К вопросу о взаимосвязи децентрализованного многопродуктового пространственно-рассредоточенного рынка и централизованного управления этой экономической системой Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

о ем

IX

о

о

и

о

X

о ^

т <

X

а. >

к вопросу о взаимосвязи децентрализованного многопродуктового пространственно-рассредоточенного рынка и централизованного управления этой экономической

системой

А. Г. Коваленко

Из анализа математической модели многопродуктового рассредоточенного рынка (МРР) в равновесном состоянии и задачи централизованного управления (ЗЦУ) экономической системой делается вывод, что по критерию максимума прибыли централизованное управление не менее эффективно, чем децентрализованное. Однако если все агенты МРР совершенные конкуренты, то критерий оптимальности вравно-весном состоянии совпадает с критерием оптимальности ЗЦУ.

Введение

В соответствии с первой теоремой экономики благосостояния, каждому равновесному по Вальрасу состоянию экономической системы соответствует эффективное по Парето состояние. И наоборот, если функции полезности вогнутые, а также является выпуклым множество производственных возможностей фирм, то для любого равновесного состояния по Парето существуют цены, при которых это состояние является равновесным по Вальрасу [1]. Согласно [2, 3], каждому слабоэффективному состоянию по Парето (а множество слабо эффективных состояний содержит множество эффективных состояний) соответствует оптимальное решение однокритериальной задачи с функционалом, являющимся линейной сверткой многокритериальной задачи. Таким образом, каждому равновесному по Вальрасу состоянию соответствует оптимальное решение некоторой однокритери-альной задачи с функционалом, являющимся линейной сверткой критериев оптимальности субъектов экономической системы. В данной работе рассмотрен случай децентрализованных систем управления экономикой, описываемых моделью многопродуктового пространственно-рассредоточенного рынка совершенной конкуренции [4, 5], и централизованное управление всей системой. Показывается, что эффективность рынка совершенной конкуренции и системы централизованного управления пространственно-рассредоточенных систем совпадает. Также пока-

зывается, что в случае, если в децентрализованной системе управления существуют локальные рынки, не являющиеся рынками совершенной конкуренции, рассредоточенный рынок менее эффективен, чем централизованное управление.

1. Обозначения, постановка задач

Достаточно подробное описание модели од-нопродуктового рассредоточенного рынка приведено в [5], развитие модели многопродуктового рассредоточенного рынка и некоторые свойства приведены в [4], поэтому в данной работе приведем лишь математическую постановку, аналогичную постановке в [4], за исключением незначительных изменений, не меняющих смысл модели.

Основные обозначения. Пусть G = (Е, V, H)

— связный конечный ориентированный граф, описывающий структуру связей локальных рынков 1-го продукта, Е— множество вершин графа, V1 — множество дуг, Н. — отображение

Н : V ® Е х Е, 1 е 5 = {1, 2, 3, ..., т}, 1, т

— количество продуктов. Каждой дуге V е V отображение Н ставит в соответствие упорядоченную пару ^1^), h2(v)) вершин из Е — начало дуги V, h2(v) — конец. Будем говорить, что из вершины 7 выходит дуга V, если 7 = М^), и входит в вершину /, если ] = h2(v). Множество дуг, входящих в вершину 7, обозначим через V+ (7), множество дуг, выходящих из вершины 7, обозначим через V- (7).

Вершинам 7 е Е соответствуют локальные рынки купли-продажи 1-го продукта, а также в этих вершинах расположены предприятия, выпускающие и продающие этот продукт. Дугам V е Vs соответствуют арбитражеры, которые покупают продукцию на рынке вершины h1(v) и продают на рынке вершины h2(v), если цена на рынке вершины h2(v) больше цены вершины h1(v), и наоборот, если цена на рынке вершины h2(v) меньше цены вершины h1(v).

Для описания потребления предприятиями введем для каждой вершины 7 е Е 10 е 5, множество дополнительных дуг V+D(i), которые бе-

рут начало в одной из вершин одного из множеств Es и конец в вершине i. Для описания конечного потребления введем множество вершин Епот, соответствующее конечному потребителю и для каждой вершины i î Епот множество дополнительных дуг V+D (i), которые также берут начало в одной из вершин одного из множеств Es и конец в вершине i.

В дальнейшем будем применять следующие обозначения:

VD= U G = E, V, H) — граф,

IK

{ses J

в котором E = Enom{j \Je, , V = VD\J\JVS

.seS \seS

отображение H соответствует направлению дуг

в VD\J\jK

\seS ,

Таким образом, субъектами локального рынка вершины i î EE являются:

пот

1. Предприятия, расположенные в вершине i, производящие и продающие соответствующий продукт.

2. Предприятия других вершин j, которые через дуги, направленные в них, покупают продукцию вершины i.

3. Конечные потребители вершин j î E ,

пот

которые через дуги, направленные в них, покупают продукцию вершины i.

4. Арбитражеры, которые либо покупают, либо продают продукцию в вершине i, в зависимости от знака разности цен на этот продукт в инцидентной вершине.

2. Описание математических моделей субъектов модели многопродуктового рассредоточенного рынка. Задача централизованного управления системой

Обозначим через P., i î Е\Епот цену, по которой проходит обмен продуктом в вершине i, yv — объем продукта, движущегося по дуге v î V. Задача арбитражера.

Fv = У(Лвд - pmJ - Pr) ® maX

hi(v>

v Î VV

при ограничениях

fv(y„ о £ 0, V e VVD,

(i)

(2)

где — прибыль, получаемая арбитраже-ром; у — объем перевозки; г — вектор объемов ресурсов, используемых им; Ргу — вектор цен на эти ресурсы; / — вектор-функция, опреде-

ляющая набор ограничений, в рамках которых функционирует арбитражер; 0v — нуль-вектор, размерность которого равна размерности f. Эти ограничения определяют его множество производственных возможностей. В качестве примера (2) можно привести следующие ограничения: |yj < f(r ) 0, ^ rv, где f — производственная функция; rv = (Kv, Lv)T, 0v = (0, 0) T, r = (K, L )T, K, L — соответственно объем

' V 4 v' v' ' v' V

фондов и труда, используемых арбитражером, K Lv — соответственно их предельный объем.

В дальнейшем будем считать, что все функции, входящие в компоненты вектор-функции f ,

— выпуклые дифференцируемые функции.

Задача предприятия.

Е УЛ^-^Рг^тах, i€E% (3)

v6F+(i)

при ограничениях

iMniy^ev^oU)^,,i£E%, (4)

где F. — прибыль предприятия; — объем производства; yv — факторы производства, приобретаемые предприятием по дугам (г); r.

— вектор прочих объемов ресурсов (факторов производства), им используемых; Pr. — вектор цен на эти ресурсы; f. — вектор-функция, определяющая набор ограничений, в рамках которых функционирует предприятие; 0. — нуль-вектор, размерность которого равна размерности f .. Эти ограничения определяют множество производственных возможностей предприятия.

В дальнейшем также будем считать, что все функции, входящие в компоненты вектор-функции f выпуклые дифференцируемые функции. Отметим также, что если в какой-то вершине предприятия нет, то из ограничений (4) следует, что ° 0.

Задача конечного потребителя. Задачу потребителя рассмотрим в постановке

Pt= Е PM(v)7v^niin, . е Епот (5)

V6K+0)

при условии, что полезность не меньше заданного уровня г| это ограничение запишем в виде

h. ° const, i е Е . (6)

ч ' пот 4 '

Параметр r. добавлен для однообразия записи с (4). .

Граничные условия.

P .. = PB , . е Е1, (7)

z. = B ,. е Е2. (8)

z = Y (P ),. е Е3, (9)

у

TD

I >

ь

э ^

0

1

о

о

о

о

SJ

о

о es

CL

о

о

и

о

X

о ^

m <

X

CL >

Е' и Е2 и Е3 = Е\Епот, Е1 — множество вершин с фиксированной ценой и свободным (искомым) отбором продукта, Е2 — множество вершин с фиксированном отбором и свободной (искомой) ценой, Е3 — множество вершин с подвижной ценой и отбором.

Соотношения (7)-(9) определяют взаимосвязь моделируемой системы с внешними системами. Переменные z. определяют объем внешнего потребления.

Балансовые соотношения. Будем говорить, что многопродуктовый рассредоточенный рынок находится в равновесном состоянии, если выполняется следующее балансовое соотношение:

г1= 52 Уу - 52 Уу - 52 л+"П/.

v€V+(i) ver~(i) v&SCO

i e EE

52 *д-52Ь>ъ)-

- e

•max

при ограничениях (2), (4), (6)-(9), (10).

3. Суммарная прибыль субъектов рассредоточенного рынка и прибыль системы

Рассмотрим взаимосвязь прибыли, получаемой в ЗЦУ, с прибылями, получаемыми субъектами рассредоточенного рынка.

Теорема 1. Какова бы ни была структура локального рынка i e E\E экономической сис-

г пот

темы, описываемой соотношениями (1)—(10), прибыль всей системы состоит из прибыли предприятий и арбитражеров за вычетом стоимости конечного потребления.

Доказательство. Умножим правую и левую части (10) на P и сложим по i e EE ,

4 ' i пот'

52 ZiPi = 52 _ Ph2(v))~

veV\V„

(10)

- E E улт + 52

i&^nom verseo

ieE\Em

Соотношения (1)-(10) входят в состав математической модели многопродуктового рассредоточенного рынка. Для полного определения модели необходимо задать уровень рыночной власти каждого субъекта каждого локального рынка 7 е Е\Епот, которые определят структуру локальных рынков (совершенная конкуренция, монополия, монопсония, олигополия и т. д.). На рынках совершенной конкуренции все субъекты являются ценополучателями, т. е. в соответствующих задачах переменные, соответствующие ценам, являются параметрами. Равновесное состояние устанавливается «невидимой рукой рынка».

Задача централизованного управления системой (ЗЦУ). Соотношения (2) и (4) представляют собой производственно-технологическую часть модели экономической системы, соотношения (6) задают потребление, (10) совместно с (7)-(9) определяют взаимодействие элементов системы между собой и внешними системами и должны выполняться также при централизованном управлении. Критерием оптимальности естественно взять прибыль, получаемую от ее функционировании. Таким образом, получаем задачу

Так как VD =

то

i£E\E„n

и w) и

i£E\E„„

и К (i)

Е Е УvPh\(v) —

~ 52 52 ул1М+Е Е улт-

У€Г+ (i) ieEmm v€K+ (/)

Поэтому

Е z'p.= 52

V€V\VD

+ e

i€E\Em

чр~52УЛ

Al(v)

vevS

e

^-52 у л

Al(v)

vevS

Воспользовавшись (1), (3), (5), получим

e z^52(FM^))+

ieE\E,

veFVb

+ e (Fi+(ri>pn))-52Fi>

или

(11)

E zi-52(r*>Prv}- E (r„»¡)= = eFv+ e p-52Fr

¡eMiL, veV\rD

V6 v\rD ieE\Em

Левая часть этого равенства представляет собой прибыль, которую получает в целом экономическая система при ее функционирова-

нии и взаимодеиствии с внешними системами. Обозначив левую часть этого равенства через Е0, его можно записать как

_ _ (12)

е F~EFr

vev\v„

ieE™

Таким образом, получаем требуемое.

Сравним максимальное значение прибыли в ЗЦУ со значением прибыли системы, которое может быть получено в равновесных состояниях при различных стратегиях поведения субъектов локальных рынков.

Теорема 2. Какова бы ни была стратегия поведения субъектов локальных рынков / € ЕЕпог экономическои системы, описываемои соотношениями (1)—(10), прибыль всеИ системы не превосходит максимальнои прибыли в задаче централизованного управления.

Доказательство непосредственно следует из того, что в любом равновесном состоянии решение удовлетворяет ограничениям (2), (4), (6)-(9), (10), т. е. является допустимым для ЗЦУ.

4. Сравнение оптимального решения

задачи централизованного управления с равновесным состоянием многопродуктового рассредоточенного рынка при конкурентном взаимодействии его субъектов

В работах по микроэкономике, и в частности в [2], приведены доказательства того, что наиболее эффективнои структурои рынка является рынок совершенной конкуренции.

Теорема 3. Если все локальные рынки являются рынками совершенной конкуренции, то оптимальное решение ЗЦУ совпадает с равновесным состоянием многопродуктового рассредоточенного рынка.

Доказательство. Приведем критерий оптимальности ЗЦУ, а также критерии оптимальности агентов локальных рынков в равновесном состоянии, и сравним их.

I. Рассмотрим задачу централизованного управления экономической системой, т. е. задачу максимизации функционала (11) при ограничениях (2), (4), (6)-(10). Приведем критерий оптимальности этой задачи, основанный на методе множителей Лагранжа.

Подставим в (11) и соотношения (10) граничные условия (7)-(9), получим

р=ег* ^+е5^+еф< №)р<-

ieE

ieE

ieE1

Е Уу- Е л- Е л+

veF+(i) veF"(i) veKö(i)

+ti,.-z,.=0, i e E1, (14)

e Уу~ e Уу~ e +

ver+(i) vey~(i) vö£(i)

+ Т1,.-Д.=0, i e E2, (15)

e Уу- e Уу- e Уу+

yeV+ (0 v€K"(0 yef^(i)

+Tv^(i?)=0, i e E3. (16)

Тогда рассматриваемую задачу можно сформулировать как задачу максимизации функционала (13) при ограничениях (2), (4), (6), (14)-(16). Оптимизация проводится по переменным

z, i e E1; y, v e V\VD; y , v e VD;

i ? s v D' ^ v D'

h, i e EVEUE3; r, v e V\VD; r, i e E\E .

Ii' ' v' D г пот

Введем следующие переменные (множители Лагранжа):

— X, i e E\E , X. — любое действительное

v пот г

число, (17)

— Xv ^ 0v, V e V\Vd, (18)

— X > 0, i e E^ (19)

— X. > 0, i e E . (20)

— г пот 4 '

Установим между множителями Лагранжа и ограничениями (2), (4), (6), (14)-(16) взаимно однозначное соответствие: (17) ^ (14)-(16), (18) ^ (2), (19) ^ (4), (20) ^ (6), где — знак соответствия. Выпишем для рассматриваемой задачи (13), (2), (4), (6), (14)-(16) функцию Лагранжа

ieE1

ieE'

ieE'

+ е {гу>ргУ)+ е (ri>P*l)+

vey\VD

i€E\Em

+ЕХ.

ies1 +£\

е УУ~ е УУ~ е Уу+Я-Zi

ver~(i) vev^{i)

+

+

е Уу~ е УУ~ е Л+Ч--Д

уеУ+(() veV~(i) veFJ(i)

+E\f E E л- E л+л

ieE3 [ve7+(0 veV~ (i) vef£(i) )

+ e {tyjy(yy>0}+

veWD

+ e {^/Ыуу^(1)),П)\ • - p

пот

KME„

+

T\i=const,i£Em

-^(rv,Prv)- E {rt,Prt), (13)

ver\VD

ieE\Em

Необходимые и достаточные условия экстремума будут иметь вид:

у

"О

I >

ь

э ^

0

1

о

о

о

о

SJ

о

гм ^Л

^ -——РВ.—\.— 0,7 е Е1, (21) санную соотношениями (1)—(10), когда каждый

^ локальный рынок является рынком совершен-

^ 9Л ной конкуренции. С поведенческой стороны

х д^ ~\2(у)~субъектов рынка это означает, что все они яв-

с^ "__ляются ценополучателями, и для принятия ре-

2 I /с Э/у(Уу,гу)\_ шения по экстремальным задачам, в которых

+\чУ>—~-/—и>е (22)

\ дуу D цены на покупаемую и продаваемую продук-

° цию, цены на факторы производства являются

и ^ внешними параметрами, не проводится оптими-

=т ду, ^ зация. Выпишем критерии оптимальности для

I / д/^ каждого субъекта рынка, основанные на методе

х )>-- /= множителей Лагранжа, используя приведенные

Г^' ду, здесь соображения.

т = о 1; е V (23) Задача арбитражера, V е ^У Функция

^ 0, v е (23) _

< Лагранжа:

* тт^М^'—- )=0

i e EE , (24)

пот

mv ^ 0. V e vv (34)

Необходимые и достаточные условия экстремума:

Vey\yD(25) ^—(р -р \lL d~f^rA (35)

V e V\Vd, (25)

" дп

i e ee^, (26) /ад

w^.x --v-^ " ' ' -'=0, ^LL=f iy г)<0 (36)

дг, dr¡ d\Lv -

M/,(j„';)A)4 (37)

л\ / J /V /V /V 1 —

+4-^=0, 7 е Е, (27) дг~РГЛ^ дГу (38)

* * ° (39)

I уег+(о уег (о уекв(о Задача предприятия, 7 е Е\Епот. Функция +т1.-5.=0, 7 е Е2 (28) Лагранжа:

sr= Е л- Е л- Е л+ч-вдн),

"Л veK+m ver- (¿) ve^(i) _ 2,10

i- e E3, (29) rt)), m, ^ 0.

^ /у v е ^^ (30) Необходимые и достаточные условия экстре! \ - мума:

^Ы^®).!!)^ 7 е Е, (32) ^ "^Т _ I (40)

^к/.Ы^со)..),^ 1 ■ (41)

дг,

i e e. (33) ал. -

II. Рассмотрим математическую модель многопродуктового рассредоточенного рынка, опи-

f^.hW/^n.U^CO),/;),^)^, (43)

m, ^ 0, (44)

an / алЫл^О),^

_rM(i)+ « I '

Oy,

dyv

vef£(0

(45)

Задача конечного потребителя i e E .

пот

Функция Лагранжа:

m . ^ 0, h ° const.

Необходимые и достаточные условия экстремума

(46)

'дЛ1

m i ^ 0 , , (48)

Щ I

—■rAi(v)~'\ M-i» о I и>

öy,

veVD+(i)

(49)

III. Сравним получившиеся необходимые и достаточные условия оптимальности ЗЦУ. Положим P = -X, i e E\E ; m = X , v e VW^,

i i пот v v D

= Xi, i e E, тогда соотношения (35) ~(22), (3 6) ~ (30), (37) ~ (31), (38) ~ (25), (39) ~ (18), (42) и (46) ~ (32), (45) и (49) ~ (23), (43) и (47) ~ (33), (40) ~ (24), (41) ~ (26), (19) ~ (44), (20) ~ (48), где «~» — знак эквивалентности. Кроме рассмотренных экстремальных задач, в модели многопродуктового рассредоточенного рынка должны выполняться граничные условия (7)-(9) и балансовые соотношения (10), которые эквивалентны (27)-(29).

Из эквивалентности необходимых и достаточных условий состояния равновесия в модели многопродуктового рассредоточенного рынка и условий оптимальности ЗЦУ следует справедливость теоремы.

Заключение

Вопрос о том, какая система управления экономикой эффективнее — децентрализованная или централизованная — один из наиболее ак-

туальных в новейшей истории. Одной из причин распада Советского Союза, а также блока стран социалистического лагеря с их переходом от централизованного к децентрализованным (рыночным) системам явилась нерешенность этого вопроса. Однако опыт последнего десятилетия перехода экономики в России на рыночный путь не оправдал ожиданий. Возникает естественный вопрос: действительно ли рыночная система эффективнее системы централизованного управления и какие факторы влияют на эту эффективность? В настоящее время в рамках экономических реформ проводится дальнейшее разбиение крупных производственных объединений на отдельные предприятия. Будет ли это разбиение эффективным?

Вполне понятно, что доказанные теоремы не отвечают в полном объеме на эти вопросы. Существует множество факторов, которые влияют на эффективность систем управления, но не отражены в моделях. Так, например, неявно предполагается, что при централизованном управлении центр обладает полной информацией об управляемой системе, заинтересован в выполнении критерия оптимальности, умеет решать ЗЦУ. Для децентрализованного управления такой информированности не требуется. Каждому субъекту рассредоточенного рынка совершенной конкуренции достаточно знать только о ценах в ближайшем его окружении, размерность решаемой задачи может быть достаточно малой, что делает реальным ее решение. Однако здесь возникает ряд проблем, например, связанных с поведением системы после выхода ее из состояния равновесия, скоростью перехода в новое состояние равновесия, да и самой возможностью такого перехода. Все эти проблемы значительно усложняются с ростом размерности экономической системы. Возможно, как раз это является одной из причин неэффективности экономических реформ в России.

И тем не менее, какие предложения можно выработать на основе полученных результатов? Согласно теореме 3, условия оптимальности ЗЦУ и совокупность условий оптимальности агентов МРР в состоянии равновесия совпадают с точностью до обозначений, причем множители Лагранжа X. в ЗЦУ являются важнейшим параметром описания состояния рынка — ценой товара. Эти факты позволяют заключить, что для синтеза оптимальной системы управления необходимо совмещение централизованного уп-

у

"О

I >

ь

э ^

0

1

о

о

о

о

SJ

о

^ равления с конкурентным децентрализованным.

Пункты, в которых очень большое количество

^ продавцов и покупателей, отдаются на откуп

х «невидимой руке рынка», остальные находятся

о. под централизованным управлением, о

ш

Список источников

о Х.ВерианХ. Микроэкономика, промежуточный

^ уровень, современный подход. — М.: ЮНИТИ, 1997. ш 2. Гальперин В. М., Игнатьев С. М., Моргунов В. И. X Микроэкономика: в 2-х т. / Общ. ред. Гальперина В. М. — СПб.: Экономическая школа, 2000. — Т. 2. — 503 с. 3. Карлин С. Математические методы в теории игр, о программировании и экономике. — М.: Мир, 1964. т 4. Коваленко А. Г. Математические модели межотрас-

^ левого баланса в условиях рассредоточенного рынка // <

х

о. >

о

Экономика и математические методы. — 2001. — Т. 37. — №2. — С. 92-105.

5. Коваленко А. Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка. // Экономика и математические методы. — 1999. — Т. 35, — №3. — С. 108-115.

6. Коваленко А. Г. Элементы выпуклого векторного программирования. — Куйбышев: Куйбышевский гос. ун-т, 1990.

7. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. — М., Мир, 1972. — 514 с.

УДК 368.1:519.22

ключевые слова: децентрализованные системы управления, централизованные системы управления, многопродуктовый рассредоточенный рынок, рынки совершенной конкуренции, равновесие, равновесные цены, метод множителей Лагранжа, потребитель, производитель, арбитра-жер