Научная статья на тему 'О малых вариационных формулах'

О малых вариационных формулах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ГОЛОМОРФНОЕ ОДНОЛИСТНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ / ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛА / ПАРАМЕТРЫ В ИНТЕГРАЛЕ КРИСТОФФЕЛЯ ШВАРЦА / МЕТОД КУФАРЕВА / HOLOMORPHIC UNIVALENT MAPPING / VARIATIONAL FORMULA / PARAMETERS IN THE CHRISTOFFEL-SCHWARZ INTEGRAL / KUFAREV METHOD

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Борисова Яна Владимировна, Колесников Иван Александрович, Копанев Сергей Анатольевич

Одним из основных методов решения экстремальных задач является вариационный метод, главный инструмент которого есть вариационные формулы. Некоторые вариационные формулы были получены с помощью семейства отображений из единичного круга на области, лежащие в единичном круге. Предложен достаточно общий подход получения так называемых малых вариаций. Получен ряд новых малых вариаций. Также на простом примере проиллюстрирован метод П.П. Куфарева нахождения параметров в интеграле Кристоффеля Шварца.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On small variation formulas

One of the main methods for solving extremal problems is the variational method. Variational formulas are the main tool of the variational method. Some variational formulas, the so-called small variational formulas, were obtained by means of a family of mappings from the unit disk onto domains lying in the unit disk. There is a theorem in the paper that gives a rather general approach to obtaining small variational formulas.

Текст научной работы на тему «О малых вариационных формулах»

2017

Математика и механика

№ 49

МАТЕМАТИКА

УДК 517.54

DOI 10.17223/19988621/49/1

Я.В. Борисова, И.А. Колесников, С.А. Копанев

О МАЛЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ФОРМУЛАХ

Одним из основных методов решения экстремальных задач является вариационный метод, главный инструмент которого есть вариационные формулы. Некоторые вариационные формулы были получены с помощью семейства отображений из единичного круга на области, лежащие в единичном круге. Предложен достаточно общий подход получения так называемых малых вариаций. Получен ряд новых малых вариаций. Также на простом примере проиллюстрирован метод П.П. Куфарева нахождения параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца.

Ключевые слова: голоморфное однолистное отображение, вариационная формула, параметры в интеграле Кристоффеля - Шварца, метод Куфарева.

Пусть S есть множество всех голоморфных однолистных в круге E = Ez = {z е С : |z| < 1} отображений f: E ^ С , w = f (z), нормированных условиями f (0 ) = 0, f'(0) = 1.

Какова бы ни была односвязная область D с С , 0 е D, с конформным радиусом относительно w = 0 равным единице, в классе S существует единственное отображение f такое, что f (E) = D .

Одним из основных методов решения экстремальных задач в классе S является метод внутренних вариаций [1, 2]. В свою очередь, понятие вариационной формулы является базовым инструментом метода внутренних вариаций.

Отображение f *: Ez х (0,е0) ^ С, w = f * (z,е) принято называть вариационной формулой в классе S для отображения f, f е S , если оно удовлетворяет условиям:

1. Vee(0, е0) сужение f * |Ex{e}e S (для каждого ее( 0, е0) отображение f * (z, е) как отображение от z принадлежит классу S.);

2. lim f * (z, е) = f (z) равномерно внутри E ;

е^+0

3. Существует правосторонняя производная по е в точке е = 0, равномерная относительно z внутри Ez.

Задание отображения f *: Ez х (0, е0) ^ С, w = f * (z, е) равносильно заданию семейства отображений f : E ^ С, w = fE(z) = f * (z, е) от параметра ее(0, е0).

При работе с вариационной формулой ее, как правило, раскладывают по формуле Тейлора по параметру е в полуокрестности точки е = 0 с нужной степенью точности.

Классическая теорема Г.М. Голузина [1], обобщающая результат Шиффера, позволяет получать вариационные формулы достаточно общего вида (называемые формулами типа Голузина - Шиффера). П.П. Куфарев [3] предложил другой подход к получению таких вариационных формул. Многие математики занимались и занимаются совершенствованием метода внутренних вариаций и поиском приемов получения новых вариационных формул.

В данной работе предлагается достаточно общий подход к получению так называемых малых вариаций с помощью вспомогательного семейства голоморфных однолистных отображений из круга в круг.

Теорема 1. Пусть g : Ez х (0, е0) ^ E^, Z = g(z, е) удовлетворяет условиям:

1) Vee(0, е0) сужение g|Ех{е} есть голоморфное однолистное отображение;

2) lim g (z, е) = z равномерно внутри Ez;

3) g (z,е) и g'(z,е) дифференцируемы по е в нуле справа равномерно внутри Ez .

Тогда в классе S для отображения f е S имеют место вариационные формулы

f (z,е) = f (z)+е( f'(z)gе(z,0)-f (z)f'(0)g£ (0,0)-f (z)g^(0,0)-gе(0,0)) +

+o(z,е), е е (0,е0), (1)

o(z, е)

где lim-= 0 равномерно внутри Ez;

е^+0 е

f2 (z,е) = f (z)+е( f (z)(z2¡£(00) + gе(z,0)-gе(0,0))- f (z)g;(0,0)} +

+ o(z,е), е е (0,е0), (2)

o(z, е)

где lim-= 0 равномерно внутри Ez;

е^+0 е

f3 (z, е) = f (z ) + еРз (z) + o (z, е), ее( 0, е), (3)

где

Рз (z) = f'(z)(¡£(z,0) + z2Ü-u + itz)-- f (z )(f" (0)(g£ (0,0)-u ) + g;'e(0,0)+ it)-g£ (0,0)+ u ,

£ = minf' e0, —1— |, u , t - константы, u е С, t е К, и lim °(^ е) = 0 равномерно

^ | u |) е^+0 £

внутри Ez ;

f4 (z,e) = f (z) + e( f' (z)( z 2 g£(0,0)+g£(z,0)-g£(0,0)+itz)-f (z)(g;'e(0,0) + it)) +

+o(z,e), ее(0,£), (4)

o(z e)

где t - константа, t е M, и lim-!— = 0 равномерно внутри Ez.

e^+0 £

Доказательство. Из условия lim g(z, е) = z равномерно внутри Ez по теореме Вейерштрасса следует, что lim g'z (z, е) = 1 равномерно внутри Ez. Отсюда

следует равенство g'z (0,0) = 1.

Пусть g(z,е) = z + ege (z,0) + o(z,е). Тогда g'z (z,е) = 1 + egZe (z,0) + o(z,е). Докажем первую вариационную формулу.

Е f о f (g(z,е))-f (g(0,е)) f ( ) „ Если f e S , то —^—7—, чч /—= f (z,е) e S .

f '(g (0, е)) gz (0, е) JlK'>

Записывая f1(z,e) относительно е по формуле Тейлора, получаем формулу (1). Докажем вторую вариационную формулу.

Если f e S , то ——j—f

1 -|g(0,е)|2 Г g(z,е)-g(0,е)

= f2 (Z, е)е S .

(0, в) 11 - я (о, в) (,

Формула (2) теперь следует из разложения ^(^е) относительно в по формуле Тейлора.

Докажем третью и четвертую вариационные формулы.

Отображение n(z,е) = е''е ~—~~ при | ие |< 1 переводит единичный круг в

1 - zu е

единичный круг. Заметив, что отображение z,е) = g(n(z,е),е) удовлетворяет условиям теоремы, и используя формулу (1), получаем формулу (3), а используя формулу (2), получаем формулу (4).

При дополнительных условиях на отображение g : Ez х(0, е0) ^ E^,

Z = g(z,е) можно получить разложение вариационных формул fk (z, е), к = 1,2, по е с нужной степенью точности.

Теорема 2. Пусть g : Ez х(0, е0 ) ^ E^, Z = g (z, е) удовлетворяет следующим условиям:

1) Уее(0, е0) сужение g^^} есть голоморфное однолистное отображение;

2) lim g (z, е) = z равномерно внутри Ez;

е^+0

3) g (z,е) и g'z (z,е) дважды дифференцируемы по е в нуле справа равномерно внутри Ez .

Тогда в классе S для отображения f е S имеют место вариационные формулы:

f (z,е) = f (z)+е('(z)gе (z,0)-f (z) f "(0)gе (0,0)-f (z)g^ (0,0)^ (0,0)) +

2

+yQ (z)+0(z,е2), ее(0,е0),

где

ö1 (z)=f'(z)gе2 (z,0)+f '(z)(gе'е(z,o)-2f'(o)gе(z,o)gе(o,o)-2gе(z,o)gZе(o,o))-- f (z)(f' (o)g^ (0,0)-2 f'2 (0)g^ (0,0) + f' (0^(0,0)-2 f '(0^(0,0^ (0,0) +

+gL(0,0)-2 gz2 (0,0)) + f '(0)g^ (0,0) + g^o^o)-g^(0,0)

o( z, е2)

и lim--— = 0 равномерно внутри Ez;

е^+о е2

где

f (z,e) = f (z)+e(f (z)(z2g£(0,0) + g£(z,0)-g£(0,0))-f (z)g;'e(0,0)) + +y02 (z)+o(z,e2), ее(0,£q),

02 (z) = f "(z)(z2¡ÜÖÖ) + g£ (z,0)-g£ (0,0))2 + +f (z)( 2z3 g £2(0,0) + z 2 ¡£(Щ-2z 2 g;e(0,0)gääÖ) + 4zg£(z,0)g£(Ö:Ö)--2zg£ (0,0)g£ (0,0) + 2gze (0,0)g£(0,0)- 2gJ£(0,0)g£(z,0) + g£; (z,0)-g£; (0,0)) +

+f (z)(2 (0,0)-2g£(0,0)gä0^)-gz£e(0,0))

и lim o(z,2£ ) = 0 равномерно внутри Ez.

£^+o £2

Заметим, если отображение g : Ez х(0, e0) ^ E^, Z = g(z, e) удовлетворяет условию g (0, e) = 0, то f (z, e) = f (z, e).

Выбирая отображение w = g (z, e) в конкретном виде, получим малые вариации, как известные, так и новые.

1. Пусть g : Ez х [0,1) ^ EZ, g (z, e) = ee'ß+(1 -e)e'ez . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе S имеют место вариационные формулы Vf е S следующего вида:

f (z,е) = f (z) + е(f (z)(eiß -(1 -i)z)-f (z)f'(0)eiß + f (z)(1 -i)-eiß) + +2e20 (z) + o(z,e2), e е [0,1),

где

0! (z) = f '(z)(eiß- z (1 - i))2 + f '(z)(-2 f "(0)e!ß(e!ß- z (1 - i)) + 2(e!ß- z (1-i))-z (1-2i))-- f (z)(f"(0)e2!ß - 2 f"2 (0)e2iß + 2 f "(0)eiß(1 - i)-1 + 2i) + f"(0)e2!ß -(1 - i)eiß;

f2 (z,e) = f (z) + e(zf (z)(e-ißz-(1-i)) + f (z)(1 -i))+)(z) + o(z,e2)ее[01^^

где 02 (z )= z2 f"(z )(-(1 - i ))2+

+f ' (z) (2zV2iß + z2 (1 - i)(2eiß - 4e-ß ) - z (1 + 2i)) - f (z)(1 - 2i); f3 (z,e) = f (z) + e( f (z)(z2u-z + z(1 +1)i + eiß -u)--f (z)(((0)(ß-u)-1 + (1 +1)i)-eiß + u) + o(z,e), ее[0,1);

f4 (z, e) = f (z) + e( f ' (z)(zУß - z + z (1 +1)i) + f (z)(1 -(1 +1)i)) + o (z, e),

e е[0,1).

Отметим частные случаи этой формулы.

1а. Пусть g : Ez х[0,1)^ EZ, g(z,e) = eeiß+(1 -e)z .

Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Следовательно, в классе £ имеют место вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

/ (г, в) = / (2 )+в( / (г )( е* - 2 )-/(2 ) /'(0 )е'в + / (2 )-ев) + +2в2^ (2) + о(2,в2), в е [0,1),

где й (2) = /"(2)( - 2)2 + /' (2)(-2/" (0)егР( - 2) + 2 ( - 2))--/(2)(/"'(0)е2гР - 2/"2 (0)е2гР + 2/"(0)ег'р - 2) + /"(0)е2г'р - ег'р ;

/2 (2, в) = / (2)+в(2/' (2) ( - 1) + / (2 )) + ) в^2)+ О (2, в2 ) , ве[0,1) ,

где

е2 (2) = 22/"(2) (е-в -1)2 + /' (2)(223е-2гР + 22 ( - 4е-в ) + 2ег'р) ;

/з (2, в) = / (2 ) + в( /' (2 ) (22М - 2 + II2 + егР - 2 )--/(2)(/"(0)(егР-и)-1 + и)-егР+ и) + о(2,в), ве[0,1);

/4 (2,в) = /(2) + в(/' (2)(22е-р - 2 + и) + /(2)(1 - 1г)) + о (2,в), ве[0,1).

1б. Пусть я : Ег х [0,1) ^ , С = Я(2, в) = (1 - в)е'в2 . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе £ имеют место вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

/ (2, в) = /2 (2, в) = / (2 ) + в(1 -1)(/(2 )-2/' (2 )) +

+в2 ((1-]{/(2)-2/(2))-г'22/"(2)) + о(2,в2), в е [0,1);

/з (2, в) = / (2 )+в ( /' (2 ) ( 2 2и - 2 +(1 + Г )|2 - и ) + / (2 ) (и/" (0) + 1 -(1 + Г ) |) + и ) +

+ о(2,в), в е [0,1);

/4 ( 2, в) = / ( 2 )-в(1 -(1 + г )|)( 2/' ( 2 )-/( 2 )) + о ( 2, в) , ве[0,1) . 1в. Пусть я : Е2 х[0,1) ^ Е^, ^ = Я(2,в) = (1 -в)2 . Тогда вариационные формулы примут вид:

/,(2, в) = /2( 2, в) = / (2 ) + в(/(2 )-2/ ' (2 )) + в2 ( / (2 )-2/' (2 )+ 2 2 2 / ''(2 )) +

+ о(2,в2), в е [0,1);

/з (2, в) = / (2 ) + в( /' (2 ) ( 2 2и - 2 + IИ - и )+ / (2 )(и/'' (0) + 1 - И ) + и ) + + о(2,в), в е [0,1);

/4 ( 2, в) = / ( 2 )-в(1 - и )( 2/' ( 2 )-/( 2 )) + о ( 2, в) .

1г. Пусть я : Е2 х(-80,80 ) ^ Е^, = Я(2,8) = е/82 . Тогда вариационные формулы примут вид:

2

Л( 2, 8) = /,( 2, 8) = / (2 )+ /8(2/ ' (2 )- / (2 )) - у ( 2/" (2 )- 2/ ' (2 ) + / (х )) +

+ о(82) 8 е (-80,80);

/3 (2, 8) = / (2 )+ 8 (/' (2 )(2 V + 2/ ( + 1)-М ) + / (2 )(('(0 )-/(/ + 1)) + М ) +

+о(2,8), 8 е (-80,80); /4 ( 2, 8) = / ( 2 ) + 8/ (Г + 1) (х/' ( 2 )-/( 2 )) + О ( 2,8) , 8б(-б0, 80 ) .

2. Цустъ я : Е2 X (-80,80) ^ Е,

_ /р

w = Я (2,8) = 2 еегр = 2 + 8 (2е"''р - е/р ) + 82 (ер - 2) +..., ре М . Это отображение удовлетворяет условиям теорем 1 и 2.

Следовательно, в классе £ имеют место вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

/1( 2, 8) = / (2 )+ 8 (/' (2 )( 2 2 - е/в) + / (2 )/''(0^ + е/в)+ ) 8^ (2 ) + О (2,82),

8е(-80, 80 ) ,

где дг (2)=/" (2) (- е-в22 )2+2/' (2)(- е^'в23-/ " (0)(е2гР- 22 ))--/ (2) (/"' (0) е2 в-2 / "2(0) е2 2 )+/' (0) ег'р;

/3( 2, 8) = / (2 ) + 8 ( /' (2 )(У2 2 + Ш - V ) + / (2 )(/''(0)- )+ V ) + О (2, 8), 8 е (-80, 80), где V = и + е'в;

/4 ( 2 8) = / ( 2 ) + 8'(2/'( 2 )-/( 2 )) + О ( 2 8) , 8 е (-80 , 80 ) .

е'8- е-'Р 2) - 1п(1 - е-Р2) -/8

3. Пусть я : Е х(0,80 Е, w = я(2,8) = е/р ln(e .8 е

где

ln(e'8 - е-р2) - 1п(1 - е-р2) 8е( 0,80) и однозначная ветвь логарифма выбрана условием 1п1 = 0.

Это голоморфное и однолистное отображение из круга в круг V8 е (0,80). Образом Е относительно этого отображения есть круг Е = (С е С: < 1} с выброшенным кругом (^ е С: к - (1 - г )е1 р|< г}, где г = ———, Ре К .

1 1 1 ' П + 28

Рассматриваемое отображение имеет следующее разложение по 8 :

/ 2 (е~2 - 2) / 1

Я (2, 8) = 2--28 +---7--4-82 + О (2, 82 ), (0, 8) = 1--8--82 + О (2, 82 ) .

У ' 2 12 (1 - е-р 2) ^^ 2 6 ^ '

Теперь по теоремам 1 и 2 получаем в классе £ вариационные формулы V/ е £ следующего вида:

Г 8) = Л 8) = f ( ) + 8 - ( (z )-zf ' ^ )) +

1 2

+--8 2

2

тГ ^)+ 6 (

(1 - 2^Р z)

Г (z К Л (z)

- е~'в z) ' 6'

+ о(z,82), 8 6 (0,80);

Гз (z, 8) = Г ^ )+ 8 ( Г (z )( z 2и - ^ (1 - г)-и ) + Г ^ )((''(0 ) + /(1-г)) + и)-

>(,82), 8 6(0,80);

+ о I

Г4 8) = Г ^ )- 8 / (1 - Г )(( ^ ) z - Г ^ )) + о (z, 82 ) , 8б( 0, 80 ) .

4. Этот пункт начнем с нахождения, используя метод П.П. Куфарева [3] определения параметров в интеграле Кристоффеля - Шварца, отображения

V = V (х,I) из верхней полуплоскости П+ = {х 6 С :1т% > 0} на верхнюю полуплоскость с прямолинейным разрезом длины I, выходящим из точки ноль под углом (1 -а)п , к положительной части вещественной оси. Пусть V(го) = го. Выбрав стандартную параметризацию разреза для отображения из полуплоскости, будем иметь семейство отображений V = V (х, т), удовлетворяющее уравнению Левнера для полуплоскости

1

с№

дт х-^(т) дх

= 0, т 6 [0, Т],

с начальным условием V (х,0) = X, где X (т) - прообраз конца разреза.

Обозначим через а(т), Ь (т) прообразы вершин с углами ал , (1 -а)п соответственно, а (т) < Х(т) < Ь (т), при 0 < т < Т . Согласно теореме Кристоффеля -Шварца, отображение V = V (х, т) можно представить в виде

л.

(х,т) = с(т) | (-Х(т))(z -а(т))а-1 (z-Ь(т))-а ск.

а(т)

В книге [4, гл.6,§3] записан результат П.П. Куфарева для отображений из верхней полуплоскости на многоугольник. Тогда в нашем случае параметры

а(т) = а(х2) = а1 (х), Ь(т) = Ь(х2) = Ь1 (х), х(т) = х(х2) = (х) удовлетворяют

системе дифференциальных уравнений

Са1 (х) = 2х

Сх а1 (х )-Х1 (х) СЬ1 (х) = 2 х

Сх Ь1 (х )-Х1 (х) С(х) = ( а)Са1(х) +а СЬ1(х)

Сх ^ ' Сх с начальным условием а1 (0) = Ь1 (0) = (0) = 0.

Сх

Решая систему методом рядов, находим

a1(x) = -x./21——, ь (x) = x. 2 a , Xj (x) = x4i- 2a 1

V a V 1-a

а ' V 1 -а ' 70(1-0)

Перейдя в подынтегральном выражении к параметру х, подставив найденные

параметры а1,й1,и выполнив замену 2 =Си—0--х./21—0 , будем иметь

V 1 -а V а

С / X\-а

М (С, х ) = С (х)|(2 - X) 2а-1 2--| й2.

Из условия м (да) = да следует, что с (х) = 1. Проинтегрировав, получим

( \ 1-а м(С,х) = С [С-^Х^ .

Из условия м (х, х) = /е/(1-а)п имеем х = 11 а I

V1 -аУ

1-a

, окончательно получим

отображение

( , / x1-aY-a

(Z, I ) = Za |z- - ir^-1 a v 1-ay

из полуплоскости на полуплоскость с разрезом длины I; прообразами вершин 0, /е™(1-а), 0 при этом отображении являются соответственно точки 0,

\1-a » / \1-a

a i l (a

V1 -ay a v 1 -a, Пусть теперь g : Ez х [0, e0) ^ E^, £ = g(z, e) есть голоморфное и однолистное

отображение из единичного круга Ez на единичный круг E^ с разрезом длины е, идущим из точки 1 по дуге окружности радиуса r, составляющей угол (1 - a) п , 0 <a< 1, с верхней половинкой единичной окружности. Пусть отображение g удовлетворяет условию lim g (z, е) = z.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

е^0

Отображение g можно представить композицией g(z,е) = £(w(Z(z,e))), где

_. e

- * (e)e"2 „,(Z) = Za fZ 1 e^1-a ^=^1 z -1

S(w) = " - Я (S)g ;92 , w (Z) = Za (Z-) _ a , Z(z ) = s (0)Л

w -s(e)e 2

1 a.j-a sin(an--4-rsin^2L 1 -a 1 V 2n) 2r je _-i 2an

а 5 (e) = l-I 4 7 , = e

^ a ( -у/1 +2rcos(an) + r2 r +e """

Отображение g раскладывается по s1 в ряд g(z, e1) = z + e1 (z - eiS) + o (s1),

где e1 пропорционально e. Переобозначив s1 через e, по теореме 1 получаем вариационную формулу

f М = f (z)+E(/ '(z)(z - e*f -f(z)( "(0)e 2e-2e'e)- e' 2e) + о(е, z), ве(0,в0),

. 'an

ie -2ian r + e

где e = e -:— - точка на единичном окружности, через которую прохо-

r + e-an

дит продолжение разреза.

5. Рассуждения в этом пункте повторяют доказательства теорем 1 и 2, так как формально их применить нельзя.

Пусть g : Ez х[0, е0) ^ E^, Z = g(z, е) есть голоморфное однолистное отображение из круга Ez на круг EZ с выброшенным отрезком

(Се С: argZ = ß,1-s< |Z| < 1}, ßeK, Vse[0,1). Это отображение неявно задается уравнением

4(1 -e)z(e-ßg2 (z,6) + eiß) = (4(z2 +l)-4(z2 +l)e + (z + 1)2 е2)g(z,е), lim g (z, е) = e'ßz равномерно внутри Ez и имеет следующее разложение по е :

g (z, е) = e'ßz + е2e'ß + е3e'ß + о (z, е3),

V ' 4 z -1 4 z -1 V '

¿z (0, е) = e'ß- 4e'^2 -1 e'ßе3 + о (0, е3). Раскладывая f (g( , )), где f е S , по степеням е с точностью до е3, получим

gz(0, е)

zz +1

eß f (z, е) = e'

= eß f (g (z,е)) = ,(eßz) + s

g'z (0,

f = f (e'ß z )+y ( f (e'ß z )e'ß z^^ + f (ß z )) +

f (e'ß z )e'ß z^ + f (e'ß z )) + о (z, е3).

Переобозначая е'вz через z и учитывая, что, если Г (z, 8) 6 £, то е'вГ (е-'вz, 8) = Г (z, 8) 6 £ , получаем в классе £ для отображения Г следующую вариационную формулу:

f (z,е) = f (z) + е2 — f (z) + zf (z)

e-'ß z +1 ^

+ е

4

4 ^ 4 7 " 4 V'ßz -1 e-'ß z +1 ^

f (z) + zf (z)+ о(z,е3), е е [0,е0).

Малая вариационная формула

f(z,е) = f(z) + е f(z) + zf'(z)

e"ß z +1 ^ e-'ß z -1

+ о (z ,е)

известна и может быть получена другим способом, например с помощью семейства голоморфных однолистных отображений из Ег на единичный круг с выбро-

шенной луночкой малой площади, пропорциональном е.

Приведем для полноты еще две известные малые вариационные формулы.

6. В классе S имеет [1] место вариационная формула

n f 2 (z )

f (z,8) = f (z) + 8^Ak ( ) > , ee[0,80), k=1 f (z )- wk

где Ak e С, k e 1, n , для отображения f с условием, что у f ( E) есть внешние точки wk , k e 1, n .

7. В классе S имеет [5] место вариационная формула

f (z, 8) = f (z ) + 8 ( 2eiß - c2 ) f2 (z ) + 82 ( 2c22 - c3 - 4eiß + 3e2iß) f3 (z ) + о ( z, 82 ) ,

8e( 0,8o),

где ße M, c2 e С, \c2 \ < 2 , c3 e С, |c3| < 3, для отображения f с условием, что f (dEz ) есть жорданова кривая.

Последнюю формулу называют малой вариацией Шиффера в бесконечности. Отметим, что константы c2 и c3, вообще говоря, зависят от отображения f.

ЛИТЕРАТУРА

1. Геометрическая теория функции комплексного переменного. 2-е изд. / под ред. В.И. Смирнова. М.: Наука. 1966. 630 с.

2. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2001. 219 с.

3. Труды П.П. Куфарева: к 100летию со дня рождения / под общ. ред. И.А. Александрова. Томск: Изд-во НТЛ, 2009. 371 с.

4. Александров И.А. Параметрические продолжения в теории однолистных функций. М.: Наука, 1976. 344 с.

5. Schiffer M. On the coefficient problem for univalent functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 134. No. 1. P. 95-101.

Статья поступила 12.07.2017 г.

Borisova Ya.V., Kolesnikov I.A., Kopanev S.A. (2017) ON SMALL VARIATION FORMULAS. Tomsk State University Journal of Mathematics and Mechanics. 49. pp. 5-15

DOI 10.17223/19988621/49/1

One of the main methods for solving extremal problems is the variational method. Variational formulas are the main tool of the variational method. Some variational formulas, the so-called small variational formulas, were obtained by means of a family of mappings from the unit disk onto domains lying in the unit disk. There is a theorem in the paper that gives a rather general approach to obtaining small variational formulas.

Theorem. Let the map g : Ez x (0,s0) ^ E^ , Z = g(z,s) satisfy the following conditions:

1) Vs e (0,s0), the contraction g|Exjsj is a holomorphic univalent mapping;

2) lim g(z, s) = z , locally uniformly in Ez;

3) there exists a partial right derivative of g(z,s) and g'z (z,s) with respect to s at the origin, locally uniformly in Ez .

Then, in the class S for the mapping f e S , the following variational formulas take place:

f (z, 8)= f (z )+s(/' (z )g's (z,0)-f (z ) f'(0 ) g;(0,0)-f (z )gZe(0,0)-ge(0,0 ))+ o (z, 8),

ee(0,80), (1)

where lim o(^e) = 0 locally uniformly in Ez ;

e^+0 e

/2 (z,B)= f (z )+s(/' (z )(z 2 ¿(0,0) + g8(z,0)-g8(0,0))- f (z Ш0,0))+ о (z,S),

se(0,80), (2)

where lim o(^e) = 0 locally uniformly in Ez

e^+0 e

/з (z,8) = f(z)+8P3 (z)+ о (z,8), 8 £ (0,8) , (3)

where P3 (z ) = f (z )((z,0) + z 2U - u + itz)-

-f (z)(('(0)(g8(0,0)-u) + g^(0,0) + it)-g 8(0,0) + u,

о(z,8)

e = minI e0,— I, u, t are constants, u e C , t e R, and lim--— = 0 locally uniformly inEz ;

^ | u |) e^+0 e

f4 (z,e) = f (z ) + e(/' (z )(z2 ge(0,0) + ge(z,0)-ge(0,0) + itz)-f (z )(gi8(0,0) + it)) + o (z,e),

e e (0,e), (4)

where t is a constant, t e R , and lim o(ze) = 0 locally uniformly in Ez .

e^+0 e

A number of new small variations have been obtained. In adition, the P.P. Kufarev method of finding parameters in the Christoffel-Schwarz integral is illustrated by a simple example.

Keywords: holomorphic univalent mapping, variational formula, parameters in the ChristoffelSchwarz integral, Kufarev method

BORISOVA Yana Vladimirovna (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

KOLESNIKOVIvan Alexandrovich (Candidate of Physics and Mathematics,

Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

KOPANEVSergey Anatolievich (Candidate of Physics and Mathematics,

Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation)

E-mail: [email protected]

REFERENCES

1. Goluzin M.G. (1966) Geometricheskaya teoriya funktsii kompleksnogo peremennogo [Geometric theory of a function of a complex variable]. Moscow: Nauka.

2. Aleksandrov I.A. (2001) Metody geometricheskoy teorii analiticheskikh funktsiy [Methods of the geometric theory of analytic functions]. Tomsk, TSU Publ.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Proceedings of P.P. Kufarev: on the 100th anniversary of his birth (2009). Tomsk: NTL Publ.

4. Aleksandrov I.A. (1976) Parametricheskie prodolzheniya v teorii odnolistnykh funktsiy [Parametric continuations in the theory of univalent functions]. Moscow: Nauka.

5. Schiffer M. (1968) On the coefficient problem for univalent functions. Trans. Amer. Math. Soc. 134 (1). pp. 95-101.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.