О ЛИНЕЙНО-АВТОНОМНЫХ СИММЕТРИЯХ ДРОБНОЙ МОДЕЛИ ГЕАНА–ПУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 4 (2023). С. 110-123.

УДК 517.95

О ЛИНЕЙНО-АВТОНОМНЫХ СНММЕТРНЯХ ДРОБНОЙ МОДЕЛИ ГЕАНА-ПУ

Х.В. ЯДРИХИНСКИЙ, В.Е. ФЕДОРОВ

Аннотация. Исследуются групповые свойства модели Геапа-Пу дробного порядка по времени, описывающей динамику ценообразования опционов. Найдены группы линейно-автономных преобразований эквивалентности соответствующего уравнения. С их помощью получена групповая классификация дробной модели Геана-Пу с нелинейным свободным элементом. В случае ненулевой безрисковой процентной ставки г основная алгебра Ли такой модели одномерна. Для нулевого г основная алгебра Ли трехмерна в случае правой части специального вида и двумерна в противном случае.

Ключевые слова: дробная производная Римана-Лиувилля, дробная модель Геана-Пу, симметрийный анализ, линейно-автономное преобразование, группа преобразований эквивалентности, групповая классификация.

Mathematics Subject Classification: 35R11, 26АЗЗ, 58J70

1. Введение

Все новые нелинейные модификации описывающего динамику ценообразования опционов уравнения Блэка-Шоулза [1], [2], учитывающие различные свойства реального рынка, которые были идеализированы при выводе линейного уравнения, такие как неликвидность рынка, расходы на хеджирование, влияние транзакций на формирование цен и др., предлагаются исследователями в последние полвека [1] [10], Одной из нелинейных моделей Блэка-Шоулза является уравнение Геана-Пу

et = гв + - rS)q - ¡лв8 - у 9ss - 27v2er(T-t)(0s - q)2 + F(t, вд), (1.1)

моделирующее ценообразование опционов с учетом транзакционных издержек и влияния операций па рынок при ряде допущений [11], [12]. Здесь г — постоянная безрисковая ставка; 7 — параметр абсолютного неприятия риска; а — волатильноеть; q — количество акций в хеджируемом портфеле; S — цена акции; ^ — прогноз тренда, ожидаемая доходность базового актива; функция 6(t,S, q) моделирует цену безразличия колл-опциона,

В [13]—[16] уравнение (1.1) исследовано методами группового анализа [17], [18] при различных условиях на функцию F двух переменных. Настоящая работа посвящена исследованию симметрий дробного варианта модели (1.1)

D?e = гв + (ц, - rS)q - vds - у0SS - 1 l^2er(T-t)(ds - q)2 + F(t, в,), (1.2)

где D^ — оператор дробной производной Римана-Лиувилля порядка a G (0,1]. Как известно, дробные производные моделируют процессы с памятью [19], [20]. Дробные деривативы, как их часто называют, были введены в теорию ценообразования опционов для того, чтобы

Kh.V. Yadrikhinskiy, V.E. Fedorov, On linear-autonomous symmetries of the fractional model of gueant-pu.

© Ядрихинский X.B., Федоров В.Е. 2023.

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ, соглашение от 16.02.2023 № 075-02-2023-947. Поступила 2 апреля 2023 г.

воспользоваться их свойствами памяти, позволяющими фиксировать как крупные скачки за небольшие промежутки времени, так и долгосрочные зависимости на рынках [21]—[24].

В данной работе методами, предложенными в работах Р.К, Газизова, A.A. Касаткина и С.Ю. Лукащука [25]-[28], получены генераторы групп линейно-автономных преобразований, допускаемых уравнением (1.2). При этом в силу теоремы 2.7 из работы [29] уравнения, разрешенные относительно дробной производной Римана-Лиувилля по выделенной переменной и содержащие только производные целого порядка по другим переменным, другими допускаемыми группами не обладают. Получена групповая классификация с точностью до линейно-автономных преобразований эквивалентности для уравнения (1.2) с нелинейным по 9q свободным элементом F.

2. Предварительные сведения

Дробные интеграл Римана-Лиувилля порядка ß > 0 и производная Римана-Лиувилля порядка a G (п — 1, п] имеют вид [20]

1 Г*

40(t) := fßjjt — 8)ß-1e(s)ds, Dfd := D^J?-^(t),

при этом также предполагается, что J09(t) := ^(i). Здесь D™ — оператор дифференцирования целого порядка п G N. Напомним также определение функции Миттаг-Леффлера [20]:

оо и

Zk

«-Effort' a-ßGR+' 2GC

Известны [20] соотношения

t-a Г( v + 1)

Df 1 = —--, D?tv = , ( + ) , tv-a,

4 Г(1 — a) , 4 T(u + 1 — a) ' (2.1)

'i1, -

и формула общего решения

D?ta-k = 0, к G N, k<a + 1,

У = Y. b3ta-Ea,a-3+l(\ta) + / (t — s)a-lEa>a(\(t — s)a)f(s)ds, (2.2)

3 = l

дробного дифференциального уравнения В^у(¿) — \у(¿) = ¡(Ь).

3. Группы преобразований эквивалентности уравнения Геана-Пу

Рассматриваем уравнение (1.2), где 0 < а < 1, 9 = 9(Ь,Б, д), 7а = 0. Для нахождения групп преобразований эквивалентности рассматриваем функцию Р и все ее производные как переменные. Генераторы групп преобразований эквивалентности будем искать в виде У = т81 + + @дд + г]дв + (дР, где т, г] зависят от ¿, 8, Ъ а ( от ¿, 8, Ъ Р, 9и 9$; вя, Здесь ди := ^ — оператор частной производной по переменной и. Следуя [27], [28], ищем оператор У в линейно-автономном виде:

& = 0, тв = 0, = 0, Г1=р(1 ,Б, д)9 + д(г,Б, д)

с условием т(0) = 0. Для учета зависимости Р только от Ь и 9д добавляем уравнения

Ря = 0, Ря = 0, Рв = 0, Рв?в = 0, Рв1 = 0, Рвз = 0. (3.1)

Будем рассматривать систему (1.2), (3.1) как многообразие М в расширенном пространстве соответствующих переменных. Продолженный оператор У имеет вид

У =У + Гдв^е + + Л + ^ + г]88двзз + + (8дРд

t

+ <ядРд + СвдРв + ^вдРо?в + С °адР. + С V

Действием оператора У на обе части равенства (1.2) получаем

г]а -гг] - (¡л - гБ)3 + гд£ + ¡V8 + ^V88 - г(Т-

2 ' 2

+ 7а2еГ(Т->(68 - д)(л8 -3) -Ск = 0

- 0)2т

(3.2)

Для вычисления коэффициентов продолженного оператора У используются операторы полного дифференцирования

Ц = с + * й> + •••'

П с г, д

В * = сй + Ё дЁ + •••'

В о = - + рвА + ••• Ц дв + ГвдЁ + •••

П _ д „ с

В= дт8 + Рвз йё +

Ц = дБ + 08 до + •••'

В 8 = А + Ё8± + • _

8 дБ + 8 дЁ + ' П _ д „ д В = дЦ?в +Гв"в дЁ + ••

Вв = — + + дв„ +ГвчдЁ + ••••

^ дя + •

дд_ д

д д

д

В * = 1Г- + Ъ дЁ +

С их помощью задаются продолжения по переменным Б и д

Г]8 = Б8Т1 - в&8Т - ^8^8^ - 6^83

8 8 8 8 8 8

^ = - вЦт - в80£ - з

88 - Б8'Ц8 - в8чП8Т - - 08^83-

По теореме 2.8 из [27] и согласно ее обобщению на случай многих переменных, теореме 3 из [28], получаем продолжение по дробной производной

Ъа = Ц?(п - твг - £08 - 30д) + тВ^е + ^в8 + ззп^,•

Для исключения производных вида вt под знаком дробного дифференцирования воспользуемся равенством 0?(т6^ = В?((тв)1: - )• Используя (1.8) из [27] или дифференцируя (2.43) из теоремы 2.2 в [20], получаем равенство

/-—а—1

Г(-а)'

Щ(тв\ = Ц+1 (гв) - (тв)(0) (0) = 0

В? (гвг) = В?+\тв) - В? (тф)• Тогда продолжение по дробной производной примет вид

тТ = Ц?(<п - £08 - 30,) + &?08 + + В?(пв) - В.а+1(тв) + тВ?+Ч•

С помощью обобщенного правила Лейбница для дробных производных получаем

V? =В?Ч -

Ц'^вдЦ'З +

+ +

Т,(п) В?-П()8ВК - ^(п)

п=0 ^ ' п=0 ^ '

/ \ / 1 \ ^ (а) ц?-пввп+1т- + М ц?+1-пвв^ + тВ?+хе

п=0 ^ ' п=0 ^ '

в?^ - (:) вгпв8вт - ]т (п)

п=0 ^ ^ п=0 ^ ^

°° / \ °° / 1 \ + зв?вя + ^Г) о?-по вп+1т - £ Г + о?-пв ип+'т

п=0 V / 'п—о V /

,'а\ г(«+1) гт fa + Л а+1 (а

где = , ^v/ . ^ ■ 1ак как , -, = атт , то

Х П) r(n+1)r(a-nî1) \n + \ '+1 \ п > '

(") = Г(п+Г)Г(Г-n+1)' ^ ^ (П + l) = (П)

а _^ ^ / T I _ ^ / T I глг—па nn,

п=1\/ n=1

оо

D«-n0 d'î1 г.

n n +1

n=0

Дальнейшее вычисление для линейно-автономных преобразований дает

rf =D0g + g (n) D<0-ne (d'P + nn_+TDn+V)

ê (П) Do-n()sDn _ ë (n) d

n=1 ^ ' n=1 ^ '

n, 4 VsD'nt _ Ь (n I Dr%D'/3.

' n=1 ^ y

Коэффициенты при производных F продолженного оператора Y имеют вид

Cs =Ds( _ FtDsr _ FsDsi _ FqDsP _ FoDsV

_ FDTeDsVa _ FetD stf _ FesDs'qs _ FeD sVq,

(q =DqC _ FtDqT _ FsDqC _ FqDq$ _ FeD^

_ FD^Dq^ _ FetDqrf _ FesDqqs _ FeqDqqq,

(e =De( _ FtDer _ FsDgÇ _ FqDeP _ FeDer] _ FD?eDeVa _ FetDgrf _ Fesî)evs _ FeqDeVq,

(Dt e =DD?e( _ FtDDfeт _ FsDD?e£, _ FqDDfQP _ FgDDfe'f]

_ FDfeDDfeVa _ FetDDferf _ FesDDfeV _ FeqDDfeVq

с =DeX _ FtDetT _ FsDetC _ FqDgtP _ FgDetr,

_ FDfoDetf _ FeDerf _ FesDetVs _ FeqDetVq, Ces =Des( _ FtDesT _ FsDesZ _ FqDgsP _ FgDg^

_ FD?eDesvia _ FetDesrf _ FesDesvs _ FeqDesvq. Действуем оператором Y па уравнения (3,1) и получаем

Cs|м = 0, Cqk = 0, Cek = 0, (D?e|m = 0, Cet|M = 0, CesIM = 0.

Расписывая их и подставляя (3,1), имеем

CsIm = Cs _ FtTs _ FeqVqsIm = 0, С"1м = Cq _ Ftrq _ Fgqrfq|m = 0,

(e|от = Ce _ FtJe _ Feqffe|м = ^ СDte]im = (D^e|от = 0,

Cet Im = Cet _ Feq4t Im = 0, Ces Im = Ces _ Feq4S Im = 0.

Распишем rf и, переходя па многообразие M, получим

(s _ FtTs _ Feq (psqв + Psdq + gsq _ dtTsq _ 9sisq _ 9qfisq) = 0, (q _ FtTq _ Feq (Pqq0 + Pq6q + gqq _ QtTqq _ 0sîqq _ ®q fiqq ) = ^

Ce _FeqPq = 0, (D?e = 0, Cet + FeqTq = 0, Ces + Feq^ = 0.

Разделение переменных дает

^8 = 0' т, = 0' ^ = 0' ря = 0' С8 = 0' Ся = 0' (в = 0' (в?в = 0' Свг = 0' Свз = 0' Р8 - 38д = 0' 3дд = 0' 98д = 0' 9дд = 0

Теперь подставляем в (3,2) формулы коэффициентов продолженного оператора У и урав-

8=0

+(п) в?-пе (вппр+вп+^

С / \ СО / \

^ 1 -гла—пп тлп^ \ А / ^ \ т\?—пп глп /

^(^Dr-ÖsD^ - w^u ^

n=1 ^ ' n=1 ^ '

DTnVsDnti ^ Г DtnQgDnß - гр0 -тд- (ß - rS)ß

+ Г qi + ß(psO + POs + gs - Osts - 0gßs) - ^er(T-t) (0s - q)2r

(3.4)

2

2

+ у (Р880 + д88 + 2р808 - 08^88 - 0д388 - 208д38 + 088(р - 2&))

+ 1а2ег(Т-1\08 - Я)(Р80 + Р08 + 98 - ^8 - 0д38 - 3) - Ск = 0^

Переходя на многообразие М в уравнении (3,4) при помощи выражения для В?0 из (1.2), получаем

(р - ап)(гв + (л - г5)д - ¡08 - у 088 - ^ег(Т-] (08 - я)2 +

+ В?д + (П) В?-п0 Ыр + П-^вп+1А

п=1 \ / \ /

- £ (п) - £ (:)

п=1 \ / п=1 \ /

- j Dtn0sDm -J2[n) Dtn0gDnß

n=1 4 ' n=1

- rp0 - rg - (ß - rS)ß + rq£

ß) - 2 2

+ у (pss0 + gss + 2ps0s - 0sCss - 0gßss - 20sgßs + 0ss(p - 2£s))

+ ß(ps0 + gs +p0s - Osts - 0gßs) - ^a2er(T-Q(es - q)2

+ W2er(T-t)(0s - q)(psö + gs + p0s - 0sts - 0gßs - ß) -( = 0.

Разделение переменных дает

n —

D*-ne : Dntp + Dn+1T = 0, n = 1,2,..., (3.5)

D^-nQs : = 0, D^-nQq :Dnß = 0, n = 1,2,..., (3.6)

2

0ss : -aTt)+P - 2&) = 0, (3.7)

s : ßs = 0, s = 0,

<% - - 27*2er(T-t)(P - art) - ^er(T-t) + W2er(T-t)(p - is) = 0, (3.9)

a2

0s - (p - art)(-ß + qia2er(T + ß(p - Cs) - у £ss

+ rrqia2er(T-t) + 'ja2er(T-t)(gs -ß - q(p - Ь)) = 0, (3.10)

(p - an) (гв + (ß - rS)q - j7a2er(T-+ F^j

^2

+ Щд - грв -гд- (/ - rS)(3 + rq£ + /9s + — 9ss 2

- ^V(T-i)r - q1(j2er(T-t\gs - 3) -( = 0. (3.11)

Из (3.6) получаем, что ^ = 0, 3t = 0. Из (3.7) получаем равенство art - 2£s = 0, поэтому ты = 0 CsS = 0. Тогда из (3.5) при n = 1 полу чае м pt = 0. Учитывая, что pq = 0 в силу (3.3) и ps = 0 в силу (3.8), имеем постоянное р = р0.

3 t = 0 q = 0 s = 0 t = 0 s s = 0 q = 0

3t = 0 3s = 0 3q = 0 a t - 2 s = 0

условия г(0) = 0 интегрирование дает

aM

р = ро, r = Mt, £ = ^rS + А, 3 = Bq + К, (3.12)

где M, А, B, К — различные произвольные константы. Подстановка (3.12) в (3.9), (3.10) с сокращением дает равенства

02s : -гMt + ро = 0, (3.13)

9S : iaM + Па2еr(T-t)Mtq + 1a2er(T-^ (gs - Bq -К - qaMj = 0. (3.14)

M = 0 о = 0 s = 0

нием (3.14) no q получаем B = rMt - aM/2 = -aM/2. Следовательно, из (3.13), (3.14) получается

aM aM

r M = 0, ро = 0, B =--—, gs = К -/ o_ _2 . (3.15)

аМ аМег(*~Т)

-2Т> 98 = К

Так как в силу (3.3) ддд = 0 то интегрирование д8< дает

( аМег( 1-т) \ д = ^К - + М(^ + у(3,16)

где N(¿), V(¿) — произвольные функции. Подставим равенства (3.12), (3.15), (3.16) в (3.11), тогда

-а М (V - г Б)д - д^1а2е^+ ^ + БЦ> (к - )

( aMer(t-T) \ + q Df N (t) + D?V (t) -rS [К - / ^ )

(3.17)

аМ

- г N (t)q - г V (г) - (¡1 - г в И--— q + К | + г qA

2аМег(ь~т) аМ 2 г(т ,аМ 2 Л п + ¡К - 12 + - 1а2ег(т-д2 -( = 0.

Рассматриваем (3.17) с учетом равенств = 0, = 0, (в = 0 из (3.3) как многочлен от Б, q, в и получаем с помощью равенства гМ = 0 следующие уравнения:

аМе -т)

V 1 и — '

( aM е r( t-t) \

D"N(t) - rN(t) + гА = 0, - /-::— = 0, (3.18)

V 2ie2 J

aM er( t-T)

-a MF + D?V(t) - rV(t) - i2 - С = 0.

В предположении, что г = 0, из равенства гМ = 0 получаем, что М = 0, Тогда второе уравнение в (3,18) дает в силу (2,1)

В?К = —-- = 0^

= К г = Г(Т- а)

Следовательно, К = 0, Первое уравнение в (3.18) согласно (2,2) при 0 < а < 1 имеет решение в виде

N(г) = НГ^Е^гГ) - гА [ (г - з)С1-1Еа?а(г(1 - з)и)йз,

0

Н

Т = 00' С = А' 3 = 0' ( = В?У (г)-гУ (I)' Г] = {т°1-1Еа?а(ге) - гА(г - зГЕ^+^н")) д + V&)• Если г = 0, то решением (3,18) в силу (2,1) является

N а) = н^-1' К = л аМ-2 •

Учитывая также результаты (3,12), (3,15), (3,16), получаем утверждение.

Теорема 3.1. 1. Базис алгебры, Ли генераторов групп линейно-автономных преобразований эквивалентности, уравнения (1,2) при г = 0 образуют операторы,

Уу = Г^Е^Н^ддв'

¥2 = д8 - гГЕ^+^гПдде' Уу = V(г)дв + (в?^(г) - м(г))дР'

где V(1) — произвольная функция.

2. Базис алгебры, Ли генераторов групп линейно-автономных преобразований эквивалентности уравнения (1,2) при г = 0 образуют операторы,

У1 = дв' ¥2 = д8' Уу = V (г)дв + в^ (г) дР'

У3 = 21аНдг + а^а2Бд8 + а (л - ) дя -а {21а2Ё + ¡2) дР'

где V(1) — произвольная, функция.

При а = 1 уравнение (1.1) при г = 0 обладает, среди прочих, группами преобразований эквивалентности, порождаемыми операторами

У1|?=1 = ддв и Уу|?=1 ^(г)дв + (в¡V(г) (г))дР (см, [14, Теорема 1]),

Из первой части теоремы 3,1 следует, что группы линейно-автономных преобразований, допускаемых уравнением (1.2) при г = 0 и при всех Ё, порождаются только операторами Уу при так их V, что В^ (г) - гV (г) = 0, т.е. функция V имеет вид

V (г) = е^Е^ге)' У^-1ЕаАна) = г^Е^гПдв •

В силу второй части теоремы 3,1 группа линейно-автономных преобразований, допускаемых уравнением (1.2) при г = 0 и при всех Ё, порождается операторами У2 и Уу при V (г) = г?-1.

Некоторые из полученных в теореме 3,1 групп преобразований эквивалентности будут использованы при получении групповой классификации уравнения (1.2), остальные формально могут быть использованы для упрощения вида уравнения.

4. Групповая классификация при Feqeq = 0

Теперь осуществим поиск допускаемых групп линейно-автономных преобразований уравнения (1.2) при 0 < a < 1, поскольку в силу теоремы 2.7 [29] системы уравнений, разрешенные относительно дробной производной Римана-Лиувилля по времени и содержащие только производные целого порядка по остальным переменным, другими симмет-риями, кроме линейно-автономных, не обладают. Будем рассматривать свободный элемент F = F(t, 9q) нелинейным по 9q, т.е. при условии Foqeq = 0. Линейный случай имеет свою специфику (см., например, [15]), его изучение планируется провести в дальнейшем.

Оператор симметрии ищется в виде X = rdt + £ds + 3dq + г]де. Действие продолженного оператора

X = X + VadDTe + Vsdes + Vqdeq + r]ssdt

8ss

па (1.2) после сужения на многообразие N задаваемое в расширенном пространстве переменных уравнением (1.2), дает

2

^ - г(1 - гв) / + г дС + щ8 + у Л88 - ^ег(т-> (93 - д)2т

+ 1а2ег(т-*\08 - 0)( щ -3) - Рт - = 0.

Подставляем формулы продолжения, которые были получены выше при вычислении преобразований эквивалентности в предположении г/^9) = р(Ь,Б, д)9 + ,Б, q), в (4.1) и получаем

d?9+£ (a) Df-n9 (щР+n+aa^n+1r) - £ (л)

n=0 ^ ' ^ + ' n=1 ^ '

- £ (л) DTnW3 - r(p9 + д) - (/ - rS)3 + rq£

n=1 ^ '

+ 1 (ps9 + gs + p9s - 9trs - в sis - 0q 3 s) - ^er(T-t) (9 s - q)2r ^22

+ ~^(pss9 + gss + 2ps9s - 9tTss - 9siss - 9q3ss - 29stTs - 29sq3s + 9ss (p - 2£s)) + la2 er(T-t)(9s - q)(ps0 + gs + p9s - 9tJs - в sis - 0q 3s - 3)

- Ftr - Feq (Pq9 + gq + p9q - 9trq - 9siq - 9qf3q) |n = 0. Переход па многообразие N дает уравнение

(р - art) (гв + (/ - rS)q - /9s - у9ss - \ia2er(T-ь\9s - q)2 + F^j

+ D?g + £ (a) D?-n9 (.D^p + n-aDn+1T) - £ (a) W^sD^

n=1 ^ ' ^ + ' n=1 ^ '

£ (a) Dtn9qDnt3 - r(p9 + g) - (/ - rS)3 + rq£

n=1 ^ '

+ 1 (ps9 + gs + p9s - 9trs - 9s^s - 9q3s) - ^er(T-$ (9s - q)2r (4.2)

a2

+ ~(pss9 + gss + 2ps9s - 9tTss - 9s^ss

- 9q3ss - 29stTs - 29sq3s + 9ss(p - 2£s))

+ -fa2er(T-t)(9 s - q)(p s9 + gs +p9s - 9tTs - в sis - 0q 3s - 3)

- Ът - Рвч (ряв + 9я + рвя - вгтя - - вяД ,) = 0.

В силу теоремы 2,7 [29]

,в, о) = Аъ + вг2, 6 = 6 = Дг = Дв = 0, р(г ,в, о) = ВД о) + к(А + 2вг),

где А, В — некоторые константы, к = 0 при В = 0 и к = (а - 1)/2 при В = 0. Поэтому уравнение (4,2) принимает вид

(р - а п)(гв + (р - г в )д - р.0 8 - у в33 - г(т -г )(в 3 - д)2 +

+ D?g - г(рв +g) - (р - г S )P + rqÇ

+ p (hs0 + gs + pOs - 0sis - eg/3s) - ^a2er(T-t\вs - q)2r 2

+ ^(hssd + gss + 2hs9s - Osiss - 0qPss - 29sqPs + &ss(p - 2&)) + 1a2er(T-t \ в s - q)(hs6 + g s +P Os - в sis - 0q Ps - P)

- FtT - Feq (hqв + 9q + pdq - 9sÇq - 9qPq) = 0.

s s s s

(4.3)

0 sq ■

s s

s2 ■

Ps =0, art - 2is = 0, p - гт = 0,

(p - art)(-p + ia2er(T-*q) + p(p - Çs) + y (2hs - Çss)

+ Г1а2еr(T-t ïq т + 1a2er(T - *\hs6 + gs -P - q(p - £s )) + F6q & = 0,

1 ' 2

+ D?g - г(рв + g) - (p - rS)P + rqÇ + р (hsd + gs) - r(T-t)q2i 2

+ 2(hssQ + 9ss ) - W2er(T-t) q(hs0 + gs -P )

- FtT - Feq (hqв + gq + pdq - 9q/3q) = 0.

1 ■

(p - art)(r6 + (р - rS)q - 1~fa2er(T-t)q2 + F^j

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Из (4.5) следует, что та = 0 = 0, поэтому В = к = 0, т = АЪ, р = к(в, д). Ввиду предположения Речеч = 0 дифференцирование (4.7) по вя дает = 0. Итак, с учетом (4.4), (4.6)

аА - = 0, т = рг = 0, к3 = 1гя = 0, £88 = 0, £ = ), Д = Д(я). Интегрирование дает равенства

аА

т = А1, гА = 0, £ = —в + Е, Д = Д(д), р = 0, г] = д = д(1,3, д), (4.9)

где А,Е — константы. Уравнения (4.7), (4.8) теперь принимают вид

рО^ + 1-2еr(T-t) (gs -P - яОА ) =0, (41°)

-aA (pq - 1l<y2er(T-t]q2 + F^ + D^g - rg - (p - rS)P + rqE + pgs

(4.11)

+y gss - qi°2er(T - l\g s -P ) - FtAt - Fdq (gq - BqPq ) = 0.

s

Выразим ^и2ег(т-д$ — 3) из уравнения (4,10) и подставим в (4,11), получим

1а2е/(т-\дя — 3) = 1а2ег(т-) ЩАд — ^ (4.12)

-aA^ + F^j + D"g - rg - (f¿ - rS )/ + r qE + Ms 2

а ~2

Из уравнения (4,12) получаем

(4.13)

+—9ss - FtAt - Feq(gq - вд/3q) = 0.

д = тЯ + ^ — 1^«-Т)Б + ' ^ (414)

, д) — некоторая функция Дифференцированием (4.13) по 9д получаем

(3д — аА)Рвч — РЩА1 — Рвчвч (дд — вдРд) = 0. (4.15)

Дифференцируем уравнение (4.15) по Я и получаем д$д = 0. В силу (4.14) это влечет равенство 3д = —аА/2.; 3 = —аАд/2 + Ь, где Ь — константа. Следовательно, 3дд = 0 и дифференцирование (4.15) по д дает ддд = Сдд = 0. Таким образом,

пА пА

3 = ——д + Ь, д = Ьв — ¡^^ ег(*-Т)Я + N (^д + М (¿), (4.16)

2 2^и2

где N(¿),М(¿) — некоторые функции. Подстановка (4.16) в (4.13) дает

'¡Я, „\ , п„ аАе-т >

-aA (f + F) +Dï(L -

( aAer(t-т> \ + D?N (t)q + D?M (t) -r\L - й-— S - rN (t)q - rM (t)

V 21°2 )

aA \ ^ (T aAer(t-т т\

- - rSH —2~q + L) +rqE + M L - l 2i(j2 )

-FtAt -Fo9(n (t) + dq ^ =0.

(4.17)

2

S

aAe r(t-т )

Ч \ L - Й 7Г~2 I = 0, 4 • Dt

/ aAerV-т) \

S • D? L - l-¡r- =0, q • D?N (t) - rN (t) + rE = 0, (4.18)

V 2iia2 )

aAe r&-т ) f aA\

1 • D?M (t) - rM (t) - й 2 - aAF - FtAt - Fe¡N (t) + dq — \ = 0. (4.19)

r = 0 и r = 0.

4.1. Случай г = 0. В этом случае А = 0, поэтому равенства (4.9), (4.16), (4.18), (4.19) принимают вид

г = 0, £ = Е, 3 = Ь, г] = д = ЬЗ + N (^д + М (*),

б*Ь = 0, (г) — rN (г) + гЕ = 0, О*М (г) — гМ (г) — (¿) = 0. (4.20)

Дифференцируем третье уравнение в (4.20) по 9д и получаем N = 0. Подставляем полученное N = 0 во второе уравнение в (4.20) и получаем Е = 0. Первое уравнение в (4.20)

дает ввиду (2,1) выражение Ы~а/Г(1 — а) и, еледовательно, Ь = 0. Таким образом, функция Р в данном случае произвольна, если не считать условие нелинейности Р0д0д = 0, Решая уравнение И^М — гМ = 0 с помощью (2,2), получаем следующую теорему.

Теорема 4.1. Основная алгебра, Ли уравнения (1.2), где Р0д0д = 0 иг = 0, порождается оператором Хх = Ьа~ 1Еа>а(гЬа)до.

Здесь и далее термин «основная алгебра Ли» используется в смысле монографии Л,В, Овсянникова (см, [17, с, 98]),

Сравнивая с симметриями уравнения (1.1) [14], можно заметить, что условие т(0) = 0 приводит к потере симметрии со сдвигом по времени, а несколько спмметрнй уравнения первого порядка по времени отсутствуют в случае производной дробного порядка по времени из-за имеющихся в определяющей системе уравнений ^ = 0, & = 0. Симметрия дд + Б до уравнения (1.1) в данном случае отсутствует из-за того, что дробная производная Римана-Лиувилля от константы — не ноль. Оператор Хх в случае уравнения (1.1) принимает вид Хх1а=1 = ендо.

4.2. Случай г = 0. Подставляем г = 0 в (4.18), (4.19) и получаем

°а{ь —*= {Ь — » ^ = 0 °ан ® = ^

аА

Ъуа2 " ■ д 2

Решение (4.21) с помощью (2.1) дает

иам(г) — — аАР — РА — Роч (м(I) + вд= 0. (4.22)

аА

м (г) = ре~ \ ь = р-

Подстановкой полученного в (4.9), (4.16) получим

аА „ ^ „ аА аА ^ а л „ .

т = А1, С= —Б + Е, & = ——д + р—, г1 = РГ~ д + М(I),

где А,Е, Р — некоторые константы. Представим (4.22) в виде

а—1

аАР + РА + Ро,(рРе-1 + вд °2р) — = 0, (4.23)

2

где н(г) = И^м(г) — р■ А = 0

Р = гачг 4 — Щ—1)) + тI т<

где Ф — произвольная функция. Подействуем на полученное выражение преобразованием эквивалентности 9 = 9 + ахЬа-1д из группы, порожденной оператором Ух из второй части теоремы 3.1, при групповом параметре ах = л, а затем преобразованием эквивалентности

9 = 9 + а¥У (^, Р = Р + (^

порожденной оператором Уу группы (см .теорему 2) при ау = 1 и функции V такой, что

а

СО = —^ J Я(г)Чг.

Функция V(¿) определяется с помощью формулы (2,2) при Л = 0, В итоге получаем функцию Р = Ь-аФ (Ь-а/29д) . Ее подстановка в определяющее уравнение (4,22) дает

п А

вам (г) — — N (г) г3а/2Ф' = 0.

2^/и2

Ввиду того, что Речвч = 0 по предположению, получаем Ф'' = 0, поэтому

п А

N (*) = 0, В*М (*) —¡2 — = 0.

М( )

пА Г

м (¿) = маг-1 + ¡2

2'уа2 Г(а + 1)

В итоге

пА ^ ^ „ пА а А т = АЪ, + Е, 3 = —— д + 1

2 " 2 * ' ^ 2гуи2'

2

Мага-1 2 пА га

4 Г(п) + 1 21а2 Г(п + 1)'

А = 0 = 0

г = 0, £ = Е, 3 = Ь, г] = д = ЬЗ + N (г)д + М (*), ваь = 0, DаN (г) = 0, вам (г) — (г) = 0.

Тогда Ь = 0, дифференцированием третьего уравнения по 9д получаем N(¿) = 0, М({) = М01а-\ Р — произвольная функция. Доказано следующее утверждение для уравнения (1.2) при г = 0,

Теорема 4.2. Основная алгебра Ли уравнения

Ва9 = т — 193 — ^9зз — \чи2(0з — о)2 + ГаФ (Га/29д) ,

Ф'' = 0

Х1 = д8, ^2 = е-1 дв,

Хз = 2^ + пвдз + (—пд + ¡Л)дд + —¡0^90.

\ 1&2) ^и2^^ + 1)

Для уравнения

= т — ¡Л98 — уе33 — ^(Оз — д)2 + Р(1, 9д),

где Рвс[0ч = 0 и Р(Ь, 9д) не эквивалентна функции Ь-аФ {Ь-а/29д) е смысле преобразований эквивалентности, порождаемых операторами из второй части теоремы 3.1, основная, алгебра, Ли порождается операторами Х1 = дз, Х2 = Ьа-1до.

Заметим, что вид полученных симметрии согласуется с результатами теоремы 2,7 [29], в которой найден общий вид симметрий систем уравнений подобного вида.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. F. Black. The pricing of Commodity Contracts //J. Financ. Econ. 3, 167-179 (1976).

2. F. Black, M. Scholes. The pricing of options and corporate liabilities //J. Political Econ. 81, 637-659 (1973).

3. P. Bank, D. Baum. Hedging and portfolio optimization in financial markets with a large trader // Math. Finance. 14, 1-18 (2004).

4. G. Barles, U.M. Soner. Option pricing with transaction costs and a nonlinear Black-Scholes equation // Financ. Stochastics. 2, 369-397 (1998).

5. J. Cvitanic, I. Karatzas. Hedging and portfolio optimization under transaction costs: A martingale approach // Math. Finance. 6, 133-165 (1996).

6. A.S. Kyle. Continuous auctions and insider trading // Econometrica. 53, 1315-1335 (1985).

7. H.E. Leland. Option pricing and replication with transactions costs //J- Finance. 40, 1283-1301 (1985).

8. M.J.P. Magill, G.M. Constantinides. Portfolio selection with transactions costs //J. Econ. Theory. 13, 245-263 (1976).

9. E. Platen, M. Schweizer. On feedback effects from hedging derivatives // Math. Finance. 8, 67-84 (1998).

10. L.C. Rogers, L.S. Singh. The cost of illiquidity and its effects on hedging // Math. Finance. 20, 597-615 (2010).

11. O. Gueant. The Financial Mathematics of Market Liquidity: From, Optimal Execution to Market Making. Boca Raton-London-New York: CRC Press. 2016.

12. O. Gueant, J. Pu. Option pricing and hedging with execution costs and market impact // Preprint: arXiv:1311.4342 (2015).

13. X.B. Ядрихинский, B.E. Федоров. Инвариант,ные решения модели Геана-Пу ценообразования опционов и хеджирования, // Челяб. физ.-матем. журн. 6:1, 42-51 (2021).

14. S.M. Sitnik, K.V. Yadrikhinskiv, V.E. Fedorov. Symmetry analysis of a model of option pricing and hedging // Symmetry. 14, 1841 (2022).

15. K.V. Yadrikhinskiv, V.E. Fedorov. Symmetry analysis of the Gu6ant-Pu model // AIP Conf. Proc. 2528, 020035 (2022).

16. Kh.V. Yadrikhinskiv, V.E. Fedorov, M.M. Dvshaev. Group analysis of the Gueant and Pu Model of Option Pricing and Hedging. In book: Symmetries and Applications of Differential Equations. Eds. A.C.J. Luo, R.K. Gazizov. Singapore: Springer. 173-203 (2021).

17. Л.В. Овсянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1978.

18. П. Олвер. Приложения, групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир. 1989.

19. A.M. Нахушев. Дробное исчисление и его приложения. М.: Физматлит. 2003.

20. С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка, и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987.

21. A.N. Fall, S.N. Ndiave, N. Sene. Black-Scholes option pricing equations described by the Caputo generalized fractional derivative // Chaos, Solitons k, Fractals. 125, 108-118 (2019).

22. S. Kumar, A. Yildirin, Y. Khan, H. Jafari, K. Savevand, L. Wei. Analytical solution of fractional Black-Scholes European option pricing equations using Laplace transform //J- Frac. Cal. Appl. 2, 1-9 (2012).

23. P. Sawangtong, K. Trachoo, W. Sawangtong, B. Wiwattanapataphee. The analytical solution for the Black-Scholes equation with two assets in the Liouville-Caputo fractional derivative sense // Mathematics. 8, 129 (2018).

24. M. Yavuz, N. Özdemir. European vanilla option pricing model of fractional order without singular kernel // Fractal Fract. 2, 3 (2018)

25. P.K. Газизов, A.A. Касаткин, С.Ю. Лукащук. Групповая классификация и симметрийные редукции нелинейного трехмерного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии II Уфимск. матем. журн. 11:4, 14-28 (2019).

26. Р.К. Газизов, A.A. Касаткин, С.Ю. Лукащук. Уравнения с производным,и дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимск. матем. журн. 4:4, 54-68 (2012).

27. А.А. Касаткин. Симметрии и тонные решения с производным,и дробного порядка типа Римана-Лиувилля: дис. .. .канд. физ.-матем. наук. Уфа: УГАТУ. 2013.

28. R. Gazizov, A. Kasatkin, S. Lukashchuk. Symmetries, conservation laws and group invariant solutions of fractional, PDEs. Vol. 2. Fractional Differential Equations, ed. by A. Kochubei and Y. Luchko. Berlin-Boston: De Gruvter, pp. 353-382. 2019.

29. Zhi-Yong Zhang, Jia Zheng. Symmetry structure of multi-dimensional time-fractional partial differential equations // Preprint: arXiv:1912.08602 (2021).

30. P. Schonbucher, P. Wilmott. The feedback-effect of hedging in illiquid markets // SIAM J. Appl. Math. 61, 232-272 (2000).

31. R. Sircar, G. Papanicolaou. Generalized Black-Scholes models accounting for increased market volatility from hedging strategies // Appl. Math. Financ. 5, 45-82 (1998).

Христофор Васильевич Ядрихинекий,

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,

Якутское отделение Дальневосточного центра математических исследований,

ул. Белинского, 58,

677000, г. Якутск, Россия

E-mail: ghdsf df Syandex. ru

Владимир Евгеньевич Федоров,

Северо-Восточный федеральный университет им. М.К. Аммосова,

Якутское отделение Дальневосточного центра математических исследований,

ул. Белинского, 58,

677000, г. Якутск, Россия,

Челябинский государственный университет,

ул. Братьев Кашириных, 129,

450001, г. Челябинск, Россия

E-mail: [email protected]