О локализации комплексных нулей одного квазиполинома Текст научной статьи по специальности «Математика»

М. Г. Сулимов

О ЛОКАЛИЗАЦИИ КОМПЛЕКСНЫХ НУЛЕЙ ОДНОГО КВАЗИПОЛИНОМА

1. Введение

Настоящая статья — прямое продолжение [1], где изучались нули целой функци w(z) = sin z + л sin(z / A), z G C с вещественными параметрами A, A, 0 < |A,| < A

< 1 Функция w(z) этого типа возникает в задаче о стационарном движении упругой пс луполосы так, что её нули совпадают с полюсами преобразования Лапласа решения задачи, и, таким образом, существенны в асимптотическом разложении u. Принципи альные результаты [1], касающиеся нулей w(.), собраны в следующей теореме.

Теорема 1. [1]. Нули функции w(.) симметричны относительно вещественной мнимой осей и все являются простыми. Каждый интервал Ik = (п (k — 1/2), п (k -1/2)), k G Z, содержит единственный вещественный нуль функции w(.). Для каждог целого m интервал Jm = ( п A (m-1/2), п A (m+1/2) ] содержит не более одной точк x такой, что x = Ж(£) для некоторого невещественного нуля Z функции w(.). Пр этом,

I) x = nA (m+1/2) если и только если выполнены следующие условия:

Р

А — — с взаимно простыми нечетными p. q. 1 р < q. Q

Я -Р 1 I sgn /<

(mod 2),

(1)

q- 1

+ q n, n Ь Z;

II) x Ь inl(Jm) если и только если выполнены следующие условия:

1 - А

|А m — <

к I я, = l+W (mod 2).

(2)

(3)

где к = round(Am) обозначает ближайшее целое к Ат.

В настоящей статье в разделе 2 дополнительно получены эффективные границы для |9(^)| (лемма 2.2). Обозначим М множество индексов т О Z таких, что найдется Z с Ж(С) О Jm. Критерий II теоремы 1 предоставляет средство для тестирования пробного т на принадлежность к М, но не дает еще реальной структуры М, и, таким образом, нуждается в дальнейшей детализации. Для рационального А = р/д это приводит к самостоятельной алгебраической задаче описания структуры решений диофантового

неравенства |р т — д к | < при ограничении (3), которая и изучается в разделе 3.

В общем случае допустимых р, д, А получено естественное упорядочение М в форме

' 2 qN+T 1+sgn а а лт ,

2

H.............................Д, N G Z, где постоянные

1, Д зависят только от p, q mN

q — p

© М.Г.Сулимов, 2008

А

q — p

(теорема 2). В частности это обосновывает квазиравномерность распределения Ж(С) в том смысле, что с точностью до округления индексы т соответствующих локализационных интервалов Jm равномерно распределены с постоянным шагом Н = 2 / (1-А).

Замечание. Для ирррационального А возникающая задача (2)-(3) примыкает к известной задаче анализа о кратных иррационального числа [2]. В обозначениях к' = т + round(Am) она принимает вид

Очевидно, что Л + 1 —иррационально и к' = round((A + 1) т), так что М является правильной частью равномерно распределенного в смысле Полиа—Сеге множества индексов т, удовлетворяющих (2)'. Однако вопрос о влиянии на структуру М ограничения по четности (3)' по-прежнему открыт.

2. Границы для мнимых частей

бЬ у еЬ у

Лемма 2.1. Для 0 < у функции Яа(у) = , Яс(у) = Ое{у) =

вп(у/А) еЬ(у/А)

еу (Ь1 /л) являются строго убывающими биекциями (0, ж) в (0, Л), (0, 1), (0, 1) со-

ответсвенно, и выполняются неравенства Qs(y) < Яе(у) < Яе(у)-

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Заключение относительно Qs следует из

и выпуклости вверх функции th у, 0 < у, в то время как заключения относительно QcQe тривиальны с учетом Q'c(y) = ЛЛ aa th у — thAQ. Неравенства в формули-

а — 1 / а а а + 1 / а

ровке являются частным случаем неравенств ...........— < — < .........— , справедливых

b — 1 /b b b + 1 /b для произвольных 1 < а < b, в т.ч. для а = ey, b = ey/ \ QED

Лемма 2.2. Невещественные нули Z функции w(.) в верхней полуплоскости принадлежат полосе а a 9(Z) а в, а = Qs'1 (|м|), в = Qc-1 (|м|).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого нуля Z = x + iy, 0 < у, функции w(.) имеем

Qc sinx = -M sin(x / A), Qs cos x = —м cos(x / A)

(в сокращенных обозначениях Qc = Qc(y), Qs = Qs(y)). Возведение в квадрат и выражение sin2 (.) через cos2 (.) приводит к системе уравнений с единственным решением

cos X = —=........s-, cos — = .......=.....5-. Тривиальные оценки левых частей дают

Qs A 1 м 1 A Qc и результат следует из леммы 2.L QED За Qc2 - M2 cos2 f = Qs4Qe2- Л1 ) g c 2 - g s 2 ' c o s A M2Wc2-Qs2)

ln |м|

Замечание. 1. Поскольку Qe 1 (q) = .......A-, неравенства в лемме 2.1 влекут а <

e 1 — 1/A

< fl, что дает исходные промежутки для численной аппроксимации а, р. 1 — 1 /А

2) Крайнее значение у = а достижимо, если и только если Л рационально. Действительно, подстановка |м| = Qs(y) в выражения для соб2(.) в доказательстве приводит к

р

еов2(х) = сов2(х/Х) = 1, т.е. х = пк = Хпгг1. Это дает рациональное Л = — с взаимно

простыми р, д и х = прп, п О Z. Подобным образом значение у = в достижимо при подходящем выборе рационального Л (ср. теорема 1, случай I)). В случае иррационального Л можно показать а = тЩ| 3^)|}), в = Бир({| 3^)| }), где Z пробегает множество невещественных нулей функции w(.).

p

3. Распределение М-точек в случае рационального Л

В этом разделе изучается распределение то G М в случае рационального Л = —.

д

Большинство встречающихся переменных, также как компонент векторов и границ диапазонов, неявно предполагаются целочисленными — если не оговорено противное.

3.1. Параметры Пусть р. ц взаимно просты, 1 ^ р < ч и .ч € {0, 1}. Обозначим

'1

1; Р + Ч нечетное, (f—p — 'l | it И, Т нечетное.

О, иначе. 2 I О, Т иначе,

6 — (1 — а) [.к (1 — 2т) I г].

Пусть далее р'. q! обозначают наименьшие положительные целые такие, чч'о

рр

Я Я ~ 1

(11

. 1, г>' I г/ — ‘нечетное,

<у — < '

10, иначе.

Замечание. 1. Свойство минимальности р' влечет это же свойство для д' и наоборот. Если а = 0, то оба р, д — нечетны и из (4) следует а' = 1. 2. Индикатор в может принимать только значения 0 или 1 и по этой причине случаи а = 1, в = 1, а = в = 0 —взаимно исключающие и полны в совокупности. Отметим

соотношение (<r+l)T+l =

_ А А А А

■ , имеющее место ввиду тождества а (<г-1)=О. 3. 2. Мн о ж е с т в а V, U

Замечание. 1. Условия (5) соответствуют условиям (2)-(3) теоремы 1 с заменами < i\ <1 !+sSn M с ,

(то, к) = («i, V2), = s, в то время как условия случая о = 1 совпадают с условиями (1) теоремы 1. Очевидно, M = n(V), где П обозначает оператор

проектирования (vi, v2) л V1.

2. Множество V является (а+1) (q, р)-периодичным. Действительно, это ясно для точек из V'. Периодичность множества V'' следует из его симметрии относительно каждой

точки вида —i— n(q, p), n G Z, в том смысле, что v G V" одновременно с точкой

v' = —v + (а + 1) n (q, p). Последнее непосредственно следует из (5) с учетом безусловной четности (а + 1) (p + q). Как следствие, множество M = n(V) является (а + 1) q- периодичным.

Лемма 3.1. Сужение Пу оператора проектирования П на V является биекцией V a M.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сюръективность Пу следует из M = n(V). Для установления обратимости достаточно показать, что для любого v = (vi, v2) G V выполняется со-IP vA

отношение Vqi = round I ... I. Это ясно для v G V", в то время как для v G V'

Преобразование ф : (х І, х 2) А (рхі — qx2, — д'х і + р'х 2) является линейным автоморфизмом Z2 с обратным преобразованием фА (у І, у 2) = (р'у і + qy2, д'у і + ру2), поскольку оба, прямое и обратное преобразование, сохраняют целочисленные значения координат. Применение ф к V даёт ассоциированное множество и = А(у) = И'И И'', где

И' = Ф(П = | {(Т + Ап), П О Z}, В = 1,

[0, ’ Б = 0,

а U'' = фА'') является множеством (ui, u2) G Z^ подчиненных ограничениям

|ui| a T, а' Ui + аиг = s (mod2).

(6)

Лемма 3.2. Для произвольного целого N определим 2-вектор

— (0, (а + 1) п + a s) + (-Т + (2 — о) j) (1, о а') + ((), 0),

Л ■ Л AJ (g + l)(<7-p)

где n, 7 — частное и остаток от деления iV на.........................

' J 2 Тогда u(N' = uN), N' = N'' и U = {u(N>, N G Z}.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как функция от n, j, вектор u(N) является аффинной комбинацией u(N) = (0, а + 1) n+(2-a) (1, аа ') j +const с линейно независимыми 2-векторными коэффициентами при n, j. Отсюда, u(N) —единственно относительно N. В случае а = 1 соотношение четности в (6) принимает вид u2 = а' ui + s (mod 2), так что приемлемы любые |ui| a T, но только один из каждой пары смежных u2. В случае а = 0 соотношение четности принимает вид ui = s (mod 2), так что приемлемы любые u2, в то время как ui в пределах [—T,..., T] дополнительно ограничен по четности. Таким образом, с учетом дополнительного значения ui = T + 1 в случае S = 1 имеем следующие представления для компонент (ui, u2) G U при некоторых j G [0, (а + 1) T], n G Z:

Обратно, когда j, n независимо пробегают свои собственные диапазоны, каждый (ui, u2) G U будет перечислен таким образом. С помощью индикатора S и с учетом тождества а S = 0 последние представления могут быть записаны единообразно как (u1 ,u2) = u(N). QED

Лемма 3.3. Множество M<0> = M П [0, (а + 1) q - 1] состоит из (а + 1) T + 1 элементов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В силу леммы 3.2, множество n(U) состоит из (а + 1) T + 1 точек, так что желаемый результат будет достигнут если мы покажем, что композиция Ф = П о ф о П—1 : M<0> a n(U) биективна. Для демонстрации сюръективности возьмем произвольный ui G n(U) и подберем u2 такой, что (ui, u2) G U и vi = П(ф-1 (ui, u2)) G M<0>. При а = 1 выбираем

а' ui + s 2 e а' ui + s 2

u2 а' ui + s — 2 2 e = (p' + q а') ui + q s - 2 q

.2

g.

Вычисления дают vi e- 2

G [0, 2 q - 1]. Поскольку а' ui + аи2 = s (mod 2) выполнено и |u11 a T по

предположению, имеет место принадлежность (ui, u2) G U т.е. также vi G M = P ui

П(У). Подобным образом в случае а = 0 выбор u2 = -

обеспечивает vi = p' ui - q ) G M П [0, q - 1].

Для демонстрации инъе ктивности, возьмем произвольные v', v'' G M<">, vi = v1' и предположим, что первые компоненты векторов u' = ф(П—1 (v1)) и u'' = ф(П—1 (vi')) совпадают. Но тогда их вторые компоненты u2, u2' должны быть различными, поскольку ф о П—1 —линейная биекция M<0> a U, и применение её обращения П о ф-1 к u' - u'' дает vi - v'/ = q (u2

- u2'). В случае а = 0, тривиально, 1 a |u2 - u2'|, в то время как в случае а = 1 имеем 2 a |u2 - u2'|, поскольку в силу (6) u2, u2' должны быть одной четности. Таким образом, для любой а мы имеем (1 + а) q а | v1 - vi'|, что, однако, невозможно для vi, vi' G [0, (а + 1) q - 1]. QED

3.3. Естественное 2 N + T

q + s ла + p' (1 - а) (1 - 2 т)).

у п о р я д о ч е н и е M Теорема 2. M = q - p

{mN, N G Z}, где mN

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть N — произвольное целое и n,j обозначают частное и

лт (a +l(q - p) ат (a + l(q - p ) . . остаток от деления iV на

..................................... , так что iV = ------....................n + j, j G

[0, (а + 1) T]. В этих обозначениях

mN = (а + 1) qn + m0,j + s Лд + p' (1 - а) (1 - 2т)),

. 2 g j + r 2 q

где m0,j . Неравенство 2 < обеспечивает строгое возрастание me, .

q - p q - p j

по j (с шагом a 2), в то время как равенство m0,0 = 0 и оценка

j=(a+1) T

3 q + p + 2 - а = (-+ 1), 2fq_pf <(* + l)g

<

обеспечивают то,] О [0, (а + 1) д - 1]. Эти два обстоятельства вместе с очевидной (а

+ 1) д-периодичностью ^ множества М' = {т«, N О Z} позволяют сделать

вывод, что р

Ш.

q

2 qj + T

q - p

пересечение М' с произвольным полуоткрытым интервалом длины (а + 1) ц состоит из (а + 1) Т + 1 точек. В силу леммы 3.3 и замечания 2 к определению V множество М обладает тем же свойством, так что для подтверждения совпадения М = М' достаточно показать принадлежность ш« О М для произвольного N О Z. С этой целью мы обоснуем принадлежность (VI, У2) О V для

VI = т_^ V2 = (а +1)рп + то,] — 2 ] + б Ла + ц' (1 — а)(1 — 2т)). (7)

Имеем

VI + V2 = (а +1) (р + ц) п + 2 то,] — 2 ] + б [(р + ц) а +(р' + ц') (1 — а) (1 — 2 т)].

Поскольку для любого случая параметров коэффициент при п четный, а коэффициент при б — нечетный (ср. замечание к определению параметров), соотношение четности в (5) выполнено. Для ш = pvi — qv2 имеем

ш = 2 ц ] — (ц — р) то,] + б (1 — а) (1 — 2 т) (8)

с учетом (4). Из определения то,] следует

2 + Т — (ц — р) то,] О [0, ц — р — 1] = [0, 2 Т +1 — а],

откуда

ш О [—Т + б (1 — а) (1 — 2 т), Т +(1 — а)(в (1 — 2 т) + 1)]. (9)

Нижняя граница ш = —Т — 1 недостижима, поскольку иначе а = 0, б = 1, т = 1, что, в частности, означает ц—р = четное, Т = нечетное, и тогда ш = —Т —1 четно, но правая часть (8) — нечетна. Подобным образом, недостижима верхняя граница ш = Т + 2, поскольку иначе а = 0, б = 1, т = 0, т. е. ц — р = четное, Т = четное, и тогда ш = Т + 2 четно, но правая часть (8) — нечетна. Таким образом, всегда —Т А ш, и если также ш А Т, то (^, V2) О V'' С V. Нетривиальны только значения ш = Т + 1 в случаях А: а = 0, б = 0 или/и В: а = 0, б = 1, т = 0.

д — р д — р

A. С учетом Т+1 =----равенство (8) принимает вид 2 д]-(д-р) гп-о,] = —а—, т. е.

Л <Л — р)(2 ^ + 1) -

а = ..............—....... Поскольку ц —р, д как и р, ц взаимно просты, последняя дробь

4 ц

будет целой если и только если ц — р делится на 4 и, одновременно, 2 то,] + 1 делится на ц, т.е. 2то,] + 1 = п' ц с некоторым нечетным п', в то время как первое означает

^ X 1 глл ■ п' (ц — р) ■ а ц--р

т = 1, 0 = 1. Обратная подстановка дает ] =........................и ограничение ] <--------

оставляет только одну возможность п = 1 , т. е. ] = —— и По] =----------. Подстановки

ц — 1 р — 1 в (7) дают и! = дп Н.—, У2 = рп Н............. —, т. е. (ет., V2) О V' С V.

ц — р

B. Здесь также 6 = 1. Равенство (8) принимает вид 2 д] — (ц —р) тт1о,] + 1 =--------------,

ц — р

что с учетом (4) может быть записано как ц [2 ] — д' + р'] =-------[2 тт1о] + 1 + 2р'].

Поскольку ц, ц —р взаимно просты и выражения в [.] также как ц и А_А нечетны, это дает равенства 2

2] + У - А = (2га/ + 2то] + I + 2р> = (2п> + 1)д

с некоторым п '. Выражая отсюда ^ шо,] и подставляя в (7), получаем V = q -1 +

(п' + п) q, у2 Р 1 + (п' + п)р, т. е. (уі, У2) О V' С V. ^ЕВ

Замечание. К тому же результату приводит и альтернативное

2 дМ + определение шЫ с

Тq-р 2 дМ

заменой на q - р

Summary

M. G. Sulimov. On localization the complex nulls of certain quasi-polynomial.

Problem of localization the nulls of function w(z) = sin z + л sin(z/A) on complex plane is considered. Effective bounds of | 3(Z) | for nonreal nulls Z of w(.) are obtained. Quasi-uniformity for distribution of K(Z) in the case of rational A is justified.

Литература

1. Лащенов В. К., Сулимов М. Г. Корни дисперсионного уравнения для задачи о движении упругой полосы // Вестн. С.-Петерб. унта. Сер. 1. 1995. Вып. 1 (№1). С.82-88.

2. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. 4.I. М., 1978. 391 с.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.

В