Модели рассредоточенного рынка несовершенной конкуренции и их место в управлении региональной экономикой Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ

УДК 368.1 : 519.22

А.Г. Коваленко *

МОДЕЛИ РАССРЕДОТОЧЕННОГО РЫНКА НЕСОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ И ИХ МЕСТО В УПРАВЛЕНИИ РЕГИОНАЛЬНОЙ ЭКОНОМИКОЙ

Для математической модели рассредоточенного рынка вводится понятие узловой задачи, решение которой для рынка совершенной конкуренции соответствует узловой увязке теории гидравлических сетей. Если узловой задаче давать различные содержания, соответствующие взаимодействию субъектов узла, то получим различные виды структур локальных рынков. Так как рынок рассредоточенный, то в разных узлах могут быть различные структуры рынка. Последовательное решение узловых задач дает алгоритм поиска состояния равновесия всей модели рассредоточенного рынка несовершенной конкуренции.

Ключевые слова: рынки несовершенной конкуренции, модели рассредоточенного рынка, общее частное экономическое равновесие.

Введение

Когда идет речь о рынках несовершенной конкуренции, обычно строят модели монополии, олигополии, монополистической конкуренции и т. д. Но в экономике в «чистом виде» таких рыночных структур нет. Они так или иначе присутствуют в единой системе экономических взаимодействий субъектов экономики, поэтому разрывать их в этом взаимодействии, вообще говоря, нельзя. Эти рыночные структуры, с одной стороны, существуют во взаимодействии, с другой стороны, дифференцированы пространством, различием типов и особенностей продуктов, различием потребителей, временем и т. д. Устранить эти трудности позволяют модели рассредоточенных рынков.

* © Коваленко А.Г., 2011

Коваленко Алексей Гаврилович (alexey.gavrilovich.kovalenko@rambler.ru), кафедра математики и бизнес-информатики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, д. 1.

В работе [1] рассмотрена модель однопродуктового рассредоточенного рынка, позволяющая учесть пространственно-ценовую дифференциацию рынка, но все участники этих рынков — чистые конкуренты, осуществляющие товарно-денежный обмен. В работе [2] рассмотрена модель многопродуктового рассредоточенного рынка, в которой проведено дифференцирование рынков по видам продуктов. Это удалось выполнить благодаря тому, что модели субъектов были рассмотрены в экстремальной постановке, в которой возможен явный учет потребляемых ресурсов.

Переход в модели к экстремальным постановкам позволяет перейти к дифференцированию рынков по виду взаимодействия его субъектов. В результате мы получаем рассредоточенный рынок несовершенной конкуренции с различной рыночной властью его субъектов.

Для рассматриваемой модели предлагаются алгоритмы отыскания состояния равновесия и равновесных цен. Эти алгоритмы представляют ценность для решения задач региональной [3] и межрегиональной экономики [4]. Они основаны на поузловой увязке теории гидравлических сетей [5].

1. Основные понятия и определения, гидравлические потоки в сети

Графом будем называть тройку б=( Е, У,Н), где Е и V — конечные множества, а Н - отображение Н: V® Е х Е. Элементы множества Е будем называть узлами графа, элементы множества V дугами. Каждой дуге у<еУ отображение Н ставит в соответствие упорядоченную пару узлов (А1(у), А2(у)) из Е, А1(у) - начало дуги у, А2(у) - конец. Множество дуг, входящих в узел ,, обозначим через (/), множество дуг, выходящих из нее, обозначим через V - (,).

Гидравлические потоки. Основная особенность потоков в гидравлических сетях (в отличие от потоков в транспортных задачах, в задачах о максимальном потоке) заключается в том, что в явной форме указывается причина движения потока по дугам — разность напоров (давлений, потенциалов, цен) на концах дуги. Величина потока растет с разностью напоров. В описании графа присутствуют два вида объектов: объекты-узлы, объекты-дуги. Дугами описываются элементы, у которых есть один вход и один выход. Во вход поступает поток (некоторого объема и давления), из выхода выходит (возможно, другого объема и под другим давлением). Объекты-узлы — элементы сети, которые соответствуют точкам соединения объектов дуг, а также местам отбора или подачи потока в сеть.

Обозначим через Р, давление в узле , , — объем потока, который выходит (поступает) через узел за пределы рассматриваемой системы. Если £,->0, то узел является потребителем потока, если £,<0, то он источник, если £,=0, то этот узел — промежуточная точка. Значения этих переменных определяют связь сети через граничные условия с внешними объектами, а также течение потока внутри сети. В самом общем виде движение потока по дуге можно записать

т. е. поток по дуге есть функция от давлений в начале и конце дуги. Поток движется от узла с большим давлением к узлу с меньшим.

Постановка задачи расчета потокораспределения в гидравлической сети. Обозначим

Уу /у (РН1(у) ,РН2(у)), у е ^

(1)

2 Уу - 2 Уу = е Е ■

Т/ + / V 1

+ (I) V е¥ - (I)

Разобьем множество Е на подмножества Е1, Е2, Е3. Для узлов , еЕ1

- свободная переменная,

*

Р - заданная переменная Р = р

I еЕх.

Для узлов I еЕ2

' е Е2

- заданная переменная, = В1 Р - свободная переменная

В частности, если В¡* =0, то этот узел промежуточный. Для узлов I еЕ3 переменная связана с переменной Р{ зависимостью

£,= У;(Р;) ; е Е3.

(3)

(4)

(5)

Это узлы с подвижными граничными условиями.

Система уравнений (1)—(5) и есть задача расчета потокораспределения в гидравлической сети [3]. Если в задаче множество Е3=0 и множество Е1 одноэлементное, то эта задача называется задачей расчета потокораспределения с заданными отборами, в противном случае ее называют задачей с незаданными отборами.

2. Однопродуктовый рассредоточенный рынок совершенной конкуренции

как задача потокораспределения теории гидравлических сетей

Движение некоторого продукта в сети также можно считать гидравлическим. Для того чтобы задачей (1) — (5) описать рассредоточенный рынок, достаточно изменить интерпретацию ее элементов. Узлы ; е Е интерпретируем как пункты -локальные рынки купли-продажи некоторого однородного продукта, Р; — цена на нем.

Дугам графа соответствуют торгово-транспортные коммуникации. Их моделью является Уу=/у (РадЛад), объем уу перевозки с рынка Ь1(у) на рынок И2(у) в зависимости от цен на них. Обычно эту зависимость записывают как

Уу=!м (РН2(У) — Рй1м).

Субъектами рынков (узлы ;еЕ) являются:

— конечные потребители этого продукта, модель потребления X (Р;);

— предприятия, производящие его, модель производства ц (Р; );

— агенты, осуществляющие экспортно-импортные операции за пределы моделируемой системы, их модель — кривая экспортно-импортного сальдо z;(Pi);

— арбитражеры, которые покупают продукт в узлах с меньшей ценой и продают в узлах с большей ценой, их модели у,=£ (Рщф Р,), V е¥ + (;'), уу=^ (Р;, РАад), V е V- (;').

Балансовые соотношения в этом случае запишем в виде

I Л(Ры&)Р) - I Л(Р„Ри2&)) + Ц(Р,) - Ш) = . (6)

уеУ+ (I) \еУ(1)

При выполнении этого соотношения говорят, что система находится в состоянии равновесия, цены Р{ называют равновесными.

Граничные условия имеют тот же вид, как и ранее выписанные:

Zi - свободная переменная I

* М 6 ^

Pi - заданная переменная, Pi = P i ]

*

zi - заданная переменная, zi = B i I .

г, i 6 E2

Pi - свободная переменная ]

В узлах из Е3 объем внешнеторгового сальдо ^ связан с ценой Р, зависимостью

= (Р), - 6 Ез, (8)

(узлы с подвижными ценами и отбором).

Задача (6) — (8) и есть модель однопродуктового рассредоточенного рынка совершенной конкуренции как задача потокораспределения теории гидравлических сетей. Теоретический анализ показал, что функции, входящие в постановку этой задачи, позволяют применять для поиска состояния равновесия в ней традиционные методы ТГС.

Узловая задача локального рынка совершенной конкуренции. Одним из методов решения задачи (6) — (8) является метод поузловой увязки. Суть его заключается в следующем. Перепишем соотношение в виде

2- IМ^Лад) -£(3)-= 0, I 6 Е2^Ез. (9)

v6V + (i) v6V - (i)

Равенство нулю левой части соответствует состоянию равновесия в экономической системе, Р, — равновесные цены, / 6 Е. Если задать в узлах / бЕ2иЕ3 величины Р, произвольными, то величины

NB(Pi) = II - 22 адл2М)-£1(^1)-zi(pi),

V6V+ (i) V6V- (i)

вообще говоря, будут отличными от нуля. Если хотя бы в одном узле МБ(?1) ф 0,1 6 E2 и E3, то рассредоточенный рынок находится в неравновесном состоянии.

Из экономической теории известно, что по принципу «невидимой руки рынка» каждый локальный рынок совершенной конкуренции сходится к состоянию равновесия, т. е. «невидимая рука рынка» реализует один из видов поузловой увязки теории гидравлических сетей.

Задача производителя в экстремальной постановке.

Из микроэкономического анализа известно, что функция предложения щ (Р )

может быть построена из параметрического анализа задачи производителя в экстремальной постановке по параметру Р,. Часто задачу производителя записывают в виде

^ = argmax(Pl щ - Цщ)), (10)

VI

где (щ1) — издержки производства в зависимости и его объема щ. Выражение, стоящее под знаком максимума, есть прибыль р, получаемая производителем.

Необходимым условием максимума будут Р{ = ё1 (щ) , если правую часть обо-

ё VI

значить как у( щ), то можно записать Ц1=щ1(Р) где у-1 - обратная функция.

3. Однопродуктовый рассредоточенный рынок с узловыми монополиями,

монополистическая конкуренция

В рассмотренном случае все субъекты рынков являлись ценополучателями. На практике это реализуется достаточно редко: субъекты рынка пытаются повлиять на цену и соответственно на свой выпуск. Предположим, что в узле i производитель реализует стратегию диктата цены на локальном рынке. Согласно экономической теории, он задает цену Pt и объем своего выпуска h из условия максимума своей прибыли. В результате получаем узловую задачу следующего вида:

Определить (P;, hh) = arg max (P hi - Ii (h))

Pi. hi

при ограничениях

h = X (P)+(P) - I f (PW P) + I f (P, PW,

veV + (i) veV - (i)

где Ii (hi) — издержки производства в зависимости, а также его объема h.

Если в сети более одного узла с монополистическим поведением производителя, то в целом для всей сети получаем рынок монополистической конкуренции.

4. Однопродуктовый рассредоточенный рынок с узловыми олигопольными

взаимодействиями

Рассмотрим случай, когда в некотором узле i более одного (для определенности будем считать, что 2) предприятия и их взаимное поведение характеризуется как олигопольное. Модель узла с двумя предприятиями будет иметь вид:

(P h1) = arg max(P h -1\ (h1)),

Pi .h1,

(Ph2) = arg max(Ph2i -12i(h2i))

p, Vi

при ограничениях

+h2i = X (Pi ) + (Pi ) - I f (P,1(v), P ) + I f (Pi , Ph2iv)) ,

veV + (i) veV - (i)

где I} i (hj ) — издержки предприятия j в зависимости и его объема выпуска hji, j=1,2.

Узловая задача. В зависимости от характера взаимодействий предприятий узловой задачей может быть задача поиска равновесия по Курно, Стэкельбергу, Бертрану, узловой сговор и прочие виды олигополий.

5. Поведение арбитражера в узлах сети

Арбитражеры (субъекты рынка, которые покупают продукцию в узле с меньшей ценой и продают в узле с большей ценой) также могут обладать рыночной властью и сознательно влиять на цену на рынке. Для них возможно три случая обладания рыночной властью.

1. Как в узле — начале дуги, так и в конце.

2. Только в начальном узле, в конечном узле он совершенный конкурент.

3. Только в конечном узле, в начальном узле он совершенный конкурент.

Для первого случая модель функционирования арбитражера будет иметь вид:

(Рщу)• Ph2(v).yv) = arg тах ((Ph2(v) - Ры(v))yv - Iv(yv)) .

Ph1(v)Ph 2(v)'yv

Для второго случая:

(Ph1(v)' yv) = arg max((Ph2 (v) - Phl(v) )yv - Iv(yv)) ,

Ph1(v),yv

где переменная Ph2(v) — параметр экстремальной задачи.

Для третьего случая:

(Ph2(v)'yv) = arg тах((Ph2(v) - Ph1(v))yv -Iv(yv)) ,

Ph2(v)' yv

где переменная Ph1(v) — параметр этой задачи.

Узловая задача. Для случаев 2 и 3, как и раньше, в зависимости от характера взаимодействий субъектов узла узловой задачей может быть задача поиска равновесия по Курно, Стэкельбергу, Бертрану, узловой сговор и прочие виды оли-гополий. Отличие лишь в том, что среди этих субъектов находится и арбитражер. В случае 1 узловые задачи узлов h1(v) и h2(v) придется объединять, так как субъект v является одновременно участником обоих рынков.

6. Алгоритм поиска состояния равновесия рассредоточенного рынка

несовершенной конкуренции

Исходными данными для работы алгоритма поиска состояния равновесия рассредоточенного рынка несовершенной конкуренции должны быть графы, определяющие структуру сети. По каждому узлу должна быть описана структура локального рынка с указанием роли каждого субъекта в этой структуре. Для каждого субъекта создается модель (в виде кривых спроса и предложения или в экстремальной постановке), которая соответствует его роли на локальном рынке.

Алгоритм заключается в последовательном решении узловых задач до тех пор, пока при двух последовательных итерациях решения узловых задач не станут совпадающими (с заранее заданной точностью).

Библиографический список

1. Коваленко А. Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы. 1999. Т. 35. № 3. С. 108—115.

2. Коваленко А. Г. Математические модели межотраслевого баланса в условиях рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы. 2001. Т. 37. № 2. С. 92-106.

3. Хачатуров В.Р. Математические методы регионального программирования. М.: Наука, 1989. 304 с.

4. Гранберг А.Г., Рубинштейн А.Г. Межрегиональные межотраслевые модели оптимизации и взаимодействия в исследованиях долгосрочного развития экономики // Межрегиональные модели мировой экономики / под ред. А.Г. Гранберга и С.М. Меньшикова. Новосибирск: Наука, 1983. С. 47-119.

5. Меренков А.П., Хасилев В.Я. Теория гидравлических цепей. М.: Наука, 1985. 278 с.

A.G. Kovalenko*

THE MODELS OF THE DISPERSED MARKET OF IMPERFECT COMPETITION AND THEIR PLACE IN THE MANAGEMENT OF REGIONAL ECONOMICS

For mathematical model of the dispersed market the concept of the main problem is introduced. The solution of this problem for the market of perfect competition corresponds to the main concurrence of the theory of hydraulic networks. If we give to the main problem different content which corresponds to the interaction of subjects of unit we will receive various kinds of structures of the local markets. As the market is dispersed, than in different units, there can be different structures of the market. The consecutive solution of the main problems gives algorithm of search of an equilibrium state of all model of the dispersed market of an imperfect competition.

Key words: market of imperfect competition, models of the dispersed market, general quotient economic equilibrium.

* Kovalenko Alexey Gavrilovich (alexey.gavrilovich.kovalenko@rambler.ru), the Dept. of Mathematics and Business Informatics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.