CC BY
77
Механика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 1, с. 133-138
УДК 531
О ЛЕВИТАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПО ФОРМЕ ДИАМАГНИТНОГО ТЕЛА
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
© 2011 г. Н.И. Лапин
Нижегородский государственный педагогический университет lapinni@gmail .com
Поступила в редакцию 09.07.2010
Рассматривается использование математического аппарата неприводимых тензоров в задачах электростатики и в задачах левитации диамагнитных тел. На конкретных примерах показаны запись силовой функции и способы нахождения сил, моментов сил.
Ключевые слова: неприводимый тензор, силовая функция, левитация.
Введение
В настоящее время существуют задачи, точное аналитическое решение которых до сих пор не найдено или крайне сложно для нахождения. К данному типу задач можно отнести задачи о движении твердых тел в неоднородных силовых полях различной физической природы, например: движение спутника произвольной формы в гравитационном поле Земли при учете всех влияний, оказываемых на него; левитация, когда ротор находится внутри вывешиваемого поля. Данные задачи требуют значительных усилий для нахождения силовой функции, сил, характеристик обеспечивающих устойчивость, моментов, возникающих при взаимодействии. В этом случае трудность состоит в необходимости решения граничной задачи математической физики со сложной конфигурацией границы. Существует возможность, не решая граничной задачи математической физики, сразу получить общее инвариантное представление силовой функции взаимодействия твердого тела с полем. Используя математический аппарат неприводимых тензоров, удается в общем виде записать инвариантное представление силовой функции взаимодействия твердого тела с полем. Данный аппарат создавался для нужд квантовой механики, но оказался весьма универсальным. Применение его в задачах механики приводится в работах [1-4].
Неприводимым тензором ранга I будем называть всякую физическую величину, которая при вращении пространства преобразуется по неприводимому представлению группы вращений.
Независимо от физического взаимодействия силовую функцию можно представить в виде ряда [4]:
V = !Т/; V/ = (А1 • В/).
(1)
/
В скобках - скалярное произведение двух неприводимых тензоров, где А1 - неприводимый тензор, связанный с телом; В{ - тензор, связанный с полем.
При рассмотрении конкретных видов физических взаимодействий основная задача состоит в вычислении тензоров, связанных с телом. Часто эта задача аналитически неразрешима. Однако в некоторых задачах вследствие быстрой сходимости ряда (1), используется один или несколько членов разложения силовой функции. Рассмотрим этот вопрос более подробно.
1. Использование аппарата неприводимых тензоров в задачах электростатики
Пусть два тела произвольной формы с однородной диэлектрической проницаемостью заряжены с объемной плотностью заряда Р1 и р2 соответственно и находятся на расстоянии, значительно меньше размеров тела. Найти силовую функцию и силовые характеристики двух взаимодействующих тел.
Из теории потенциала известно, что
и = —^ | р^у1 = | йр^¥ъ (2)
4Я88П „ у А у
где и = ■
о V
1 :р2<*¥2 'СТО »
4пвв
А
- силовая функция тела
2, приходящаяся на материальную частицу единичного заряда, помещенную в текущей точке Р1 тела 1, А - расстояние между единичными зарядами тел 1 и 2, - электрическая постоян-
ная. Обозначим через Г1 и г2 радиус-векторы
частиц тел 1 и 2 относительно некоторых точек, выбранных за их центр, а через И - радиус-вектор центра тела 2 относительно центра тела 1. Тогда
А = |г1 - а , где а = г2 + И, гь г2 < И.
Сначала найдем разложение и . Для этого используем известный ряд [5]:
1 1 от
- = |-1 = Ж (ОИ (а)), (3)
а г - а
^=1
где
ленные без множителя
21 +1 4л
круглых скобках в (3) представляет собой скалярное произведение двух неприводимых тензоров, определяемое по правилу (Л/ • ) =
= I AmBl = I (—1)—m AimBim .
l=—m
l=—m
4лєє 0 i=0
Здесь Ii(2) = J p 2Jl (r2)dV2
ный в объеме тела,
l = 1 Il^ = j rl^pdV = qrC -
где выражение в фигурных скобках - тензорное произведение неприводимых тензоров ранга п и I.
Подставляя соотношение (7) в формулу (6), после интегрирования получаем
и=
1
4лєє,
=I
I (21 + 2n +1)! (2^ + 1)!(2n)!
(8)
x(Ii (1){In (2) e^i+n (R)}i).
Jh (r) = rlYln(r), ^ (r) = r-(/+1)Yfo (r) (4)
- регулярные и иррегулярные (в соответствии с их поведением в точке r = 0) шаровые функции, Yin (r) - сферические функции (функции
направления единичного вектора r), опреде-
Применяя формулу схемы связи неприводимых тензоров, находим еще одно более симметричное выражение силовой функции
и = -
1
-I (—1)n
(21+2n)! 4лєєо т' ' V(2^)!(2n)! x(I (1)в (2)},„
^l+n
(R)).
(9)
. Выражение в
Фазовый множитель в (9) зависит от направления вектора И. Если И будет направлен от тела 2 к 1, то в (9) надо (-1)” заменить на (-1/,
£+Пс
Подставляя разложение (3) в интеграл, определяющий и , получим
1 ТО
и = --------I(Ii (2)«i (a)). (5)
неприводимый
тензор ранга I, физический смысл которого рассмотрен ниже:
I = 0, /0 =| р^У = д - заряд, распределен-
дипольный
_ С и
момент, где г^ - вектор, проведенныи от точки,
принятой за центр тела, до центра масс тела.
Подставляя теперь формулу (5) в выражение (2), будем иметь
1 ТО
и = ---------------------X Ь (2)/И/(аЖ. (6)
4лвв о /=о V
Для вычисления интеграла в этой формуле используем соотношение [2]
И/(а) = И/ (Г2 + Я) =
” I (21 + 2п +1)!, г (7)
ХЛ(2^ + 1)!(2и)!^ п(Г2) Х 1+п( 7 ’
= т.к. Щ+„ (-Я) = (-1)*+» Щ+„ (Я).
Подчеркнем, что при получении разложений (8) и (9) мы не вводили систему координат, и сам вид разложений - скалярное произведение инвариантных объектов - показывает, что они представляют собой инварианты. Каждый член формулы (8) можно трактовать как взаимодействие, описываемое скалярным произведением тензора I (1), связанного с телом 1, с электрическим полем тела 2, определяемым тензором {1п(2)®И+п(Я)}/. Формула (9) поддается более привычной в физике трактовке на языке взаимодействия мультиполей: она описывает взаимодействие мультиполей разных порядков тел 1 и 2.
Если плотность заряда симметрична относительно некоторой оси, проходящей в теле, то всегда можно выбрать систему координат, в которой выражение силовой функции значительно упрощается. Силовая функция электрического взаимодействия заряженных тел, обладающих геометрической осью симметрии, имеет вид
1 .£<-1)». х
и=
4™ео ' п2Щ2и)!
х 11 о(1) ® /ио(2)({Г/ &) ® ¥п (е2)}/+„ И/+» (Я)),
где е - единичный вектор геометрической оси симметрии тела.
Рассмотрим несколько случаев:
а) направления £ и £2 параллельны, тогда
x
x
2
и = —^ £ (-1)п (/+П)! х
4^88
0 / ,п
/!п!
При вычислении вариации было использовано [2]:
х I/о(1)/по(2)
^1|ХИ/+п^
= ,1(/ + п +1)(2/ + 2п + 3)С,
/+п5
/+п+1$-ц1цИ/+п+1,5-Ц.
И,
б) направлетия £ и Я гараллель™, тогда Подставляя выражение (12) в (11), получаем
U = ■
4^88
_£ (-1)п (!±п1 х
0 / ,п
/!п!
U = ■
+ -43 (12 (2)' Г (К )) +
+ 43 (12 (1)' Г (Я))+-44 (1з (2)' Г (Я)) +
Я
Я
+44 (Iз (1)' Гз (Я ))|.
5и = —^-£(- 1)п 1(2/ +2п)! х
4*88о £ ' V (2/)(2п) (11)
х({1/ (1)® 1п (2)}+п-5И/+п (Я)).
Вычисляя вариацию, получим
5И/+п (Я ) = (5Я -У)И/+п (Я ) =
= у1(/ + п +1)(2/ + 2п +1) {И/+п+1 ® 5Я/ }+п.
F = 5и = --
4Л88Г
х I, о(1) !„о(2)
Здесь Р +п ((£1 • Я)) и Р+п ((£1 • е2)) - полиномы Лежандра, зависящие от косинусов углов между соответствующими единичными векторами;
в) силовая функция взаимодействия заряженного шара и несферического заряженного тела. Пусть одно из тел, например 2, есть заряженный шар с однородной плотностью заряда. Тогда все 1п (2) при п > о равны нулю, силовая функция принимает вид
1 “
и = -— £(1/ (1)-И/(я)) . (10)
4л88 о /=о
Приведем несколько первых членов разложения (10) с точностью до четвертых степеней отношений наибольших линейных размеров тел к расстоянию между их центрами:
^ Лп 1(2/ + 2п +1)! (/ + п +1)(2/ + 2п + 3)
х£1 V 3ЩЩ х
х{{1/(1)® /п(2)}+п ®5И/+п+1(Я)}. (13)
Минус в формуле означает, что сила направлена от 2 к 1.
Для получения формулы главного момента сил взаимодействующих тел рассмотрим вариацию силовой функции при бесконечно малом повороте 8ф. Вариация неприводимого тензора при бесконечно малом повороте определяется формулой
5Л/ = чф(/ +1) {5ф/ ® Л/} . (14)
Частный случай этой формулы - вариация вектора при бесконечно малом повороте. Так, при / = 1 имеем
5Л1 = —/л/2{5ф1 ® Л1} —— [5ф, А].
Определяя вариацию силовой функции согласно (14), получаем после преобразования
/
м=ъи=■
4*88 г
Данному выражению в силу его инвариантности отдают предпочтение.
Рассмотрим вопрос о вычислении главных векторов сил и моментов сил взаимодействия двух заряженных тел по известной силовой функции. Для определения силы, действующей со стороны тела 1 на тело 2, найдем вариацию силовой функции на бесконечно малом изменении 5Я. Имеем
(12)
ху(— 1)п I(2/ + 2п + 1) / (/ + 1)(2/ + 1) х £ 3(2/ + 1)(2п)!
х(5ф{/1(1)®{1п (2)®И/+п (Я)}/}). (15)
Чтобы убедиться в правильности рассуждений, посмотрим, к чему приведет прямое аналитическое вычисление полной энергии произвольного по форме диамагнитного тела в магнитном поле.
2. Применение аппарата неприводимых тензоров в задаче о левитации диамагнитного тела произвольной формы
Теоретическая и экспериментальная возможность безопорной подвески диамагнитных тел в постоянном магнитном поле была показана Браунбеком [6] в 1939 году. Им впервые был вывешен графит массой 75 мг в поле электромагнита. Браунбек отметил, что парящие частицы произвольной формы в большинстве случаев имели несколько устойчивых положений равновесия и могли часто перескакивать из одного
1
1
х
х
положения в другое. Поскольку магнитная проницаемость диамагнетиков (за исключением сверхпроводников) очень мало отличается от единицы, то сила, действующая на диамагнетик, мала. В настоящее время сконструированы магниты, использующие сверхпроводимость и создающие постоянные поля свыше 20 Тл. Появилась возможность вывешивать различные материалы, обладающие слабым диамагнетизмом, такие как дерево, пластик, вода, протеин, алмаз, ДНК и многие другие, а также живые существа. Эксперименты по подвеске слабых диамагнетиков главным образом проводились для подтверждения возможности левитации различных тел.
Отличительной чертой и преимуществом диамагнитной левитации по сравнению с другими известными или возможными схемами, включая сверхпроводящую левитацию, является то, что для однородного материала существуют магнитные поля с определенной конфигурацией, когда гравитация скомпенсирована на уровне отдельных атомов и молекул.
Теоретические исследования динамики диамагнитных тел в поле подвеса почти не проводились, а если и проводились, то на простых моделях, основанных на квазиоднородном приближении, что не позволяет учесть форму вывешиваемого тела.
Методика расчета основана на вычислении энергии взаимодействия тела при смещении относительно центра подвеса с вывешивающим полем произвольной конфигурации. Для тела в форме шара данная методика приведена в [7]. Рассмотрим систему (рис. 1), состоящую из двух витков и вывешиваемого диамагнитного тела несферичной формы.
Рис. 1. Положение диамагнитного тела задается координатами х, 2 и углом Р
Представим взаимодействие диамагнитного тела, близкого по форме к сфере, с магнитным полем в виде разложения по мультиполям
и = ио (г)+^(г, 9). (16)
Здесь ио (г) = ио (г) - силовая функция сферического тела; и8(г, 9) - вклад, обусловленный несферичностью тела,
^(г,9) = (е* • 0*), (17)
где - неприводимый тензор формы тела, *
малая величина; е - силовой тензор - величина, определяемая положением и силой источников поля. Скобки в (17) означают скалярное произведение тензоров.
Гармоники формы представляют собой коэффициенты разложения уравнения поверхности тела по сферическим функциям
Я = До
1+Х X
к 5=—к
)
2к +1
(18)
где Д0 - радиус «средней» сферы, штрих означает, что в'к5 вычисляются в системе координат, связанной с телом. Поскольку коэффициенты в'к5 являются неприводимыми тензорами, то их значения в системе координат, связанной с источниками, можно получить действием матрицы конечных вращений Вкр5 [5]:
вь = Х^Р* (а,р У)вь ,
(19)
а,Р, у - углы Эйлера, задающие ориентацию системы координат, связанной с телом, относительно системы координат, связанной с источником; в'к5 - неприводимые тензоры ранга к, характеризующие геометрию тела. Например, тензору В2 отвечает эллипсоидальность, тензору Вз - грушевидность, В4 - кубичность.
В общем виде потенциальная энергия взаимодействия произвольного по форме и размеру диамагнитного тела в магнитном поле получена
в [7]:
хцоу I (/ + /'+Ь +1)(/ + /' — ь) х
4 Х\(/ + Г + Ь —1)(/ + Г + Ь — 2)
и = -
(
/'-іЬо /+/ —2 х С/—1 о /'—1 ог
\
(20)
С Х СГ }•{г1+Г—Х (ег)4У
V У /
Из выражения (20) следует, что вычисление потенциальной энергии в общем случае сводится к вычислению объемного интеграла Г г/+/ ~2УЬ (ег )^У при заданной форме тела.
к
Приведем аналитическое вычисление данного интеграла (оси ординат задаются углами 9 и О):
b 2л
Г «l+l — 2у ллг _ Ґ „2
V о о
Jrl+l'—2YLdV = Jr2dr JdфJ rl+l'—2YL sin ede =
ri+v+l
= \-T-----------
J l +1 ' +1
YMdn =
b
l + l +1
l +l +1
-4л +
+ bl+l ,+1 J(skYk )• Y^Q =bl+l ,+1 Isks J Y^n =
k ,s
. bl+l'+1 ,l+r+1 4л
= 4л----------------+ bl + +1
• # • - 'Sks .
l + l + 1 2 k + 1 ks
При подстановке данного значения в формулу
(20), получим
U = -^o I-J—b21+1 a • at)-2 12i +1 V l U
где
{Pl в al' }kо = Ak + zBk + z2Ck + х2Dk, {^l в al' }k1 = -Vk(k + l)(хEk + XzFk ),
{al в al ' }k 2 = I
(k + 2)
({ai вai'}k 'sk)=({aiвar}k • Yk)s kо =
4
= sk о[(Ak + zBk + z2Ck + х2 Dk К(cosP)
+
+ (хEk + хzFk )Pk1 (cosP)cosa +
3(r e) = skо [(Ak + zBk + z Ck + х Dk) x Pk (co sP) + (хEk + хzF,k )Pk1 (cosP)co sa +
U0(r,e) = smlLA + zBp + z Cp + х D^)x
+ х2GkPk2(cosP)cos2a .
P2 (cosp) =1 (cos2 p-1),
P (cosp) = 3sin p cosp,
P22 (cosp) = 3sin2 p .
Состояние равновесия вычисляется из условия равенства нулю суммы сил и моментов, действующих на тело. Из [8] следует, что для консервативных сил должно выполняться ра-5U
венство Qk =-------------. Рассмотрим случай a = 0.
дЧк
Запишем систему уравнений, решением которой будут координаты состояния равновесия:
Qz = F - 2 Kz -
ХВо у l(l + i' + k + l)(l + Г—k) x
2 12k +1\ (l +1' - k - l)(i +1' + k)
x Ct% ї'—іоЬІ+1 +l({a/ в al' }k • sk ), (21)
л/ Х аї }к2 = лі (£_ 2) Х ^к. (22)
Выражение (22) позволяет расписать значение скалярного произведения выражения (21), обусловленного несферичностью
— s kоl -(Bk + 2Ckz)(3cos2 p)+
+ - %Fk sin 2P| = mg, ( (
Q - —2Кх — skо
DkX
V V
3cos2 P- 1
(25)
3
+ 2 (Ek + zFk ) sin2P + б х sin2 P
MP =sk о f— “ (Ak + Bkz + Ckz 2 + Dk-^2 )sin 2P +
2
+ 3K- + ^)cos2P + ^ Gks^2P).
-к + хггк)1 к '
+ х2ОкРкк(со8р)со82а].
Рассмотрим формулу (21). Приведем значение силовой функции сферического тела к виду
ио(г) = Ло + + К2г2 + Кхх2 , (23)
где - сила, действующая на шар; Кг, Кх -жесткости; указанные параметры вычислены в работе [7].
Силовую функцию, обусловленную несфе-ричностью, представим в виде (22)
Решение данной системы позволяет рассмотреть состояния равновесия, четыре из которых находятся на оси, а одно смещено. При смещении наблюдается поворот на угол ф. Приведем основные решения системы (25):
[„ л - -8 к о Бк + 2^0 л л]
IХо - ° го =- 2(2Кг-8коСк) ’ Ро " 2 2}'
Iхо = о, го =-21+4оБк + "«, Ро =Л'-л1'
2(2Kz +sk оCк )
(24)
Приведем присоединенные полиномы Лежандра при k = 2
{хо = П' го = Р' Ро = ф}
где П, Р, ф - смещения по оси X, 2 и поворот, связанный со смещением.
Исследовать на устойчивость данные состояния равновесия будем по теореме Лагранжа [8], из которой следует, что потенциальная энергия в состоянии равновесия должна иметь изолированный минимум. Требование минимума выполняется при условии положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии в состоянии равновесия. Разложим функцию потенциальной
+
энергии в ряд вблизи состояния равновесия. Разложение представим в виде:
и(хо - £' го - Л' ро - 9) =
= А) + Кгго + 8к о71 +
+ (- 2Кгго + 8 к о (- Бк - 2Скго ))л +
+ T2^2 + T3^2 - 3skо(- Ek - Z0FkЖ-
3 7
- ~ sk о?Їє +...,
(2б)
где
71 = Лк + гоБк + гоСк ,
72 = Кг + 8 коСк ,
73 = Кх + 8 к о^к.
Условие положительной определенности матриц вторых производных функции потенциальной энергии в состоянии равновесия запишется в виде:
T2 > о, T3 > о,
2TlT3 + 3s kо (Ek + ZоFk)2 < о.
(27)
Если условия (27) выполняются, то функция энергии магнитного поля для произвольного по форме диамагнитного поля будет определенноположительна в окрестности исследуемого состояния равновесия.
Заключение
Выполнение условий (27) ползволяет определить область устойчивого удержания диамаг-
нтиного тела произвольной формы в поле системы круговых токов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-00333а).
Список литературы
1. Урман ЮМ. Применение метода ненриводи-мых тензоров в задачах об эволюционных движениях твердого тела с неподвижной точкой // Изв. РАН. MIT. 1997. № 4. С. 10-20.
2. Урман ЮМ. Инвариантное разложение силовой функции взаимного притяжения системы тел // Астрономич. журнал. 1989. Т. бб, № 5. С. 1081.
3. Урман ЮМ. Инвариантное представление потенциального взаимодействия твердого тела с неоднородным электромагнитным нолем // Изв. РАН. ЫТТ. 2005. № 1. С 13-19.
4. Урман ЮМ. Неприводимые тензоры и их применение в задачах динамики твердого тела // Изв. РАН. ЫТТ. 2007. № б. С. 52-68.
5. Варшалович Д.А., Mоскaлев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. M.: Наука, 1982. б23 с.
6. Braunbek W. Freischwebende Korper im eleck-trischen und magnetischen Feld // Z. Phys. 1939. 112. S. 753-7б3.
7. Урман ЮМ., Бугрова Н.А., Ланин Н.И. О левитации диамагнитных тел // ЖТФ. 2010. Т. 80, № 9. С. 25-33.
8. Mеркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. M.: Наука, 197б. 305 с.
ON LEVITATION OF AN ARBITRARILY SHAPED DIAMAGNETIC BODY IN A MAGNETIC FIELD
N.I. Lapin
The application of the irreducible tensor formalism to the problems of electrostatics and levitation of diamagnetic bodies is considered. The force function formulation and the ways to find forces and torques are illustrated by specific examples.
Keywords: irreducible tensor, force function, levitation.
