Групповая классификация и Симметрийные редукции нелинейного трехмерного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 4 (2019). С. 14-28.

УДК 517.9

ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ И СИММЕТРИЙНЫЕ РЕДУКЦИИ НЕЛИНЕЙНОГО ТРЕХМЕРНОГО ДРОБНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ

Р.К. ГАЗИЗОВ, А.А. КАСАТКИН, С.Ю. ЛУКАЩУК

Аннотация. Работа посвящена изучению симметрийных свойств нелинейного трехмерного уравнения аномальной диффузии с дробной производной Римана-Лиувилля по времени. Для исследования применены методы современного группового анализа дифференциальных уравнений. Решена задача групповой классификации по коэффициенту диффузии, рассматриваемому как функция зависимой переменной. Показано, что для произвольной функции уравнение допускает семимерную алгебру Ли инфи-нитезимальных операторов, соответствующих группам переносов, вращений и растяжений. В отличие от симметрий уравнения с с производной целого порядка, не допускается преобразование переноса по времени. Кроме того, различаются коэффициенты группы растяжений. В случае степенной формы коэффициента допускаемая алгебра расширяется до восьмимерной дополнительным оператором группы растяжений. При двух конкретных значениях показателя степени алгебра расширяется до девятимерной либо одиннадцатимерной, при этом дополнительные допускаемые операторы соответствуют различным проективным преобразованиям. Для полученных алгебр Ли симметрий размерности от семи до девяти построены оптимальные системы подалгебр и выписаны анзацы соответствующих инвариантных решений различных рангов. Приведены общие формы записи инвариантных решений, удобные для симметрийной редукции при наличии дробной производной Римана-Лиувилля. Проведена симметрийная редукция на подалгебрах, позволяющих находить инвариантные решения ранга один. Приведены соответствующие обыкновенные дробно-дифференциальные редуцированные уравнения.

Ключевые слова: производные дробного порядка, симметрийная редукция, оптимальная система подалгебр, дробно-дифференциальное нелинейное уравнение диффузии.

Mathematics Subject Classification: 35R11, 35В06, 76М60

1. Введение

Многие современные математические модели для описания эффектов памяти или нелокальных взаимодействий в рассматриваемой среде применяют аппарат дробного интегро-дифференцирования [1-3]. В частности, производные дробного порядка могут при определенных условиях оказаться применимы для моделей фильтрации в почве или сложных коллекторах нефтегазовых месторождений. Многие из рассматриваемых моделей, как классических, так и дробно-дифференциальных, содержат существенные нелинейности в

R.K. Gazizov, A.A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk, Group classification and symmetry

reduction of three-dimensional nonlinear anomalous diffusion equation.

© Газизов P.K., Касаткин А.А., Лукащук С.Ю. 2019 .

Работа поддержана проектом №1.3103.2017/4.6 государственного задания Минобрнауки РФ.

Поступила 18 ноября 2019 г.

уравнениях [4,5], Для уравнений е дробными производными практически все существующие методы решения нелинейных уравнений являются численными или приближенными аналитическими. Одним из наиболее развитых направлений исследования нелинейных уравнений является исследование их симметрийных свойств [6,7], Данные методы могут быть адаптированы и для исследования уравнений с производными дробного порядка (см., например, обзорную работу [8]),

В данной работе рассматривается трехмерное уравнение аномальной диффузии с производной дробного порядка по времени вида

оИ^и = (к(и)их)х + (к(и)иу)у + (к(и)их)2, а е (0,1) и (1, 2). (1)

В частности, такое уравнение может быть получено при рассмотрении фильтрации в пористой среде с модифицированным законом Дарси [9],

Производная дробного порядка типа Римана-Лиувилля определяется соотношением

г

1 йт [' у(т, х) Г(т - а) <Ит У (Ь - т)а+1

Jm

aD?u(t, x) = ^ — I m dt> m - 1 <a<m,m e N. (2)

Для уравнения (1) решается задача групповой классификации по функции k(u). В предельном случае а = 1, в сил у 0D¡u = ut, это уравнение превращается в классическое нелинейное уравнение теплопроводности, результаты групповой классификации которого хорошо известны [10] (см, также [11]). Результаты групповой классификации одномерного случая уравнения (1) с симметрийными редукциями приведены в [12], В данной работе рассматриваются только нелинейные уравнения, к'(и) = 0, Симметрийные свойства и законы сохранения уравнения (1) рассматривались в работе [13], однако значительная часть полученных там результатов неверна, и задача групповой классификации (1) остается актуальной.

Для полученных алгебр Ли симметрий размерности от семи до девяти в работе построены оптимальные системы подалгебр и определены подстановки для построения инвариантных решений. Рассмотрены случаи симметрийпой редукции для инвариантных решений ранга 1,

2. Групповая классификация нелинейного изотропного

дробно-дифференциального уравнения аномальной

диффузии

Задача групповой классификации для уравнения (1) решается с точностью до преобразований эквивалентности [6,7], которые находятся аналогично симметриям [14] и имеют вид

t = 82t, х = jx + Pi, у = jy + P2, к = jz + и = pu, к = j28-2ak, (3)

где , P2, j, 6 e R, p > 0, Отметим одну важную особенность: в отличие от классического уравнения теплопроводности, преобразования эквивалентности дробного аналога

u

Симметрии уравнения (1) задаются инфинитезимальными операторами

9 л д д ^о д д ,

* = т Ж + f sx + '2 ну, + + " gW (4)

и ищутся в линейно-автономном виде [8,15]:

r = Cit + C2t2, С1 = 0\x,y, z), С2 = О2 (х,у, z), = 0°(x,y, z), V = V(0) + V(l)u, V(o) =^{t,x,У, z), Щ1) = V(x,У, z) + (a - 1)C2t, при этом применяется формула продолжения на производные дробного порядка.

Определяющее уравнение для функций 9% (г = 1, 2, р и ф принимает вид

^(ф) + [р - аС\ - (1 + a)C2t] [(uxx + uyy + uzz)k + (u2x + u2y + u2z)k']-

- «11 + Czz + <3x)k - 2((iux + (yUy + (3uz)k'-- [ф + (p + (a - 1)Cyt)u][(uxx + Uyy + uzz)k' + (u2x + u2 + uy)k"] = 0, (6)

где

(i = фх + <PxU + (p + (a - 1)C2t - Ol)ux - e2xuy - Q\u, (2 = ФУ + РУu - e^yUx + (p + (a - 1)C2t - d2)uy - 9yUz

<3 = Фz + PzU - e\ux - e2yUy + (p + (a - 1)Cyt - Ol)uz

<11 = фхх + VxxU + (2px - 01XX)UX - eyxUy - eSxxUz +

+ (p + (a - 1)Czt - 2в1х)uxx - 2в2uxy - 29\uxz,

Czz = Фуу + Vyyu - А* ux + (Ъру - в2 )uy - Qly uz-

-2e\uXy + (p + (a - 1)Cyt - 2e2)uyy - 2BIU

Cxx = фzz + PzzU - 6\ZUX - d^Uy + (2pz - d^)uz -

'y^yz,

У

-20\uxz - 291 Uyz + (p + (a - 1)C2t - 2B\)uz

Расщепление (6) по uxx, uyy и uzz приводит к уравнениям

ф + (а - 1)C2tu + pu + [а(С1 + 2C2t) - 20lx]K(u) = 0, ф + (а - 1)C2tu + pu + ИС1 + 2C2t) - 20*]K(u) = 0, (7)

ф + (a - 1)C2tu + pu + [a(C1 + 2C2t) - 20x]K(u) = 0,

где К(u) = k(u)/k'(u). Дифференцирование этих уравнений по и приводит к классифицирующему соотношению К" = 0, которое оказывается идентично классифицирующему соотношению для классического уравнения теплопроводности [6]. В результате, с точностью до преобразований эквивалентности (3), выделяются следующие случаи k(u) = с о п s t:

I. k(u) — произвольная функция,

II. k(u) = eu,

III. k(u) = (u + B)a, а = 0. Для случая I из (7) находим

С2 = 0, <р = 0, ф = 0, е\ -Для случая II имеем

С2 = 0, <р = о, в1 = в'2 = в

Из рассмотрения случая III получаем уравнения аф = В(ар - 2аС12£), б\ = при этом СС2 = 0 только при а =

"X =

а

^(аС1 +ф).

= \(<*С1 +Ф),

(8) (9) (10)

Расщепление (6) по смешанным производным ихю uxz и uyz приводит к уравнениям

° х + О1

0, el + д\ = 0, в* + 02 = 0

(П)

Расщепление по u2, v^, иихиу, uxuz, щuz приводит к дифференциальным следствиям

"X! ^у1 "'г! ^х^у?

уже полученных уравнений. Расщепление по их, иу, иг дает

К(и)(2рх - 61хх - е1уу - в\г) + 2(фх + рхи) = 0, К(и)(2ру - 92хх - е2уу - е2г) + 2(фу + руи) = 0,

К(и)(2рг - 91х - в^у - 61) + 2(фг + Рги) = 0.

Оставшееся после расщепления уравнение имеет вид

оЩф = (фхх + фуу + фгг )к + (рхх + Руу + Ргг )ик.

(12)

(13)

2

У

Для завершения групповой классификации находится решение системы полученных уравнений (8)—(13). При этом непосредственными вычислениями доказывается, что случай II не приводит к расширению допускаемой уравнением (1) группы точечных преобразований, а в случае III группа расширяется только при В = 0, причем выделяется еще один частный случай к (и) = и-5, Полученные результаты формулируются в виде следующего утверждения.

Утверждение 1. Нелинейное ( к'(и) = 0) уравнение (1) в случае произвольной функции к (и) обладает семимерной алгеброй Ли точечных симметрии, с базисом,

X = 9 Х = 9 X = 9

XI = , X2 = TT", х3 ,

9х 9у 9z

9 9 9 9 9 9

X4 = ут,--zтг, X5 = zт,--х—, Хб = -у —+х—, (14)

9 х х

2 9 9 9 9

Хт = -г— + х— + у— + г—. а оъ ох Оу Ог

Для степенной зависимости к (и) = иа (а = 0) алгебра, расширяется до восъмимерной оператором,

о а о

Х8 = иоои- а'т. (15)

При этом, в частном, случае а = происходит дополнительное расширение алгебры, до девятимерной с оператором,

о о

Х§ = - (1 - а)Ы—, (16)

о о и

а, в случае а = -1 — до одиннадцатимерной с операторами

о о

Х9 = (у2 + г2 -х2)---2ху---2хг — + Ъхи—,

х о о и

о о о

Х1° = (х2 + ^ - у2)- - 2хУТх - 2*Тг + 5УиТи,

о о о о

Х11 = (х2 + у2 - г2)---2хг---2уг— + и—.

о о х о о и

Других случаев расширения алгебры, Ли симметрий рассматриваемое нелинейное уравнение не имеет.

Сравнение результатов проведенной классификации с результатами классификации классического трехмерного нелинейного уравнения теплопроводности [6] показывает, что они очень близки. Наличие производной дробного порядка лишь изменяет коэффициенты в операторах растяжения Хт, Х8. Однако размерность допускаемой алгебры Ли симметрий у дробно-дифференциального уравнения оказывается на единицу меньше, поскольку не допускается преобразование переноса по времени. При этом выделяется случай, когда допускается оператор проективной группы (16), который не допускается классическим уравнением теплопроводности.

3. Оптимальная система подалгебр алгебры Ли симметрий

Для систематического исследования инвариантных решений уравнения диффузии (1) необходимо построить для допускаемой алгебры Ли операторов оптимальную систему подалгебр. Это позволяет исключить из рассмотрения эквивалентные случаи, т.е. сводящиеся друг к другу с помощью допускаемых уравнением преобразований. Каждая симметрия уравнения порождает внутренний автоморфизм алгебры Ли допускаемых операторов.

Оптимальная система является набором представителей из каждого класса сводящихся друг к другу автоморфизмами подалгебр.

Рассмотрим построение оптимальной системы подалгебр для алгебры Ли Ь9 с базисом Х1,..., Хд. Воспользуемся двухшаговым алгоритмом, предложенным в работе [16] (см, также [7]), который основан на использовании структуры алгебры. Для трехмерного нелинейного уравнения диффузии целого порядка со степенным коэффициентом в работе [17] построена оптимальная система для близкой алгебры, но напрямую использовать результат не удается,

Ь

Таблица 1: Таблица коммутаторов

Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Хз Хд

Х1 0 0 0 0 —Х3 Х2 Х1 0 0

Х2 0 0 0 Х3 0 — Х1 Х2 0 0

Х3 0 0 0 — Х2 Х1 0 Х3 0 0

Х4 0 — Х3 Х2 0 —Х6 Х5 0 0 0

Х5 Х3 0 — Х1 Хе 0 — Х4 0 0 0

Хб —Х2 Х1 0 —Х5 Х4 0 0 0 0

Х7 —Х1 — Х2 — Х3 0 0 0 0 0 а

Х8 0 0 0 0 0 0 0 0 2 Х

1 Ху а — 1

Х 0 0 0 0 0 0 --Х9 а 2 Х 0

1 Х 1— а

Легко видеть, что алгебра Ь7 с базисом Х1, суммы подалгебры Ь4 и абелева идеала З3:

, Х7 предетавима в виде полупрямой

Ь

Ь4 Ф,^, Ь — {Х4,Х5 ,Хб ,Х7}, Зз — {Х\ ,Х2,Хз}.

В случае степенного вида коэффициента к (и) — алгебра допускаемых операторов расширяется до Ь8:

Ь8 — Ь Ф {Хз},

причем одномерная подалгебра {Х8} является центром Ь8. И, наконец, при а — 2а/(1 — а),

Х

Ь — Ьз Ф{Х9}.

Каждый из операторов Х^ € Ь порождает внутренний автоморфизм А^ исследуемой алгебры Ь. Его можно построить как решение задачи Коши

Х

а=0

Хл

(18)

при этом неизвестными являются преобразования коэффициентов оператора к^а) в исходном базисе: Х — 1 кз (а)Х^, к^ (0) — к^.

Ь

(для краткости приведем только изменяющиеся коэффициенты):

А1 А2

А3

А4

а5

к1 — к1 + а1к7, к2 — к2 + а1к6, к3 — к3 — а^5, 1к1 — ^ — а1к6, к2 — к2 + а2к7, к3 — к3 + а2к4,

к1 — Ь + а3к5,_ к2 — к2 — а3к4, к3 — к3 + а3к7, к23 — 0^23, к56 — 01к5б; к13 — 02к13, к46 — 02к46,

Ае : кп = 03ki2, к45 = 03к45

А? : к\ = а?к\, к2 = а7к2, к3 = а?к3, кд А8 : к9 = а8кд, а8 > 0,

Ад : кд = кд + ( 2 к8 — -к?) ад.

\ 1 — а а

U)

1/а

а7 = 0,

В А4 — Ае приняты обозначения вектора коэффициентов и матрицы вращения: к =(к к)т 0 = ( COs(ai) sm(cii)

кгз = (кh к) , 0г = ^ —sгп(аг) соз(аг)

При построении оптимальной системы подалгебр для целей симметрнйной редукции, к группе внутренних автоморфизмов добавляются дискретные автоморфизмы, порожденные отражением осей координат x ^ —х, у ^ —у, z ^ —z (в результате снимается исходное ограничение а-[ > 0 в А7), однако замена t ^ —t изменяет область интегрирования и потому не допускается.

Оптимальная система подалгебр строится с использованием классических алгоритмов [7,16], детально проиллюстрированных в [17] (координаты базиса записываются в виде матрицы и максимально упрощаются внутренними автоморфизмами, линейными преобразованиями строк и проверкой условий подалгебры).

Оптимальная система ©(L4) известна [18] (и легко строится):

в1(Ь4): 1.1: Х^ 1.2: Х7, 1.3 : Х4 + уХ7, у > 0,

©2(L4) : нет двумерных подалгебр,

3.1 : X4, X5, Хе,

4.1 : Х4,Х5,Хе,Х7.

Для уменьшения произвола в выборе представителей обычно накладывают требование нормализованное™: вместе с подалгеброй К е ©(L) в оптимальную систему должен входить ее нормализатор NorL К - наибольшая подалгебра в L, для которой К является идеалом.

Во многих случаях удобно использовать для построения инвариантных решений цилиндрическую и сферическую систему координат. Здесь и далее

R = л/х2 + у2 + z2, г = \Jу2 + z2, p : г cos p = у, rsinp = z.

В табл. 2 приведена построенная оптимальная система подалгебр ©(L7), для каждой подалгебры указана общая форма инвариантного решения уравнения (1), полученная из инвариантов подалгебры (в случае, когда инварианты содержат и).

Таблица 2: Оптимальная система ©(L7)

©3(L4)

©4L)

(19)

№ Подалгебра Проекция в L4 NorL7K Форма инвариантного решения

1.1 4 - 3.7 v(t, х, у2 + z2)

1.2 7 - 4.1 v(tx-2/a,t y-2/a,t z-2/a)

1.3 4 + ^7 - 2.1 v (jp — ln(r), tx-2/a,

1.4 1 0 5.1 v(tz)

1.5 1 + 4 1.1 2.1 v(x — p, y2 + z2, t)

2.1 4, 7 - 2.1 v (tx-2/a, 1)

2.2 2, 3 0 5.1 v(t, x)

2.3 1,4 1.1 3.7 v(t, r)

2.4 1, 7 1.2 3.7 v(ty-2/a, z/y)

2.5 1, 4 + ^7 1.3 3.7 v(t r-2/a ,jp — lnr)

3.1 4, 5, 6 - 4.1 ьЦ ,Я)

3.2 1, 2, 3 0 7.1 V®

3.3 1 + 4, 2, 3 1.1 4.2 V®

3.4 2, 3, 4 1.1 5.1 , х)

3.5 2, 3, 7 1.2 4.5 ьЦ х-2/а)

3.6 2, 3, 4 + ^7 1.3 4.5 х-2/а)

3.7 1, 4, 7 2.1 3.7 -2/а)

4.1 4, 5,6, 7 - 4.1 V {ЪП-2/а)

4.2 1, 2, 3, 4 1.1 5.1 V®

4.3 1, 2, 3, 7 1.2 7.1 с

4.4 1, 2, 3,4 + ^7 1.3 5.1 с

4.5 2, 3,4, 7 2.1 4.5 ьЦ х-2/а)

5.1 1, 2, 3, 4, 7 2.1 5.1 с

6.1 1, 2, 3,4, 5, 6 3.1 7.1

7.1 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 4.1 7.1 с

Используется сокращенная форма записи: (Хь Х2, Х3, Х4 + уХ7} обозначается как 1, 2, 3, 4 + 77. Также вводятся произвольные постоянные 7 > 0, Л = 0, р € Я.

Оптимальная система Ок(Я8) включает подалгебры двух типов: все элементы Ок-\(Я7), дополненные оператором Х8, а также подалгебры, построенные из Ок^7) добавлением слагаемых с Х8 к каждому оператору (с последующим упрощением и проверкой условий подалгебры), В табл. 3 приведены дополнительные элементы О(Ь8) то сравнению с О(Ь7).

Таблица 3: Оптимальная система О(Ь8) как расширение О(Ь7)

№ Подалгебра Проекция в Ь7 NатЬ8К Форма инвариантного решения

1.6 8 0 8.1 1-а/ау(х, у, ¿)

1.7 4 + 78 1.1 4.12 е(геа^/а,х, у2 + г2)

1.8 7 + Л8 1.2 5.2 ххь ЫаХ-2)/а, ^, V ' х' х)

1.9 4 + ч 7 + р8 1.3 3.8 х-ту (^е - ^, Хх,7Р — 1пх)

1.10 1 + 8 1.4 5.3 Га/аь(геах/а,у, г)

1.11 1 + 4 + 78 1.5 3.10 е(геа~^/а,х — р, у2 + г2)

2.6 4, 8 1.1 4.12 г-а/ау (х, у2 + г2)

2.7 7, 8 1.2 5.2 Га/ах2/аь (^, V х'х/

2.8 4 + 77, 8 1.3 3.8 г-а/ах2/ау (цр — 1п(г), х)

2.9 1, 8 1.4 6.2 г-а/ау(у, г) х

2.10 1 + 4, 8 1.5 3.10 Ь-а/аг](г, х — р)

2.11 4, 7 + Л8 2.1 3.8 \ ( Л<г-2 „\ хЛ V Нх - , хх 1

2.12 4 + 78, 7 + р8 2.1 3.8 х^е^ь е'« , х)

2.13 2 + 8, 3 2.2 4.7 е у V (Ъе - у, х)

2.14 1,4 + 7 8 2.3 4.12 е(ге^)

2.15 1 + 8, 4 + 78 2.3 3.10 е е - (х+~^),г )

2.16 1, 7 + Л8 2.4 4.12 Vх V (гу - , г/у^

2.17 1,4 + 77 + Л8 2.5 4.12 гх/1 V г — , ^р — 1п г^

3.8 4, 7, 8 2.1 3.8 х2/Ч-а/аь (х)

3.9 2, 3, 8 2.2 6.2 г-а/ау(х) х

3.10 1, 4, 8 2.3 4.12 Га/аь (г)

3.11 1, 7, 8 2.4 4.12 г-а/а у2/ау (г/ у)

3.12 1, 4 + у7, 8 2.5 4.12 £-а/а_ г)

3.13 1+8, 2, 3 3.2 5.3 еху (¿е ^

3.14 1 + 4 + 78, 2, 3 3.3 5.3

3.15 2, 3, 4+ 78 3.4 6.2 г-а/ау(х)

3.16 2, 3, 7 + А8 3.5 5.6 \ ( оА-2 \ хль Нх « )

3.17 2, 3, 4 +у7 + А8 3.6 5.6 хх/1 V х «Т ^

3.18 1, 4, 7 + А8 3.7 4.12 х / <гА-2 \ гл V Нг « )

3.19 1,4 + 78, 7 + ^8 3.7 4.12 -чб и (+ "<1-2 т^А е (ъг « е « )

4.6 4,5, 6, 8 3.1 5.2 г-а/ау (В)

4.7 1, 2, 3, 8 3.2 8.1 а-а/а

4.8 1 + 4, 2, 3, 8 3.3 5.3 сЪ-а/а

4.9 2, 3, 4, 8 3.4 6.2 г-а/ау (х)

4.10 2, 3, 7, 8 3.5 5.6

4.11 2, 3,4 + у7, 8 3.6 5.6

4.12 1,4, 7, 8 3.7 4.12 ^—а/а ^.2/а

4.13 4,5,6,7 + А8 3.8 5.2 Вхь (1 В°А-2)

4.14 1, 2, 3, 4 + 78 4.1 6.2 а-а/а

4.15 1 + 8, 2, 3, 4 + 78 4.2 5.3 а—а/а

4.16 1, 2, 3,7 + А8 4.3 8.1 с£а\/(2—а\)

4.17 1, 2, 3,4 + у7 + А8 4.4 6.2 ^ аХ/(2^—аХ)

4.18 2, 3,4,7 + А8 4.5 5.6 \ ( оА-2 \ хль Нх « )

4.19 2, 3, 4 + 78, 7 + ^8 4.5 5.6 ^—а/оу^/о

5.2 4, 5, 6, 7, 8 4.1 5.2 сЪ-а/а В2/а

5.3 1, 2, 3, 4, 8 4.2 6.2 сЪ-а/а

5.4 1, 2, 3, 7, 8 4.3 8.1 —

5.5 1, 2, 3, 4 + у7, 8 4.4 6.2 —

5.6 2, 3, 4, 7, 8 4.5 5.6 ^—а/Оу^/о

5.7 1, 2, 3,4, 7 + А8 4.6 6.2 с£а\/(2—а\)

5.8 1, 2, 3, 4 + 78, 7 + ^8 4.7 6.2 —

6.2 1, 2, 3, 4, 7, 8 5.1 6.2 —

7.2 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 6.1 8.1 а—а/а

7.3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 + А8 7.1 8.1 с^.аХ/(2—аХ)

8.1 1, 2, 3,4, 5, 6, 7,8 7.1 8.1 —

Оптимальная система О к ^д) строится аналогично, Отметим, что Хд соответствует идеалу, но не центру алгебры (как Х8), В результате, слагаемое кдХд в одном из базисных инфинитезимальных операторов можно исключить внутренним автоморфизмом Ад при выполнении условий

к2 + к2 = 0, кв = —- к7.

а

В табл. 4 перечислены подалгебры О(Ьд) до размерности 4, не входящие в О(Ь2).

№

Таблица 4: Оптимальная система О(Ь9) как расширение О(Ь8) Подалгебра Форма инвариантного решения

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16 1.17

9

4 + 9 7 + Л8 1 + 4 + 9

7+ ^ 8 ± 9

а

4 + у7 + ± 9

ГГГГГг-

v(х,y, г)

х, , V (у^,

1+& г

1+ 4 х

±1

х - V [х屫,у屫,г屫

1-а

х - V

1± 1\пх

,1р — 1nх, х)

2.18

2.19

2.20 2.21 2.22

2.23

2.24

2.25

2.26

2.27

2.28

2.29

2.30

2.31

2.32

2.33

2.34

2.35

2.36

2.37

2.38

4, 9

7, 9

4 + 7, 9 1, 9

1 + 4, 9

8, 9

4 + 8, 9 7 + Л8, 9 4 + у7 + Л8, 9 1 + 8, 9

1 + 4 + 8, 9

2 + 9, 3

1, 4 + 9 1 + 9, 4 1 + 9, 4 + 9 4, 7+ ^8 ± 9

' а

4 + 9, 7 + ^8 + р9 1, 7+ ^ 8 ± 9

1 + 9, 7+ (1-а2^2+а) 8

1—а,

гг-гага-

( х, )

2(1--)

х - VIй-,-

х х

2(1--) х - V

(7р — 1nх, х) ( , )

у(г, х — р)

ьа-

Ьа-Ьа-Ьа-Ьа-

э-1<Р

ь(х, г) х2/а-2-ХУ (х, х

х2/а-2-\/1у Ц —

- х ( , )

е-1хь (г, х — р)

х

V (г,

V (г,

V (г,

' Шу, _

1+Ьх,

1+г(х+(р)

1 - а / у.

х - V 1

1±Ъ\пг> 1±Ь\пх'

1--

х - V -,

х

1, 4 + у7 + ^ 78 ± 9

1 + 9, 4 + 77+ (1-а2(2+а) 78

х ' 1+t\п х) ' 1-- / + Г - V{р, Ш\ПТг

(1-д)(2-д) ,

Г 2- V [р Г - V

' 1+Ь х)

г0

р — 1п {щ-х ,тр — 1пг)

1 \пг

3.21

3.22

3.23

3.24

3.25

3.26

3.27

3.28

3.29

3.30

3.31

3.32

3.33

2, 3, 9 1, 4, 9

1, 7, 9

1, 4 + у7, 9

4, 8, 9 7, 8, 9

4 + 7, 8, 9 1, 8, 9

1 + 4, 8, 9 4, 7 + Л8, 9

4 + 78, 7 + р8,9

2 + 8, 3, 9 1, 4 + у8, 9

га-

( х ( )

у а У(г/у) г - у(ур — 1пг)

Г-1х2/а-2-ху (г/х) Г-1 е-^х2/а-2-11ь (г/х) Г-1 е-у V (х) Г-1 е-1{р V (г)

1-

а—

а—

а—

а—

а—

а—

а—

а—

(1--)(2-- )

3.34 1 + 8, 4 + 78, 9

3.35 1, 7 + Л8,9

3.36 1, 4 + j7 + Л8,9

3.37 1 + 9, 2, З

3.38 1 + 4 + 9, 2, З

3.39 2, З, 4 + 9

3.40 2, З, 7 + ^8 i 9

3.41 2 + 9, З, 7+ (1-a2(2+a)8

3.42 2, З, 4 + ^7 + 7^8 i j9

3.43 1, 4, 7 + 8 i 9 ' ' a

3.44: 1, 4 + 9, 7+ ^ 8 + i9

3.45 1 + 9, 4, 7+ ({-02^2+a) 8

4.20 4, 5, б, 9

4.21 1, 2, З, 9

4.22 1 + 4, 2, З, 9

4.23 2, З, 4, 9

4.24 2, З, 7, 9

4.25 2, З, 4 + ^7, 9

4.26 1, 4, 7, 9

4.27 4, 7, 8, 9

4.28 2, З, 8, 9

4.29 1, 4, 8, 9

4.30 1, 7, 8,9

4.31 1, 4 + j7, 8, 9

4.32 1 + 8, 2, З, 9

4.33 1 + 4 + J8, 2, З, 9

4.34 2, З, 4 + j8, 9

4.35 2, З, 7 + Л8, 9

4.36 2, З, 4 + j7 + Л8, 9

4.37 1, 4, 7 + Л8, 9

4.38 1, 4 + 78, 7 + ß8, 9

4.39 1, 2, З, 4 + 9

4.40 1 + 9, 2, З, 4 + 9

4.41 1 + 9, 2, З, 4 + 9

4.42 4, 5, б, 7 + 8 i 9 ' ' ' a

4.43 1, 2, З, 7 + 8 i 9 ' ' ' a

4.44 1 + 9, 2, З, 7+ (1-a)2+a) 8

4.45 1, 2, З, 4 + j7 + j^8 ij9

4.46 1 + 9, 2, З, 4 + j7 + j (1-a^2+a) 8

4.47 2,, З, 4, 7 + 8 i 9 ' ' ' a

4.48 2, З, 4 + ^9, 7+ ^8 + i9

ta~ 1е(г) ta- 1у2/а-2-xv (z/у)

ta-1r2/a-2-X/j v (^ - in r)

Ha-1v ( t/H ),H = 1 + tx Ha-1v ( t/H ),H = 1 + tx ta-1v(x)

x 1—aHa-1v (t/H) ,H = 1 i tlnx x(1~a)(2+a)/ (2a) H a-1u (t x/H ) ,H =l+ty x 1—aHa-1v (t/H) ,H = 1 i tlnx r1^Ha-1v(t/H),H = 1 i tlnr rl—rHa-1v (t/H ), H =l + (i lnr + ()t r(1-a)(2+a)/(2a)H»-1v (tr/H) ,H = 1 + tx

ta- 4 ( R)

cta- -1

cta- -1

cta- -1

cta- 1 2(1 —a) 1x a

cta- 1 2(1 —a) 1x a

1 2(1 —a) 1f a

et"

cta 1e x ct a~1 e ~1X

çj- a— ly^/a—2-Х

Ct a~ 1"x2/a~ 2-^/f

çj- 1 y2/а—2-Х

a-1 r2/a-2-ß ç-lf

eta-1 eta-1

a— 1

r 1—ah

a—1

v(t/H) ,H = 1 i tlnR

ía-1„±a

eta 1 e ± at

(a-lHa+2)^ , s (1— a)(2 —a) Ct 2 a (1 + fx) 2 a

eta-1 e ± ^r

( a —1)( a + 2) (1— a)(2 —a)

Ct 2 a (1 + fx) 2 a

1 —a

x ~~ar H

a— 1

v(t/H) ,H = 1 i tlnx

a— 1

1 a

4. Симметрийные редукции

Подалгебры малых размерностей (до трех) позволяют строить только инвариантные решения рангов два и три, т.е. сводить уравнение к уравнению в частных производных с меньшим числом переменных. Разрешение таких уравнений представляет собой сложную задачу и в данной работе не рассматривается,

В качестве иллюстрации, выполним симметрийную редукцию на подалгебре 2,1 {Х4,Х7}. Тогда соответствующая подстановка

и

( , )

= + х-2/»

т = Ьх

у2 + х2 х2

даже в простейшее линейное уравнение В"и = ихх + иуу + приводит к достаточно

( , )

В°и = 4р(р + 1) урр + (6р + 4) ур + 8а-1трутр + 4а-2т2 утт + 2та-1(1 + 2а-1) ут.

Далее будут рассматриваться инвариантные решения ранга 1, для которых симметрий-ная редукция приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению с целыми или дробными производными.

При осуществлении снмметрпйной редукции для подалгебр из 0(Ь7), 0(Ь8) наиболее часто встречается форма инвариантного решения

и(х, Ь) = К(х)у(т), т = 1д(х), х = (х,у, г)т. (20)

Тогда с помощью замены переменных в интеграле (2) легко получить соотношение

= ¡1(х)да(х)Оу (т). (21)

В частном случае

и(х, ) = ( ), = (х), после подстановки в (1), с учетом (20), имеем форму редуцированного уравнения

дапу = (К + ГЫ)2) г2 + —¡у'т. д2 д

Отметим, что использование других эквивалентных форм инвариантного решения может привести к наличию в редуцированных уравнениях дробных производных другого вида. Например, если выбрать форму и = -а/2х) вместо и = у(\,х-2/а\ в результирующем уравнении будут присутствовать операторы типа Эрдейи-Кобера [8,19,20],

Многие подалгебры оптимальной системы приводят к одной и той же форме решения в силу совпадения инвариантов.

Возникающие при построении инвариантных решений ранга 1 уравнения приведены в табл. 5,

Таблица 5: Результаты симметрийной редукции для подалгебр 0(Ь7) (случай произвольной функции к(и))

Подалгебры Подстановка Редуцированное уравнение

3.2, 3.3, 4.2, 6.1 3.5, 3.6, 4.5 3.7 4.1 у(1) у(г х-2/а) у(г г-2/а) у(г п-2/а) В^у = 0, у = аа-1 Ву = 4 г2 (ку'' + (у')2к') + 2(а + 2 тку' а 2 а 2 44 Ву = — т2(ку" + (у')2 к') +—-тку' а2 а2 Ву = 4 Т2(ку'' + (у')2 к') + 2(2 — а)тку' а2 а2

Для уравнения со степенным коэффициентом существуют дополнительные варианты редуцированных уравнений, приведенные в табл. 6,

Таблица 6: Результаты симметрийпой редукции для подалгебр 0(Ь8) ( к(и) = иа)

№

Подстановка

х2/аг-а/ау (г/х) г-а/ау(х)

1-»/ау(г)

г-а/ау 2/ау (г/у)

г-а/аг 2/°у (к) к = ур — 1п г еху {Ъеах/а^

Редуцированное уравнение

(т2 + 1) (у°у'' + оуа-1 (у')2) + — 2т [1 + у°у'+

3.8

3.9,

3.15,

4.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.16, 4.18

3.17

3.18

3.19

4.6 4.13

е'ху (¿е1ах/а)

Х ( о\ — 9\

хлу Нх ) хХ/1 у (ъх ^

Х ( о\—9 \

гХ у Н г^ ]

е^г^у (Ш) к = г

г-а/ау(п) кху (г п ^)

+2 (1 + 2) —

,,а+1

Г(1-а/а) Г(1-а-а/а) '

О(г.,')2 + '' Т(1-а/д) „,2-а = 0

о(У ) +УУ — г(1-а-а/а) =0

а // , а— 1/ /\2 | 1 а / Г(1-а/а) У°У + ОУа 1(У')2 + 1V У — ттгт-—т^

а-1 ау''

22

(1 + (VаУ'' + ОУа-1 (у')2) — (1 + 2) 2уау'+

+а (1+2) --—

,,а+1

Г(1-а/а)

а) Г(1-а-а/а)

(у2 + 1)(г; ау'' + оу а-1(у')2) —

4(а+1)

(оуау' — уа+1) — гГ(1-а/а/ )У = 0

' Г^-а-а/а)

ву = £ т2 (у ау'' + ОУ а-1(у')2) +

+ % (2а(о + 1) + о)туау' + (о + 1)уа+1

ву

т2(у ау'' + оЬ а-1(у')2) +

+ ^ (2а(о + 1) + о)туау' + (о + 1)у2уа+1 Ву = ^^^г2 (уау'' + оуа-1(у')2) +

Ха-2

(2 \(о + 1) — 1 + туау' + Х2(о + 1 — Х-1)уа+1 Ву = (а^/)2 т2 (уау'' + ОУа-1 (у')2) +

+ ^ {2Х(О + 1) — 7 + ^) туау' + * (О + 1 — 7/Х)Уа+1 Ву = т2 (уау'' + оуа-1(у')2) +

+ ^ (2Х(о + 1) + ^) туау' + \2 (о + 1)уа+1

\2 9 9 ^

Ву = (^-2)а2+1 а т2 (уау'' + ОУа-1(у')2) + (у2 + ¡12)(о + 1)у

+ -1 ((72 + М2)(2ао + 2а + о)о + 4 — 4^(ао + а + о)) туау' О(у')2 + ™'' + 2У у'/п — = 0

Ву = т2 (уау'' + оуа-1(у')2) +

Ха-2

(2 \(о + 1) + 1 + туау' + Х2(о + 1 + х-1)уа+1

0

Заметим, что всем подалгебрам, содержащим оператор Х8, соответствуют решения вида и = г-а/ау(к(х, у, г)), которые приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям без дробных производных после редукции. Как показано в [12], многие из таких уравнений интегрируемы в квадратурах.

Все подалгебры, содержащие подалгебру 2.2 (операторы Х2, Х3), порождают инвариантные решения одномерного нелинейного уравнения аномальной диффузии. К таковым,

3.2 — 3.6, 3.9, 3.13 — 3.17 совпадают с полученными в работе [12].

Легко заметить, что и в остальных случаях редуцированное уравнение для инвариантных решений ранга 1 имеет вид, аналогичный [12]:

ВУ = А(у ау'' + оу а-1(у')2) + Втуау' + Суа+1, (23)

кроме случаев сведения к уравнениям без производной дробного порядка.

Перейдем к использованию подалгебр 0(Ь9), те входящих в 0(Ь8). Они позволяют строить новые инвариантные решения при к(и) = иа, а = 2а/(1 — а).

Если такая подалгебра содержит Х9 как базисный оператор (3,21-3,36, 4,20-4,38), один из инвариантов принимает вид пЪа-1, и мы получаем аналог стационарного решения (х,у, г), для которого левая часть уравнения обращается в 0, Во всех прочих случаях для осуществления симметрийной редукции комбинированием инвариантов подалгебры удается выбрать форму инвариантного решения

и(х, 1) = к(х)(1 + 1д(х))а-1ь (т), г = и далее использовать соотношения

Баи = /,(-.х)Ха(х)(1 + 1д(х))-1-аОаь (т), иаи = ^(х)Х-1 (х)(Х(х) — тд(х))1+аВа V (т), полученные с помощью замены переменных в интеграле (2),

Таблица 7: Результаты симметрийной редукции для подалгебр 0(Ь9), за исключением решений вида Г-1у(х) (к(и) = и°,а = 2а/(1 — а))

№ Форма решения и редуцированное уравнение

3.37, 3.38 Hv-1v (t/H ),H = 1 + tx D*v = т4 (v°v'' + ava-1(v')2) + 2(a + 2)t3v°v' + (1 - a)(a + 2)r2v

3.40, 3.42, 4.47 x^Ha-1v (t/H)), H =1 ± tlnx D*v = г4 (v°v'' + ava-1(v')2) + (а + 2)(2r - 1/a)r2v°v'+ +^((а + 2)ат(ат - 1) + 1)v°+1

3.41 x(1-a)(2+a)/(2a)H»-1v (tx/H) ,H = 1 + ty D*v = t2(t2 + 1) (vav" + ava-1(v')2) + (а + 2)(2r2 + ^)T2vav'+ + (1-*(V+2) (4а2т2 + а2 + а + 2)va+1 *

3.43 r^Hv-1v(t/H), H =1 ± tlnr D°v = T4 (vav'' + ava-1(v')2) + 2 ((а + 2)т T r2vav'+ +10f-((а + 2)а2т2 T 2(а + 1) ат + а + 1)v"+1

3.44 r^H^v (t/H) , H = 1 + (ßlnr + tp)t D°v = (¡i2 + 1)T4 (vav" + ava-1(v')2) + 2 ((¡2 + 1)(а + 2)т - ßr2vav'+ +1-0((ß2 + 1)(а + 2)а2т2 - 2ц(а + 1) ат + а + 1)v°+1 *

3.45 r(1-0)(2+0)/(20)H0-1v (tr/H) , H = 1 + tx D°v = T4 (vav" + ava-1(v')2) + *(2а(а + 2)т2 + а2 + 4а + 2)TVav'+ + (1-1000+2) (4а2т2 + (а + 1)(а + 2))v«+1

4.42 R^H0-1v (t/H), H =1 ± tlnR D°v = T4 (vav'' + ava-1(v')2) + (2(а + 2)т T 3v+2) r2vav'+ +1-0((а + 2)а2т2 T (3а + 2)ат + 2а + 1)v°+1

,

ванные уравнения совпадают с полученными в [12],

Отметим, что все редуцированные уравнения табл. 7 имеют вид

Ву = (Ат2 + В)т2 (уау'' + ауа-1(у')2) + (Ст2 + Вт + Е)тVе7 V' + (Вт2 + Ст + Н)ьа+1.

Инвариантные решения ранга 0 строятся на основе подалгебр размерности 4 и более, В соответствии с табл. 2,3,4, абсолютное большинство таких решений имеет степенной вид. Они также соответствуют степенным точным решениям редуцированных уравнений для решений ранга 1,

Заключение

Проведенная в данной работе групповая классификация и процедура симметрийной редукции иллюстрирует применимость классических алгоритмов группового анализа дифференциальных уравнений для систематического исследования нелинейных уравнений с производными дробного порядка и несколькими независимыми переменными. Результаты согласуются с ранее полученными для одномерной модели.

Построенные оптимальные системы подалгебр и формы инвариантных решений могут оказаться пригодными и для других трехмерных моделей с производными дробного порядка.

Основных сложностей построения редуцированных уравнений (изменения пределов и типа оператора дробного дифференцирования) удается избежать путем выбора подходящей формы инвариантного решения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987. 688 с.

2. A. A. Kilbas, Н.М. Srivastava, J.J. Trujillo Theory and applications of fractional differential equations. Elsevier, Amsterdam. 2006.

3. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: «Артишок». 2008. 512 с.

4. L. Caffarelli, J.L. Vazquez Nonlinear porous medium flow with fractional potential pressure // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2011. V. 202. № 2. P. 537-565.

5. Plociniczak L. Analytical studies of a time-fractional porous medium equation. Derivation, approximation and applications // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2015. Vol. 24. Issues 1-3. P. 169-183.

6. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М. : Наука. 1978. 400 с.

7. Чиркунов Ю. А., Хабиров С. В. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во НГТУ. 2012. 659 с.

8. R. К. Gazizov, A. A. Kasatkin, S.Yu. Lukashchuk Symmetries, conservation laws and group invariant solutions of fractional PDEs. In Anatolv Kochubei, Yuri Luchko (Eds.), Fractional Differential Equations (pp. 353-382). Berlin, Boston: De Gruvter. 2019.

9. Газизов P. К., Лукащук С. Ю. Дробно-дифференциальный подход к моделированию процессов фильтрации в сложных неоднородных пористых средах // Вестник УГАТУ. 2017. Т. 21. №4 (78). С. 104-112

10. Дородницын В. А., Князева И. В., Свирщевский С. Р. Групповые свойства, уравнения теплопроводности с источником, в двумерном и трехмерном случаях // Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. № 7. С. 1215-1223.

11. N.H. Ibragimov CRC Handbook of Lie group analysis of differential equations. Vol.1. Symmetries, exact solutions and conservation laws. CRC Press Inc., Boca Raton, Florida. 1994. 430 p.

12. Лукащук С.Ю. Симметрийная редукция, и инвариантные решения нелинейного дробно-дифференциального уравнения аномальной диффузии с источником, // Уфимский математический журнал. 2016. Т. 8, № 4. С. 114-126.

13. Е. Lashkarian, S.R. Hejazi, Е. Dastranj Conservation laws of (3+a)-dimensional time-fractional diffusion equation // Computers & Mathematics with Applications. 2018. Vol. 75. №3. P. 740-754.

14. S.Y. Lukashchuk, A.V. Makunin Group classification of nonlinear time-fractional diffusion equation with a source term // Applied Mathematics and Computation. 2015. V. 57. P. 335-343.

15. Лукащук С.Ю. Об одном, классе систем дробно-дифференциальных уравнений с симметри-ями только линейно-автономного вида // Сб. тезисов международной научной конференции «Уфимская осенняя математическая школа». Уфа: РИЦ БашГУ. 2019. С. 134-136.

16. Овсянников Л. В. Об оптимальных системах подалгебр // Докл. РАН. 1993. Т. 333, № 6. С. 702-704.

17. Ильясов А. М. Оптимальная система подалгебр алгебры Ли точечной группы симметрии нелинейного уравнения теплопроводности без источника. Уфимский математический журнал. 2013. Т. 5. № 3. С. 54-66.

18. J. Patera, P. Winternitz Subalgebras of real three-and four-dimensional Lie algebras // Journal of Mathematical Physics. 1977. V. 18. № 7. C. 1449-1455.

19. E. Buckwar, Y. Luchko Invariance of a partial differential equation of fractional order under the Lie group of scaling transformations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1998. T. 227. — №. 1. P. 81-97.

20. R. Sahadevan, T. Bakkvaraj Invariant analysis of time fractional generalized Burgers and Korteweg de Vries equations // Journal of mathematical analysis and applications. 2012. T. 393. №. 2. C. 341-347.

Рафаил Кавыевич Газизов,

ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. Карла Маркса, 12, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: gazizovrk@gmail.com

Алексей Александрович Касаткин,

ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. Карла Маркса, 12, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: kasatkin@ugatu. su

Станислав Юрьевич Лукащук,

ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет», ул. Карла Маркса, 12, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: lsu@ugatu.su