CC BY
35
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.76
ГОЛОМОРФНЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ И ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ф.Р. Гайпуллип, В. В. Шуръшт
Аннотация
Касательное расслоение второго порядка Т 2М себе структуру гладкого многообразия над алгеброй Ще2) срезанных многочленов степени 2. Всякое сечение а расслоения Т 2М
Т : Т2М ^ Т2М. Получены условия, выраженные в терминах производных Ли тензорных полей и объекта линейной связности, при которых И,(£ )-гладкое тензорное поле и И,(£ )-гладкая линейная связность на Т 2М могут быть переведены диффеоморфиз-Т
задаппых па М.
Ключевые слова: касательное расслоение второго порядка, лифт лилейной связности, лифт тензорного поля, голоморфная связность, производная Ли.
Введение
А.П. Широковым [1] было показано, что касательные расслоения высших порядков Т ГМ, г = 2,3,..., гладкого многообразия М размерности п несут на себе естественные структуры п-мерных гладких многообразий Мк(е ) над алгебрами плюральных чисел (срезанных многочленов) И.(£г). Использование указанных структур позволило получить простой вариант изложения теории лифтов тензорных полей и линейных связностей с многообразия М та расслоения Тг М, построенной А. Моримото [2]. и ввести в рассмотрение лифты более общего типа. так называемые сннектнческне расширения полных лифтов, представляющие собой реализации И(ег)-гладких (голоморфных над алгеброй И(ег)) тензорных полей и связностей [3].
В работе [4] А.П. Широковым было доказано, что реализация И(е)-гладкой метрики
(хк дкдц + ац дц\
V дц 0 )
па касательном расслоении ТМ ({аск} - слоевые координаты) эквивалентна метрике полного лифта (ац = 0) тогда и только тогда, когда ац = Су дц для некоторого векторного поля «на М. Целью настоящей работы является нахождение условий, при которых Ще2) -гладкие тензорные поля и линейные связности на касательном расслоении второго порядка Т2М эквивалентны Ще2)-продолжениям соответственно некоторых тензорных полей и линейных связностей, заданных на М
касательных расслоений Тг М более высоких порядков, а также для полу касательных расслоений, теория которых была развита В.В. Вишневским [5].
1. Касательные расслоения второго порядка
Пусть М - гладкое многообразие размерности п. Касательный вектор к многообразию М в точке ж0 € М представляет собой класс эквивалентности гладких кривых
7 :(а,6) Э г ^ 7(¿) € М, 0 € (а, 6) С И, (1)
проходящих через точку ж^и г = 0 (то ееть 7(0) = ж0), относительно следующего отношения эквивалентности: 71 ~ 72 ^^ ¿(Л® о71)/Л|о = ¿(Л®о72)/^г|о,где Л : и Э ж ^ {ж® = Л® (ж)} € и * С И", и Э ж0, - некоторая карта из атласа на М. Класс эквивалентности V = [7] = [7называется касательным вектором М в точке ж0. Числа V® = ¿(Л® о 7)/¿г10 называются координатами вектора V. Множество ТХМ касательных векторов к М в точке ж называется касательным пространством к М в точке ж. На множестве ТМ = и ТХМ всех касательных векторов к
xем
М индуцируется структура гладкого 2п-мерного многообразия, расслоенного над ММ Структура гладкого многообразия на ТМ задается следующим образом. Пусть По : ТМ Э vx ^ ж € М - отображение, относящее вектору vx € ТхМ точку ж € М. Карта (и, Л) го атласа на М индуцирует карту
Л1 : (п0о)-1(и) Э Vx ^ {ж®, ж®} € и * х И"
на ТМ, где {ж ®} - координаты век тора vx в карт е (и, Л). Преобразованиям координат Н'оН-1 та пересечении областей определения иП и' тарт (и, Л) и (и', Л') па М, имеющим вид ж® = /® (ж®), на ТМ соответствуют преобразования координат (Л')1 о (Л1)-1, имеющие вид
ж®' = / ®' (ж®), ж ®' = (д, / ®' ^, (2)
' д/®'
где использовано обозначение д, /® = ——-.
дж^
Каноническая проекция п1° : ТМ ^ М является гладким отображением, из
ТМ
альным расслоением над М со стандартным слоем И".
ТМ п
гообразия над алгеброй дуальных чисел И(е), то есть алгеброй размерности два над И, элементы которой имеют вид а + 6е, а, 6 € И, а умножение определяется условием е2 = 0. Алгебр а И(е) может также рассматриваться как алгебра срезанных многочленов степени, меньшей или равной 1, от одной переменной, то есть как фактор-алгебра алгебры многочленов от одной переменной И [г] по главному идеалу г2И[г] многочленов, кратных квадрату г2 переменной г. Структура многообразия над И(е) на ТМ задается атласом, получающимся заменой карт ((п°)-1(и), Л1) на И(е)"-карты (карты со значениями в модуле И(е)") [1, 6]
Л^) : (п°°)-1(и) Э Vx ^ {X® = ж® + еж®} € И(е)".
Преобразования И(е)-координат {X® = ж® + еж®} на ТМ, соответствующие преобразованиям координат (2), имеют вид
ж®' + еж ®' = / ®' (ж®) + е(д, / ®' ^ (3)
и являются И(е)-гладкими.
Требуя, чтобы у функций Л® о 71 и Л® о 72, задающих кривые 71 и 72 вида (1), совпадали в нуле не только первые производные ¿(Л® о 71)/Л|о = ¿(Л® о 72)/А|о, но еще и вторые производные ¿2(Л® о ^1)/|о = ¿2(Л® о 72)/^2|о, получим новое отношение эквивалентности ~ 2 та множестве кривых (1) па М. Отношение эквивалентности ~ 2 та зависит от выбора карты (и, Л) на М. Класс эквивалентности [7 ]2 криво й 7 та отношению эквивале нтности ~ 2 называет ся 2-струей кри вой 7 и обозначается ¿Ж0 7. Мы будем также называть класс [7]2 2-касательным вектором в точке хо € М.
Пусть Т^М — множество 2-касательных векторов к М в точке ж. На множестве Т 2М = и Т2М все х 2-касательных векто ров к М индуцируется структура жем
3п М 2
М
Эта структура задается следующим образом. Пусть п^ : Т2М Э X = ^ х € М - отображение, относящее 2-касательному век тору X € Т2М точку х € М. Карта (и, Л) та атласа на М индуцирует карту
Л2 : (п2)-1(и) Э X = ¿27 ^ {ж®, X ®,Х®} € и * х И2"
на Т2М, где X® = ¿(Л® о7)/Л|0, X® = 1 ¿2(Л® о7)/^2|0. Преобразованиям координат
Л' о Л-1 та пересечении областей определения и П и' тарт (и, Л) и (и', Л') на М, имеющим вид ж® = /® (х®), на Т2М соответствуют преобразования координат (Л')2 о (Л2)-1, имеющие вид:
X®' = /®' (X®), X®' = (дц /®' )Хц, X®' = (дц /®' )Хц + 1(д2к /®' )хц ххк, (4)
где использованы обозначения
дц / ®' = д/®'/дхц, д2к / ®' = д2/®'/дхц дхк. (5)
Обозначения для частных производных вида (5) в дальнейшем используются без специальных оговорок.
Каноническая проекция п2 : Т2М ^ М является гладким отображением,
Т2 М
расслоением над М то стандартным слоем И2". Имеется еще одна каноническая проекция п2 : Т2М ^ ТМ, п2 : [7]2 ^ [7]1, также являющаяся гладким отображе-
п12
ное расслоение Т2М тад ТМ то стандартным слоем И". Кроме того, расслоение п2 : Т2М ^ ТМ являете аффинным расслоением, то есть п2 : Т2М ^ ТМ является расслоением со структурной группой группой аффинных преобразований пространства И". На каждом слое этого расслоения при этом возникает естественная структура аффинного пространства.
Т2 М п
над алгеброй триальных чисел И(е2), то есть алгеброй размерности три над И, элементы которой имеют вид а + 6е + се2, а, 6, с € И, а умножение определяется условием е3 = 0. Алгебр а И(е2) может также рассматриваться как алгебра сре-
2
как фактор-алгебра алгебры многочленов от одной переменной И[£] по главному-идеалу ¿3И[£] многочленов, кратных третьей степени ¿3 переменной Структура многообразия над И(е2) на Т2М задается атласом, получающимся заменой карт ((п^)-1(и), Л2) па И(е2)"-карты (карты то значениями в модуле И(е2)") [1, 6]
Лк(е2) : (п1)-1(и) Э «ж ^ {X® = х® + ех® + е2х®} € И(е2)".
Преобразования И(е2)-координат {Xг = жг+ежг +е2жг} на Т2М, соответствующие преобразованиям координат (4). имеют вид
ж®' + еХг' + ежг' = /г' (жг) + е(д* /г' )Ж' + е2 ^ (д* /г' )ж* + 1(д2к /г' )ж* ж^ (6)
и являются И(е2)-гладкими.
Расслоение Т2И" естественно отождествляется с И(е2)-модулем И(е2)". При этом проекция п2 : Т2 И, ^ И отождествляется с проекцией
: И(е2)" Э {Xг = жг + жге + жге2} ^ {жг} е И".
Пусть и С И" - открытое подмножество. Произвольная Д(е2)-гладкая функция
Т : (п2)-1(и) Э {Xг} ^ У = Т(Xг) е И(е2)
п аргументов из алгебры И(е2) имеет следующий вид (см., например, [7]):
Т(Xг) = /(жг)+ е (ж*д*/ + 3(жг)) + е2 (ж*д*/ + 1 ж*жкд2й/ + ж*д*+ ^(жг)) . (7)
Можно считать, что И" С И(е2)" и и С (п^)-1(и). Тогда функция Т, заданная уравнениями (7), полностью определяется своим ограничением То = Т |И", Т0(жг) = /(жг) + е^(жг) + е2Л.(жг), на и С И". При этом функция Т называется И(е2)-продолжением фупкции То. В частноети, И(е2)-продолжение вещественной гладкой функции / : и ^ И у = / (жг), имеет вид
Т(Xг) = /(жг) + еж*д*/ + е2 (ж*д*/ + 2ж*ж*д?к/) . (8)
И(е2)-продолжения вещественных гладких функций обладают следующими легко проверяемыми свойствами [7].
/ /1 /2 и С И "
а Т, Т1 и Т2 - функцнй /, /1 и /2 соответственно. Тогда
И(е2^функций а/, /1 + /2, /1 • /2 и дг/, где а е И, являются соответственно функции аТ, Т1+Т2, Т1/Т2 и дгТ = дТ/дXг (частная производная И(е2)-гладкой функции Т, см., например, [7]). Кроме того, И(е2)-продолжением композиции ^ о ф вещественных гладких отображений ^ : V ^ ^ и ф : и ^ V, и С И", V С Ит, ^ С Ик, является компознцпя Ф о Ф И(е2) -продолжений Ф и Ф отображений ^ и ф.
Понятия И(е2)-продолжений гладких отображений естественно распространяется на случай гладких отображений между гладкими многообразиями / : М ^ ^ М' и гладких отображений вида / : М ^ Т2М', а именно: имеется каноническое вложение
г : М Э ж ^ ^2ж е Т2М (9)
многообразия М в расслоение Т2М, относящее каждой точке ж е М 2-струю ^'2ж кривой ж : (-а, а) ^ М постоянного отображения ж(£) = ж. Вложение (9) является сечением расслоения п2 : Т2М ^ М, называемым нулевым сечением расслоения Т2М. Образ г(М) С Т2М будем отождествлять с многообразием М. Для всякого гладкого отображения / : М ^ Т2М' существует единственное И(е2)-гладкое отображение /к(е ) : Т2М ^ Т2М', совпадающее с / на М. Отображение /к(е )
называется И(е2)-продолжением отображения /. Если / задается в локальных картах (и, Л) на М и ((п2)-1(и'), (Л/)к(е )) на Т2М' уравнениями
Уа = / а(х4) + еда(х4)+ £2Ла(х4), (10)
то /к(е2) в локальных картах ((п2)-1(и),Лк(е2)) и ((п2)-1(и'), (Л/)к(е2)) имеет уравнения
Уа = /а(х4) + е (Хддд/а + да(ж4)) +
+ е2 дд/а + 2ХХкд2к/а + Хдддда + Ла(х4)^ . (И)
Очевидно, что всякое К(е2)-гладкое отображение Р : Т2М ^ Т2М' является И(е2)-продолжением ограничения / = Р|М отображения Р на подмногообра-М
В частности, всякое сечение а : М ^ Т2М единственным образом продолжается до И(е2)-диффеоморфизма ак(е ) : Т2М ^ Т2М. Четкий И(е2)-диффеоморфизм Р : Т2М ^ Т2М такой, что диаграмма
Т2М Р : Т2М
'21 (12) М ^ : М
коммутативна, является И(е2)-продолжением некоторого сечения а : М ^ Т2М, а именно сечения а = Р о г, являющегося композицией Р и пулевого сечения (9). Если а имеет уравнения
у4 + еу4 + е2у4 = х4 + ед4(хк) + е2Л4(хк), (13)
то Р = аа(е ) имеет уравнения
у4 + еу4 + е2у4 = х4 + е (Х4 + д4(хк)) + е2 (Х4 + Хдддд4 + Л4(хк)) . (14)
В уравнениях (13) и (14) функции д4 являются координатами некоторого векторного поля д на многообразии М - сечения я"2 о а : М ^ ТМ касательного
М
И(е2) -продолжение гладкого отображения / : М ^
^ М' совпадает с отображением Т2/, представляющим собой результат применения функтора Т2 (функтора Вейля, соответствующе го алгебре Ще2), см. [8]) к /
Предложение 1. Пусть д : М ^ ТМ - сеченис касательного расслоения многообразия М, имеющее в локальных координатах уравнения Х4 = д4 (хк). Тогда уравнениями
= д4, х4 = 1 дкдй д4 (15)
задается сечение д(2) : М ^ Т2М касательного расслоения второго порядка мно-М
Доказательство. Для доказательства этого утверждения достаточно подставить уравнения (15) в формулы преобразования координат (4) на Т2М и убедиться в том, что уравнениями (15) для всякого х € М задается не зависящий от выбора системы координат на М элемент расслоения Т2М. С другой стороны, если
® г/+\ ®
х® = улг) - траектория потока векторного поля д, то, очевидно, —— = д® и
от
® гп
"Ж = дк дкд®' п
Предложение 2. Пусть а : М ^ Т2М - сечение касательного расслоения
М
X® = д®(хк), х® = Л®(хк). Тогда уравнениями
Хг = - 2д^дг (16)
задается сечение и : М ^ ТМ касательного расслоения многообразия М.
Доказательство. Как было отмечено выше, проекция п2 : Т2М ^ ТМ определяет аффинное расслоение, функции склейки которого задаются уравнениями (4):
ж®' = ф /®' + 2(52й /®' *к.
Функции склейки ассоциированного с этим расслоением векторного расслоения р : Е ^ ТМ имеют вид
/ = ф/®' . (17)
Таким образом, расслоение р : Е ^ ТМ представляет собой обратный образ [8, 9] расслоения п^ : ТМ ^ М то отношению к отображению п^ : ТМ ^ М:
(пд)-1(ТМ) -► ТМ
ТМ "" : М.
Из уравнений (17) также следует, что проекция рЕ = п1 о р : Е ^ М определяет векторное расслоение, изоморфное сумме Уитни ТМ © ТМ. Слой (п2)-1(Х(1)), € ТМ, аффинного расслоения п2 : Т2М ^ ТМ является аффинным пространством, и два элемента из этого слоя (п2) 1(Х(1)), имеющие координаты {х®,ж®,ж®} и {х®,ж®,у®} соответственно, определяют вектор с началом в точке X(2) и концом в точке У(2) — элемент ^ с координатами {х®, ж®, г® = у® — ж®} из слоя (р)-1(Х(1)) расслоения р : Е ^ ТМ. Этот элемент ^ принадлежит слою (рЕ )-1(х), х = п^Х(1)), расслоения рЕ : Е ^ Ми представляет собой пару векторов из касательного пространства ТХМ с координатами {ж®} и {г® = у® — ж®}. В результате получаем, что сечение а : М ^ Т2М определяет два векторных поля: поле д с уравнениями ж® = д®(хк) и поле и с уравнениями ж® = и®(хк) =
= — 1 д^ д®. □
а Т2 М
{д, и}
2. И(е2)-гладкие тензорные поля на Т2М
И(е2) -гладкое тензорное поле типа (р, д) на касательном расслоении второго порядка Т2М задается И(е2)-гладкими функциями
тК: (хк) =3 - - -3 (хк)+е (*к ^ - - -л+¿л - - -л (** )) +
+ г2 (- --х )*к + 1(3 - -.х )ж3 + (д^; - - х )х к + % - --х (хк)) (19)
И(е2)-координат {Xг = ж® + ежг + е2жг}, которые на пересечении областей определения И.(£2)-карт связаны соотношениями [3]
Тг; ■ ■ ■ г: = Тг; - - - % дг; Xг ; ... дг Xг:д3 X3 ; ... д3 X3. (20)
3 1 --л, л--х г; г: 3 х '
Из отмеченных выше свойств Ще2) -продолжений вещественных гладких функций следует, что И(е2)-продолжения
% 3 = 3 ■■ ■■ -3 + ежк дк*3; ■■ ■■ -3 + е2 ((дк ¿3; ■■ ■■ -3 )жк + 2 (д2й - - 3 )ж жк) (21)
координатных функций ¿Л ■ ■ ■ (хк) гладкого тензорного поля заданного на многообразии М, определяют К(е2)-гладкое тензорное поле па расслоении Т2М. Это К(е2)-гладкое тензорное поле называется И(е2)-продолжением векторного поля
Предложение 3 [3]. Пусть на касательном расслоении второго порядка Т2М задано К,(е2)-гладкое тензорное поле Т, имеющее уравнения (19) в локальных К(е2) -координатах. Тогда функции
(хк) £3;3 (хк) « ¿3; (хк)
задают некоторые тензорные поля t, £ и £ соответственно на многообразии М.
Для доказательства этого предложения достаточно подставить уравнения (19) и (21) в формулы преобразования локальных И(е2)-координат тензорных полей (20) и сравнить вещественные части выражений в левой и правой частях полученных равенств.
Тензорные поля £ и £ на М будем называть ассоциированными с И(е2)-
Т
Напомним понятие производной Ли тензорного поля 1 на гладком многообразии, которое потребуется для формулировки следующей теоремы.
Пусть па гладком многообразии М заданы тензорное поле £ типа (р, д) и векторное поле £ с компонентами ¿Л ■ ■ ■ ^¡(^) и £г(жк) соответственно по отношению к некоторой локальной системе координат. Тогда производная Ли тензорного поля £ в направлении векторного поля £ представляет собой тензорное поле £ типа (р, д) с компонентами [10]
А ¿3; - - - 3=£кдк ¿3; - - - 3 - ¿к --л, дк £г 1 -... - ¿3; ■■ ■■ 3,£г:+
+ С- ■ ■ 3, дл ; £к + ... + ¿3; - - -г: д„ £к. (22)
Для векторного поля V и ковекторного поля т соответственно формула (22) принимает вид
= £кддУ - vfcдfc£г, (23)
£? ^3 = £к д^- + ^3 £к. (24)
Теорема 1. При И(е2) -диффеоморфизме Т : Т2М ^ Т2М, порождаемом сечением а : М ^ Т2М с ассоциированной парой векторных полей {д,и}, Ще2)-гладкое тензорное поле Т тип а (р, д) с ассоциированными тензорны ми полями £,
£ , £ переходи т в К(е2) -гладкое тензорно е поле Б тип а (р, д) с ассоциированными тензорными полями
в — £, 5 — £ ^^5 — £ ^^£ | 2^^^^
Доказательство. Формулы (25) имеют локальный характер, поэтому можно
Т
векторных и ковекторных полей. Таким образом, на основании метода математической индукции достаточно проверить формулы (25) для векторных и ковекторных полей н показать, что если указанные формулы имеют место для некоторых тензорных полей, то они также имеют место и для суммы этих полей (при условии, что сумма определена), и для их тензорного произведения. Начнем доказательство теоремы с доказательства второго из сформулированных утверждений.
Лемма 1. Пусть утверждение теоремы 1 выполняется для К(е2) -гладких тензорных полей Т и Т' тип а (р, д), тогда оно выполняется и для тензорного поля Ш = Т + Т'.
Доказательство леммы 1. Дифференцирование Ли £„ в направлении фиксированного векторного поля является дифференцированием тензорной алгебры Т(М) многообразия М [11], поэтому для доказательства леммы достаточно проверить, что для ассоциированных вещественных тензорных полей из предложения 3 выполняются соотношения й = £ + £', й = £ + £', й = £ + £', справедливость которых с очевидностью следует из (19).
□
Лемма 2. Пусть при К(е2)-диффеоморфизме Т : Т2М ^ Т2М, порождае-а: М ^ Т2М, К(е2)-гло(?кме тензорные поля Т и Б переходят, соответственно в К(е2) -гладкие тензорные поля Т 'и Б' и при этом соответствующие ассоциированные вещественные тензорные поля связаны соотношениями (25). Тогда вещественные тензорные поля, ассоциированные с К(е2) -гладкими тензорными полями Ш = Т < Б и Ш' = Т' < Б' также связаны соотношениями (25).
Доказательство леммы 2. Из формул (19), записанных для К(е2)-гладкнх тензорных полей Т, Б и Ш = Т < Б, следует, что вещественные тензорные поля, ассоциированные с Т, Б и Ш = Т < Б, связаны следующими соотношениями:
й = £ < в, й = £ < в + £ <5 , й = £ < в + £ <5 + £ .
Таким образом, для тензорных полей й', й' и й' получаем следующие представления (для упрощения записи опускаем знаки тензорного произведения при выводе соотношений для й' и й'):
й' = £' < в' = £ < в = й,
й' = £'в + £5 ' = (5 — £3 £)в + £(5 — £3 в) =
= £ в + £ 5 — (£3 £)в — £(£3 в) = £ в + £ 5 — £3 (£ в) = й — £3 й.
й' = + й' + ' = - £„4 - £д£ + 2£д£д^ в+
+ 4 (в - £„в - £д£ + 2 £д £д ^ + (£ - £д - £д в) =
= 4 в + 4 в - (£д4 )в - ¿(£дв) - £„(4 в) + 1 £д£д(4 в ) + £ в - 4 (£дв )-
- (£д- £д£д(4 в) = й - £дй - £„й + 2£д£дй.
Лемма 2 доказана.
□
Покажем теперь, что формулы (25) имеют место для векторных полей. Пусть на Т2М задано произвольное И(е2)-гладкое векторное поле V с уравнениями V4 = V®(Х3) в локальных И(е2)-координатах. При И(е2)-гладком диффеоморфизме Р : Т2М ^ Т2М, X ^ У = Р(X), порождаемом сечением а и имеющем в И(е2) -координатах уравнения У4 = Р®(Х3) вида (14), векторное поле V переходит в векторное поле W, имеющее уравнения
яу 4 л Р 4 д Р 4
Wг(Y') = 5X7 V3 (X к) = дХ7 V3 (X к) = — V3 (X к). (26)
Векторные поля Vг и Wг имеют в рассматриваемых локальных Ще2) -координатах следующий вид:
V ^3) = ^(ж3) + е(ж3 д3 V4 + V 4 (ж3))+
+ е2 Г 2(д32к ^)Х3 ж к + (дд- ^)Х3 + (дд- V 4)Х3 + V 4(ж3 Л (27)
W ^3) = й4(ж3) + е(ж3 д3 + йг(х3))+
+ е2( ^к * + (д, »V + (д,й-)х3 + ¿V)) (28)
Из (14) находим выражения для частных производных:
дУг д Рг
5X3 = = <3 + ед3^ + е2(аХ* д|3 д4 + д3 П (29)
Подставляя в правую часть равенства (26) выражение (27) для векторного поля V в точке X и формулы (29) для частных производных д3-Р% получим следующие выражения для векторного поля ^ ^ точке У = Р(X):
Wi(У3) = (<3 + ед3 д4 + е2(Хк д23 д4 + д3- ^))х
х (V + е(жтдт«3 + V3) + е2 1 хтд2тV3 + Хтдт«3 + жтдт£ + =
/ + ф3д3д4 + Хтдт^ + + е2 (жVд|3д4 + V3д3йЧ
Хт(дт«3)д3-д4 + £3д3-д4 + Хтдт^ + 2жкХтд2т^ + Хтдтг) 4 + ¿Л . (30)
Формула (30) представляет собой выражение координат вектора Ш в точке У как функций координат точки X = Т-1(У). Для нахождения выражения координат вектора Ш (У) как функций точки У надо подставить в (30) выражения
Ж + ех4 + е2Х® = у® + е(у® - 5®) + е2(у® - (/ - /)дй5® - Л®), (31)
представляющие собой уравнения X® = С® (У*) для обратного отображения О = = Т-1 : Т2М ^ Т2М. Осуществив указанную подстановку, получим
Ш® = V® + е(^'д*5® + (у/т - + V ®)+
+ е2 ((ук - /У+ Л® + (у/т - ^(д^*)д*5® + )5®+ + (Ут - (Ук - - Лт)дт«Ч
+1 (/ - /)(Ут - + (у/т - ® + V ®) . (32)
Формулой (32) выражаются координаты векторного поля Ш® в произвольной точке {У®} расслоения Т2М. Возьмем в качестве такой точки точку X с координатами {X®} и сравним полученное выражение с (28). Сравнение коэффициентов при е показывает, что
й® = г) ® - + д*5®. (33)
Обратное выражение имеет следующий вид:
г® = й® + дтдт-у® - V*д*5®. (34)
е2
й® = )® + д*Л® - + й*д*5® - 5тдтй®-
- )д*5® + £т(дтй)д*5® + 1 (35)
Подставляя в (35) выражение Л® = и® - 1 дтдтд® из (16) и группируя слагаемые, учитывая выражение (23) для производной Ли векторного поля, а также соответствующее выражение для второй производной Ли £и£„г1®, получим желаемое соотношение
1
Остается убедиться в том, что формулы (25) имеют место для ковекторных полей.
Пусть на Т2М задано произвольное И(е2)-гладкое ковекторное поле V с уравнениями V = Р®^*) в локальных И(е2) -координатах. При И(е2)-гладком диффеоморфизме Т : Т2М ^ Т2М, имеющем уравнения У® = F®(Xj) вида (14), ковекторное поле V переходит в ковекторное поле Ш, имеющее уравнения
ду ® дО® дО®
(X к) = 5У7 Р®(У') = ^ Р®(Ук) = V® (Ук). (36)
Ковекторные поля V и Ш® имеют в рассматриваемых локальных Ще2) -координатах следующий вид:
V®(Xj) = V® (Х ) + е(Х* д* V® + )®(Х ))+
+ е2 ^ 2Х Х' д2к V® + Х* д*V® + Х д* )® + V ®(Х , (37)
V ® - £иг® - £й® + -££V®.
Шг(Х3) = юг(х3) + £(¿3 д юг + ■¿(х3))+
+ £2 ^ 1 ж+ X3д3юг + X3д3Юг + Юг(х3. (38)
Из формул (31) для диффеоморфизма О получаем следующие выражения для частных производных функций Xг = Ог(У3):
дХ г дО®
= ^ = <3 - £дд+ £2(-укд%дг + дд (дкдкдг) — д3 V) (39)
Используя векторное поле иг = Нг — -дтдтдг, перепишем (39) в следующем виде: дХ г 1
_ = — £д3дг + £2(—укд23дг + -д3 (дкдкдг) — д3иг). (40)
Подставляя в правую часть равенства (36) выражение (37) для ковекторного поля V в точке X и выражения (40) для частных производных д3 Ог, получим следующие выражения для ковекторного поля Ш в точке У = Е (X):
Щ(Ук) = (¿5 — £д3дг + £2 (—укд23дг + 1 д(дкдкдг) — д3и^ х
х (уг + £(:^тдт«г + V) + £2 ( -XкХтд2ктУг + Хтдт«г + (дтйг)Хт + «г ) ) . (41)
1
Подставляя в (41) формулы (31). записанные в виде
Хг = уг — дг, Хг = уг — ук дкдг + - д кдкдг — и1,
учитывая выражение (24) для производной Ли Сиюг ковекторного поля, а также соответствующее выражение для второй производной Ли СиСиюг, после сравнения полученного результата с выражением (38) для поля Шг в точке У с координатами
Уг
■г = «г, Юг = «г — Сд Уг, юг = Уг — СиУг — Сд Уг + - Сд Сд «г, что завершает доказательство теоремы. □
Определение. И(£2)-гладкие тензорные поля Т и Б таи а (р, д), заданные на И(£2)-гладких многообразиях Мк(е ) и Nк(е ) соответственно, назовем эквивалентными, если существует И(£2) -диффеоморфизм ^ : Мк(е ) ^ Nк(е ), переводящий Т в Б.
Следствие 1. Пусть Т - Щ£2) -гладкое тензорное поле типа (р,д) на расслоении Т2М и Ь, Ь, Ь - ассоциированные тензорные поля на многообразии М.
Тензорное поле Т эквивалент но К(£2) -продолжению тензорно го поля Ь тогда и
1
t Сд t СиЬ — Сд Сд
д и М
Доказательство. Полагаем в (25) в = 0, в = 0 и приводим подобные члены.
□
3. И.(£2)-гладкие линейные связности на Т2М
В терминах локальных координат линейная связность Г на гладком многообразии М
= Г*к (жт), которые на пересечении областей определения и пи' двух карт связаны соотношениями [12]
.' . д^к! + д2жк /4оч
1' к' 1к джк дХ ' дХ ' + джк дХ 'дХ ' ' 1 ;
И(е2) -линейная связность Г та касательном расслоении Т2М в терминах индуцированных И(е2)-координат задается коэффициентами связности Г*к = = Г*к(Хт) - гладкими К(е2)-значными функциями, которые на пересечении областей определения (п2)-1(и) П (п2)-1(и') двух К(е2)-карт связаны соотношениями [3]
-,.' дХ4' дХ1 дХк дХ4' д2Х4 , ч
Г4 м' = Г \----1------(44)
1 к 1к дХ4 дХ 1 ' дХк ' дХ4 дХ 1 ' дХк ' ' 1 ;
И(е2) -линейная связность Г называется И(е2)-гладкой или голоморфной, если коэффициенты Г 1к(Хт) являют ся И(е2)-гладкими функциями. Из свойств И(е2)-продолжений вещественных гладких функций и формул (43), (44) следует, что К(е2) -продолжения
Г*к (Хт) = Г*к (жт) + еЖ^-к + е2 ( 1 ж1 Хрд2рГ}к + Х1д1Г}к) (45)
коэффициентов Г*к(жт) линейной связности Г заданной та многообразии М, определяют К(е2)-гладкую И(е2)-линейную связность Гк(е2) на расслоении Т2М, называемую И(е2)-продолжением линейной связности Г. Ее реализация [3] назы-
Г
Коэффициенты произвольной И(е2)-гладкой И(е2)-линейной связности на рас-Т2М
Г 1к(Хт) = Г*к(жт) + е (¿^Г'к + Г1к(хт)) +
+ е2 (2Ж1 ЖРд|рГ}к + Х1д1Г}к + хХ^д^Г^к + Г}к(хт)) . (46)
Предложение 4 [3]. Пусть на касательном расслоении второго порядка Т2М задана К(е2)-гла<?кая К(е2) -линейная связность Г с коэффициентами (46) в локальных К(е2) -координатах. Тогда функции
Г1к(хт), Г}к(хт) и Г}к(хт)
ГГ
и Г типа (1,2) на многообразии М.
Как и в случае предложения 3, для доказательства предложения 4 достаточно подставить уравнения (46) и (45) в формулы преобразования коэффициентов К(е2)-линейной связности (43) и сравнить вещественные части выражений в левой и правой частях полученных равенств.
Линейную связность Г и тензорные поля Г, Г на М будем называть ассоциированными с И(е2) -гладкой И(е2) -линейной связностью Г.
Пусть, как и ранее, ¥ : Т2М ^ Т2М - К(е2)-гладкий диффеоморфизм, порождаемый некоторым сечением а : М ^ Т2М, Уг = ¥г(Ха) - уравнения вида (14) диффеоморфизма ¥ влокальных И(е2)-координатах, а Xа = Са(Уг) - уравнения обратного диффеоморфизма С = ¥-1. Отметим, что здесь и в последующем греческие индексы а, в,... пробегают ту же область значений 1,... ,п, что и латинские индексы %,],....
При рассматриваемом диффеоморфизме ¥ И(е2)-линейная связность Г с коэффициентами Га (Xа) переходит в И(е2) -линейную связность Г' с коэффициентами Г'*к(Ут), где
Г'г =Га дУ! дХв дХ1 + д2Ха (47)
зк дХа дуз дУк + дХа дУздУк ' 1 '
Напомним понятие производной Ли объекта линейной связности Г на гладком многообразии.
Пусть на гладком многообразии М заданы линейная связность Г и векторное поле £ с коэффициентами Г^ и компонентами £к соответственно по отношению к некоторой локальной системе координат. Тогда производная Ли объекта связности Г*к в направлении векторного поля £ представляет собой тензорное поле С5 С типа (1, 2) с компонентами [10]
СГ]к = дтдтГ% _ дтёГтк + дз£тГ\пк + дк£тГ)т + д2к£г. (48)
Теорема 2. При К(е2) -диффеоморфизме ¥ : Т2М ^ Т2М, порождаемом сечением а : М ^ Т2М с ассоциированной парой векторных полей {д,п}, И(е2)-гладкая К(е2) -линейная связность Г с ассоциированными линейной связностью
Г и тензорными полями Г и Г переходит в К(е2) -гладкую Ще2) -линейную связность Г' с ассоциированными линейной связностью Г' и тензорными полями Г',
Г', имеющими соответственно вид:
Г зк Гз'к Г зк Гзк _ СдГз'к (^9)
Г зк = Гзк — СиГзк _ Сд Гдк + 2 Сд Сд Гзк . (^0
Доказательство. Пусть 1Г и 2Г - две линейные связности на многообразии
М
1Г _2Гг _т г
Г зк Г зк = Тзк
- тензор деформации [12]. Из выражений для производных Ли (48) и (22) получаем следующее соотношение:
£1^г _ р 2т^г | р грг
5 Г зк = С5 Г зк + С5Тзк.
Из формул (25) теоремы 1 следует, что если соотношения (49) и (50) выполняются для некоторой Ще2)-гладкой Ще2)-линейной связности "Т на Т2М, то они будут выполняться и для любой другой Ще2)-гладкой И(е2)-линейной связности 2Г. Кроме того, поскольку соотношения (49) и (50) имеют локальный характер, то их достаточно доказать для некоторой связности -Т, заданной на множестве (п2)-1(и), где и - область определения некоторой карты на М. В качестве такой связности естественно взять связность Г на (п2)-1(и), для которой ассоциированная связность Г на и является плоской с нулевыми коэффициентами связности Г^к. В этом случае связность Г имеет следующие коэффициенты:
Г!.к(Хт) = еП-к (хт) + е2(Хтдт з (хт)). (51)
Для связности Г с компонентами Г*к = 0 производная Ли (48) в направлении
■ 1
векторного поля д принимает вид:
£ 1 = д|к д4' (52)
Пользуясь формулами (22), находим вторую производную Ли £д£дГ®к:
££Г}к = дтдт(д|кд4) - (дтд4)д2кдт + (ддт)д^кд4 + (дкдт)д2тд\ (53)
Дифференцируя уравнения (40), получим следующие выражения для вторых частных производных д2к Ха:
д2 Ха
-ед2кда + е2( - уТд^ 1кда+
dYj dYfc 1 ° V f ^mjA
+ 1 gm)dmga + (djgm)5k2mga + (dkga + gm53kmga - jиа). (54) Подставим в уравнения (47)
Г 'j k = еГ'} k + £к(утдтГ'} k + Г'} k Г /?7 = еГ/57 + ^X™ дтГ/57 + Г/57 )
и выражения (39), (54), (29) для частных производных, затем осуществим замены
i® = y® — g®, h® = и® — ^gmdmgJ и раскроем скобки. Сравнение коэффициентов
при £ и £2 в левой и правой частях полученного равенства приводит к следующим соотношениям:
Г'jk = -^jk — j д®,
Г'5-k = j — Г^д- дв — j dkgY ©Г^Ч
+ 1 ((j gm)dmga + (dj gm)5kmga + (dk gm)52m ga + g-jm ga) — —(dmg®)52k gm — ju — g^^j. Формулы (49) и (50) следуют теперь из (52) и (53).
□
Определение. И(е2)-гладкие И(е2)-линейные связности Г и Г', заданные на И(е2)-гладких многообразиях Мк(е ) и Nк(е ) соответственно, назовем эквивалентными, если существует К(е2)-диффеоморфизм Т : Мк(е ) ^ Nк(е ), переводящий Г в Г'.
Следствие 2. Пусть Г - И(е2)-гладкая К(е2) -линейная связность нарассло-Т2М Г Г
Г. Связность Г эквивалентна К(е2) -продолжению связности Г тогда и только тогда, когда
Г = £Г, Г = £ИГ - 2 £ £Г, (55)
где д и и - некоторые векторные поля на многообразии М.
Доказательство. Полагаем в соотношениях (49) и (50) Г' = 0, Г' = 0 и приводим подобные члены. □
Summary
F.R. Gainullin, V. V. Shurygin. Holomorpliic Tensor Fields and Linear Connections 011 a Second Order Tangent Bundle.
The second order tangent bundle T2 M of a smooth manifold M carries a natural structure of a smooth manifold over the algebra R(e2) of truncated polynomials of degree 2. A section a of T2M induces an R(e2)-smooth diffeomorphism £ : T2M ^ T2M. Conditions are obtained under which an R(e2)-smooth tensor field and an R(e2)-smooth linear connection on T 2M can be transferee! by a diffeomorphism of the form £, respectively, into the lift of a tensor field
M
Key words: tangent bundle of second order, lift, of a linear connection, lift, of a tensor field, holomorpliic connection. Lie derivative.
Литература
1. Широков А.П. Замечание о структурах в касательных расслоениях // Труды геометр. семинара. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974. Т. 5. С. 311 318.
2. Murimutu A. Prolongation of connections to tangent, bundles of higher order // Nagoya Math. J. 1970. V. 40. P. 99 120.
3. Вишневский В.В., Широков А.П., Шурыгии В.В. Пространства над алгебрами. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1984. 264 с.
4. Широков А.П., Шурыгии В.В. Структуры в касательных расслоениях, определяемые локальными алгебрами // Всесоюз. геометр, шк. «Дифферепциалыю-геометричес-кие структуры па многообразиях и их приложения»: сборник. Черновцы, 1991. С. 156 164. Деп. в ВИНИТИ 05.02.91, 562-В91.
5. Вигииевский В.В. Интегрируемые аффинерные структуры и их плюральные интерпретации // Проблемы геометрии (Итоги пауки и техники ВИНИТИ). Т. 73: Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. М., 2002. С. 5 64.
6. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г., Осптаиу Н.М., Широков А.П. Дифференциально-геометрические структуры па многообразиях // Проблемы геометрии (Итоги пауки и техп. ВИНИТИ). М., 1979. Т. 9. 247 с.
7. Шурыгии В.В. Гладкие многообразия над локальными алгебрами и расслоения Вей-ля // Итоги пауки и техп. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. М.: ВИНИТИ, 2002. Т. 73. С. 162 236.
8. Kolaf I., Michor P.W., Slovak J. Natural operations in differential geometry. Springer, 1993. 434 p.
9. Помма/ре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М.: Мир, 1983. 400 с.
10. Лаптев Б.Л. Дифференцирование Ли // Алгебра. Топология. Геометрия. 1965 (Итоги пауки ВИНИТИ). М., 1967. С. 429 465.
11. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981. Т. 1. 344 с.
12. Нордеи А.П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.
Поступила в редакцию 30.07.09
Гайнуллин Фарид Расилевич системный администратор ООО «Айтиплюс».
E-mail: faridgainullinegmail.com
Шурыгин Вадим Васильевич доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой геометрии Казанского государственного университета.
E-mail: Vadim. Shurygin Qksu.ru
