Алгоритм внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Меренков А.П., Сеннов Е.В., Сумароков С.В. и др. Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте-и газоснабжения. — Новосибирск: Наука, 1992. - 407 с.

8. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. — М.: Мир, 1973. — 470 с.

9. Форд Л. Р., Фалкерсон Д. Р. Потоки в сетях. — М: Мир, 1986. — 276 с.

10. Шамрай Н. Б. Применение вариационно-подобных неравенств для решения задач транспортного ценового равновесия // Информатика и системы управления. — 2006. - №1(11). - С. 62-72

11. Nagurney A. Network Economics: A Variational Inequality Approach (second revised edition). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999.

Пержабинский С.М. УДК 519.83 + 621.311:51.001.57

АЛГОРИТМ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ КВАДРАТИЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ

В работе представлен алгоритм решения (xt) \ +1 gr s +

задач выпуклой оптимизации, основанный на \ 0 '2

алгоритме линеаризации и применении мето- ^ n (s )2 ^ т , .2

дов внутренних точек для решения линеаризо- +—^—+—^--—-t—2 ^ min,

ванной задачи. Для сокращения погрешности 2 j=1 (dj) 2 -=1 (q- ~f-(x )) линеаризации при решении вспомогательной при условии

задачи поиска направления корректировки у, =(vf. (xt),sj, i =1,..., т. (5)

(4)

Здесь

предлагается применять энергетическую норму. Приводятся результаты эксперименталь- , _ ,_ , , ных исследований предлагаемого метода. = т1п|х_, -х],х , -хо р./ = 1,... п, (6)

в7 в обозначает квадрат евклидовой нормы век-

Постановка задачи. Рассматривается за- тора дача поиска вектора х е Яп

х)^ т*п, (1) Решение задачи поиска направления

^(х) < ,1 =1,^.., т, (2) корректировки. Учитывая выражение (5), воз-

х < х < х. (3) ьмем производную функции (4) по 8 и прирав-

Предполагается, что все функции няем ее к нулю. Тогда задача поиска направле-

^(х),г = 0, . ..,т выпуклые. ния корректировки сведется к решению системы линейных уравнений с симметрической

Метод внутренних точек, базирующийся положительно определенной матрицей:

на линеаризации. Итеративный процесс мето- с + в +(^ )-1 в + = о. (7)

да внутренних точек проходит внутри области допустимых решений, т.е. на каждой итерации , = 1,2,... выполняются неравенства

^ (хг )< д, I = 1.....т, А = ¿Щ(^ ) о =1.....n,

Здесь

c' =V/o(x' ),

X< x' < x.

З D t _m Vf ( x' ^( x' 0

Задача поиска направления улучшения D2 _ / г

решения s g R имеет вид:

(q -f (x' ))2

Решив систему (7), получим направление корректировки

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Л I С I I гУ I гУ \-1 „( т+2п

8 = - Е +(Д ) + ^2)с. ||у/о(х.) + ^ х )|| <е, (9)

I=1

Вычисление шага. (^ (х;)-)|<е, I =1,2,...,т + 2п, е>0, (10)

1) Сначала вычислим величину , ,

.. . _ / t . где е- положительная малая величина. Мно-

А, = агаштf0(х +А8 I t ■ л , п ,

1 а 0\ / жители , I =1,...,т + 2п вычисляются по фор-

2) Затем А2 рассчитывают из условия не- мулам

(11)

выхода вектора х; +18 за пределы двусторонних ограничений неравенств (3):

А^ = у шах|А:х < xt +18 < х,х,8 £ Яп },

V! = шах

{ 0, и, }, I =1,..., т,

при заданном у £ ^0,—

3) Вычислив А и А2, поиск А можно осуществить путем деления минимального из них пополам до тех пор, пока точка х{ +А ^ не будет удовлетворять ограничениям (2).

Вычисление множителей Лагранжа. Для

задачи (4), (5) построим функцию Лагранжа:

(У/0(xt ),5) + 2 8ТЕ8 +

VI = шах <¡0,

VI = шах <¡0,

(х'-т -^-т )2

-8/

М = т +1,..., т+п,

( х1 - т- п хг- т-п ) /

/ = т+п +1,..., т + 2п.

Если критерий останова в точке х; не выполнился, то осуществляем итеративный пере-

ход по правилу

= х; +1!^ .

1 А ()2

(У, )2

1 £

2 Р(а) )2 2 Нд, -^ (х; ))2

т

-£и (У, (х; ),8)^ ш1п.

Взяв частную производную функции Лаг-ранжа по у{ и приравняв ее к нулю, получим численное выражение и.

Метод внутренних точек, учитывающий квадратичные аппроксимации. Для сокращения погрешностей линеаризации [2] вместо квадрата евклидовой нормы ||81|2 = вТ8 предлагается использовать квадрат нормы энергетической $тО;8, где матрица О1 определяется следующим образом

0; = V2/0(х; ) + £VI"V2^ (Х; ), (12)

и =

Vf1 (х; ), ^

(д, -fl (х; ))2

,/ =1,..., т.

vi -множители Лагранжа, вычисленные по (8) правилам (8), (11), ! =1,..., т, на первой итера-

0

ции ví =1.

Тогда задача поиска направления коррек-Критерий останова. Согласно необходи- тировки 8 £ Яп примет вид: мым и, в данном случае, достаточным услови- / ( t\ + 1 Т* +

ям оптимальности Куна-Таккера [1] точка х * \ 0( ), / 2

является оптимальным решением задачи (1) — п (^ )2 т ( )2 (13)

(3), если она удовлетворяет неравенствам (2), + _£—+_£-(У') — ^ ш1п,

(3) и существуют множители 2 ;=1) 2 ,=1- fi (х ))

V, > 0, , =1,2,..., т + 2п, при которых выполняют- при условии

у, = (vfl (х; ),з),1 =1.....т. (14)

Здесь

= шт|х; -х; ,х; -х] }, 1 =1, . . ., п. (15)

Решение задачи (13), (14) аналогично решению задачи (4), (5). Поэтому направление корректировки в методе внутренних точек, учитывающем квадратичные аппроксимации, определяется правилу

^ =-(о; +()-1 + б2)-1 с .

Шаг корректировки находится вышеописанным способом. В качестве критерия оста-

ся следующие соотношения

т + 2 п

Vfо(х*) + £V, Vf (х*) = 0,

, =1

Vi (^ (х*)-) = 0, , =1,2,...,т + 2п.

Здесь

(х) = х1, = х1, г = т +1,..., т+п, fi (х) = -х1, =-xi, , = т+п +1,..., т + 2п.

Поэтому критерием останова может служить выполнение неравенств

, =1

, =1

нова предлагаемого метода используются неравенства (10), (11). Если критерий останова в точке х{ не выполняется, то осуществляем итеративный переход

х' +1 = х' +Х' 8' .

Иллюстрация работы метода внутренних точек, базирующегося на линеаризации и алгоритма внутренних точек, учитывающего квадратичные аппроксимации.

Рассмотрим задачу квадратичного программирования:

х

1 Iх 1

10 ( х )=о х 2

^Г 4

х 3

V 3 У

-5 4

Г х ^

^-3 5 -8)

-5 12

5

■ т1п,

4 ЛГ х1 Л

5

23

х

х3

V 3 У

х

V 3 У

^ ( х )=1

х

х

х

V 3 У

Г 8 -6 -3,5ЛГ х 1 -6 9 6,4 3,5 6,4 7

х

х

V 3 У

х

^-45 22 40)

- 800 < 0,

х3

V 3 У

-12 < х1 < 20, -20 < х2 < 32, -10 < х3 < 34,

Вычислительный процесс необходимо начать с внутренней точки, поэтому х0 = (5;6;7). В

критерии останова е = 0,001. Результаты экспериментального исследования приведены в таблице 1 и таблице 2.

Заметим, что метод, учитывающий квадратичные аппроксимации, решил поставленную задачу за 40 итераций, исходный алгоритм - за 92.

(х )=2

х

х

^Г 7

х

V 3 У

6 2,5 ЛГ х1

6 25 -5,4 25 -5,4 6

^ 25 -27 34)

х

х

V 3 У

-1100 < 0,

х3

V 3 У

Численный эксперимент. Экспериментальные исследования метода внутренних точек, основывающегося на линеаризации, и его модификации проводились на серии из 50 задач различной размерности. В численном эксперименте решались задачи квадратичного программирования следующего вида

4( х) = 2 х'1'л 0 х + Ь 01:

тт,

^ (х) = — хТА1х + Ьгтх < ,[ =1,. .., т,

2

Таблица 1

Приближения к оптимальной точке, полученные методом квадратичной аппроксимации на итерации 1 = 1,2,...

Номер итерации, £ Метод с квадратичной аппроксимацией Значение целевой функции

1 (4,733; 4,5143; 0,0565) 70,5522

2 (-6,6099; -3,8059; 2,5154) -12,4252

3 (-8,4649; -4,9848; 2,9882) -14,9852

20 (-9,4054; -5,6122; 3,1956) -15,8898

39 (-9,4198; -5,6155; 3,1991) -15,8955

40 (-9,4159; -5,617; 3,1985) -15,8956

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Таблица 2

Приближения к оптимальной точке, полученные исходным методом линеаризации на итерации

1 = 1,2,...

Номер итерации, í Исходный метод линеаризации Значение целевой функции

1 (4,9039; 5,2566 -0,0846) 93,4471

2 (5,3499; 3,6621 -1,4693) 20,2459

3 (5,7039; 2,7878 -1,3425) 11,1443

60 (-9,3496 -5,5771; 3,1811) -15,851

91 (-9,4110 -5,6107; 3,1966) -15,89

92 (-9,4118 -5,6112; 3,1946) -15,8901

X < X < X, X £ Я" .

Здесь матрицы Л{, / =1,..., т симметрические положительно определенные, то есть функции ^ (х), г =1, .. ., тстрого выпуклые.

Матрицы Л{ создавались следующим способом: сначала генерировалась диагональная матрица с положительными элементами на главной диагонали, затем при помощи унитарных преобразований формировалась матрица Л, = Т1В1Тг',Т1 = Т, Т 2...Г1П_1Г1П ,/ =1.....т,

Т = Т 1 =

сов а 1 вш а 1 0 0

- вш а 1 сов а 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0

0 0 0 1

Т=

11 2

Т=

11 3

Г1 0 0 ... 0

0 сов а 1 вш а 1 ... 0

0 - вш а сов а 1 0 0

0 0 ... 0

10 0 0 1

Г1 0 0 0

0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 сов а п вш а п

10 0 - вш а п соэ а п

Числа а 1 выбирались случайным образом из равномерно распределенных величин на отрезке [-2л, 2л], 1 =1, ..., п. Векторы Ь{ ,/ =1, ..., т,х, х задавались случайным образом из целых чисел отрезка [-10,30]. В качестве начальной точки х0 использовалась середина отрезка [х,х], затем находилась величина

О чТ л I „0 \ , кТ/„0 1

где й - целые

п у

Чг = 2(х Т Л, (х 0) + $ (х 0) + ^ ,

числа, выработанные генератором случайных чисел, й е [5000,10000],/ =1, ..., т. Таким образом, обеспечивалась допустимость стартовой точки. В критерии останова (14), (15) использовалось е = 0,001.

Эксперименты отличались размерностью задач и количеством ограничений. Их результаты (минимальное, максимальное, среднее число итераций) сведены в таблице 3, таблице 4.

Итоги эксперимента подтверждают пригодность метода внутренних точек, использующего квадратичные аппроксимации, для решения нелинейных задач вида (1) —(3). Более того, из результатов эксперимента видно, что последовательность приближений, вырабатываемая методом квадратичных аппроксимаций, сходится к оптимальной точке за количество итераций в два раза меньшее, чем последовательность исходного метода. Сравнение методов по количеству итераций, за которые была решена задача, справедливо, поскольку трудоемкость каждой итерации исследуемых методов примерно одинакова (на каждой итерации необходимо решать систему с симметрической положительно определенной матрицей).

Для метода внутренних точек, учитывающего квадратичные аппроксимации, имеется практически значимое приложение: модель

Таблица 3

Число итераций, необходимое для решения тестовых задач методом внутренних точек, базирующимся

на линеаризации

Число переменных, п Число ограничений Число итераций

Максимальное Минимальное Среднее

3 2 147 7 55,04

10 5 250 36 106,2

20 10 361 67 147,96

40 20 397 80 173,02

Таблица 4

Число итераций, необходимое для решения тестовых задач методом внутренних точек, использующим

квадратичные аппроксимации

Число переменных, п Число ограничений Число итераций

Максимальное Минимальное Среднее

3 2 61 7 24,36

10 5 118 21 51,24

20 10 128 29 60,54

40 20 155 34 82,32

оценки дефицита мощности электроэнергетических систем (ЭЭС) с квадратичными потерями мощности в ЛЭП. Методика анализа надежности ЭЭС предполагает нахождение минимального суммарного дефицита мощности для большого количества сформированных с помощью датчика случайных чисел состояний режимов функционирования ЭЭС (случайные колебания нагрузки, отказ оборудования и т.д.). Сокращение времени вычислений позво-

лит «проиграть» большее количество случайных ситуаций и, тем самым, повысить надежность электроэнергетической системы.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. М. Мину Математическое программирование. Теория и алгоритмы. Москва: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990, 363 с.

2. Б.Н. Пшеничный Метод линеаризации. Москва: Наука, 1983, 135 с.