CC BY
6
УДК 514.76
А.Я. Султанов\ Г. А. Султанова2
1 Пензенский государственный университет, Россия 2 Пензенский филиал Военной академии материально-технического обеспечения им. генерала армии А В. Хрулева Министерства обороны РФ, Россия 1 sultanovaya@rambler.ru, 2 sultgaliya@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2022-53-11
О локальном представлении синектических связностей на расслоениях Вейля
В данной работе получены выражения в естественных локальных координатах для синектического лифта А. П. Широкова линейной связности и компоненты тензорных полей кривизны и кручения на расслоении Вейля.
Ключевые слова: касательное расслоение, алгебра Вейля, синек-тическая связность, тензорное поле кривизны, тензорное поле кручения
Синектические расширения полных лифтов линейных связностей в касательных расслоениях были введены А. П. Широковым в 70-е годы прошлого столетия [1; 2]. Он установил, что эти связности являются линейными и представляют собой вещественные реализации линейных связностей на касательных расслоениях первого порядка, снабженных гладкой структурой над алгеброй дуальных чисел. Он доказал также существование гладкой структуры на касательных расслоениях
произвольного порядка Тк (М) на гладком многообразии М над алгеброй Я(£к) плюральных чисел. Изучая голоморфные линейные связности на Тк (М) над алгеброй Я(ек), А. П. Ши-
Поступила в редакцию 30.05.2022 г. © Султанов А. Я., Султанова Г. А., 2022
роков получил вещественные реализации этих связностеи, которые назвал синектическими расширениями линейной связности, заданной на М . Естественным обобщением алгебры плюральных чисел является алгебра А. Вейля, а обобщением касательного расслоения — расслоение А. Вейля. В работе [3] показано, что синектическое расширение линейных связно-стей, заданных на гладком многообразии, можно построить и
на расслоениях А. Вейля МА, где А — алгебра А. Вейля. Геометрия этих расслоений изучалась многими авторами — А. Моримото, В. В. Шурыгиным и др. Подробный разбор этих работ можно найти в [3].
В настоящей работе изучаются синектические лифты линейных связностей, заданных на расслоениях А. Вейля.
Напомним, что алгеброй А. Вейля над полем Я называется линейная алгебра А , являющаяся коммутативной, ассоциативной, обладающая единицей и максимальным нильпотентным идеалом I , таким, что факторалгебра А /1 изоморфна алгебре Я.
В дальнейшем будем считать, что единица алгебры А отождествлена с единицей поля Я, а остальные базисные элементы выбраны в идеале I .
Пусть М — гладкое многообразие класса С" размерности п, Сш (М) — вещественная алгебра гладких класса Ст функций, заданных на М и принимающих значения в Я . Обозначим через М^ множество всевозможных гомоморфизмов-
д : Сш (М) ^ А, где д е М, удовлетворяющих условию-
(/) = /(д)(шоё I) . Множество М А = ^ (М)А можно ес-
деМ
тественным образом наделить структурой гладкого многообразия над алгеброй А и гладкой структурой над Я [1]. Отображение я: МА^ М, определенное условием я(уд) = д,
называется канонической проекцией, а тройка (MА, л,M) — расслоением А. Вейля. Функция fА, определенная условием / А (jq ) - Л (/) для каждого гомоморфизма jq, называется естественным продолжением функции f, а функция f(0) — f о л — вертикальным лифтом функции f е Cш (M) с M на MА .
Обозначим через А" векторное пространство линейных форм, заданных на А как на векторном пространстве, принимающих значения в поле Я действительных чисел.
Пусть а* е А*, f е Сш ). Зададим функцию f * : MА ^ Я равенством f *) — а* о fА . Пусть (и, хг) —
карта гладкой структуры на M . Тогда функции х'а — (х' )еа , где еа — элементы дуального к базису ('£а) алгебры А, определяют координатные функции в карте (и) . Векторные поля
(д У—за —^т
д
составляют поле натурального репера в карте
дха
л 1 (и) . При помощи этих функций можно определить лифты векторных полей с M на MА. Пусть а е А — любой фиксированный элемент алгебры А, X — произвольное гладкое векторное поле на M . На расслоении MА существует единственное векторное поле Х(а>, удовлетворяющее условию
Х (а}) — (Х)ф*.а)
для любой функции f е Сш (M). В этом равенстве Ъ* ■ а е А определяется по правилу Ъ* ■ а(Ъ) — Ъ* (аЪ). Для векторного поля X можно построить его естественное продолжение XА 120
на МП . Оно задается условием XА/А = (X/)А для любой
функции / е Сш (М). Векторное поле X на А является голоморфным тогда и только тогда, когда X = £ ахА (а = 0,1,..., N -1). Линейная связность V, заданная на МА, называется голоморфной, если векторное поле V ~ У является голоморфным для любых голоморфных векторных полей X и У , заданных на МА . Имеет место
Предложение 1. Линейная связность X, заданная на расслоении Вейля МА, голоморфна тогда и только тогда, когда
на базе М этого расслоения существует такая линейная связность V = Г0, тензорные поля Гх (X = 1,2,..., N -1) — тензорные поля типа (1,2), что выполняется тождество V А У А=£ а (Га (X, У )) А. Определение. Вещественной реализацией линейной связности V называется линейная связность VЯ на МА, если для
любых а, Ь е А и любых векторных полей X и У выполняется равенство
VX(а) У (Ь) = (V„а У А )(аЬ).
Вещественную реализацию VЯ обозначим через V и будем называть синектической связностью А. П. Широкова. Отсюда следует тождество
X
Положим
V1) У(Ь} = (Г а (X, У ))(£ аЬ). (1)
V *=Г
Га (д,, а *) = Г 5 (а = 0,1,2,..., N -1).
Отметим, что Г= Г,* . На я 1 (и) положим
V (да, дк) = га дГ.
Из соотношений (1) для синектической связности Vsh сле-
дует, что
V (да, ак)=(г„(д ,, а *)) ,
где £а ) — базис алгебры А, причем £° = 1. Поэтому
Г а дГ = 77к(Г<к д,)И = 7:ак(.Гк) ыд Г£Г) = Г) ыдГ.
Отсюда
Гк =уТ(Гф )(,). (2)
Так выражаются коэффициенты синектической связности Vsh через Г ак и структурные постоянные алгебры Вейля.
Для полного лифта V(0) связности V, поскольку Гх = 0 (X Ф 0), из формул (2) получим следующие формулы для коэффициентов:
Га=гТ(Г\к )ы. (3)
В частном случае, когда алгебра А является алгеброй дуальных чисел Я(£), формулы (2) дают известные соотношения для вычисления коэффициентов полного лифта линейной связности на касательном расслоении Т (М). Если А является алгеброй плюральных чисел Я(£), то по формулам (2) вычисляются коэффициенты синектического лифта линейной связности на касательном расслоении Тг (М).
Заметим, что в силу коммутативности и ассоциативности алгебры Вейля А из формул (2) следуют соотношения
Гар — ГРа' (4)
1 jkа ~ 1 jка . (4)
Из соотношений (2) и соотношений у, — следует, что
-а —УГ(Т1Ф )Ы; (5)
ГТ — уЖ* )(М); (6)
Г,™' — 0 при а ф 0 или р ф 0 ; Г^О — (Т)к)(0). Предложение 2. Коэффициенты Г,^ синектической связности V^ удовлетворяют условиям
,) Г™р' — УР^га0' •
1) 1 jkа ~ 1а 1 jkц>
2) Г™р' — уамг0Р' •
А> 1 jkа ~ 1а 1 jku ■>
^Л Т^а0' _ 1/а/^Т^00'.
3) Г jkа Уа Г jk¡u.;
4) Г0Р' _ УРиГ00' •
V А jkа ~ 1 а А jku '
5) г™Р' — УаРиг00'
5) 1 jkа ~ 1а 1 jku■
Доказательство. В формулах (2) коэффициенты уУ,и определяются условием
8в^8а8Р8и) — Ур .
В силу коммутативности и ассоциативности алгебры А эти коэффициенты можно представить следующим образом:
уааРи—8а(уГ8*8Р) — уГУТ.
Поэтому из формул (2) получим
Гар — УРТ Ути (Г' )
lJkа_УаУт (1ф )(и).
Отсюда в силу (5) следует, что
т-^ак _
]ка /г ]кт '
Соотношения 1) доказаны. Остальные соотношения являются следствиями (1) и (4).
Пусть Т , Я — тензорные поля кручения и кривизны соответственно. Положим
т* (д;, дк)=ткГдг, я(да, дк )дг=Я^^ .
Левые части этих равенств можно вычислить на основе равенств
г^вк _ 7^(а) ТУ''к _ г)(а)
— а ' ~ а
т* (д-, дк)=т^^а, дк)=(Тх(д ,, д к ))(£Х£а£к) =
=га Тк д,) и=гла Тк) (у)д и=а* Тк) идг.
Отсюда
Та=7ГаРУ(Т[]к )и. (7)
Аналогично
я'к (да, дк )дг=яхх)(да, дк )дг=(Ях (д к, д/ )д ] ^^ = = гТЯмд, )£) = ГТ(Я']Ы)Мд№ = Г^акГУ(Я1щ)Ид],
поэтому
Я]к/т = Ут (ЯЩ)(
Если V^(0)
, то из (7) и (8) получим
та — п—р* (т' \
Т]кг = Уа (Т]к )(v),
поар _ аару / рг \
Я]к1т = Ут (Я]к/)(у), где Т'к — составляющие тензорного поля кручения Т, Я'к/ — составляющие тензорного поля кривизны связности V , заданной на базе Мп расслоения Вейля МА .
пасгр _ Хашр* ( Т)1 \
Я,к1т = Ут (ЯХк/)(у) . (8)
Список литературы
1. Широков А. П. Замечание о структурах в касательных расслоениях // Тр. Геом. семин. / ВИНИТИ. 1974. Т. 5. С. 311—318.
2. Вишневский В. В., Широков А. П., Шурыгин В. В. Пространства над алгебрами. Казань, 1984.
3. Султанов А. Я. Продолжения тензорных полей и связностей в расслоения Вейля // Изв. вузов. Математика. 1999. № 9. С. 64—72.
4. Султанов А. Я. О вещественной реализации голоморфной линейной связности над алгеброй // ДГМФ. Калининград, 2007. Вып. 38. С. 136—139.
5. Шурыгин В. В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вейля // Итоги науки и техн. Соврем. матем. и ее прилож. Темат. обзоры. 2002. Т. 73. С. 162—236.
7JST-0-(ПРЕДСТАВЛЕНО ДЛЯ ВОЗМОЖНОЙ ПУБЛИКАЦИИ В ОТКРЫТОМ ДОСТУПЕ В СООТВЕТСТВИИ С УСЛОВИЯМИ
¿^¿■ШИШ "ИЦЕНЗИИ CREATIVE COMMONS ATTRIBUTION (СС BY} (HTTP ffCREATIVECOMMONS.ORG/LICENSES/BYMO/)
MSC: 53В15
A Ya. Sultanov\ G.A. Sultanova2 1 Penza State University, 40 Krasnaya St., Penza, 440026, Russia 2 Federal State-Owned Logistic Military Educational Institution named after General A V. Khrulyov of the Ministry of Defence of the Russian Federation, Penza-5, Penza region, 440000, Russia 1 sultanovaya@rambler.ru, 2 sultgaliya@yandex.ru doi: 10.5922/0321-4796-2021-53-11
On the local representation of synectic connections on Weil bundles Submitted on May 30, 2022
Synectic extensions of complete lifts of linear connections in tangent bundles were introduced by A. P. Shirokov in the seventies of the last century [1; 2]. He established that these connections are linear and are real realizations of linear connections on first-order tangent bundles endowed with a smooth structure over the algebra of dual numbers. He also
proved the existence of a smooth structure on tangent bundles of arbitrary order Tk (M ) on a smooth manifold M over the algebra R(s ) of plural numbers. Studying holomorphic linear connections on Tk (M ) over
an algebra R(sk ), A.P. Shirokov obtained real realizations of these connections, which he called Synectic extensions of a linear connection defined on M. A natural generalization of the algebra of plural numbers is the A. Weyl algebra, and a generalization of the tangent bundle is the A. Weyl bundle. It was shown in [3] that a synectic extension of linear connections defined on M a smooth manifold can also be constructed on
A. Weyl bundles MA , where A is the A. Weyl algebra. The geometry of these bundles has been studied by many authors — A. Morimoto, V. V. Shurygin and others. A detailed analysis of these works can be found in [3].
In this paper, we study synectic lifts of linear connections defined on A. Weyl bundles.
Keywords: tangent bundle, Weyl algebra, synectic connection, curvature tensor field, torsion tensor field
References
1. Shirokov, A.P.: A note on structures in tangent bundles. Tr. Geom. Sem., 5, 311—318 (1974).
2. Vishnevskiy, V.V., Shirokov, А.P., Shurygin, V. V.: Spaces over algebras. Kazan (1984).
3. Sultanov, A. Ya.: Extensions of tensor fields and connections to Weil bundles. Izvestia Vuzov. Math., 9, 64—72 (1999).
4. Sultanov, А. Ya.: On the real realization of a holomorphic path connection over an algebra. DGMF. Kaliningrad. 38, 136—139 (2007).
5. Shurygin, V.V.: Smooth varieties over local algebras and Weil bundles. Itogi nauki i tekhn. Sovrem. math. and its app. Theme reviews, 73, 162—236 (2002).
-m-1 SUBMITTED FOR POSSIBLE OPEN ACCESS PUBLICATION UNDER THE TERMS AND CONDITIONS OF THE CREATIVE
t^lj^l COMMONS ATTRIBUTION (CC BY) LICENSE {HTTP://CREATIVECOMMONS 0RG/LICENSES/BY/4.0/)
