Некоторые лифты тензорных полей типа (1, r) с базы в его касательное расслоение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.76

Г. А. Султанова

НЕКОТОРЫЕ ЛИФТЫ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ ТИПА (1, г) C БАЗЫ В ЕГО КАСАТЕЛЬНОЕ РАССЛОЕНИЕ

Аннотация.

Актуальность и цели. Векторные поля типов yG, GHY, представляющие собой лифты тензорного поля G е 3}(М), заданного на гладком многообразии М в касательное расслоение T(M), возникают при изучении инфинитезима-льных аффинных преобразований со связностью полного лифта. Данные лифты были введены в работах К. Яно, Ш. Ишихара и использовались Ф. И. Каганом при изучении инфинитезимальных аффинных, инфинитезимальных проективных преобразований в T(M), снабженных полным лифтом линейной

связности без кручения, заданной на базе М, Х. Шадыевым при описании инфинитезимальных аффинных преобразований синектического лифта линейной связности без кручения с гладкого многообразия М в его касательное расслоение T(M). Целью настоящей работы является построение Y -лифтов (r = 2,...,n) тензорных полей типа (1, r) (r > 1) и выяснение некоторых их свойств по отношению к дифференцированию Ли и ковариантным дифференцированиям.

Материалы и методы. Объектом изучения является касательное расслоение T (M) гладкого многообразия М. Использованы методы тензорного анализа, теории производной Ли. Многообразие, функции, тензорные поля пред.

Результаты. Найдены коммутаторы векторных полей типов yG, GHY, где G е 3^M), а также введено определение уу-лифта тензорного поля типа (1,2). Доказаны некоторые свойства уу-лифта. Построен yr -лифт для любого тензорного поля G типа (1, r) и доказаны его свойства.

Выводы. Для любого тензорного поля G типа (1, r) можно построить yr -лифт как отображение yr: зГ (M) ^30(T(M)), которое в локальных координатах (x!0,x1) определяется условием yrG = G1. . x1j1...xjrd1, где д1 =-д— •

j\:.jr dx1

Ключевые слова: гладкое многообразие, касательное расслоение, лифты тензорных полей, тензорное поле, коммутатор векторных полей.

G. A. Sultanova

SOME LIFTS OF TENSOR FIELDS OF TYPE (1, r) WITH BASE IN ITS TANGENT BUNDLE

Abstract.

Background. Vector fields of type yG, GHY, representing lifts of tensor field G е 3^M), defined on a smooth manifold M to the tangent bundle T(M), arise in the study of infinitesimal affine transformations with a complete lift. These lifts

were introduced by K.Yano, Sh.Ishihara and used by F.I. Kagan in the study of infinitesimal affine, infinitesimal projective transformations equipped with full lift of torsion-free linear connection, defined on the basis of M, used by H.Shadyev when he described infinitesimal affine transformations of synectic lift of linear torsion-free connection with a smooth manifold M to its tangent bundle T(M). The

purpose of this paper is to construct yr -lifts of tensor fields of type (1, r), (r > 1) and explain some of their properties with respect to the differentiation of Lee and covariant differentiation.

Materials and methods. The object of the study is the tangent bundle T(M) of a smooth manifold M. There are used the methods of tensor analysis, the theory of the Lie derivative. The manifold, functions, tensor fields were assumed to be the smooth of C" class.

Results. In paragraph 2 of this paper there were discovered commutators of vector fields yG , GHY, where G е 3^(M), and there was introduced a definition of YY-lift of tensor field of type (1,2). In paragraph 3 there were proved some of properties of yy -lift. In paragraph 4 there was constructed Y -lift for any tensor field G of type (1, r) and the properties were proved.

Conclusions. For any tensor field G of type (1, r) it is possible to construct Y -lift as a mapping Yr: 3r (M) ^30(T (M)), which in local coordinates (x0, x1) is

determined by the condition YrG = G1 x. x!r d1, where d ■ = .

j1...jr 1 1 1 1 Эх1

Key words: smooth manifold, tangent bundle, lifts of tensor fields, tensor field, commutator of vector fields.

Введение

Векторные поля типов yG , GHY, представляющие собой лифты

тензорного поля G е 31 (M), заданного на гладком многообразии М в касательное расслоение T(M), возникают при изучении инфинитезимальных аффинных преобразований со связностью полного лифта. Они были введены в работах [1-3]. Исследование алгебр Ли инфинитезимальных аффинных преобразований различных типов основано на использовании коммутаторных соотношений между ними. В настоящей работе мы находим коммутаторы

векторных полей указанных выше типов, а также вводим новые лифты

тензорных полей типа (1, r) и изучаем их свойства.

1. Предварительные сведения

Пусть M - дифференцируемое многообразие класса Cразмерности n, Tp (M) - касательное пространство к нему в точке P е M , т.е. множество всех касательных векторов многообразия М в точке Р. Тогда множество

T (M) = и Tp (M)

PеM

называется касательным расслоением над многообразием М.

Отображение п: Т(М) ^ М, определенное условием п(^х) = х , называется канонической проекцией. На Т(М) возникает естественная структура гладкого многообразия над полем действительных чисел, атлас которого состоит из координатных окрестностей вида (п 1 (и), х0, х{). Закон преобразования координат при переходе от локальной карты (п 1 (и), х0, х{) к локальной карте (п 1(У), х0, х/) имеет вид

х0 = хо(хо,..., хо),

х/ =Щ;4 • (1)

, ' дх0 1

Напомним, как определяются лифты функций, векторных полей с базы в касательное расслоение, а также полный лифт линейной связности V .

Пусть / - функция класса С, заданная на М, и /: М ^ Я. Функции /(0) = / ° п и /(/) = (д^/)(0) х/ называются вертикальным и полным лифтом функции/соответственно с базы М в его касательное расслоение Т(М) .

На Т(М) для X еЗ0(М) определены его вертикальный X(1) и полный X(0) лифты, которые в локальных координатах имеют вид

X(1) = х0 д1, X(0) = х0 Э0 + X/ э/,

где X0 = X )(0), X/ = (ЭJXi )(0) х/ .

Предположим, что на М задана линейная связность V . На касательном расслоении Т(М) существует единственная линейная связность V(0), удовлетворяющая условиям

^0)х (0)7(0) = (V X7 )(0), V (0)х (0)7(1) = (V х7 )(1),

V(0)ха)7(0) = (VXV)(1), V(0)х(1)7(1) = 0, (2)

где X,7 е30(М). Такая связность называется полным лифтом линейной связности V [1, 2].

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные связности V на базе без кручения, т.е. тензорное поле кручения, определяемое условием Т(X,7) = VхY — V7х-[х,7], будет равно нулю.

В работе [1] векторные поля уО и ОН^, называемые вертикальновекторным и горизонтально-векторным поднятием аффинора О е 31(М) соответственно, в локальных координатах определяются условиями:

ТО = О/4 д1, (3)

GH Y = G/xl'af, (4)

и -і-}

гДе дН = д0 -ГрХ дР •

2. Коммутаторные соотношения

Прежде чем перейти к вычислению коммутаторов, введем операции і і і свертки о, о для тензорных полей Фє3г (М) (г > і), К є3і(М) по правилам: К оФ(Хі,X2,...,Хг) = К(Ф(ХьX2,...,Хг)),

Ф Ок (Хі, Х2,..., Хі,..., Хг) = Ф( Хі, Х2,..., К (Хі),..., Хг),

і Л

ФоХ(Хі,...,Хі-і, ,Хі+і,...,Хг) = Ф(Хі,...,Хі-і,Х,Хі+і,...,Хг), (5)

і Л

где Х,Хі,Х2,...,Хг є 30 (М), а знак означает пропущенный аргумент.

В естественных координатах равенства (5) будут иметь вид

(К о Ф)и д и = КР Фи д

1 ’ Ы2...}г и }\}2...}г

(Ф0К)/г . . ди = ФР. и .К^дР,

У '}\}2...}г и }\.2.. }г 1 Р

(ФОх)и . . . ди =фи . .. .Хіди. (5')

'}\•••}1-\}1+\•••}г и Л.-.і-і г. +і...}г и

Пусть Xє 30)(М), Фє 3^(М), тогда ковариантный дифференциал УХ является тензорным полем типа (і,і), а УФ - тензорным полем типа (і,2).

і 2 і Рассмотрим свертки УХ о К, УФ о К, УФ о К, где К є3і(М). На основании (5) получаем

УХ о К(ді) = УХ(К(ді)) = УХ(Киди) = КиУХ(ди) = КиУдиХрдР;

УФ 0 К (ді, д.) = УФ(К (ді), д .) =Уд . Ф(Ки д и) = КиУд . Ф(д и) = КиУд . Ф Рд р; УФ 2 К (ді, д }) = УФ((ді, К (д })) = УФ((ді, К* д и) =

= УК;и ди Ф(д) = КиУдиФРдР. (6)

Перейдем к нахождению коммутаторов [^С,уР], [^С,РН^], [РН^^],

где Р, С є 3^(М). Вычисления проведем, используя естественные локальные координаты на Т(М) . На основании равенства (2) имеем

[yG, yP] =

в;kxlkдk, .д' ]=G^'Pi!^ _ P^xGk 3k =

к . і

=(р/ - ріс) ) к =у [ р, в ].

Аналогично, используя равенства (2) и (3), получим

(7)

Gk xmд1 P.x.д° _ P.x.гP xsд1 = GkxmP.дG _д0GkpJXmX1 д1

Gmx1 дk,Pi x1дj Pi x11 .s-*! дp = Gmx1 Pk д. дiGmPi x1 )с1дk

_вi',P'/ГP^-xrxjЭp + p.j'г5fвPxfxjЭp _G^p/Гpsxj”xlsд1p = GXP/д» _ _(д fim,P/ + Гpk _P>^Gp + GikP/Гp)xk'xjap = G^'Pi х

х(д. _ Г^ixjap) _ V jвm|pJxk'xmд1p = (P о. G)HY _ VmG<jPm'xixkд1. (S)

Точно так же поступаем и при вычислении коммутатора применяя равенство (3):

;-л0 п J,ЛгР 1 Г'к ,т-\0 г^к „ш

pp.xi д; _ jp.xi г ^sxs дp, Gmxm эг _ Gmxr^xf д

= (P.д ■Gk

1 . m

pH 7, СЯ 7

-р. } - Сіі з.рк+О;/ грр ) хі хі д 0+(-р. д С+р. Г^ор+от, д Р --сіг}р) )Гі,хХп'Х\X?д^ + Р/°Г (-д}Г«? +3)^ + Г}Г«р - І)Г})<'х'х\д\ = =( р/ у }вкт - ОГУ р) хГхі (з о-г«;Хі> зі )+р/оГ,рЯ}хГх{:4 зі =

= (РУ}вкг - ОГУ}Рк)хГх'ЗН + Р'оГ^хГх'хР!, . (9)

В равенстве (8) набор функций УГв}Р)Г определяет тензорное поле типа (і,2) наМ. Положим, А}) = -У гпв1}РкГ . Разность

їв,РНY ] - (Р о в)Н = А^кх/х/3і = YY4

есть векторное поле на касательном расслоении Т(М). Докажем, что вид компонент этого векторного поля не зависит от выбора локальной системы координат.

Для этого предположим, что (п-і(К), Х0, х/ ) - другая локальная карта такая, что п-і(и) пп-1(К) ^0 . В локальной карте (и п V, Х) имеем:

■ ^ ■ дХк 3 / -1 -1 ■ Л

х1 = х1 (х3), 3і =—■---— . Поэтому на ( (и) пп (V),х0,х\ I для индуци-

7^к ' /

рованных координат на T(M) получим

x. _Ч-xk д1 _ X1 - _k Xl , д1 дxG

д1 _ 0 дxk у ' д у

д.X1 дxk

(G)

(1G)

Подставляя соотношения (\0) в YYA, будем иметь

Aikxjxf д) _ (A'k )(G, дІгГ дії*

дXG дXG

дx'

V У

(G)

дxq

V У

:(Ajk )(G)

дxj дxk дxq дxа дії* д^

xa-bд1 _ Aq xa-bд1 x1 x1 дд _ Aabx1 x1 дЧ.

(G)

На основании доказанного свойства можно ввести следующее Определение 2.1. Векторное поле YYA называется YY-лифтом тензорного поля А Є 3\2(М).

Из соотношений (6) и определения YY-лифта получаем, что имеет место следующая теорема

Теорема 2.1. Для любых Р, в є 3\(М)

YG, PH y

_ (P о G)

H y.

-YY

0 2 у

VG о P

(11)

3. Дальнейшие свойства YY-лифтов тензорных полей типа (1,2)

Рассмотрим новые свойства YY-лифтов тензорных полей типа (1,2).

Теорема 3.1. Для любых X е 30 (М), А е 32(М)

1 2 ^х (1) YYA = Y( А ° X + А ° X);

(12)

(1З)

Ьх (о) = 7У( ^хА).

Доказательство. Так как X(0),X(і), YYA - векторные поля, то производная Ли Ьх YYA = [X, YYA] вдоль векторного поля X от векторного поля

YYA есть скобка Ли [X, YYA]. В частности, Ьу(0) YyA = [X(0), YYA] и

Ьх(\) ^ = [X(і), YYA]. Из определения коммутатора векторных полей

имеем

Lx(1) YYa _ ГxGд1, Л xlkді 1 _ xG (( + Aki) x1k)m _ Y

0 1 2 у

A о X + A о X

Lx(G) yyA _ xGдG + X1 э) , ArjkXІXm д1п

_(xG ^ Ak +д GGxGAJ +

+дGkXA _д0XjA)k) x^fд" _YY(LxA).

Теорема 3.2. Для любых X єЗG(M), A єЗ^^) справедливы тожде-

ства:

vX0J) YYA _T(A о X + A о X),

V(G)0) yyA _YY(VxA + A о VX + A ° VX),

(14)

(15)

Доказательство этих тождеств проведем, используя естественные локальные координаты на Т(М).

На основании определений вертикального и полного лифта векторных полей, а также полного лифта линейной связности У будем иметь

vX>) yya xf дк _ XG (Akxl+Afx pm _

7(0) Am x.xkд1 _ xi I Amxk + Am.xJ'b1

X 0дГ

О l

2 у

АоX + A оX

V(°™YYA _ vX^g^^А".дк _X0(д0AkkxlJkд" + AkkxixikГ^

+

+

+X/ ((1, + Л^ dl,) = X0 (Э»Apt + Л, Г,) x/xf 3^ + d? Xjx/xf (ЛЦ +AP)э? = X?(д?Л? + Л,Г, + (vf X? -X?Г?)(Л?к + Л?))x/xfd? =

= (X?vi01 Л/f + vfX? Л? + V<0)X? Af) x/xfd? = YY

Теорема 3.3. Для любых X e 3?(M), Л е З2 (M) имеют место тождества:

V(0) X(1) = 0-

ууЛ ’

vfy X(0) =YY(VX о Л).

О 1 2 у

V x А + А о VX + А о VX

v У

Доказательство. Так как T(tyA,X(1)) _ 0, то

v(0A X(1) _ v(G) x (1) yya+Г tyA, X(1)'

На основании равенств (12), (14) получим

С X(11 _Т

О 1

2 у

А о X + А о X

О 1

_Y

2 у

А о X + А о X

_ 0.

Аналогично доказывается второе равенство. Так как T(ууЛ,X(0)) = 0, то V!;?,X(0) = V(0)x(0)ууЛ + [ууЛ,X(0)]. Используя теоремы 3.1 и 3.2, будем

YYA"

иметь

v(0AX(G) _ YY

О 1 2 у

V x А + А о VX + А о VX

_YY(lxA) _YY

О 1

V x А + А о VX +

1

Л

+А о VX - V x А _ А о VX - А о VX + VX о А

_ YY(VX о А).

4. Лифт Yг тензорных полей типа (1, г) и его свойства

Лифты Y, YY = Y2 можно распространить на общий случай, рассматривая отображение Yr : 3Г (М) ^ 30(^(М)), которое в локальных координатах

определим как

YrG _ G1. .x/1...x/r д)

J)..J r

(1б)

для любого тензорного поля в типа (\, г).

Для этого предварительно нужно убедиться, что выражение, стоящее в правой части равенства (16), не зависит от выбора локальной системы координат.

Пусть (п \^), Х0, х/) - другая локальная карта такая, что

(п 1 (U) п п 1 (V) Ф 0 . Используя формулы (2) и подставляя их в Y’G . получим

_-1/

Gl. . x/i ...xfr д) _(Gl. .) ^ xmai... —X^0—Xjar

J) . J. 1 1 \ A . J. /(0) дx(al 1 дж^

одxq у о - у(1)

(0)

дxq

_!G1. .

Jf . Jr /(0)

О дxG1 дxGr дxq ^

v дxo1 дxor дx' у

xmai .....Xfarді _Gq xmai .....xmarді.

1 1 q am...ar 1 1 q

(0)

Доказанное свойство позволяет ввести следующее определение. Определение 4.1. Векторное поле YrG, определенное условием (16), называется Yr -лифтом тензорного поля О е3Г (М).

Перейдем к изучению свойств YГ - лифтов.

Теорема 4.1. Для любых X е 30(М), О е 3Г (М)

,12 г

Ьх 0) Y гО = Yг -1(О ° X + О ° X +... + О ° X);

Lx(0)YrG _ Yr (LxG).

Доказательство:

LX (1) YG=Г X(1), y3G ]=[ Xq д\, G' //...xj э1

+Gl. . ) x!...xf -1э1 = уr-1

J/.Jr-l9 ' 11 1 '

L0

= Xq (G\ . + G1.

q/1...Jr-1 j\qj2...jr-i

+

( 1 2 r

G о X + G о X +... + G о X

LX (?) у rG=[ X(0), у rG ]=[ Xq э 0 + Xq aq, j ^...xj э1 ]=( xq э 0G

J1...Jr

+

+ЭС) XqG\ . +d0 XqG\ . . +Э° XIg/ . -d0aX0Gq ■ )^...xjal =

0 q.2... /r /2 0 . iU3.... . 0 .1.../ r-iq 4. 4 //.../r / 1 1 Ч.

/1 0 4/2./ 72 0 У14/3...Л 7 г 0 Л-/г-14

= (ХхО) ^...х/ =/(^хО).

Теорема 4.2. Для любых X е 30(М), О е 3]. (М) справедливы тожде-

ства:

V^J) у G = / ■-1

( 1 2 r ^

G о X + G о X +... + G о X

V

У

V^) у rG =уr

( 1 r ^

V xG + G о VX +... + G о VX

v /

Доказательство этих тождеств проведем, используя локальные координаты на Т(М):

V(0)1) уrG = V(0q 1 G^ . x/1 ...x/r э1 = Xq (G . . + G1

x(1)' Xqaq Jl...Jr 1 1 1 0 \ qj/.jr-i j

+G1 . ) x/1 x/2...x/r-1Э1 =уr-1

J/...J r-lW 11 1 11

/iq/ 2..J r-i

( i 2 r ^

G о X + G о X +... + G о X

+

V(0) Yg = V(0)

x(0) у .x qaq +xqa

q 1 G1. . x/1 ...x/r Э/ =(xq (d0qG1 . +Gp . rq?)

p1 J1. .Jr 1 1 1 \ 0\ q ji...jr ji...jr qpl

+

+Э0 xq (G1. . ++G1

+ G1.

q/i...jr-i Jiq/2...Jr-i Ji.Jrq

x/! ...x/ d1 =

=(xq(aqG1 . + gp . rqp )+(v0 xq, -xpr1. Hg1. . + g\

0

0\ q J1..Jr J1..J'r qPl \ Jr 0 0 PJrlX qjl.j'r-1 JlWl.Jr-1

+

( 12 r

V xG + G о VX + G о VX +... + G о VX

Теорема 4.3. Для любых X е 30(М), О е 3], (М) имеют место тожде-

ства:

то

V(G) X(1) _ 0;

YrG

V(0} X(G) _Yr(VXоG).

Y G

Доказательство. Так как T((rG,X(1)) _ 0 .

то

V(GGx(1) _V(G)x(1)YrG + [yrG,Xі

Y G x

(1)

На основании теорем 4.1 и 4.2 получим

V(G) X(1) _ Yr-)

(G '

О 1

2 у

G о X +... + G о X

-1

О 1

2 у

G о X +... + G о X

_ 0.

Аналогично доказывается второе равенство. Так как TYG,X(0)) = 0,

V(G} x(G) _V(G) x (0) (rG + Г С G, X(0)

(rG x L

Используя теоремы 4.1 и 4.2, будем иметь ^ 1 r ^

(0) x(0) _(r

y. G

Y

V xG + G о VX +... + А о VX

1

Y (LxG) _ (

О i

V xG + G о VX +

Л

+... + G о VX - V xG - G о VX -... - G о VX + VX о G

_ (r (VX о G).

Список литературы

1. Yano, K. Tangent and Cotangent Bundles / K. Yano and S. Ishihara // Marcel Dek-ker, Inc. - New York, 1973. - P. 12-25.

2. Султанов, А. Я. Инфинитезимальные аффинные преобразования расслоения линейных реперов со связностью полного лифта / А. Я. Султанов // Труды геометрического семинара. - Вып. 22. - Казань : Изд-во Казан. ун-та, 1994. -С. 78-88.

3. Шадыев, X. Аффинная коллинеация синектической связности в касательном расслоении / Х. Шадыев // Труды геометрического семинара. - Вып. 16. - Казань : Изд-во Казан. ун-та, 1984. - C. 117-127.

References

1. Yano K. and Ishihara S. Marcel Dek-ker, Inc. New York, 1973, pp. 12-25.

2. Sultanov A. Ya. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of the seminar on geometry]. Issue 22. Kazan': Izd-vo Kazan. un-ta, 1994, pp. 78-88.

3. Shadyev X. Trudy geometricheskogo seminara [Proceedings of the seminar on geometry]. Issue 16. Kazan': Izd-vo Kazan. un-ta, 1984, pp. 117-127.

Султанова Галия Алиевна аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

УДК 514.76 Султанова, Г. А.

Некоторые лифты тензорных полей типа (1, г) c базы в его касательное расслоение / Г. А. Султанова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). -С.54-64.

Sultanova Galiya Alievna Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)