество предприятий экономической системы, которые выпускают товары из множества Ж. Допускается, что каждое предприятие может выпускать несколько видов товаров. Пусть геПР, ПР(г) -предприятие г-го узла. Через Уш (г) обозначим множество дуг, по которым предприятие ПР(г) отправляет произведенный товар на соответствующие рынки. Для любой дуги у е У((г) начало М(у) = г. Конец дуги ] = Н2(у) принадлежит множеству Ew рынка товара w, ж еЖ. Дуга у определяет вид товара, отправляемого из предприятия.

Через У+ (г) обозначим множество дуг, по которым на предприятие ПР(г) поступают товары с рынков в качестве потребляемых ресурсов. Для любой дуги у е у+ (г) конец Ы(у) = г. Начало дуги ] = к\(у) принадлежит множеству Ew рынка Rw товара ж еЖ. Дуга у определяет вид товара, получаемого предприятием. Подробное описание товарных рынков будет приведено далее.

В производстве товаров предприятием ПР( г) принимает учасиие различные виды труда. Обозначим у+ (г) множество дуг, по которым поступает

труд на это предприятие. Пусть у е у+ (г), ] = М(у). Среди множества видов

<

у еУ + (г)

труда найдется вид I е Ь такой , что у е Е1, где Е1 множество узлов конечного ориентированного графа 01 = (Е1V, И^, описывающего структуру связей локальных рынков труда вида I. Подробно структуры рынков труда будут описаны далее.

Пусть V еУЖ (0, ду - объем продукта, отправляемого по дуге V, в узел у = Ы(у). Этот узел принадлежит одному, и только одному множеству узлов Ew, w еЖ. Аналогично, если V е (I), то qv - объем продукта получаемого в качестве потребляемого ресурса по дуге V из узла ] = к\(у). Этот узел принадлежит одному, и только одному множеству узлов Ew, w е Ж.

Вектор собственных ресурсов территории, принадлежащей предприятию, обозначим через Г, (Г — Г), где г - предельный объем ресурсов предприятия, — - знак неравенства в пространстве, размерности вектора г . Модель выпуска товаров запишем как

^ )vеVwV (г) е Р )vеV¿ (г) ,^ (г) , Г )) ,

где ^ - множество достижимости объемов выпускаемой продукции при заданных значениях аргументов ((Я^,Х^оо ,(Ял>у Г) . Вектор собственных ресурсов г можно интерпретировать как ресурсы, добываемые на территории, и распределяемые для потребления (вообще говоря, в переработанном виде) для других предприятий и по домашним хозяйствам экономической системы.

Задача предприятия ПР(Г)

Л1 = XР200Я -( Xрц,)Я + Xрц,)Я + (Р г,О) ^ ^ (2.4)

vеVw (г) (г) ,еУ£+ (г) ПР ()

при ограничениях

),еУ1- (О е ^ ((Я \еУ^ (г),)УЬ (г), Г ))

Г - гг

®ПР (г) - список переменных, по которым берется максимум. Так на рынках, в которых предприятие монополистом, в этот список помимо прочих, могут войти переменные

Рг^ V е Vw (I), РЩу), V е V;(I), РЩу), V е VL+ (I).

2.3. Модель типа (товар+труд^товар) функционирования перекупщика рынка

Пусть w - вид товара, w е Ж, этому виду товара соответствует рассредоточенный рынок Rw , имеющий структуру, задаваемую графом

- -У^, Н^ . Рассмотрим дугу V . Для начала будем считать, что

РЬ2{У) - РЫ{У), или (РШ(у) — Рит - 0). В этом случае перекупщик ПРК(у), соответствующий дуге V покупает товар (и соответственно становится его собственником) в объеме Яу — 0 на рынке узла к\(у) по цене Рь\(у), транспортирует и продает на рынке узла И2(у) и продает по цене Рь2(у). Прибыль перекупщика будет иметь вид

Ру РН2(у) Яу

РЫ(у) Яу + X РЬ\(п) ЯЫ(и) + (Р Гу , Гу)

иеК

У

первое слагаемое есть выручка от продажи в узле И2(у), второе издержки, содержащие:

^ покупку товара в узле к\(у),

^ покупку ресурсов на рынках к\(и), и еКу+ где Vу+ - множество дуг, по которым поступают ресурсы,

^ стоимость ресурсов, являющихся собственностью перекупщика, гу - искомый вектор объемов ресурсов, используемых при транспорте купленной продукции, Гу - вектор максимальных объемов этих ресурсов, Р гу -вектор цен на эти ресурсы, компоненты вектора цен являются эндогенными величинами;

После преобразования получим

С \

X Р Ы(и ) ЯЫ(и ) + (Р Гу , Гу)

Ру (Рк2(v) РЫ(у) )Яу

\и&/у у

Задача перекупщика ПРК(у) примет вид

с

Ру — (Рк2(У) — РкКV) ) Яу —

X р ы(и) ям(и) + (р гу , гу )

^ тах,

®прк(у)

0 < Яу < /у ((Ящи ))иег++ ; Гу )-

0 < г < г у ,

V —V V —У '

где .Уу ((Яи\(и) )иеу + ; Гу) - производственная функция, ограничивающая

объем перевозки;

®прк(у) - перечень параметров, по которым берется максимум.

Пусть Рк2(у) <РЩу), т.е. Рк2{у) — РЩу) < 0. В этом случае перекупщик покупает товар (становится его собственником) в объеме я в узле Н2(у) по цене

, транспортирует в узел к\(у) и продает по цене РА1(у). Так как поток движется от конца дуги к ее началу, то ду < 0. Прибыль перекупщика будет

иметь вид,

Ру = Рк1(у)( Чу )

Рк2(у)(-Чу ) + X РШи) ЧЩи) +(Р Гу , Гу

первое слагаемое есть выручка от всей операции, второе издержки. После несложных преобразований

( л

Ру =~^Рк2(у) ~Рк1(у))\~ЧУ ) — X Р Ь1(Ы) Чк1(и) + (Р Гу, Гу) ■

V и^П

Экстремальная задача перекупщика примет вид

— (Рн2(у) РН1(у) ) Цу

X РН1(и) Як1(ы) + (Р Гу , Гу )

V и

+

^ тах,

® прк (у )

0 < - Цу < /у ((ЧнКи ))и.Г + ; Гу )'

0 < г < Гу ■

у у у у

Объединяя оба случая, получим задачу перекупщика ПРК(у)

Ру (РЬ2(у) РЬ1(у)) Ч

Н1(у) ' Чу

X РЪ1(и) Чк1(и) +(Р Гу, Гу)

V и^К

^ тах,

®ПРК (у)

< /у ((чЬ1(и) \еУ+ ; Гу ),

0 < г < Гу,

у —у у —у у '

М&К Уу ) = Р 2(у) -Рк1(у))

(2.5)

где:

^ \чу\ - объем перевозок по дуге у ограничиваемый значением производственной функции /у , знак совпадает со знаком (Рь2(у) Ры(у)) и определяет направление движения потока по дуге;

^ покупка ресурсов на рынках Н1(и), и вУу+ где Уу+ - множество дуг, по которым поступают ресурсы,

^ стоимость ресурсов, являющихся собственностью перекупщика, г

- искомый вектор объемов ресурсов, используемых при транспорте купленной продукции, Гу - вектор максимальных объемов этих ресурсов, Р г

- вектор цен на эти ресурсы, компоненты вектора цен являются эндогенными величинами;

^ ®ПРК(у) - список параметров перекупщика дуги у, по которым ведется максимизация, в этот список, в зависимости от структуры локального рынка, могут входить переменные Рн2(у), Рад, , компоненты вектора Гу.

+

и^Уу

Замечание. В модели считается, что связь предприятий, перекупщиков, и домашних хозяйства непосредственно с локальным рынком осуществляется без посредников (перекупщиков).

3. Пространственно рассредоточенные товарные рынки 3.1. Описание структуры модели.

Как и выше, W - множество видов товаров экономической системы. Каждому виду мeW рынка соответствует свой однопродуктовый пространственно рассредоточенный рынок Ям [7]. Структуру рынка задаем ориентированным графом — (Ем-НМ), где

■ Ем - множество узлов, им соответствуют места обмена товаром, мест, где товар м меняет собственников;

■ - множество дуг, дуге соответствует перекупщик товара;

■ Нм - отображения для дуг (у) — (к\(у), к2(у)), к\(у) - узел, начало дуги у; к2(у) - узел, конец дуги у.

Каждому I е Ем поставим в соответствии переменную Р, которая обозначает цену обмена товара. Каждому у е¥м соответствует переменная Яу - объем перевозимого перекупщиком товара, Яу — 0 , если направление потока совпадает с направлением дуги, Яу < 0, в противном случае. Величина Яу определятся моделью перекупщика этой дуги.

3.2. Граничные условия, условия продуктового баланса однопродукто-

вого рынка товара.

Разобьем множество узлов Ем товара м на три непересекающиеся части.

Ем= Ем^Ем2^Ем3, где Е^^Ем2 =0, Е^пЕм3=0, Е„2 гЕМ,3 =0.

^ — свободная переменная]

Р Р „' Г>1 е К (3.1)

Р — константа, Р — Р I

- — константа, ^ — Б*!

Р — свободная переменная

- — Б*(Р) I е Е1 (3.3)

Соотношение (3.1) соответствуют случаю, когда моделируемая система не может повлиять на цены систем узлов г е Е\, соотношения (3.2) соответствуют случаю, когда объем потребления (поставки) узлами I е Е2 не зависит от цены равновесия в узле. Для IеЕМ внешнеторговый баланс (экспортно-импортное сальдо) связан с ценой Р1 функцией - — Б I (Р1). Для этой функции эластичность не равна нулю и не равна бесконечности.

I е ЕМ (3.2)

В условиях равновесия для потребления, производства, внешнего торгового сальдо, ввоза и вывоза перекупщиками выполняется равенство

( Е Чу — Е ЧУ ) + ( Е ЧУ — Е ЧУ ) + (— Е ЧУ ) + (— Е ЧУ ) — -I .

уеГ+ (I) уе¥- (I) у^ПР (I) уе^О Уе¥ПРК(1) УъУДХ (I) (3.4)

I е ЕМ

■ Первая скобка обозначает сумму потоков, которые ввозят перекупщики в узел, минус сумму потоков, которые вывозят перекупщики из узла. V+ (I) - множество дуг, входящих в узел I, V— (г) - множество дуг, выходящих из узла I;

■ вторая скобка - сумму потоков товаров узлов к1(у), у е V^Р(г) , ввозимых для продажи в узел I, минус сумму потоков товара, которые вывозят предприятия к2(у), у е VПР(I) из узла I. Эти предприятия используют вывозимые потоки как ресурсы своего производства;

■ третья скобка - сумму потоков, которые вывозят перекупщики из узла и используют как ресурсы для транспорта товара. Дуги уеVПРК(г) нестандартного определения, начало дуги к\(у) есть узел I, конец дуги к2(у) - в свою очередь тоже дуга из множества ПРК;

■ четвертая скобка - сумму потоков, которые вывозят домашние хозяйства для потребления. Начало дуги у еVдХ(i) является узлом I, т.е.

М(У) — I;

Выражение, стоящее в (3.4) справа - внешнеторговый баланс.

Для узлов I е Е1 в состоянии равновесия внешнеторговый баланс является величиной расчетной и вычисляется выражением

( ЕЧу— Ечу)+( Ечу— Ечу)+(— Ечу)+(— ЕЧУ)—г., 1 е Е1 (35)

уеV+ (г) уеV- (г) УеVПp(г) уеVПpк (г) уеУ—Х (') У ' '

3.3. Баланс денежных потоков в узлах рынков.

В узлах осуществляется товарно-денежный обмен, вместе с движением товаров происходит перенос их эквивалентной стоимости. Расчет эквивалентной стоимости обмена товаров выводится из соотношения (3.4)

(Е чР — Е ЧуР )+( Е чР — Е ЧУР )+(— Е ЧУР )+(— Е чР)—

у г / 1 1у г/ V / 1 1у г / 1 1у г/ V / 11у г/ V / 1 1у

уеУ+ (0 уе^ (0 уе^пгр(0 у^ПР(1) уе1^прк(') у^дх(г)

или

( Е чр + Е ЧуР )—(Е ЧР + Е ЧР + Е ЧР + Е ЧР )—-А

У I / 1 IV I/ V / 1 IV I / 1 IV I / 1 IV I / 1 IV

пр(*) Уе¥~ (0 уеУпр(') ^Упрк^) уе¥дх (

Направление движения денежных потоков, которые участвуют в обмене, противоположно направлению товарных движения потоком. Отметим, что если система замкнутая, т.е. — — 0, то

( X*уР + X^)-( XЧуР + XъР + XъР + X^Р) = 0

уеу + (г) уе^р (г) уеу (г) уе^пр (г) уеупрк (г) уе^дх (г)

4. Пространственно рассредоточенные рынки труда 4.1. Описательная модель рынка труда.

В основу построения модели пространственно рассредоточенного рынка труда положим модель передвижения носителей видов труда между источниками труда - домашними хозяйствами и потребителями труда -предприятиями. Для описания структуры рынков труда, как и при описании товарных рынков, воспользуемся понятием графа. Каждому виду труда ¡еЬ соответствовать свой граф G¡. В нем узлы - локальные рынки труда - места непосредственной связи рынков с предприятиями, и места пересадок при движении по транспортной сети. Рынками труда пользуются и перекупщики, поэтому в граф добавляются нестандартные дуги, начало который находится в узле - рынке труда, конец - дуга, соответствующая перекупщику. Будем считать, что остановочные пункты находятся в непосредственной близости от потребителей и поставщиков труда. Такой подход не умаляет связи с действительностью. Одному и тому же участку транспортной сети может соответствовать несколько различных дуг графа различных видов труда.

4.2. Математическая модель рынка труда.

Как и выше, Ь конечное множество видов труда экономической системы. Пусть IеЬ, рассредоточенный рынок труда I обозначим Я ¡. Ему соответствует конечный ориентированный граф Gl =( Е1 ,У1, Н^, описывающий структуру связей локальных рынков труда вида l ■ Е1 - остановочные пункты и пункты пересадок, где носители труда могут сменить маршрут движения. Пусть г е Е1, V + (г), V (г) - множества дуг соответственно входящих и выходящих из узла г в инцидентные узлы из Е1, через УДх(г), УПр(г), УПрК(г) обозначены множества дуг соответственно входящих из домашних хозяйств (множество ДХ), выходящих в направление предприятий (множество ПР ) выходящих в направление перекупщиков (множество ПРК). Обозначим через цену труда в вершине г, для у еVl, цу

- величина потока труда вида ¡, перемещаемого по дуге у.

Ценовая взаимосвязь субъектов рынков труда. Возможны следующие 2 случая:

Первый случай. Р(Н2(у) > Р(Н1(у)), поток движется от узла н1(у) к Н2(у), поэтому Чу > 0 . Обозначим через ву (ду) - стоимость транспорта носителей труда за единицу потока при общем потоке Ч по дуге у . В состоянии равновесия будет выполняться Р(И2(у) = Р(И1(у)) + ву (ду).

Второй случай. Р(к2(у)) < Р(к1(у)), поток труда движется от узла к2(у) к узлу к1(у). В этом случае Цу < 0, ву (-qv) - стоимость транспорта носителей труда за единицу потока при общем потоке чу по дуге у. В состоянии равновесия будет выполняться Р(к\(у) = Р(к2(у)) + ву (-qv).

Объединяя оба случая, получаем, что для любого чу

Р(к2(у))- Р(к1(у)) = 8вп( ду )ву (| ду |),

или,

ву (I Чу I) = ВВП (Р(к2(у)) - Р(М(у))) (Р(к2(у)) - Р(к1(у))) ■

Обозначим через в1 - обратную функцию для ву, тогда |ду| = ву 1 Р(к2(у))-Р(к1(у))\ или ду = ввп(Р(к2(у))-Р(Н1(у))) в; 1 Р(к2(у))-Р(к1(у))\, обозначая Ау = (Р(к2(у))- Р(к1(у))), предыдущую зависимость можно записать

Чу = ВВП( Ау) ву \Ау) (41)

Граничные условия. Пусть Е= Е/^Е/2^Е3, где Е/пЕ2 =0, Е/пЕ3=0, Е^пЕ 3=0.

^ - свободная переменная]

Р р Р* I' еЕ1 (4.2)

Р - константа, Р = Р г ^ г - константа, г = I ?

г , г г,' е Е (4.3)

Р - свободная переменная^

2 = ), г е Е/. (4.4)

Это на рынке труда

Для I е Ез внешнеторговый баланс 21 связан с ценой Рг функцией

В* (Р ). Для этой функции эластичность не равна нулю и не равна бесконечности. Соотношения (4.2) соответствуют случаю, когда моделируемая система не может повлиять на цены систем узлов г е Е], соотношения (4.3) соответствуют случаю, когда объем потребления (поставки) узлами г е Е/ постоянен и не зависит от цены равновесия в узле.

Узловой баланс труда. Пусть г е Е 1 \ Е 1 (т.е. г е Е 1 и Е 1 ), у е (у+ (г) и V- (г)) и (и УДщ (г) и Упр(г)) и УПрК(г)

, для каждого г е Е1 в состоянии равновесия выполняется

XЧу- XЧу + XЧу- XЧу- XЧу = Вг(Р

уеУ + (г) уеУ- (г) уеУДу (г) уеУпР (г) уеУПРК (г)

Для г е Е11

Е Чу —Е ЧУ + Е ЧУ — Е ЧУ — Е ЧУ — - . (4 5)

уе¥+ (I) уе¥— (I) уе^Ду (I) теУ—Р^) Уе^ (I)

(4.5) является формулой расчета экспортно-импортного сальдо.

5. Узловые взаимодействия совершенной конкуренции в модель общего равновесия пространственно рассредоточенной экономической

системы

5.1. Продуктовый баланс в виде экстремальной задачи. «Невидимая рука локального продуктового рынка»

2 з

Рассмотрим произвольный вид товара м еЖ, I е Ем ^ Ем. Узлы

I е Е\ не берем, так как для них переменная Р [ - константа, на переменную ограничений нет, она может принимать любые значения в соответствии с (3.5).

Зафиксируем для всех узлов - товарных рынков j е Ем \ {I} и всех рынков труда j е Е1 значение цены Pj. Переменные Pj, j е (Ем \{}) и Е1 ,

дальше будем обозначать Рч. В условиях совершенной конкуренции все субъекты рынка I являются ценополучателями, поэтому (3.4) можно записать

(Еъ(Р,р—I) — Еъ(Р,р—))+( Еъ(Р,р—) — Еъ(Р,А—I))+

(5.1)

IV '

уе¥+ (I) уеУ— (I) уеУJР(I) УеГ^О )

+ (— Еъ (Р, Р—I)) + (— Еъ (Р, Р—)) — в* (р, р—I) — 0

| У 1

Уе¥ПРК О') Уе^ДХ (I)

где поток товара Чу — ъУ (Р, Р-г-) является функцией отклика на изменение переменной р при постоянных значениях переменных Р.г для:

- V+ (I) перекупщиков - продавцов в узел I на цену р;

- V— (I) перекупщиков - покупателей из узла I на цену р;

- у е V^Р (I) предприятий Н1(у) - продавцов на цену р;

- у е V ПР (I) предприятий Н2(у) - покупателей на цену р;

- у е V ПРК (I) перекупщиков Н2(у) - покупателей на цену р;

- у е V—c (I) домашних хозяйств Н2(у) на цену р;

Левую часть равенства (5.1) будем называть небалансом в узле I при цене и обозначать N(р,Р_г.), тогда (5.1) примет вид

N (Р, Р,) — 0. (5.2)

В дальнейшем уравнения (5.2) будем называть узловыми.

Определение НРР1. Будем говорить, что узел I находится в состоянии равновесия при цене Р* при фиксированных Р , если выполняется

N (Р , Р-г) = 0. Значение Р будем называть равновесной ценой рынка

узла г при фиксированных .

Определение НРР2. Будем говорить, что экономическая система находится в состоянии равновесия, если все товарные рынки и рынки труда находятся в состоянии равновесия. Таким образом: из задач: -домашнего хозяйства (2.1), (2.2); -предприятий (2.4);

- задачи перекупщика (2.5), а также условий:

- на границах связи с другими экономическими системами (граничных условий) (3.1) - (3.3);

- продуктового баланса (3.4), (3.5)

получаем эквивалентную задачу, состоящую из граничных условий (3.1) - (3.3) и системы узловых уравнений (5.2).

Пусть Ру, у е Е/ и Ем2 и Е^

решение системы узловых уравнений

. 2 3 —

(5.2) и граничных условий (4.1) - (4.4), тогда для любого г е Еп и Еп Рг,

является решением одного уравнения

N (Р, Р-г) = 0 (5.3)

одной неизвестной переменной Рг. Задачу (5.3) поиска состояния равновесия в узле можно записать в виде экстремальной задачи

КВг (Р, Р-) = (к(Р , Р- ))* ^ Ш1П (5.4)

Если n (р , р-г ) =

0, то в (5.4) КВг(Рг,р-г) = 0, учитывая что (Р) > 0, получаем, что Рг оптимальное решение (5.4). В обратную сторону, если в задаче (5.4) Рг оптимальное решение и

(Рг, Р-г) = 0 , то N. (Р, Р-г)

= 0 , т.е. выполняется (5.3). Используя термин Адама Смита, задачу (5.4) будем называть задачей «невидимой руки рынка» узла геЕ^2и^Е3. Если в некотором узле геЕ^2иЕ^3

значение Рг оказалось таким, что КВг (Р, Р-) > 0 , то «невидимая рука

рынка» осуществляет переход узла к такой цене Р/, при которой Ш1 (Р', Р-г) будет минимальной, т.е. стремиться к состоянию равновесия. Равновесие во всей сети будет соответствовать таким ценам Р* ¡еЕ^иЕ^, при которых

КВг(Р , Р*) = 0, геЕ^2иЕ^3 , т.е. все узлы будут в состоянии равновесия. В ТГС такой подход является одним из подходов поузловой увязки сети.

Алгоритм «невидимой руки товарного рынка» ¿еЕъ^^Еъ?

Организуем варьирование переменной Рг для минимизации функционала (5.4):

Для каждого значения выполняем:

1. для каждого у е V+ (I) и значения ищем отклик Чу — ъУ (Р, Р-1) на основе решения задачи перекупщика (2.5);

2. для каждого у еV (I) и значения Рг ищем отклик Чу — ЛУ (Р, Р—) на основе решения задачи перекупщика (2.5);

3. для каждого V е V (I) предприятия-продавца j — М(у) е ПР ищем отклик Чу — Г1У (Р, Р— ) на цену р на основе решения задачи (2.4) узла j при фиксированных Р—1;

4. для каждого V е V ПР (I) предприятия - покупателя j — Н2(у) е ПР ищем отклик Чу — Г1У (Р, Р— ) на цену Р1 на основе решения задачи (2.4) узла j при фиксированных Р—1;

5. для каждого V е VПРК(I) перекупщика - покупателя и — Ы(у) е ^ — иК ищем отклик Чу — ъ(Р,Рч) на цену Р1 на основе

м>е\¥

решения задачи (2.4) узла j при фиксированных значениях Р—1;

6. V е V—Х (I) домашнего хозяйства j — Н2(у) е ДХ ищем отклик Чу — ъУ (Р, Р-1) на цену Р1 на основе решения задачи (2.1), (2.2);

7. ищем отклик экспортно-импортного сальдо — — В I (р, Рч) внешних субъектов узла I.

8. используя полученные в пунктах 1.-6. значения чу, а также значение -г из узла I на основе зависимости (3.4) получаем значение функционала

«руки рынка» NBI (р, Р—).

Используя значение Р[ и NBI (Р1, Р — ) отбраковываем заведомо неоптимальные решения.

Замечание 5.1. Нетрудно видеть, что в описываемом алгоритме осуществляется минимизация функции одной переменной с вычислением только значений функции, поэтому в алгоритме можно использовать алгоритмы одномерной оптимизации 0-го порядка

Замечание 5.2. Переход в состояние равновесия в одном узле может вывести из состояния равновесия другие узлы. В работе [8] приведены теоремы, в которых доказано, что если локальные однопродуктового рынка каждого узла стремятся к состоянию равновесия, то и вся система сходится

к состоянию равновесия. Однако, как показывают оценки сходимости, переход всей системы в состояние равновесия может быть достаточно длительным процессом.

Замечание 5.3. Описываемая система представляет собой игру с состоянием равновесия по Нэшу. «Невидимые руки рынков» узлов геЕ^2иЕ^3 являются субъектами этой игры. Функционалы (5.4) описывают критерии минимизации каждого субъекта игры и взаимовлияние между ними.

5.2. Описание условий баланса труда в виде экстремальной задачи. «Невидимая рука локального рынка труда»

Пусть для вида труда IеЬ, г е Е] и Е] . Узлы г е Е] не берем, так как

для них переменная Рг - константа, на переменную 2г ограничений нет, она может принимать любые значения в соответствии с (4.5).

Будем считать, что для всех узлов товарных рынков и рынков труда

у е Е1 \ {г} значение цены Ру зафиксировано. Переменные Ру, у е Е \ {г}, дальше будем обозначать Р г . В условиях совершенной конкуренции все субъекты рынка г являются ценополучателями, поэтому для всех у еУ1 справедливо (4.1)

где А у = (Р(к2(у)) - Р(к1(у))), или

Чу = ЭВХРк2(у) - Рк1(у)) ву-1 (Рк2(у) - Рк1(у)). Для у е У + (0 к2(у) = г, для у е У" (г) к1(у) = г, поэтому (%%4.3) можно записать

X ВВП( Р -Рк1(у)) ву-1( Р -Рк1(у))- X 8§П( Рк2(у) -Р ) в; \ Рк2(у) - р) +

уеУ + (г) уеУ- (г)

+ X(gу)- X(gу)- X(gу)=В(Р) (5'4)

уеУ+ДХ (г ) уеУПР(г) уеУПРК(г)

Для у е УДХ(г) чу является функцией отклика на переменную Р при фиксированных Рг соответственно задач домашних хозяйств ДХ(у) для

у = к1(у). Для у е УпР(*) чу является функцией отклика на переменную Рг при фиксированных Р_г соответственно задач предприятий ПР(у) для у = к2(у) . Для у е УпРК(*) чу является функцией отклика на переменную Рг при фиксированных соответственно задач перекупщиков ПРК(и) для и = к2(у) (напомним, что перекупщикам в системе обозначений соответствуют дуги графа, поэтому конец дуги у ссылается на дугу и). Таким образом (5.4) можно записать

X^(Р, -Рк1(у)) в^ *(Р -РА1(у))- X^(Р^у) ) в/1(РА2(у) -Р) +

уеУ + (г) уеУ~ (г)

+ X(Ч,)- X(?v)- X(?v)-В,(Р) = 0 (5'6)

уу уеУ+Х (г) уеУПР(г) уеУПРК^)

Левую часть равенства (5.6) будем называть небалансом в узле i при цене Pi и фиксированных ценах P-i и обозначим Ni (Pi, P_{), тогда в состоянии узлового равновесия должно выполняться

Ni (P, Р_г) = 0. (5.7)

Обозначив NBt (P, P_) = (Nt (P, P_ ))2 . Задачу поиска состояния равновесия в (5.7) запишем как

*

P = argmin NBt(P,P_). (5.8)

Pi при P_i =const

Используя термин Адама Смита, задачу (5.8) будем называть задачей

«невидимой руки рынка» узла ieE^uE/3. Если для всех ieE2^E3 (т.е. и для

* * *

товарных рынков тоже) значения P таковы, что NBi (P , P_i ) = 0, то получившееся значения дают состояния равновесия совершенной конкуренции для экономической системы в целом.

6. Узловые взаимодействия несовершенной конкуренции в модели общего равновесия пространственно рассредоточенной экономической

системы

Переход от совершенной конкуренции к несовершенной заключается в смене лидерства «руки рынка» на лидерство одного из субъектов рынка. В зависимости от этого мы получаем ту или иную структуру локального рынка, и соответственно структуру всей системы. Поиск состояния равновесия всей системы, как и выше, заключается в поузловой увязке всех узловых задач.

Приведем модели узловых задач для некоторых структур несовершенной конкуренции и алгоритмы поиска состояния равновесия в них.

6.1. Лидерство производителя - продавца на товарном рынке. Узловая

монополия

Пусть в узле i производитель j=h\(u), u е Vnp + ( i) занял в положение лидера. Мы получаем монополию производителя j в этом узле i. В условиях монополии производителя j в узле i рыночная власть переходит к нему. Он имеет возможность на выбор значения стратегической переменной Pi, варьируя ей с целью максимизации своей прибыли. При этом отметим, что как и раньше, в узле должно быть выполнено условие продуктового баланса.

Преобразуем предыдущую математическую модель совершенной конкуренции следующим образом. В качестве примера рассмотрим структуру рынка, отображенную на рис. 3.

/ ч

Рис. 3. Схема связей рынка узла I с инцидентными узлами

На этом рисунке сплошные линии - дуги связей с предприятиями продавцами и потребителями; пунктир - дуги, соответствующие перекупщикам; штрих-пунктир - дуги связей с домашними хозяйствами; жирная дуга - связь монополиста j с рынком I. Лидером, владеющим выбором стратегической переменной Р, является предприятие j. Так как I — Н2(и) задача лидера примет вид.

Щ — Р.Чи + £р2(У)Чг — ( £РиооЧ, + £РиооЧ, +(Рг],г)) ^ так

уеУ№ (} )\{и> уеУ,+ (}) уеУ+ (}) ПР (7) (6.1)

при ограничении

[Чи , (Чу ХеУ№ (7 )\{и> ) е Г ((Ч ХеУ+ (,) > \+ ,), Г ))

Г ^ 7 Г7

Искомые переменные 0 ПР 01 — (Р , Чи, Ч 0)\{и>' (Я* ОУ(ЧV 1еУ+ (7). Г ) , по

которым берется максимум, разобьем на 3 части: Р , Чи, и

((ЧХеУж(])\{и>' (ЧХе V+ (]);(Ч\еУ+ (]); Г] ))

В соответствии с этим строим трех уровневую схему максимизации щ:

1 уровень. организация перебора по переменной Р .

2 уровень: для каждого фиксированного Р решаем:

2а) для каждого к — Ь\(у),уе У~+Р(I)\{и> задачи ПР(к), получаем объем продаж чу предприятиями - совершенными конкурентами;

2б) для каждого к — Ы(у), V е V ПР (¡) задачи ПР(к) , получаем объем Чу потребления ресурсов с рынка I;

2в) для каждого V е V + (¡) задачи перекупщиков ПРК(у) , получаем объем ввоза чу; 90

2г) для каждого уеУ (г) задачи перекупщиков ПРК(у) получаем объем вывоза Чу;

2д) для каждого у еУДХ(г) , к=к2(у), по задаче домашнего хозяйства ДХ(к) находим объем потребления ду с рынка г.

2е) рассчитываем ^(Р,);

3 уровень.

3а) На основе продуктового баланса (3.4) находим объем производства, который должен выпускать монополист:

Чш = -( XЧу- XЧу)-( XЧу- XЧу)-(- XЧу)-(- XЧу) + ъ

уеУ + (г) уеУ- (г) уеУПРОП«} УЕУПРО) УЕУПРКО) У^УДХ(')

3) при заданном Р, и полученном Чи решаем задачу (6.1), в результате получаем т . В этом случае максимум берется по переменным

^Чу )уеу- (] )\{ш}; (Чу )уеу+ (]); (Чу Хеу+ (]); Г

Как и выше, мы не уточняем, каким образом осуществляется вариация по переменной Рг, для этого может быть применена вариация любого метода одномерной оптимизации 0-го порядка. Также не уточняем методы решения задач второго уровня. Это можно делать любым из методов условной оптимизации. Так как каждая из этих задач может в качестве начального приближения брать решение от предыдущей итерации, то интересным является метод возвращающих направлений, модифицирующий метод возможных направлений Зонтендейка [10].

6.2 Лидерство домашнего хозяйства в узле. Узловая монопсония.

Для того, чтобы получить модель монопсонии в узле, следует лидерство предприятия заменить на лидерство домашнего хозяйства. Место задачи (6.1) займет задача (2.2).

6.3. Лидерство перекупщика, инцидентного локальному рынку. Узловая монополия перекупщика.

Рассмотрим случай, когда на рынке узла г перекупщик и е V+(,'), ¡=к2(и), является лидером. (Случай и е V (г) аналогичен).

Алгоритм «лидерства перекупщика.

Как и выше, организуем варьирование переменной Рг для максимизации функционала задачи перекупщика (2.5) при и е V + (¡):

Для каждого значения Р, выполняем:

1. для каждого у е V + (¡)\ и и значения Р, ищем отклик ду (Р, Рг) на основе решения задачи перекупщика (2.5);

2. для каждого у е V (г) и значения Р, ищем отклик д (Р, Р г) на основе решения задачи перекупщика (2.5);

3. для каждого у еУ+Р (¡) предприятия-продавца у = к1(у) е ПР ищем отклик чу = т]у (Р, Р-г) на цену Р1 на основе решения задачи (2.4) узла у при фиксированных значениях Р ;

4. для каждого у еУпр(г) предприятия - покупателя у = к2(у) е ПР ищем отклик чу = т]у (Р,, Р-г) на цену Р1 на основе решения задачи (2.4) узла у при фиксированных Р ;

5. для каждого у е УПРК (¡) перекупщика - покупателя и = к2(у) е УУ = \\УК

м>е!¥

ищем отклик ду =цу (Р,, Р-г) на цену Р1 на основе решения задачи (2.4) узла у при фиксированных значениях Р ;

6. для каждого уеУщ(г) домашнего хозяйства у = к2(у)еДХ ищем отклик ду = г]у (Р, Р-г) на цену Р1 на основе решения задачи (2.1), (2.2);

7. ищем отклик - (экспортно-импортное сальдо) 2 = В*, (Р, Рг) внешних субъектов узла г.

8. используя полученные в пунктах 1.- 6. значения ду, а также значение пункта 7 на основе зависимости (3.4) получаем значение функционала задачи перекупщика (2.5) при и е У + (¡).

Используя значение Р и значение функционала задачи перекупщика (2.5) при и е У + (¡) отбраковываем заведомо неоптимальные решения.

Замечания 5.1. и 5.2 справедливы и для приведенного алгоритма.

Заключение

Как отмечено в обзоре [4] модели общего равновесия имеют широкое применение в прикладных экономических исследованиях пространственно рассредоточенных систем благодаря тому, они позволяют количественно оценивать взаимосвязи между различными подсистемами экономической системы, а также воздействие различных факторов.

Для моделей рассредоточенного рынка однородного продукта совершенной конкуренции (это пространственно рассредоточенный слой модели общего равновесия) сходимость к состоянию равновесия доказывается в [8]. Но в доказательстве используются особые свойства функций спроса и предложения. Решение аналогов ТГС не вызывала сомнения единственности решения но в ТГС при решении задач для описания движения потока используются квадратичные функции. Проблемы неустойчивости и неединственности возникают и учете режима течения потока (ламинарный, турбулентный и т.д.) При переходе ламинарный -> турбулентный гидравлического удара не бывает - слишком малы пертурбации. Просто хаос в потоке скачком нарастает вместо порядка (ламинарный режим).

Данная работа содержит инструментарий для поиска состояния равновесия для случаев, когда в любом локальном рынке может быть монополист. В результате получаем огромное количество различных структур, начиная от совершенной конкуренции, каскадов [9] монополий до централизованного управления

Как отмечалось выше, аналогом поиска состояния равновесия рассредоточенных рынков является алгоритм поузловой увязки ТГС. Опыт применения этого алгоритма имеет большую историю. Автор работы участвовал его разработке и применения для анализа систем водоснабжения, теплоснабжения ряда городов Средней Волги. Решение конкретных задач и численные эксперименты в этой области показали, что их можно использовать в имитационных системах принятия решений. Время работы алгоритма для задач, где количество узлов около 1000, количество дуг около 1500 на персональном компьютере время составляет не более 1-1,5 минут. Если применять для решения этих задач современные суперкомпьютеры, то размерность решаемых задач становится незначимой. Численные методы поиска состояния равновесия становятся значительно проще, если при решении допускается для предприятий использовать функции издержек I (ъ) и функции предложений ъ — ъ(Р); для перекупщиков использовать функции издержек 1У (уУ) и торгово-транспортные кривые уУ = фУ (Рш(У) — Ры(У)).

Список литературы

1. Вальрас Л. Элементы чистой политической экономии. — М.: Изограф, 2000. — 448 с.

2. Васин А. А. Морозов В.В. Теория игр и математические модели экономики // МАКС Пресс, 2005. С. 2005.

3. Гальперин В.М. Игнатьев С. М., Моргунов В. Н. Микроэкономика: в 2-х т./ общая редакция В.М. Гальперина. - СПб.: Экономическая школа, 2000. - Т. 1. - 349 с.; Т. 2. - 503 с.

4. Изотов Д.А. Эмпирические модели общего экономического равновесия // Пространственная Экономика. 2014. С. 138—167.

5. Клейнер Г.Б. Государство - регион - отрасль - предприятие: каркас системной устойчивости экономики России. Часть 1 /Клейнер Г. Б. // Экономика региона. 2015. № 2. С.8 50-58.

6. Коваленко А.Г. К вопросу о взаимосвязи децентрализованного многопродуктового пространственно-рассредоточенного рынка и централизованного управления этой экономической системой. // Журнал экономической теории, Российская академия наук, Отделение общественных наук, Секция экономики, №3, - 2012, С. 148-154.

7. Коваленко А.Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка. // Экономика и математические методы. 1999, том 35, N 3, с. 108 - 115.

8. Коваленко А.Г. Математические модели и методы анализа рассредоточенных рынков. Развитие математических моделей и методов теории гидравлических сетей, методов оптимизации и многокритериального анализа. // Palmarium Academic Publishing, Saarbrucken, Deutschland, - 2013, С. 320 .

9. Коваленко А.Г. О поиске состояния равновесия пространственно -рассредоточенных рынков несовершенной конкуренции однородного продукта // Экономика и математические методы. 2018. Т.54. №1. С. 52 - 68.

10. Коваленко А. Г. Элементы выпуклого векторного программирования. // Куйбышев: Куйбышевский государственный университет, 1990. С. 83

11. Макаров В.Л. Вычислимая модель российской экономики (RUSEC). // Препринт # WP/99/069. - М.: ЦЭМИ РАН, 1999. -С. 93

12. Меренков, А. П. Хасилев В. Я. Теория гидравлических цепей. - М.: Наука, 1985. - 278 с.

13. Никайдо, Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. \\ М., Мир, 1972. С. 514

14. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть : Теория организации промышленности // Пер. с англ. СПб. : Экономическая школа, 1996. 745 с.

15. Хачатуров В.Р., и др. Планирование и проектирование освоения нефтегазодобывающих регионов и месторождений: Математические модели, методы, применение // Под ред. В.Р. Хачатурова. М.:УРСС:ЛЕНАНД. 2015, с. 304.

АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ МИГРАЦИОННОЙ СТРАТЕГИИ ALGORITHM OF MIGRATION STRATEGY FORMATION

Скрябина Карина Алекссеевна

аспирант Финансового университета при Правительстве Российской

Федерации, г. Севастополь

Аннотация:

Ежегодно вопрос миграции становится все более актуальным, в контексте социально-экономического развития страны и регионов. Однако следует отметить, что миграционное явление, можно расценивать, как и положительный, так же как и отрицательный феномен. Таким образом, можно прийти к выводу, что миграция и как следствие миграционная политика, является весьма значимым элементом государственного управления в сфере экономики [11. c 12].

Ключевые слова: трудовая миграция, региональная миграция, естественный прирост, рынок труда, дефицит рабочей силы, демографический анализ, производственные потребности, ресурсный потенциал.

Abstract:

Every year the issue is becoming increasingly relevant, in the region of socio-economic development and regions. However, it should be noted that the migration phenomenon can be considered both positive and negative. Thus, it can