Об особенностях веса, относительно которого ортогональны многочлены второго рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Серия Естественные науки 2008. Выпуск 1. С. 6-18

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

В.М. Бадков

Институт математики и механики Уральского отделения РАН, Екатеринбург

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ВЕСА, ОТНОСИТЕЛЬНО КОТОРОГО ОРТОГОНАЛЬНЫ МНОГОЧЛЕНЫ

ВТОРОГО РОДА

Аннотация. Пусть </(/) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию <?(£)£“1 £ Ь1 [0,1] и медленно меняющийся в окрестности нуля. В данной работе устанавливается, что многочлены второго рода, соответствующие весу <р(т) := | бт(т/2)|-1 д(\ бт(т/2)|), ортонормальны на единич-

ной окружности с весом ф(т) = Ь{т)| 8Іп(т/2)|д(| 8Іп(т/2)|)

вт(г/2) | п-2

Г ^-йи

и

О J

где />(г) — неотрицательная функция, ограниченная от нуля и и бесконечности и удовлетворяющая условию 1лр1/2 в Ь2.

1. Введение

Пусть {у-„ (,;)}г^с=0 — ортонормированная на окружности Гі := {: \г\ = 1} по мере (1а(т) система алгебраических многочленов [1 — 3]. Рассмотрим также систему многочленов второго рода (,; )}г^с=0. соответствующую мере (1<т(т). Системы {г:.п (,; )}г^=0 и (,; )}г^=0 связаны соотношениями (см.

[2, глава 1])

2тт

1 Г -I- %

Фо(г) := ¥>0(2), ФЛ*) ■= J еіт _ гУп(егт) - 4>п{*)\ бИт)

о

(п Є N := {1, 2, 3,...}),

где

2тт

с° ■= / Ла[т]-

о

Работа поддержана Советом по грантам Президента РФ (НШ-5120.2006.01) и грантом РФФИ (05-01-00233).

© Бадков В.М., 2008

Известно (см. [2, глава 8]), что система (,;)}г^с=0 ортонормальна на Гх относительно некоторой однозначно определяемой меры ¿в(г). В [4] установлено, что если (1<т(т) = | БШт\ ¿т, то

ds(r)

4

SUIT

ln"

1 + COS г

1

COS г

(1.1)

В [5] исследованы асимптотические свойства многочленов, ортогональных на Гх по мере (1.1).

В настоящей работе (в теореме 3.1) устанавливается абсолютная непрерывность меры ¿в(г), относительно которой ортонормальна система многочленов второго рода, соответствующая весу

4>(т) := |8т(г/2)|-15(|8ш(г/2)|), (1.2)

где д{Ь) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям

дфГ1 е Ьг{\0,1] (1.3)

и

Дт[*/0(*)] = 0. (1.4)

В частном случае, когда д{€) — медленно меняющийся в окрестности нуля

вогнутый модуль непрерывности, устанавливается (в теореме 4.1), что

s'(т) = h(r)

. г ( . г \

S1I1 — ч S1I1 —

2 2 )

sin(r/2)|

g(u)

du

и

где к (г) — неотрицательная функция, ограниченная от нуля и бесконечности и удовлетворяющая условию 1лр1/2 в /А

2. Леммы о модулях непрерывности

Рассматриваем лишь ненулевые модули непрерывности.

Лемма 2.1. Если а;(£) — вогнутый модуль непрерывности, то функция

Q(t) := t^1 üü(t) (0 < t < сю) (2.1)

не убывает в интервале (0, сю).

Доказательство. На любом отрезке [а, Ь] с [0, сю) числитель и знаменатель дроби t/uj(t) абсолютно непрерывны, причем а;(£) ф 0 при t > 0. Следовательно,

О G АС [а, Ъ] (0 < а < Ь < сю). (2.2)

В силу (2.2)

ъ

0(6) — 0(а) = j 0'(£)сЙ (0 < £ < оо). (2.3)

а

При этом (см. [7, глава 1])

£

и(1)= д(и)<1и, (2.4)

О

где д(и) не возрастает на [0, сю) и д(и) = о/(и), если и принадлежит множеству Е точек и £ (0, сю), в которых существует конечная производная и'[и). В силу (2.4)

а;(£) ^ tg(t) (0 ^ < сю). (2.5)

Пользуясь (2.1) и (2.5), получаем, что

П'М = } £ 0 аеЕ). (2.6)

Поскольку почти все точки отрезка [а, Ъ] принадлежат Е. то из (2.3) следует, что 0(а) ^ 0(6), т. е. 0(£) не убывает в (0, сю).

Замечание 2.1. Из леммы 2.1 следует существование конечного неотрицательного предела limjt/iü(t)] для вогнутых и (t). Этот факт (причем

не требуя вогнутости u;(t)) впервые установил С. М. Лозинский [8] (доказательство приведено и в [9, глава 1]).

Лемма 2.2. Пусть Lü(t) — модуль непрерывности, удовлетворяющий условию

lim [t/üü(t)\ = 0. (2.7)

Если при этом функция

il(t) := { °’ * 7 °’ (2.8)

\ t/w(t), 0 < t < сю

не убывает на [0, сю), то 0(£) является модулем непрерывности.

Доказательство. Поскольку ü(t) непрерывна, не убывает на [0, сю) и 0(0) = 0, то для доказательства леммы 2.2 достаточно убедиться в по-луаддитивности 0(£). Полуаддитивность 0(£) следует из того, что функция il(t)/t = 1/а;(£) не возрастает в (0, сю) (см. [10, глава 3]).

Из лемм 2.1 и 2.2 вытекает

Следствие 2.1. Пусть Lü(t) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию (2.7), а 0(£) — функция, задаваемая равенствами (2.8). Тогда 0(£) является модулем непрерывности.

Лемма 2.3. Пусть и(t) — вогнутый модуль непрерывности, а g(t) — эквивалентная Lü'(t) невозрастающая функция, совпадающая с о/(£) на множестве Е(ш') всех t £ (0, оо), при которых существует производная Lü'(t). Если при этом

Hm = 0, (2.9)

E(u')3t->+0 ÜJ{t)

то

ИтЩ=0. (2.10)

t^+o üü(t)

Доказательство. В самом деле, если Е(ш') э тп —>• +0, то, очевидно,

ЧТО

ИтМЫ=0. (2.11)

п—>оо Ш\Тп)

Пусть теперь tn +0 (п —>• оо) и, вообще говоря, tn ф Е(д'). Тогда, выбирая тп во множестве (2r1tn,tn) f]E(uj'), имеем неравенства

n < tng(tn) rng(rn)

^ gu(tn) ш(тп) ’

из которых в силу (2.11) следует (2.10).

Определение 2.1. Функция L(x) > 0 называется медленно меняющейся

в нуле, если она измерима на [0. /1] (А > 0) и lim [L(Xx]]/L(x)] = 1 для

ж—»+0

любого Л > 0 (см. [6]).

Лемма 2.4. Если и(t) — вогнутый модуль непрерывности, а Е(ш') имеет тот же смысл, что и в лемме 2.3? то Lü(t) является медленно меняющейся в окрестности нуля функцией тогда и только тогда, когда выполняется условие (2.9).

Доказательство. Пользуясь формулой (2.4), невозрастанием g(t) и неубыванием а;(£), устанавливаем при Л £ (1. ос) справедливость неравенств

А t

^ Lü(t) Lü(t) J УУ > 'У ’ lü(t) ’ У ’

t

А t

ш{м) 1 = 4-J (2.13)

ÜJ

(t) üü(t) J üü(t) X üü(\t)

t

а при Л Є (0,1) — справедливость неравенств

t

LüiXt) 1 f tg(Xt) 1-А Xtg(Xt) /r4

(Kl-------V^r = —TT g(u) du^ 1 - X)^--1 < —---------------S 2.14)

üü(t) üü(t) і W V ' üü(t) X Lü(Xt) ’ v '

A t

1 ;

u(t) u(t) J УК } } u(t) К }

A t

В силу леммы 2.3 из неравенств (2.12) - (2.15) вытекает справедливость леммы 2.4.

Лемма 2.5. Пусть и;(£) — вогнутый модуль непрерывности, медленно меняющейся в окрестности нуля и удовлетворяющий условию

ш(£)Гг £ ^[0,1]- (2.16)

Тогда

в

и (в) = о(1) J а;(г)г-1с?п (0 —>•+0). (2.17)

о

Доказательство. Пусть Е(ш') имеет тот же смысл, что и в лемме 2.3. Положим

s(0) := sup{tu/(t)/u;(t) : г Е (0, в) |^| Е(ш)}. (2.18)

Очевидно, е(в) не убывает и в силу леммы 2.4

е(в)=о( 1) (в —>> +0). (2.19)

Используя (2.18) получаем, что

в в в f // Ч , f tlu'(t) и)(т) , /ЛЧ Г и)(т) ,

и(в) = J и/(г) dr = J ^ ^ dr < e(0) j —^ dr.

0 0 о

Отсюда в силу (2.19) следует (2.17).

Лемма 2.6. Пусть g(t) — вогнутый модуль непрерывности, медленно меняющейся в окрестности нуля. Тогда при достаточно малом положительном а функция

' t

f д^иУиГ1 duj 0 ^ t ^ а,

G(t) := I 0 о (2.20)

f gfaju^1 du, t ^ a, о

является вогнутым модулем непрерывности.

Доказательство. Положим

t

Gi(t) := j g(и)'иГ1 du (t ^ 0). о

Так как С\ (і) = д(і). то С\ (і) абсолютно непрерывна на любом отрезке

[і\. І2І С (0. ос). При достаточно малом положительном а почти всюду на [0, а] в силу леммы 2.4 выполняются неравенства

0'{(і)=Г2[ід'(і)-д(і)]^ 0,

І

[ д(и)

(І) ' 1

_ і _

и

(їй — д(і)

^0,

из которых следует, что СИ 1 (¿) является вогнутой и полуаддитивной функцией на [0, а]. Поэтому из (2.20) следует, что (?(£) — вогнутый модуль непрерывности.

3. Абсолютная непрерывность меры, относительно которой ортогональны многочлены второго рода, соответствующие весу (1.2)

Убедимся в справедливости следующего результата.

Теорема 3.1. Пусть вес <р(т) определен формулой

<р(т) := | 8т(т/2|-1д(| зт(т/2), (3.1)

где д(£) — вогнутый модуль непрерывности, удовлетворяющий условиям

д(1)Г1 е ^[ОЛ], (3.2)

и

Дт Щд(1)\ = 0. (3.3)

Тогда мера <¿5 (г), относительно которой ортогональны многочлены второго рода, соответствующие весу (3.1), абсолютно непрерывна на [0, 2тг].

Доказательство. Для многочленов {у^„ (,;.)}г^=0. ортонормпрованных на окружности с весом <р(т), удовлетворяющим условиям (3.1) и (3.2), имеет место поточечная оценка сверху (см. [4])

|^п-1 (е*т) ^ С1(^)[|8ш(г/2)|+п-1)]1/2[£,(|8ш(г/2)|+гг-1)]-1/2 (п е К, г е Ж).

(3.4)

Пусть {г.’„ (,;)}г^с=0 — система многочленов второго рода, соответствующая рассматриваемому весу <р(т). Тогда справедливы равенства (см. [2, глава 1])

со{Фп(^)^*п(г) + <рп(г)ф„(г)} = 2гп (п £ М,¿г е С), (3.5)

где

2тт

°к ^ 27Г / £ ^+)' (3-6)

О

Из (3.4) - (3.5) вытекают неравенства

|'0„-i(eiT)| >C2(¥>)|¥>„_1(ei’-)|-1 >

iä C3(^)[|sin(r/2)| +n-1)]-1/2[9(|sin(r/2)| +гГ1)]1/2 (3.7)

с константой (s) > 0. Так как g{t)t~l не возрастает в (0, оо), то из (3.7)

следует, что

\Фп-г(е")\2 > [CaMfU+n-^iKl+rr1) > [С"3 (<^)]2 2“ ^(2) («бМ.тб R).

(3.8)

В силу неравенства (3.8) ряд \фо(егт)\2 +ipi(elT)\2 +ф2(егт)\2 --расходится

при всех г € IX. а потому (см. [2, примечания к главе 1]) функция s(r) непрерывна на [0, 2тг].

Теперь докажем, что s(r) £ ЛС[0. 2тг]. Для этого воспользуемся равенствами (см. [2, глава 1])

2тг 2к

^ г- „ihr ^ г-

2W \фп{е")?ЛТ=2ъ Г'кТЛа[т) (* = 0.±1.±2....................±„). (3.9)

О о

Рассмотрим последовательность неубывающих на [0, 2тг] функций

в

■= J |^,n(e.r)|2dT ("£Ч- (3-10)

О

В силу (3.9), (3.10) и (3.6) (при к = 0) справедливы неравенства 0 цп{9) ^

2/гго и равенства

2тг 2тг 2тг

\Фп{е,т)\2 dT = J ds^ = J VW = 2irc0.

0 0 0 0

Поэтому функции (3.10) удовлетворяют условиям теорем Хелли, согласно которым найдется возрастающая последовательность натуральных чисел nv (v £ N) такая, что ц,Пу (в) при v —>• оо сходится к неубывающей функции ¡¡(в) ограниченной вариации на [0, 2тг] и для любой функции / £ С[0, 2тг]

2тт 2тг

lim [ /(г) dßnu (т) = [/(т)ф(т),

1/-Ю0 J J

О О

откуда в силу (3.9), в частности, следуют равенства

2тг 2тг

^ г eikr ^ г

lim — у.—/ ¿т\ |2 dT = ту е%кт dß(r) (к = 0, ±1, ±2,..., ±п). (3.11)

z^oo 27г J IфПи(е1т)\г 2тт J

о о

С другой стороны, согласно (3.9) выполняются равенства

2тт 2тг

1 С eikT 1 С ,

lim — у—( iT,,2 dr = — el т ds(r) (к = 0, ±1, ±2,..., ±п). (3.12)

V^too 2тг J \WnAe )\ 271 J

о о

Из (3.11) и (3.12) находим, что

2тг 2тг

j- [ eikT ф(т) = [ eikT ds(r) (к = 0, ±1, ±2,..., ±п).

27Г J 2тт J

о о

Из этих соотношений в силу определенности тригонометрической проблемы моментов выполняется равенство

/i(r) = s(r) + С (С = const) (3.13)

в точках непрерывности функции s(r) (т. е. всюду на [0, 2тг]).

Известно (см. [2, глава 1]), что для ортонормированной по мере da(r) на

I'l системы многочленов {уут.я (:)}г!С=0 УСЛОВИЯ 111 <т'(т) £ L1 И |угг.() (ü) 12 +

lyy-r.i (0)12 + |vrr.2(ü)|2 + • • • < oo равносильны. Отсюда следует, что

ln s'Hel1 (3.14)

(поскольку для веса (3.1) lnv?(r) £ L1 и (/?n(0) = фп{0) (n G N)).

В силу (3.14) справедливо предельное соотношение (см. [2, теорема 5.8])

lim I

п—^оо J

О

2тт

Фп(е'Т)

dr = 0 (3.15)

7r(s'; elT)

где 7г(.ьу: слт) — радиальное граничное значение функции Сегё

2тг

( 1 Г егт + z 1

tt(s';z) := expj —-------lns'(r)dr> (\z\ < 1). (3.16)

о

Поэтому найдется возрастающая последовательность номеров nv такая, что почти всюду в (0, 2тг)

lim ф1(егт)=7г(8';егт). (3.17)

V—>-оо

Очевидно, что последовательность {п,^=1 в (3.12) и (3.17) можно считать одной и той же. Поэтому из (3.8), (3.17), (3.12) и имеющего место для почти всех г£ [0, 2тг] равенства

|тг {s';eiT)\-2 = s'(t) (3.18)

(см. [2, глава 2]) в силу теоремы Лебега о предельном переходе под знаком интеграла следует, что для любого отрезка [01,02] ^ [0, 2тг]

Поскольку ¡1Пи{0) при V оо стремится к дг(0), то в силу (3.10) и (3.13) левая часть (3.19) стремится к //(02) — /'{^‘¿) = 5(0г) — 5(02). Но тогда для любого отрезка [01, 0г] С [0. 2тг] выполняется равенство

означающее абсолютную непрерывность функции з(т) на [0, 2тг]. Теорема 1 доказана.

4. Выражение для веса, с которым ортонормальны многочлены второго рода, соответствующие весу (1.2)

Теорема 4.1. Пусть вес <р(т) определен формулой (3.1), в которой д(£) — вогнутый модуль непрерывности, медленно меняющийся в окрестности нуля и удовлетворяющий условию (3.2). Тогда мера ¿в(г), относительно которой ортогональны многочлены второго рода, соответствующие весу (3.1), абсолютно непрерывна на [0, 2тг] и имеет место представление

где 1г (г) — неотрицательная функция, ограниченная от нуля и и бесконечности и удовлетворяющая условию 1лр1/2 в Ь2.

Доказательство. Легко видеть, что вес <р(т), удовлетворяющий условиям теоремы 4.1, удовлетворяет и условиям теоремы 3.1. Поэтому мера (1.ч(т) абсолютно непрерывна на [0, 2тг], в силу чего доказываем лишь справедливость представления (4.1).

Известно, (см. [2, глава 1]), что при п —>• оо равномерно внутри круга В := {г : |г| < 1}

(3.19)

(4.1)

О

ф*п(г) тт(ф;г), п(у>;г), ф*п(г) / (р*п(г) ^(^), (4.2)

т = Ы2Г..„Л12 , (.-^12' (4-4)

где -Р(^) — функция Каратеодори для веса <р(т), т. е.

2тг

1 /* I

.Р^) := ------ —------<р(т) ёт (г £ В).

к ; 2тгс0 У егт - г у ; у ; о

Из (4.2) следует, что /■’(,;) = тт(г,;)/тг(у":,;) (,; € /^). Поэтому в силу (3.18) (и аналогичного соотношения для веса <р(т)) п. в. на [0, 2тг]

|^(егт)|2 = <р(т)/ф(т). (4.3)

Так как п. в. на [0, 2тт] выполняется равенство Не У(сгт) = (со)-1</?(т) (см. 2, глава 1]), то, пользуясь (4.3), находим, что п. в. на [0, 2тг]

ЬОТР + №т

где <р(9) — сопряженная функция для <р(9), т. е.

7Г

Ф(0) := + т) - т)] \ Ат- (4-5)

о

На любом [а, Ъ] С (0, ос) вогнутый модуль непрерывности удовлетворяет условию Ыр1 с константой, зависящей от а и Ъ. Поэтому этим же свойством обладает функция (?(£) := t/g(t) (как отношение вогнутых модулей непрерывности), а вместе с ней и функция <р(т) := [С(\ яш(т/2)|)]-1 на любом [с. (I] С (0, 2тг). В силу локального аналога теоремы И.И. Привалова (см. [2, глава 4]) <р(т) £ 1лр7 для каждого 7 £ (0,1) на любом [с, с?] С (0, 2тг). Таким образом, из (4.4) следует непрерывность и положительность веса ф(т) в интервале (0, 2тг).

Пользуясь формулой (4.5), исследуем поведение функции ср(9) при в 0. а именно, докажем, что при достаточно малом положительном а

в

$(9) х \ ^ <1т (0 < 9 < а). (4.6)

9 «/ т о

Пусть 0 < £ 4-17г. Тогда при 0 < 0 ^ £ и 2г ^ г ^ тг имеет место

включение \9 ± т| £ [£,7Г + е]. Поэтому,пользуясь четностью веса <р(т) и тем, что <р(т) £ 1лр1 на [е, 2тт — е\, получаем оценку

\<р(9-\-т) — <р(9—т)\ = \<р(\9+т\)—<р(\9—г|)| С\(е)т (0 < 9 ^ е, 2е ^ г ^ 7г),

в силу которой

<с2(е) {0<9^£^Г17т). (4.7)

([р(9 + т) - <р(в - т)] ^ ^ с1т

2е

В силу следствия 2.1 функция (?(£) (считаем, что (?(0) = 0) является модулем непрерывности. Поэтому выполняется неравенство

\(р(0 + т) — (р(0 — т)\ = (р(0 + т)(р(0 — т)|(7(| 8т[(0 + т)/2]|) — Ст(| вт[(0 —г)/2]|)| ^

< <р(0 + тЩв - т) тт{(?(| эт(0/2)|), £(| зт(г)/2)|)} (0, г £ Е). (4.8)

Если 29 ^ т ^ 2е, то г ^ г + Зг/2 и г/2 ^ г - 0 ^ т. Поэтому, учитывая (4.8) и то, что д(£) — модуль непрерывности, медленно меняющийся в окрестности нуля (а потому т~ -д(т) не возрастает на (0, 2е\ при достаточно малом £ > 0), получаем неравенства

2е

2е

Г

[<р(9 + г) — <р(9 — г)] ctg — с1т

2в

^С2 [ ~д{тУ

} т

Т 1

2в

9{г)

т

2е

(49)

20

Если 0 ^ г ^ 9/2, а 0 < 0 ^ е, то 0 ^ т + 0 ^ 30/2 и 9/2 ^ 9 — т ^ 9. Поэтому имеют место соотношения (р(9 + г) х (р(9) и (р(9 — т) х <р(9), из которых в силу (4.8) и невозрастания т~ -д(т) следует, что

в/2

Т

[<р(9 + г) — <р(9 — г)] ctg — с1т

в/2

¿Т

д{т)

<

в/2

[№]т1тг

о

т

в

Если 9/2 ^ г ^ 20, то <р(9 + г) х <р(9), а tg(r/2) х 0. Поэтому

29

г

£Й

0

в/2

(4.10)

(4.11)

При 0/2 ^ г ^ 20 выполняется неравенство |^(т/2) — ^(0/2)| ^ ^ С^9~2\т — 91. Поэтому

2в

<р(9-т)

в/2

т 9

(1т

2в

( ^(\т-в\)\т-6\<1т€, С^. (4.12)

9/2

Легко видеть, что

29

20

± 0 [ т ^ л ^ 1 [ У(\9 - т1) л ^ 1 [ д(т)

с*-у ^-г)йгх-у -^-^^ж-у —

0/2 в/2 о

(¿Г.

(4.13)

Из соотношений (4.7) и (1.9) (1.13) в силу леммы 2.5 следует справедливость (4.6) при 9 £ (0,а], а так как функция £р(9) нечетна, то и при 9 £ [—а,0). Так как (р(0) > 0 (0 < 9 < 2тг) и обе функции (р(0) и ф(9) непрерывны в (0, 2тг), то из (4.4), (4.6) и леммы 2.5 следует справедливость соотношения (4.1), в котором /г(г) — измеримая функция, ограниченная от нуля и бесконечности положительными константами.

В [4] изучалось поведение величины

<5„(¡р) := шГ{||[?г(¥>; е,т) - <Зп(е,т)]^(г)||2 : Яп Е тг„},

(4.14)

где 7Т/, — множество всех алгебраических многочленов степени не выше п с комплексными коэффициентами. Вместо (4.14) можно также написать

8п{<р) — [7Г((/7) 0)] 1 {|^»+1 (0)|2 + |^п+2(0)|2 + |(/7п+з(0)|2 + • • • }1^2- (4-14)

Для веса г.-(г), относительно которого ортонормальна система (,;)}г^=0 многочленов второго рода, соответствующая весу <р(т), величина 8п(ф) совпадает с 6п(<р). Из результатов работы [4] следует, что для веса (3.1) 5п((р) = 0(п-1/2) (п —>• оо). Поэтому

В силу (4.1)

5п(ф) = 0(п 1/2) (п-юо).

1ъ(т) = ф(т)и1(т)и2(т)и3(т),

(4.15)

(4.16)

где

щ(т)

1 |зт(г/2)|

• / /0Ч|2? и2{т) := /I • / /0ч.ч ? из{т) |81п(г/2)|2 д(| 81п(т/2)|)

В силу неравенства (4.12) из [4]

6п+2{фи1и2из) < бп(фи2из). Произведение и2(т)У/з(т) можно представить в виде

зт(т/2)|

9 (и)

¿и

и

(4.17)

тп

и2

(г)пз(г) = /ц(г) Д

ь>=1

I • т шш-

где Иг (г) — функция ограниченная от нуля и бесконечности положительными константами и удовлетворяющая условию 1лр1/2 в I/2, уг,Д </) — вогнутые

модули непрерывности, av G К (v = 1,..., т). Поэтому по теореме 4.1 из [4]

8п(и2и3) = 0(п-1/2) (п ->■ оо). (4-18)

Веса ф(т) и £(т) := и2(т)из(т) удовлетворяют лемме 4.1 из [4], согласно которой

<*>п(ФО < $[п/2\ (С) + 0(5[п/2](ф)). (4.19)

В силу (4.15)-(4.19) Sn(h) = О(гГ1/2) (п —>• оо). Отсюда в силу ограниченности от нуля и бесконечности функции /г(г) следует, что ее наилучшее приближение в L2 тригонометрическими полиномами порядка не выше п тоже есть 0(/Г1/2). Поэтому Ii(t) удовлетворяет условию Lipl/2 в L2. Теорема 4.1 доказана.

Библиографический список

1. Сегё Г. Ортогональные многочлены / Г.Сегё. -М.: Физматгиз, 1962. -500 с.

2. Геронимус Я. Л. Многочлены, ортогональные на окружности и на отрезке / Я.Л.Геронимус. -М.: Физматгиз, 1958. -240 с.

3. Бадков В. М. Введение в единую теорию алгебраических и тригонометрических ортогональных полиномов:учеб. пособие / В.М. Бадков. -Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2006. -132 с.

4. Бадков В.М. Асимптотические и экстремальные свойства ортогональных полиномов при наличии особенностей у веса / В.М. Бадков. // Тр. МИРАН. -1992. -Т. 198.

-С. 41-88.

5. Бадков В. М. Асимптотика многочленов второго рода и двусторонние поточечные оценки их производных / В.М. Бадков. // Труды ИММ УрО РАН. -1992. -Т. 1. -С. 71-83.

6. Сенетпа Е. Правильно меняющиеся функции / Е. Сенета. М.: Наука, 1985. -144 с.

7. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. / А. Зигмунд, -пер с англ., -2 изд. -М.: Мир, 1965.

8. Лозинский С. М. Пространства Сш и С* и сходимость интерполяционных процессов в них / С.М. Лозинский. // ДАН СССР. -1948. -Т. 59. -№ 3. -С. 1389-1392.

9. Привалов A.A. Теория интерполирования функций. Кн. 1. / A.A. Привалов. -Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1990. -230 с.

10. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А.Ф. Ти-ман. -М.: Физматгиз, I960. -624 с.

E-mail: Vladimir.Badkov@imm.uran.ru Поступило 17.01.2008