Расчет дефицита мощности электроэнергетической системы алгоритмом внутренних точек, использующим квадратичные аппроксимации Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

В этом случае одни авторы говорят, что функция у ограничена по сравнению с функцией

/ на V(х0 ) ; а другие - что функция у одного порядка с /, следовательно, постоянный коэффициент не учитывается.

При больших значениях С такая терминология не отражает соотношения между функциями, на что обратили внимание, например, в [3, с.24] и [4, с.109].

В связи с этим целесообразно ввести отношение ус /, х —► х0 , которое означает, что функция у ограничена функцией / при х — х0.

Определение:

(ус / , х — хо): =

о о

3 V(х0)Ух е V(x0) (\у(х)\ <\/(х)\). (22)

Ясно, что

(у = О/), х ■

■ хо) ^ (3С > 0 (ус С/, х — хо)).

(23)

БИБЛИОГРАФИЯ

М.

1. Зорич В. А. Математический анализ. МЦНМО, 2001. Ч. 1. 664 с.

2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М. : Дрофа, 2003. Т. 1. 704 с.

3. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М. : Мир, 1984. 535 с.

4. Андрианов И. В., Баранцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синергетика. М. : Едиториал УРСС, 2004. 304 с.

Пержабинский С. М. УДК 519.83+621.311:51.001.57

РАСЧЕТ ДЕФИЦИТА МОЩНОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ АЛГОРИТМОМ ВНУТРЕННИХ ТОЧЕК, ИСПОЛЬЗУЮЩИМ КВАДРАТИЧЕЫЕ АППРОКСИМАЦИИ1

Введение. Методика анализа надежности электроэнергетических систем (ЭЭС) предполагает нахождение минимального суммарного дефицита мощности для большого количества сформированных с помощью датчика случайных чисел состояний функционирования ЭЭС (случайные колебания нагрузок, отказы оборудования и т.д.). Сокращение времени оптимизации позволит «проигрывать» большее количество случайных ситуаций и, тем самым, увеличить объем накапливаемой информации для ее дальнейшей статистической обработки.

Модель расчета режимов с учетом квадратичных потерь мощности в сетях имеет ряд осо-

1Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 09-01-00306а, ИГУ, грант № 111-02-000/8-01

бенностей. Во-первых, учитываются потери на транспортировку электроэнергии, что очень важно для ЭЭС России, обладающей протяженными линиями электропередач. Во-вторых, использование квадратичных зависимостей потерь от передаваемой мощности наиболее адекватно происходящим при передаче электроэнергии физическим процессам.

Данная модель сводится к задаче выпуклого программирования [1]. Решением этой задачи является такое значение переменных (используемой мощности, покрываемой нагрузки, потоков мощности между узлами сети), при которых достигается минимальный суммарный дефицит мощности по всем узлам.

Для нахождения минимального суммарного дефицита мощности предлагается применять алго-

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

ритм внутренних точек, использующии квадратичные аппроксимации. Особенность этого алгоритма состоит в том, что для сокращения погрешностей линеаризации в целевую функцию добавляются квадратичные составляющие функций-ограничений с весами, равными приближенным значениям множителей Лагранжа этих ограничений.

Постановка задачи. Рассматривается схема электроэнергетической системы, состоящая из т узлов и п связей между ними. Задана располагаемая мощность X , максимальная нагрузка у в г — ом узле ЭЭС, г = 1,.. ., т , границы интервала пропускных способностей ] — ой линии электропередач 2 ^ и 2 . , коэффициент, используемый при описании потерь мощности на ] — ой связи, а у, у = 1,.. ., п . Считаем, что X > 0, у > 0, 2 у > 0, 2 у < 0, г = 1,.. ., т , j = 1,.. ., п .

Переменными задачи являются: х{ — используемая мощность в узле г, у, - покрываемая нагрузка в узле г = 1,.. ., т , 2 у — поток мощности по связи ] = 1,... , п .

Рассматривается задача минимизации суммарного дефицита мощности

£(У г — У1) ^ т1п'

г=1

учитывая балансовые ограничения

П П I \

Хг — Уг ^ — К (2] А* ] Г > 0,

]=1 ]=1

(1)

(2)

г = 1, . . . , т

и линейные двусторонние ограничения-неравенства на переменные

0 < у, < у,, г = 1,.. ., т, (3)

0 < х < X , г = 1,.. ., т, (4) < 2 у < , ] = 1, . . . , п. (5) Здесь 1] — элементы матрицы связи размера т х п, которые принимают следующие значения:

— 1, если узел г является началом связи у, 1, если узел г являетсяконцом связи у, 0, если узел г не прилегаетк связи у. Величины (Ху определяются следующим образом

Ч =

(у () =

а, если tijZj > 0, 0, если tijZj < 0,

г = 1, . . . , т, у = 1, . . . , п . В качестве 2у обычно используют величину — 2у , у = 1, . . . , п . Т.е. пропускная способность ЛЭП в обоих направлениях считается одинаковой.

При нахождении минимального суммарного дефицита мощности возможна ситуация, когда в результате решения задачи (1)-(5) получено отрицательное значение потока мощности между узлами сети, т.е. 2у < 0. Это означает, что поток мощности по у -ой связи направлен в обратную, относительно заданного направления, сторону.

Задача (1)-(5) с балансовыми ограничениями в форме равенств решается в настоящее время методом внутренних точек, базирующимся на линеаризации [2]. На каждой итерации к = 1, 2,... в

к к к ^ точке линеаризации х , у , г нелинейные ограничения-равенства заменяются на их линейную аппроксимацию. На приращение Ах, Ау, А векторов х, у, 2 в данной точке накладывается ограничение путем добавления к целевой функции квадрата евклидовой нормы векторов Ах, Ау, А2 .

Для сокращения погрешностей линеаризации при решении задач нелинейного программирования в [3] предлагается учитывать помимо линейных составляющих функций-ограничений еще и квадратичные. Проведенные ранее экспериментальные исследования для задач с нелинейными ограничениями [3] показали, что метод внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации, в среднем работает в полтора раза быстрее, чем метод внутренних точек, базирующийся на линеаризации. Ожидается, что при решении поставленной задачи методом внутренних точек, учитывающим квадратичные аппроксимации [3], будут получены такие же результаты.

Некоторые узлы г могут не обладать генерирующими мощностями (х = 0). Обозначим через Ь множество номеров узлов с нулевой располагаемой мощностью, а через I множество номеров всех остальных узлов. Далее рассматривается только случай, когда во всех узлах у > 0 и у вех связей 2у > 0 .

Вычислительный процесс метода внутренних точек проходит внутри области допустимых решений. Поэтому для упрощения процедуры выбора стартовой внутренней точки предлагается в узлы г е Ь ввести фиктивную генерацию хг > 0 и затем ее минимизировать. Тогда задача нахождения минимального суммарного дефицита мощности примет вид:

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

У (У - у,) + N У xt ^ min, (6)

y, x

i=1 iеL *

учитывая ограничения (2)-(5) и

0 < x, i е L, (7)

где N — число большее единицы. В расчетах использовалось N равное двум.

Выбор стартовой точки. Итеративный процесс метода внутренних точек проходит внутри области допустимых решений, т.е. на каждой итерации к = 1,2,... неравенства (2)-(5), (7) выполняются в строгой форме. Будем считать, что изначально потоков мощности в сети нет, т.е.

z° = 0, j = 1, . . . , n. Для всех узлов i е I в качестве стартовых значений переменных x, у возь-

0 xi 0 Xi о —

мем х,. = — и y. = —, если х < У, иначе г 2 2 г

у0 = У-. В узлах i с нулевой располагаемой мощностью положим у0 = у, х0 = у .

Задача поиска направления корректировки. Задача поиска направлений улучшения

решения Ахк, Дук е Rm, Azk е Rn имеет вид:

—у Дyi+n уд,+1 у Щ-+1 y^xL+

2 i=1 2 iel d2к

+1У Ii 2vf—1~ (zk к )2+

2 j=1 l i=1 a3j )

^ (Ax,- )2 1 m (gk )2 + У v + —У & , „ ^ min , У a2к 2 У(ьгк )2 wz

(8)

где

gk = Ду — дxг +уТдкДZj, q = (zk>к — ij,

j=1

n / \/ \-> n

ьк=xj—yk—у « (zk к )2,

j=1

j=1

i е I u L, j = 1, . . . , n,

^ 1 — приближения на (£ — 1) — итерации к множителям Лагранжа, соответствующим ограничениям (2). На первой итерации положим V0 = 1, г = 1, . . . , т. Весовые коэффициенты

7 к т к "¡к 7 к

а1г, а2г., а2г, а3 определяются по следующим

a1k = (min{y, — yi, yi })2, i = 1 . . . , m,

= (min{x — x.к, xk }), i е I,

d2k =(xJ )2, г ak. = (min{z

е L,

— zk, zk—z. j j' j - j.

j=1,

Решение задачи поиска направления корректировки

Возьмем частные производные функции (8) по Ayi, Дхг-, г = 1, . . . , т, Д^-, - = 1, . . . , и и приравняем их к нулю:

(

— 1 +

1

- +

1

Л

ak (ьк)2

Ду,- —

(ьк)

д^,. +

кч 2 г

1 n

У qkbzt = 0, i е I uL,

(ьгк)2 у ^ j , ,

(9)

1

f

к\2

(ьк)

Ду, +

1

■+

1

л

a2к (ь,к)2

l" 2,

Ax, —

1 n

У qkbz, = 0, i е I,

(ь,к)2 Уq,J J

(10)

(

N —

(ьк )2

■Ду,- +

1 _

v 02f+W

Дс,- —

1 n

У qk ^ = 0г е L

(ii)

> 1=1

m n f nknk \ m

qijqil . j +

УУ

,=1 1=1 f

+

l i=1

(ьк )2

У

г=1 (ьк )2

■(Ду,- — Ax, )qj +

У 2kJ—(zj

(12)

»3

Д^у = 0.

j )

Сложив (9) и (10), (9) и (11), получим:

, к

к aj .

^г = a2,---TT ДУ, - е I,

a1,

d к

Дсг = ä2k (1 — N)--^ Ду, i е L.

г aк

(13)

(14)

(11)

Подставим выражение (13) в (10) и (14) в

Ду,- =

((ь,к )2 + a 2 к a' + (ьк )2 + a 2к

к

a

7 к п.к\2 7 к Jy

aU + (ь, ) + a 2,к j=1

У qk ДZl, г еI,

правилам:

m

n

1

1

1

i=1

1

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

((Ьк )2 + о 2к — Щ 2 к Ук

у ак + ь )2 + <

л к

л к /ик\2 "Г к ¿1. + (Ьг ) + 02,- у=1

Отсюда для всех ' е I

Ах,- =

т к 1 к ал • а о • 1 2 г

¿и + (Ьк )2 +

+

0-,

2г п

+

-Е А2;

л к /1 к\2 7 к 1У 1'

0и + (Ь ) + 0 2. у=1

(Ьк )2 ¿к

01г. + (Ьг ) + 0 2 .

ок + О-..

1г 2г

(15)

Е ^ А2у,

2 гу °и + (Ьг ) +0 2; у=1

для г е Ь

Ах =

(¿к—Жо,к—N (ьк )2) о2

+ (Ьк )2 +

Т . и

ГУqk А2.

1 к ]

о.+(ь. )2+йк^ jj' (ь. )2 ( о;+N0/)

Ду. — Ах. =.

¿1. + (Ь. )2 + ¿2

+ ¿2 ЕдкА2..

л к Е ^ у

(16)

нк =

к\2

=1 (Ь.)

0,к + опк

1г 2 г

=1(Ьк т.+(Ь. )2+о 2.)

т / \

Нк = ^ + £Д^ ^ Г,

^ ^ )Г ,

Рк =

4 + (Ьк )2 + 02к

= 1

¿1. + Ь )2 + 0 2.

г е I.

г е Ь,

£к = ЕЕ2^к—1((2.|, у = 1,..., п.

г=1

Векторы qi , г = 1, . . . , т представляют собой строки матрицы размера т х п , элементы которой заданы соотношениями qk = 2а,, 2к — tk, г = 1,..., т, у = 1,..., п. Вектор

^С/ у у у ' ^ А

правых частей системы (17) ск формируется следующим способом:

ск =

зк =-

— 0,'

г =1

¿1. + (Ьгк )2 + 0 2 к

г е I,

ок= — ¿1. — Ж 2к

3 ' к , ,-,_кч2 , — к '

г е Ь.

¿1. + (Ьк + 0 2 к

Решив систему (17), получим направление корректировки А2к е , затем описанным выше способом вычислим Ахк, Аук е Ят.

Вычисление шага

1) Величины 1 , 1 , 1 и 1 рассчитывают из условия невыхода векторов хк + 1 Ахк, ук + Аук , 2к + Ь2к за пределы ограничений-неравенств (3)-(5), (7):

х — хк Ч, I е1,

1к =у min{ min ^—'- ^, min .

г:Ахк<0 АхМ г: Ах^ >П Ах-

г е Ь,

= ^ min .

г: Ах. <0 Ах-

о. + (Ь. )2 + ¿2к Подставим выражения (15) и (16) в (12), тогда задача поиска направления корректировки сведется к решению системы линейных уравнений.

Нк= ск. (17)

Здесь Н — меняющаяся по итерациям симметрическая положительно определенная матрица:

= у т1п{ тт |, т1п \ у у [■}, г е I и Ь,

г:Ау. <0 I Аук I г: Ау,- >0 I Ау.

1 = ^тт{ miп

г - гк

^ 2 у

, miп

|2у — I},

j:Дzkj<0\ & у: ^>0 Аг*

у = 1,..., п , при заданном ^ е (0, 1).

2) Вычислив 1 ,1 ,1 и 1 , найдем среди

них минимальную величину и обозначим через 1 .

. Поиск 1 осуществляется делением пополам 1

до тех пор, пока для хк + 1 Ахк, ук + 1 Аук,

2к + 1А2к ограничения (2) не выполнятся в строгой форме.

Критерий останова. В качестве условия останова используется выполнение с заданной точностью в допустимой точке х , у , 2 необходимых и достаточных условий оптимальности Куна-Таккера. Пусть е — заданная положительная малая величина. Вычислительный процесс прекращается, если выполняются два типа условий.

Условие допустимости по двойственным переменным:

т

к

+

т

г=1

1

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

I н

к —к к ч2

+ V- + V — V ) +

1 У г -У

к ч 2 Х-1 / к —к к ч 2

— Vyi) +1И" + ^ — V« ) +

I (IV- (2а- У- —,,) + V*. — )2 +

(18)

-=1 г=1

(19)

V- = шах« 0,

дук Дхк

(Ь")2 (Ьк)2 %(Ь!)

Хтикл А^, г е / и I,

= шах« О,

Дук

(Ук — У )2

л

к 1_ — дук, . .

Vyi = шах«0, —Г7Т К г = 1,..., т

(ук )2

V*. = шах«! О,

Ах"

^ — Х )2

г е I,

укХ1 = шах|0, -7АХГ I г е 1 и Д

( Х* )2

= шах«! О,

(N — V* — Укхг)2 < (и + 2т)ег.

г'е!

Условия дополняющей нежесткости:

\

и и / ч/ ч |

х*—ук+—I ъ (4 к )2Ц

г = 1,..., т,

укУг (у — у") <г, <г, г = 1,. .. , т,

V* (Х — хк) <*, г е I, ¿Х <*, г е I и I, (20)

^(г. — 4)£(4 — I.)у = И.

Множители V*, V*, V*, V*, V*, V*, V* являются приближенными значениями множителей Лагранжа ограничений (6), (3)-(5) и вычисляются по формулам

= шах« О,

Агк

(— I.

— Аг*

(I. — I*)2

, У = 1,..., и.

к к

-У У -

Если условия (18)-(20) в точке хк , у", 2" не выполнились, то осуществляем итеративный переход по правилу

х"+1 = х" + 1Ах",

у"+' = у" + ± Ау" ,

2"+1 = + £ д/ .

Экспериментальные исследования. Экспериментальные исследования проводились для схемы ЭЭС следующей конфигурации [4].

Рис. 1. Тестовая расчетная схема ЭЭС

В таблице 1 и таблице 2 приведены основные характеристики узлов и связей.

Таблица 1

Характеристика узлов расчетного режима тестовой схемы ЭЭС

Номер Располагаемая мощность Максимальная нагрузка уг, Баланс в г узле

узла, 1 Хi, мВт мВт Хг — уг , мВт

1 2458 2734 -276

2 1600 1760 -160

3 383 528 -145

4 1350 170 1180

5 409 1647 -1238

6 921 514 407

7 0 200 -200

Итого 7121 7553 -432

=1

+

+

Таблица 2

Характеристика связей расчетного режима тестовой схемы ЭЭС

Номер связи, j Максимально возможные потоки по связи у, мВт Коэффициент потерь мощности в связи, а ^

Zj zj

I -360 360 0,000078

II -150 150 0,000050

III -200 200 0,000046

IV -800 800 0,000017

V -1200 1200 0,000009

VI -300 300 0,000008

VII -150 150 0,000009

Тестовая схема по заданному режиму рассчитывалась двумя алгоритмами: методом внутренних точек, использующим квадратичные ап-

проксимации, и методом внутренних точек, базирующимся на линеаризации. Результаты эксперимента приведены в таблице 3.

Таблица 3

Результаты расчетов тестовой схемы ЭЭС по заданному режиму

Метод Метод внутренних точек, использующий квадратичные аппроксимации Метод внутренних точек, базирующийся на линеаризации

Точность £ = 0,02 £ = 0,02

Значение целевой функции, МВт 550,3632 550,4534

Количество итераций 17 25

Значение переменных Используемая мощность, МВт Покрываемая нагрузка, МВт Потоки мощности, МВт Используемая мощность, МВт Покрываемая нагрузка, МВт Потоки мощности, МВт

X! = 2457,99 у1 = 2469,14 г1 =-11,16 х1 = 2457,99 у1 = 2465,59 71 = -7,59

х2 = 1599,99 У2 = 1752,51 ^ 2 = 9,09 х2 = 1599,99 у2 = 1736,36 = 11,63

х3 = 382,99 у3 = 392,08 73 =-187,58 х3 = 382,99 у3 = 394,61 73 =-176,63

х4 = 1349,98 у4 = 169,47 7 4 = 13,18 х4 = 1349,99 у4 = 166,88 74 = 19,60

х5 = 408,99 у5 = 1636,35 75 = 992,92 х5 = 408,99 у5 = 1609,90 75 = 1006,48

х6 = 865,79 У6 = 513,99 76 = -299,99 х6 = 865,91 у6 = 513,99 76 = -299,99

х7 = 0,00 у7 = 69,09 7 7 = 69,13 х7 = 0,00 у7 = 115,20 7 7 = 115,32

Из таблицы 3 видно, что реальный дефицит (550,45 МВт) больше, чем разница между суммарной максимальной нагрузкой и суммарной располагаемой мощностью (432 МВт). Это обстоятельство объясняется двумя причинами. Во-первых, существуют потери при транспортировке электроэнергии. Во-вторых, пропускная способность некоторых ЛЭП ограничена, и 118,45 МВт имеющейся мощности оказываются невостребованны-

ми. Для уменьшения дефицита мощности следует увеличить пропускную способность VI связи.

Результаты расчета показали, что методом внутренних точек, использующим квадратичные аппроксимации, решение получено за меньшее количество итераций, чем методом, базирующимся на линеаризации. Сопоставление работы двух алгоритмов по количеству итераций справедливо, поскольку на каждой итерации в сравниваемых методах требуется примерно один и тот же объем

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

вычислений и основные затраты времени связаны с необходимостью решать систему с симметрической положительно определенной матрицей.

Заключение. Результаты экспериментальных исследований показали пригодность метода внутренних точек, использующего квадратичные аппроксимации, для решения задачи нахождения минимального суммарного дефицита мощности с учетом ее квадратичных потерь в сетях. Значимость применения данного алгоритма для решения задачи (1)-(5) состоит в том, что благодаря учету активных ограничений задачи и эффективной минимизации погрешностей линеаризации увеличивается скорость работы алгоритма, по сравнению с исходным методом, основанном на линеаризации. Сокращение времени вычислений при нахождении минимального суммарного дефицита мощности очень важно, поскольку для оценки надежности ЭЭС необходимо оптимизировать большое количество случайных состояний ЭЭС.

Задача поиска минимального суммарного дефицита мощности подразумевает нахождение, в общем случае, 2т + п значений переменных. В предлагаемом методе на каждой итерации решается система линейных уравнений с симметрической положительно определенной матрицей размера

п х п . Тем самым находятся п значений переменных, через которые выражаются остальные. Такой подход позволяет сократить время вычислений и уменьшить трудоемкость поставленной задачи.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Зоркальцев В. И., Ковалев Г. Ф., Лебедева Л. М. Модели оценки дефицита мощности электроэнергетических систем.: препринт. Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2000. С. 17-22.

2. Дикин И. И., Зоркальцев В. И. Итеративное решение задач математического программирования (алгоритмы внутренних точек). Новосибирск : Наука, 1980. 144 с.

3. Пержабинский С. М. Решение задач выпуклого программирования алгоритмом внутренних точек, использующим квадратичные аппроксимации // Методы оптимизации и их приложения : тр. XIV Байкал. междунар. шк.-семинара. Иркутск, 2008. Т. 1. С. 196-203.

4. Ковалев Г. Ф., Лебедева Л. М. Комплекс моделей оптимизации режимов расчетных состояний при оценке надежности электроэнергетических систем.: препринт. Иркутск : ИСЭМ СО РАН, 2000. С. 32-39.

Бубнов В. П. УДК 681.142.2

ТРАССИРОВОЧНАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕЙ НАГРУЗКИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ СЕТИ УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Широкое внедрение в контур управления подвижными объектами железнодорожного транспорта вычислительных систем потребовало решения задачи анализа качества их функционирования. Оценку качества вычислительных систем наиболее целесообразно проводить по критерию пригодности. Понятие критерия пригодности предполагает, что вычислительная система будет пригодна к применению в контуре управления объектами железнодорожного транспорта, если при обеспечении управления подвижным объек-

том вероятность несвоевременного решения отдельной задачи управления в директивно установленный срок будет не больше допустимого значения.

Как показано в [1], существенное влияние на точность результатов моделирования оказывает выбор модели рабочей нагрузки (МРН). МРН должна отображать динамику функционирования системы управления в виде потока запросов к элементам системы с учётом специфики и динамических характеристик объектов управления. МРН