Решение детерминированной задачи оптимизации трехуровневой сети поставок одного товара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

М.В. НОВОЖИЛОВА, И.В. ШТАНЬ

РЕШЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ТРЕХУРОВНЕВОЙ СЕТИ ПОСТАВОК ОДНОГО ТОВАРА

Предлагается и исследуется метод оптимизации трехуровневой децентрализованной сети поставок товара в предположении, что функции, описывающие детерминированное поведение основных субъектов рынка, являются полиномами второго порядка. При таком достаточно слабом предположении процесс оптимизации сводится к определению седловой точки функции Лагранжа рассматриваемой задачи. Решаются тестовые задачи, известные из научной литературы.

1. Введение

Рассмотрим задачу оптимизации сети поставок некоторого товара или услуги на конкурентном рынке [1-3] одного товара. Сеть поставок - это модель поведения и взаимодействия субъектов рынка в общем случае трех типов - производителей, крупных дистрибьюторов и розничных торговцев. Поведение субъектов рынка описывается такими основными функциями: стоимость производства товара, транзакционные издержки, спрос. В предположении, что сеть поставок является децентрализованной [3], каждый из субъектов рынка стремится к максимизации своей прибыли, конкурируя или вступая в кооперацию с другими субъектами рынка. Достижение этих целей подразумевает определение состояния равновесия данного рынка товаров.

Указанная задача представляет интерес как с теоретической, так и с практической точки зрения в качестве основы осуществления прогноза реакции рынка на увеличение объемов поставок продукции, коррекцию ценовой политики, появление новых субъектов рынка и, следовательно, принятия инвестиционных решений. Кроме того, необходимость в решении подобной задачи возникает на этапе не только стратегического, но и оперативного планирования.

Поэтому разработка эффективных методов решения задачи оптимизации сети поставок для основных типов функций является актуальной задачей для поддержки принятия инвестиционного решения на рынке товаров, находящихся в различных фазах своего жизненного цикла.

2. Анализ предыдущих исследований

В настоящий момент существует обширная научная литература по различным аспектам моделирования и решения задачи оптимизации сети поставок. С 1965 года под эгидой ISM (Institute for Supply Management) выпускается ведущий профессиональный журнал в этой области - International Journal of Supply Chain Management (http://www.emeraldinsight.com/ toc/scm/20/1). Среди множества работ, опубликованных в этом и других научных изданиях, можно выделить статьи, посвященные представлению и решению задачи имитационного моделирования [1,4].

Однако основное внимание исследователей сосредоточено на подходах, развивающих оптимизационные методы решения задач о сетях поставок. Прежде всего, выделим множество работ школы A. Nagurney [3,5,6], в которых предложены как детерминированные, так и вероятностные оптимизационные модели 2-х и 3-уровневых сетей поставок с различными характеристиками спроса.

В этих и других [7,8] работах необходимые условия оптимальности решения сформулированы в виде конечномерной задачи решения вариационного неравенства [6, 9].

Отметим, что решение вариационного неравенства - задача, требующая декомпозиции и применения ряда численных методов оптимизации и удовлетворения строгим условиям для обеспечения сходимости процесса решения.

Целью данной работы является построение и реализация эффективного метода решения задачи оптимизации децентрализованной сети поставок в предположениях о квадратичном (линейном) характере функций себестоимости, транзакционных издержек и спроса.

44

3. Изложение основного материала

Математическая модель задачи. Следуя [7], составим математическую модель задачи оптимизации децентрализованной трехуровневой сети поставок (рис. 1). Вершины сети представляют три множества агентов рынка: производителей (множество S1), каждый из которых выпускает товар в количестве qi, дистрибьюторов (множество S2), ритейлоров - розничных торговцев (множество S3). Дугами показано движение товара по сети в количествах qij, qjk, і є Si, |Si|=I, j є S2, S2={I+1,I+2,..., I+J}, |S2|=J, kg S3, S3={I+J+1,...,I+J+K}, |S3|=K.

Производители -Множество S1 GL 1 0 - _© —©^1

qn+J 1 qIIJ

Дистрибьютеры -Множество S2 © . 1^ - - © - (>+3)

Розничные торговцы Множество S3 сг Т 4

Pi+j+1

Pk

Pi+j+k

Рис. 1. Г рафическая модель трехуровневой сети поставок одного товара

В рассмотрение также введены векторы

Q1 = (q1(i+1),---,qij,---,q|S1||S2|), Q2 = (q(i+1) (i+j+1),.,qjk,.,q|S2||S3|).

Положим, что затраты на производство составляют fi(Q1), іО S1, транзакционные затраты Oy(qij), Cjk(qjk) есть функции от q^ qjk соответственно, функции операционных затрат имеют вид Cj(Q1), Ck(Q2), j є S2, k<= S3.

Свойство. Все субъекты децентрализованной сети поставок конкурируют таким образом, что каждый из них, не договариваясь с остальными, пытается максимизировать свою прибыль.

Тогда задача максимизации прибыли i-го производителя имеет вид:

Zp*q4- [fi(Q1)+Zсч(чч)] ^ max,

JgS2

• (1)

при условии qij ^ 0, (2)

причем цена р* единицы товара, передаваемой i-м производителем j-му дистрибьютору,

является равновесной, т.е. соответствует состоянию равновесия всей сети поставок.

*

Следовательно, цена Pij - экзогенная величина для производителя i.

Далее, введем в рассмотрение задачу максимизации прибыли j-го дистрибьютора:

Z*

Р jkQjk

keS3

при условии

- [cj(Q1)+Zp*q4]^max

Z qij = Z qjk

ieS1 keS3

(3)

(4)

где цена Pjk единицы товара, передаваемой j-м дистрибьютором k-му ритейлору, является равновесной, т.е. соответствует состоянию равновесия всей сети поставок. Таким образом, цены { р* , р*к } - экзогенные величины для дистрибьютора j.

В свою очередь, задача максимизации прибыли k-го ритейлора имеет вид:

45

рк ZqJk -[Z Cjk(qjk) + Ck(Q2) + ZPjkqjk] ^ maX

S 2 JES2 JES2

при условии

Z qjk = dk(pk)

jeS2

(5)

(6)

где dk(pk) - функция спроса k-го ритейлора.

Обычно полагают, что спрос dk(p k) ограничен сверху некоторой заданной величиной

dk(Pk).

Запишем необходимые условия оптимальности первого порядка для задач (1)-(2), (3)-(4), (5)-(6). В задаче (1)-(2) ограничение (2) тривиально, поэтому условие максимума функции прибыли i-го производителя имеет вид системы уравнений

8

{Zp*q4

[fi (Q1)+Z c4(q4)l)

JgS2

0, J= I+1, I+2,..., I+J,

(7)

откуда непосредственно следует:

Рц

fQi), gcij(qjj)

3q«

3qii

= 0

или

9fi (Q1) + 3Cij(qij)

= P

ij в случае, если qij > 0 . (8)

5qij 5qij

Задача (3),(4) есть задача нелинейной оптимизации с одним ограничением-равенством. Следовательно, необходимые условия оптимальности первого порядка в данном случае

подразумевают построение соответствующей функции Лагранжа Цуj, qij, qjk) вида

L(y i,qii,qik) =P k Z qjk - [ Z Cjk(qjk) + Cj(Q2) + Zp*kqjk] + Yj( Z qij -I qjk) (9)

Uj,4ij,4jW JgS2 JgS2 JgS2 ieS1 keS3 ’ ^

где gj - множитель Лагранжа задачи максимизации прибыли j-го дистрибьютора.

Таким образом, необходимыми условиями существования условного экстремума функции прибыли (3) j-го дистрибъютора являются следующие (I+K+1) уравнения:

дЦу |.(1,|.(1|к) =_

dqij

ЗЦу j,qij,qjk) 5qjk

* Sc j

Pij —z— + Y j =0;

5qjj

= pjk -Yj =0;

(10)

(11)

5L(Yj,qij,qjk) = £qij qjk =0, i=1,2,...,I, k=(I+J+1),..., (I+J+K). (12)

C7 j ieS1 keS3

Задача (5,6) максимизации прибыли k-го ритейлора также представляет собой задачу нелинейной оптимизации с одним ограничением-равенством. Соответствующая ей функция

Лагранжа L(8 k^jb Р k) с множителем Лагранжа 5 k есть функция вида

L(8ksqjk, Pk)=Pk I qjk - [ I Cjk(qjk) + ct(Q,) + Ip*kqjk] + 8 t( £ qJk - d„(p „)№)

JgS2 jES2 JeS2 JgS2

Необходимые условия максимума функции прибыли k-го ритейлора первого порядка выражаются системой уравнений

5Ц5 k,qjk, р k) 5qjk

3c jk 3c j *

P k _ (T--+ “----+ Pjk) _8 k = 0,

3qjk 3qjk

(14)

3L(5 k,qjj, p k)

3p k

Z qjk +8 k jeS2

3dk(Pk)

3p k

3L(8 ^q^ p k) 3Sk

Zqjk -dk(pk) = 0, j= i+1, 1+2,..., i+j.

jeS2

(15)

(16)

46

Обычным подходом к решению задачи (1)-(6) оптимизации децентрализованной сети поставок является определение условий равновесного состояния (эквилибрума) сети, получаемых из (8), (10),(11), (14)-(16), вида

Sfj ^ ^Cij [_ Pij, if qij > 0 ,

5qij 5qjj }>pjj,if qij = о ;

3cj * f=yj,ifqjj >°, * l=Yj,ifqjk >0,

3qjj +Pij{> Yj,if qij = 0 ; Pjk{< Уj,f qjk = 0 ;

(17)

(18)

dcjk 5cj *

(Tj + ^ + Pjk) 3qjk 5qjk

= pk-yk,if qjk >0,

^ • -p r\ S qjk

^Pk -yk,ifqjk = 0 ; jeS2

= -y k ^ ,if Pl„ 0,

^У k

Ф k

5dk(Pk) .

5Pk

if Pk = 0

построение обобщенных условий равновесия

(

3f;

3Cjj 3cj 3cjk

3cj l = Pk-Yk, ifqp >0 w +-——)і , Vk є S3,p

'3qij 5qij 5qij 5qjk 5qjk [>Pk _yk, if qp = 0,

и эквивалентная замена условий (20) вариационным неравенством вида:

(19)

(20)

^ra(fi(Q*> + c.(q*) + cj(Q*))i( ф) ^^(q^ + ci(Q2)]( * )

ZZt----------±r—-—](qij -qs)+£B L-----Xq* -q^)+(21)

ieSj jeS2 ^qij jeS2 keS3 ^q j

ljk

+ Ж + p'i)(dk(Pi)-dk(Pk))-Z4r+ dk(pI)*Pi -pI)*0,V{qs,q*,.

ieS,

IgS3

Фі

Для решения вариационного неравенства вида (21) предложено множество численных методов: метод проекции, метод диагонализации, их многочисленные модификации и другие методы r6-10].

В данной статье предлагается другой, более простой подход, основанный на следующем предположении о виде функций fi(Qx), cij(qij), cjk(qjk), cj(Q0, ci(Q2), dk (pk), i є Sb j є S2, і є S3.

Предположение. Функции производственных затрат fi(Qi), транзакционных затрат cij (qij) cjk(qjk), операционных издержек cj(Q0, ci(Q2) и спроса dk(p k), ie S1, j є S2, і є S3

являются полиномами не выше второго порядка.

На основе анализа специфики структурной идентификации функций как трендовых моделей по статистическим рядам данных, а также опираясь на концептуальное положение о соответствии уровня точности аналитической модели имеющихся статистических данных, можно сделать обоснованный вывод о достаточности полиномов первого или второго порядка как моделей рассматриваемых характеристик реальной сети поставок.

Принимая во внимание свойство, отметим, что условия оптимальности первого порядка представляют собой систему A Q = 0 уравнений (8), (10)-(12), (14)-(16), Q - вектор переменных вида

Q=(q1(I+1> - • • • •, q|S11|S21 ,q(I+1)(I+J+1),• ,qjb •, q|S2||S31 ,

* * * * с с \

Р 1(1+1) ,•, P|S1||S2|, Р(I+1)(I+J+1) P|S1||S2|, уI+1 ,•, УI+J, оI+J+1,..., ОI+j+к).

Размерность матрицы коэффициентов А условий оптимальности первого порядка для всей сети поставок определяется величиной

N = IJ + J(I + K + 1)+ J K + 2K = 2J(I + K) + J + 2K. (22)

C другой стороны, общее количество переменных задачи оптимизации децентрализованной сети поставок: I* J + J*K + K. Общее количество множителей Лагранжа: J + K. Соответственно, размерность вектора равновесных цен составляет: IJ + JK.

47

При реализации предлагаемого метода решения задачи оптимизации сети поставок рассмотрим 2 случая.

Случай 1. Функции спроса d^(p k) линейны. Тогда A Q = 0 представляет собой систему линейных уравнений, матрица коэффициентов которой является редкозаполненной. Так, в первой строке матрицы коэффициентов не более (J+1) ненулевых коэффициентов, что значительно меньше N из (22).

Очевидно, систему уравнений A Q = 0 можно решить в 3 этапа.

* *

1. Классифицировать равновесные цены Ру , рjk как параметры, исключить эти параметры из рассмотрения на 1-м этапе и построить редуцированную систему уравнений ArQr=0, размерность которой Nr=J(I+K)+J+2K.

Это можно сделать, выполнив элементарные арифметические операции сложения над одноименными строками матрицы А вида (8) и (10), а также (11) и (15).

2. Однократным решением редуцированной системы Ar Qr = 0 найти вектор

Qr = (q1(I+1),---,qij,---,q|S1||S2| , q(I+1) (I+J+1),---,qjk,---,q|S2||S3| , У i+1 ,•••, У i+j, 5 i+j+1 ,..., 5 i+j+k ).

3. Определить равновесные цены p* , p*k из ограничений (8), (11).

Случай 2. Монотонно убывающие функции спроса dk (рk) - полиномы второго порядка. Это означает, что функции 2К уравнений, порождаемых условиями (15), (16), редуцирован-

5dk(Pk)

ной системы Ar Qr = 0 содержат нелинейные слагаемые вида S k

Ф k

dk(Pk). Однако,

структура функций ограничений (15), (16) близка к сепарабельной. Используя идею методики линеаризации, предложенной в [11], процесс решения полученной нелинейной системы Ar Qr = 0 можно представить как решение последовательности линейных систем уравнений

AfQf =0, n=0,1,... Для этого на каждом шаге приближения функция спроса dk(p k) пред-

ставляется линейной аппроксимацией df(Pk), которая строится с использованием заданно-

го ограничения на величину спроса dk(Pk).

Рассмотрим суть процесса аппроксимации. Пусть g > 0 - заданная точность аппроксимации. Начальное приближение (n=0) строится следующим образом. Сформулируем естественное ограничение на максимальную величину цены р k0 при некотором ненулевом

спросе dk0 и выделим диапазон А0 (рис. 2) возможных значений рk є А0 = [pk, рk0 ].

Рис. 2. Иллюстрация процесса приближения к нулю функции условия (16)

48

Построим уравнение секущей вида djk (рk) = (рk -Pk )(dk0 - dk) + dk (Pko - Pk) •

Тогда в качестве аппроксимаций функций ограничений вида (16) принимаются линейные функции

Zqjk “(Рk“Pk)(dk0 “dk) + dk(Pk0 “Pk), k є S3, (23)

jeS2

формирующие правые части соответствующих уравнений системы a0q0 =0.

0q0=o

Отметим, что функции уравнений, соответствующих условиям (15), также становятся

5dk(Pk)

линейными, так как в случае использования приближения (23) слагаемое S k

дР k

(15)« Sk(dk0 “ dk) •

Решение построенной системы уравнений A°Q° =0 и его анализ определяют диапазон D1<D0 возможных значений, на котором осуществляются построения следующей итерации

(n=1,2,...).

Процесс продолжается, пока не выполнится условие сходимости |dkn - dk(n-1)| <8 , ke S3. Пример [7]. Рассмотрим задачу оптимизации трехзвенной сети поставок со следующими параметрами: S1={ 1,2,3}, S2={4,5}, S3={5,6,7}.

Функции fi(Q1) стоимости производства имеют вид:

f1(q)= (q14 + q15)2 + 3(q14 + q15) + 0,5(q24 + q25)(q34 + q35) +10 ;

f2(q)= (q24 + q25)2 + 3(q24 + q25) + (q14 + q15)(q34 + q35) +10 ;

f3(q)=(q34 + q35)2 + 3(q34 + q35) + (q14 + q15 )(q24 + q25) + 30 .

Фунции транзакционных и операционных издержек Су (q;j), Cjk (qjk) Cj (qj), ck (qk) таковы: c;j

(qij) = qjj + 2qij, Cjk (qjk)= q2k + 0,5qjk• Cj (qj)= 0,5q2 + qj, Ck (qk)=0,5, где qj = q1j+q2j +q3j; j={4, 5}, qk =q4k+q5k, k = {6, 7, 8}.

Функции спроса ритейлоров являются линейными и имеют вид:

d6 (рб) = - 3рб + 900;

d7^) = - 3р7 + 1200;

d8^) = - 2р8 + 1000.

Очевидно, в нашей терминологии это случай 1. Другими словами, для решения задачи достаточно однократного решения системы уравнений A Q = 0.

Построим систему уравнений A Q = 0. Первые 6 ограничений системы A Q = 0, получаемые из (7),(8), имеют вид:

4qij + 2qi(S2/j) + 5 -Pij = ^

где выражение S2/j означает элемент индексного множества S2, не равный j.

Далее, условия (10)-(12) принимают вид

Zqij -(тj-р* -1) = o, p*k-уj =0, Zqij - Zqjk =0.

ieS] i^S^ keS3

Условие (14) генерирует ограничение 2qjk -pk +8k +Pjk +1 = 0 .

Условия (15) первого порядка: q46 + q56 - 356 = 0, q47 + q57 - 357 = 0, q48 + q58 - 258 = 0 . Условия (16) выражаются уравнениями:

q46 + q56 + 3p6 _ 900 = 0, q47 + q57 + 3p7 —1200 = 0, q48 + q58 + 2p8 -1000 = 0 .

Построенная таким образом матрица А системы уравнений A Q = 0 имеет ранг rA=32, ранг матрицы коэффициентов редуцированной системы Ar Qr = 0: гаг =20.

49

В результате решения Ar Qr = 0 и вычисления равновесных цен получен вектор Q с компонентами:

- количество передаваемого товара: q;j=30,90; qj6=4,48; qj7=34,48; qj8=53,73;

- конечные цены: р 6 = 297,01; р 7 = 377,01; р8 = =446,27;

- множители Лагранжа: у j = 284,07; 5 6=2,99; 5 7 =22,99; 58 =53,73;

- равновесные цены: р* = 190,38, p*k =284,07, i={ 1,2,3},j = {4, 5}, k = {6, 7, 8},

что полностью совпадает с результатами, полученными в [8] с применением алгоритма, представляющего собой комбинацию метода диагонализации и технологии назначения равновесного трафика пользователя (user-equilibrium traffic assignment technique).

4. Выводы и направления дальнейших исследований.

Предложен эффективный математический аппарат решения задачи оптимизации децентрализованной сети поставок. Показано, что при весьма слабых ограничениях построенная методика обеспечивает оптимальное решение широкого класса практических приложений и может быть использована на этапе как стратегического, так и оперативного (экспрессанализ) планирования. В дальнейшем предусматривается рассмотрение задачи оптимизации сети поставок при условии выпуска производителем конечного множества различных видов товаров.

Список литературы: 1. ChatfieldD.C. SCML: An information framework to support supply chain modeling/ D.C. Chatfield, T.P. Harrison, J.C. Hayya // European Journal of Operational Research, 2009. Vol. 196. P. 651660. 2. Черешнев В. В. Имитационное моделирование конкурентного поведения производителя на потребительском рынке / В. В. Черешнев, Д. Н. Верзилин, Е. С. Зайчик // Имитационное моделирование. Теория и практика: Международная научно-практическая конференция, 17-19 октября 2007, Спб.

2007. С. 245-248. 3. Nagurney A. Supply Chain Network Equilibrium Model with Random Demands / A. Nagurney, J.Dong, D.Zhang // European Journal of Operational Research, 2004. № 156. P. 194-212. 4. Bousqueta F. Multi-agent simulations and ecosystem management: a review / F.Bousqueta, C. Le Page // Ecological Modelling, 2004. Vol. 176. № 3-4. P. 313-332. 5. Nagurney A. Supply chain supernetworks and environmental criteria/ A. Nagurney, F. Toyasaki // Transportation Research, 2003. N 8. P. 185-213. 6. Nagurney A. Network Economics: A Variational Inequality Approach / A. Nagurney. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 316 p. 7. Hsueh Che-Fu. Equilibrium analysis and corporate social responsibility for supply chain integration / Che-Fu Hsueh, Mei-Shiang Chang // European Journal of Operational Research,

2008. N 190. P. 116-129. 8. Dong J. A supply chain network equilibrium model / J. Dong, D. Zhang // Transportation Research, 2002. N 38. P. 281-303. 9. Marcotte P. Application of Khobotovs algorithm to variational inequalities and network equilibrium problems/ P. Marcotte // INFOR, 1991. Vol. 29, No. 4. P. 258270. 10. Sheffi Y. Urban Transportation Networks: Equilibrium Analysis with Mathematical Programming Methods/ Y. Sheffi. - NJ: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1985. 410 p. 11 . Новожилова М.В. Оптимизационная задача распределения ограниченных ресурсов проекта с сепарабельными ограничениями / М.В. Новожилова, М.Н. Мурин, ИА. Чуб // Кибернетика и системный анализ, 2013. № 4. С. 74-88.

Поступила в редколлегию 23.05.2014

Новожилова Марина Владимировна, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующая кафедрой Харьковского национального университета строительства и архитектуры. Научные интересы: системный анализ, математическое моделирование сложных динамических систем. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Сумская, 40, тел.: (057) 706-20-49.

Штань Игорь Владимирович, студент гр. ЭК-41 ХНУСА. Научные интересы: нелинейные оптимизационные задачи математического программирования. Адрес: Украина, 61000, Харьков, ул. Сумская, 40, тел.: (057) 706-20-49.

50