CC BY
49
Механика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (1), с. 137-143
УДК 531
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
© 2011 г. Ю.М. Урман, Н.И. Лапин
Нижегородский государственный педагогический университет штап37 @таП .т
Поступила в редакцию 18.03.2011
Получены формулы преобразования тензорных решений уравнений Г ельмгольца при трансляциях (теоремы сложения), которые могут быть использованы для решения задач теоретической и математической физики, где необходимо связать граничные условия двух или большего числа пространственных тел, и в различных задачах квантовой механики. В качестве примера полученных формул находятся инвариантные разложения энергии взаимодействия пространственных токовых распределений.
Ключевые слова: уравнение Г ельмгольца, неприводимый тензор, силовая функция, теорема сложения тензорных функций.
1. Введение
Ряд задач теоретической и математической физики приводит к необходимости представить решения уравнений Гельмгольца или Лапласа, записанные в одной системе координат, через решения того же уравнения в другой системе координат, сдвинутой относительно первой. Такая проблема возникает, когда нужно связать краевые условия для двух или большего числа тел в задачах электродинамики и теплопроводности, при разложении по мультиполям энергии взаимодействия гравитирующих тел либо зарядовых или токовых пространственных распределений и т.д. Для всех задач такого типа необходимо знать оператор сдвига, преобразующий решение из одной системы координат в другую.
В работах [1, 2] получены формулы преобразований (теоремы сложения) для скалярных решений уравнений Г ельмгольца (скалярных волновых функций) при трансляциях. В настоящей работе решается более общая задача: с помощью метода из работы [3] находится оператор сдвига, преобразующий решения уравнения Гельмгольца, и выводятся теоремы сложения для тензорных волновых функций, из которых, в частности, следуют теоремы сложения как для скалярных, так и для векторных решений этого уравнения. В качестве примера применения полученных формул находится инвариантное разложение энергии взаимодействия пространственных квазистационарных токовых распределений.
2. Группа симметрии уравнения Г ельмгольца
Известно, что группа движений пространства Е(3), состоящая из вращений относительно
g(A, a) =
А е 30,
начала координат и сдвигов, является группой симметрии уравнений Гельмгольца. Она отображает решения уравнения Гельмгольца снова в решения. Элементы Е(з) в трехмерном пространстве могут быть реализованы как элементы множества вещественных 4 х 4 -матриц, имеющих вид:
0"
А 0
0
а1 а2 а3 1
a = (а1,а2,а3)е R3 Элемент §(А, я) отображает точку x е R3 в точку xg = хА + ае R3. Групповое произведение определяется произведением матриц б(А, а^(А', а') = б(АА', аА' + а'). Геометрически g соответствует повороту А относительно начала координат (0,0,0) е R3 с последующим переносом на вектор а.
Пусть у (г) - решение уравнения (д + ю2 )х х у(г)= 0. Преобразование Фурье
у(г) = ехр(/югк )к(к )сЮ = I (к) (2.1)
«2
также удовлетворяет уравнению Гельмгольца. В формуле (2.1) к - единичный вектор (к, к) = 1,
пробегающий единичную сферу 52: к^ + к2 + + к32 = 1, сЮ - обычная мера телесного угла на этой сфере и к - произвольная комплекснозначная измеримая функция на Б2 (относительно сЮ), такая, что
JJ й(к )2 JQ(k)
Множество L2 (52) таких функций h образует гильбертово пространство со скалярным произведением
(к,, к2) = Л к, (к)к2* (к)¿П(к).
«2
Элементы g(A, а) группы Е(з) действуют на решение рассматриваемого уравнения Гельмгольца посредством операторов Т (§). Используя (2.1), находим, что
Т (§)у(г) = I (т (§)к) (2.2)
каждый раз, когда у = I(к). Операторы Т(§) в пространстве Ь2 («2) определяются следующими соотношениями:
Т(§)к(к) = ехр(ив акА)к(кА), (2 з)
/ \ і (2.3)
§ = (А,а), А є SO3, а є R .
Таким образом, операторы Т (§), действуя на функции у(г), индуцируют операторы (которые мы также обозначаем Т(§)), действующие на функции к. Можно показать, что операторы (2.3) обладают свойством гомоморфизма
Т (§,ё2 ) = Т (§, )Д§2). Более того, в силу инвариантности меры при повороте ^0(кА) = ^П(к) эти операторы унитарны в Ь2 («2 )
. (2.4)
Инфинитезимальные операторы алгебры Ли в Ь2 («2 ) определяются следующими соотноше-
ниями:
P1 = iok1, P2 = irak2, P3 = irak3;
Э Э Э Э
X, = jh-------------------------------------------К-, x, = k-k
8k„
1 Э^
X 3 = k 2 —— k, .
Э^ Э^
Эk 3 ’
Э
ся гильбертовым пространством со скалярным произведением
(У^ У*2 )=(к1, к2* } У; = 1(к,-) . (2.7)
Следовательно, I является унитарным преобразованием из L2 (Б2 ) в Н. Существование унитарного отображения дает возможность переходить в задачах от пространства Н к пространству L2 (Б2 ).
В задачах, связанных с решением уравнения Гельмгольца, большое значение имеет получение формул, дающих разложение базисных функций с разделяющимися переменными уП) в одной криволинейной системе координат в виде суммы или интеграла от базисных функ-
(I) ~ ~
ций У т в другой криволинейной системе координат. Часто бывает необходимо применить евклидово преобразование к функции уП) и затем осуществить разложение по базису ут. Поскольку Н - гильбертово пространство, имеем
т ш ^(т ш7 ), у т у), (2.8)
).
m
3 Эk,
1 (2.5)
Связь между этими операторами и групповыми операторами (2.3) дается соотношением
Т ^) = ехр(аХз )ехр(рХ )ехр(уХз )ехр(а, Р ), (2.6) где а,Р,у- углы Эйлера, параметризующие элементы группы вращений.
Таким образом, операторы Т (g) определяют унитарное (неприводимое) представление группы Е(з) на пространстве функций L2 (Б2).
Теперь рассмотрим пространство Н, состоящее из решений уравнения Г ельмгольца у (г), определенных формулой (2.1): у(г) = I(к) для некоторого к е Ь2 (£2). Пространство Н являет-
где сумма заменяется интегралом, если уп собственные функции непрерывного спектра. На основании формулы (2.7)
(тщ7), ут )=Т% )/п°), /то), (2.9)
где /П7), /т) - базисы в L2 (^2), соответствующие при отображении I базисам у П), У(ш).
Следовательно, мы можем найти коэффициенты разложения в пространстве L2 (Б2) вместо того, чтобы искать их в пространстве Н. Это значительно упрощает задачу. Для 7 = 1 и произвольного g е Е(з) формула (2.9) дает так называемую теорему сложения для базиса уП), а коэффициенты тПт) = (Т (g) /^),/т)) называются матричными элементами оператора Т ^) в базисе у П) .
Рассмотрим неприводимое представление т Ы группы Е(з) в L2 (52), определяемое соотношением (2.3). Если ограничить Т на подгруппу 303, то оно становится приводимым и разбивается на прямую сумму
TI SO3 = £® Dі,
(2.10)
где Dt - унитарные неприводимые представления группы SO3. Известно, что эти представления конечномерны, и dimD, = 2l +1, l = 0,1,2.... Таким образом, L2 (S2) можно разложить на
прямую сумму взаимно ортогональных подпространств V, где dim Vl = 2l +1, и действие операторов T (A) на инвариантное подпространство Vl унитарно эквивалентно Dt. Элементы h из этих подпространств являются собственными функциями оператора Лапласа на сфере S2 и совпадают со сферическими функциями (орты канонического базиса неприводимого представления с целым весом l). Следовательно, базис для пространств Vl состоит из собственных
функций fm (0, ф) = -^ em P,m (cos 9), где v2tc
Pm (cos 9) - нормированная присоединенная
функция Лежандра. В дальнейшем мы будем использовать сферические функции, определенные без множителя . \ +1 . Хотя при таком
V 4л
определении сферические функции становятся неортонормированными, однако оно упрощает многие формулы, которые появятся в дальнейшем изложении.
Матричные элементы операторов переноса
T (E, a) = exp(a • p) на базисных функциях
L2 (S2) определяются формулой
Tm ,«(a) = (r (e, a) №, fm >) =
= JJ exp(/'ra ak ^(k (k )JQ(k).
Для вычисления интеграла используем фор-;ния плоской волны:
= Х il (2l + J (kr)Ym (rК (r)
мулу разложения плоской волны:
„¿kr
и значение интеграла
J Y* (kУ m! (k)Yl2m2 (k)dQ = C" ^ h m2 ,
где Jl (kr) - сферическая функция Бесселя,
Cllmmlm - коэффициент Глебша-Гордана для SO3
Матричные элементы (2.11) можно использовать для получения теоремы сложения решений уравнения Гельмгольца в сферической системе координат. Используя формулы (2.8) и
(2.9), получаем
уМ (а)у1т (г), (2.12),
I ,т
R = г + а.
В явном виде теорема сложения может быть выражена как разложение через биполярные гармоники (неприводимые тензорные произведения сферических функций):
Zj (®r)Ym (^r )=Z i
l+Q - j
lQ
(2l + 1)(2Q +1)
2j +1 '
х 70^{®а)1в(юг& (П„)®гв(Пг)}м; (2.13)
а < г.
Здесь 2Ь (юг) - любая сферическая функция Бесселя. В случае а > г в формуле (2.13) нужно произвести замену а о г . Выражение в фигурных скобках представляет собой неприводимый тензор, который раскрывается следующим образом [3]:
& ®Ув}м = 2С,,“.в,'<т'<в,.
т,п
Выбирая в формуле (2.13) в качестве Хь (юг) сферическую функцию Бесселя (юг) и устремляя ю ^ 0, учитывая при этом, что
2ЬП
jL (x)
(2£ 1)Х , получим формулы для пре-
образования при трансляциях решений уравнений Лапласа, не имеющих особенности в нуле
з>+а=к)=¿.Шв)13' (а)®зв(г )}'(2Л4)
l+Q=j
[3], тогда получим
(Т (Е, а)¥Гт,У1т )=£Г (2* +1)7* (®а)К (а),
*, Ч
(к ЙЛк У,т (к )сП =
= (2* + 1)7* (аа)^, КгХч (П „ )•
*, Ч
Таким образом, матричные элементы оператора трансляции имеют вид
Ты,гт(а) = 2^(2* + О-7*(юа)С0,0 х
х Clmr ,Y* (Q ).
sql m sq\ a /
(2.11)
Аналогично, выбираем в качестве Хь (юг) функцию Неймана пь (юг) и, устремляя ю ^ 0, будем иметь, учитывая, что пь (юг )^
^ - (2Ь - 1)!!х~(ь+1), решение уравнения Лапласа, имеющее особенности в нуле
^ 3 (Г ^ (а)},(2Л5)
в-'=7
В формулах (2.14) и (2.15)
3п (Г)^3пт (Г)= пт (П ) ,
^п (Г )^пт (Г )= г-<П+1^т (П )
- регулярные и иррегулярные (в соответствии с их поведением в точке г = 0) шаровые функции.
2
3. Тензорное решение уравнения Гельмгольца
Тензорной сферической волновой функцией будем называть решение уравнения Гельмгольца вида
2Ь (кг УМ (0,Ф), (3.1)
где 2ь (кг) - любая сферическая функция Бесселя,
¥М (0, ф)=У}м =Е ?ьт%*Я% (3.2)
т,Ц
- шаровой тензор [3], являющийся неприводимым тензорным произведением ранга I сферических и спиновых функций.
Из формулы (3.1) при 5 = 0 следуют частные решения скалярного, а при 5 = 1 - векторного уравнения Гельмгольца. Выбирая в качестве 2ь (кг) сферическую функцию Бесселя 7ь (кг) или функцию Неймана пь (кг) и делая предельный переход к ^ 0 , получаем частные тензорные решения уравнения Лапласа гьУМ (0,ф) с особенностью на бесконечности и г-(ь+1)77М5 (0,ф) с особенностью в нуле. Будем их обозначать соответственно 3^5(г) = гь1М(0,ф),(г)= (0,ф). (3.3)
Для получения формул преобразований при трансляциях тензорных решений уравнения Гельмгольца 2ь (кгУМ используем изменение
схемы связи в неприводимых тензорных произведениях [3] и теорему сложения для скалярных волн. Имеем последовательно
2Ь (юЛУ£ (Пя ) = 2Ь (юЯ){у (Пя )®Х5 }м =
= 2 (юяу (Пя )®Х5 }м =
= (и +№ +Ос;вЛ(рарв(юг)х(3 4)
'в 27 +1
Х{{У' (П) ® Ув (Пг)} }м.
Изменим схему связи для неприводимого тензорного произведения в формуле (3.4), тогда получим
{У' (П„ )<3 Ув (ПГ )}м } =
'вь
QlL
Х| Бік(П°)® ^ (Я )}"
Подставляя формулу (3.5) в (3.4), получаем искомую формулу преобразований сферических тензорных волн при трансляциях
2Ь (юЯ)УМ (П )= 2 ^+в-ь (-1)5+в - 7 (21 + 1)х
х^(2к + 1)(2в + 1)С'в00ь0 |7, (юа)х (3.6)
х 2в (юг){у' (П„ )<3 ув5 (пг )}м.
Аналогично получению формул для трансляций скалярных решений уравнения Лапласа, получим формулы для тензорных решений уравнения Лапласа:
(R)= ^ (_ 1)« +1+* 1(^ + ,)^(2к + 1)! х
I ,Q,k I+Q=к
Г lQL
(21
х{ і^ }{з? (г ^ (а)},„,
(3.7)
(R)= Е (_ 1Г+к- 1(и+1)!(2к+1)! х
I ,Q, к I+Q=к
rlQL
(21 )!^ )
х{ (г )*^ (а)),м.
(3.8)
: (_ ^+і+; Е 7(2кТЇ)(2ЇТІ)^х х{т, (Оо ^ (Ог )<3Хх } }і = (3.5)
= (_ 1)і+; _ь Е Л/(2к+І)(2Ї+Т) х
| 'вь]
В найденных формулах < | - 67 -симво-
[5 7 к \
лы Вигнера [3].
4. Инвариантное разложение силовой функции взаимодействующих токовых распределений
Найденные теоремы сложения можно использовать в различных задачах математической физики, где нужно связать краевые условия двух или большего числа тел (дифракция на двух телах, задачи теплопроводности, диффузии и т.д.). В работе [4] рассмотрена важная задача небесной механики об инвариантности разложений энергии взаимодействия N гравитирующих пространственных тел. Таким же образом может быть найдена энергия взаимодействия пространственных распределений сгустков зарядов. В настоящей работе мы получим инвариантное разложение силовой функции пространственных токовых распределений.
Рассмотрим две пространственные области, обтекаемые квазистационарными токами. Энергия их взаимодействия выражается интегралом
и =-^0
|“/ Д 4
(¡(1)- ¡(2)
й^2, (4.1)
8^ ^ Д
V Ї2
где сЫ1 и ск2 -элементы объема каждой из областей, по которым течет ток плотности ¡(1) и ¡(2), А- взаимное расстояние между точками пространственных распределений тока. Обозна-
чим через г1 и г2 радиус-векторы точек объемов у1 и у2 относительно их центров, а через R -радиус-вектор центра тела у2 относительно центра тела у1 . Тогда Д = |г1 _ а|; а = г2 + R; г1 ,г2 < R.
Воспользуемся разложением функции Грина векторного уравнения Лапласа [3], считая г1 < а
■К1)
к, _ а
!,Ь,д
им = £°- Ум"
8л
З
_1 (г ) =
УІ ! (21 _ 1)
внимание векторное соотношение
diy(A - ф) = ф diyA + АУф,
будем иметь
м!;1 = 1
'-ЩЦІ°-уз"(г )К=
|[<ііу(і • уз,, (г))_ з4 Наге^л-.
(і-з;, )=У с;
= У с‘^, = {з, ® і};,.
(4.5)
У№-3;* (г1 (4 (4.2)
где 3^ (г) - регулярные, а (г) - иррегуляр-
ные шаровые векторы, которые соответствуют формулам (3.3) при 5 = 1.
Подставляя (4.2) в (4.1), получаем
УМ", (1)| ¡(2К (а>/у2, (4.3)
М, (1)=І(і(1)-3, (г ру (4.4)
где
- векторный мультипольный момент.
В выражении мультипольного момента (4.4)
индекс " в силу свойств шарового вектора З, может принимать три значения: " =!," = I +1, " = I _ 1. Покажем, что при " = I _ 1 мульти-польный момент (4.4) равен нулю.
Действительно, учитывая, что при " = I _ 1 1
Подставляя (4.5) в интеграл (4.4), получим выражение, где верхний индекс можно не писать, и тогда формула для векторного мультиполя примет вид
м, =|{з, ® і!\&. (4.6)
Положим в (4.6) I = 1. Тогда
М„ =|{,1 ® і,, (4.7)
что соответствует известному выражению вектора полного магнитного дипольного момента
системы М = 11 [г х ¡]й?у.
Для вычисления интеграла в формуле (4.3) используем теорему сложения (3.7) для шарового вектора ЭТ, (а). После некоторых вычислений имеем
, (а ) = эт;, (г2 + R ) =
=-У
(2! + 2п +1)! ;П~
(4.8)
УЗ; (г) [3], и принимая во
1(2/ + 1)(2п)(/+ 1)(п +1)
х{з” (г2 )®^+ ^)}' + ГЩЬтЩ+тГ х
2) !)1ц -у (2' +1), (2п - 2)(' + 1)п
х{зп-1(г2 )}ч ].
Подставляя (4.8) в (4.3) и учитывая, что
М'Ч = М';1 = 0, получим выражение для энергии
взаимодействия пространственных токовых распределений:
и =_Ь. У им
(2! + 2п).!п
V; (2,+1) •
Переходя в первом интеграле к поверхностному интегралу и учитывая, что в силу квазистатики Jn = 0 и divj = 0 , получаем М;,1 = 0 .
Покажем теперь, что при " = I +1
І і®;;1 й?у = 0. Для этого заметим, что
ЭТ^1 = [(, +1)(2! _ 3)]_2 у(эт;, ). Поэтому, проводя такие же рассуждения, как и выше, получаем искомый результат.
Таким образом, в силу доказанного, в разложении (4.3) индекс " принимает только одно значение, равное .
Рассмотрим векторный мультипольный момент М. Используя определение шарового
с~1
вектора з, , имеем последовательно
8л (2' + 1)(2п)!(' + 1)(п +1) (4.9)
х(М' (1)-{Мп (2)®ЭТ'+п ^)}).
Используя изменение схемы связи неприводимых тензоров, можно выражение (4.9) привести к виду
им =- £ У(_1)П
(2! + 2п)!!п 1 (2! + 1)!(2п)!(! + 1)(п +1) Х
х({М; (1)® Мп(2)}+п-ЭТ+п(R)).
(4.10)
Формулу (4.9) можно трактовать как взаимодействие векторных мультиполей одного токового распределения с полем, создаваемым другим токовым распределением. А формула
(4.10) описывает взаимодействие векторных мультиполей одного токового распределения с векторными мультиполями другого.
х
Г X
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Выражение энергии (4.10) для случая ' = п = 1 при учете (4.7) принимает вид
и,
= _^°л/6 (№(1)® М1(2)}-ЭТ2 ^ ))^
4л
(4.11)
_ Р 3 [(М(1) • М(2)) _ 3(М(1) • R)(M(2) • R)],
4л
что соответствует диполь-дипольному взаимодействию. Поле, создаваемое диполем М(1), выражается через неприводимый тензор по формуле
Их = ^4/10 {М1 (1) ® ЭТ2 (R )}р 4л
(4.12)
и тогда (4.11) принимает известную форму взаимодействия поля диполя М1 (1) с диполем М1 (2):
им =(Н • М1). (4.13)
Аналогично можно рассмотреть взаимодействие мультиполей более высокого порядка.
Если проводник, по которому течет ток, достаточно тонок, то интегрирование по объему проводника переходит в интегрирование по его контуру заменой в формуле (4.4) ¡СУ ^ І& , где
I - полный ток, протекающий по проводнику. Проводя замену в выражении (4.6), получим
М, = I |{з, ® с;}. (4.14)
Применим эту формулу для определения мультипольных моментов витка радиуса Ь с током I.
Направим ось г прямоугольной системы координат, связанной с витком, вдоль оси симметрии витка. Тогда оси х, у будут лежать в плоскости витка. Определяя циклические проекции вектора С!1 : СІ = іЬ ц71„| —, ф |Сф и рас-
2'
сматривая интеграл (4.14), получим
л 2:
откуда после интегрирования
М, = ІЬ+1іУС‘Щ^:,0 РЦ 2,0 І|е'(^)фСф
М,0 = 2лІіь+1Рп|-,0 |.
(4.15)
Знание этих мультиполей позволяет найти энергию взаимодействия витков при произвольном их расположении.
5. Силовая функция двух взаимодействующих витков
Применим полученные результаты к нахождению силовой функции двух взаимодействующих витков. Для получения явной зависимости силовой функции от углов нужно выразить компоненты тензоров М' в опорной системе координат через компоненты того же тензора в системе координат, связанной с телом, по формуле преобразования неприводимых тензоров
Мч =ЕМ', Б1;, (а, р, у), (5.1)
4
где а,Р,у - углы Эйлера, характеризующие положение тела относительно выбранной системы координат.
В нашем случае свяжем опорную систему координат с первым витком. Пусть единичный
вектор е1 отвечает направлению оси первого витка, а единичный вектор е2 - направлению оси второго витка. Тогда в силу осевой симметрии мультипольный момент первого витка
М4 (1) = М'0 (1К (е1), а второго витка - Мч (2) = = М' 0 (2)Уч (е2). Будем считать, что первый виток имеет радиус а, а второй - Ь. Тогда выражение энергии взаимодействия витков (4.10) примет вид
и
(2! + 2п)! Іп
'(2/)(2п)(і + 1)(п +1) (5.2)
х М/0(1)Мп0(2)({Р/(Є1)® Рп(Є2)}+п • ЭТ/+п(R)). Рассмотрим несколько частных случаев. а) Витки расположены, как показано на рис. 1. Значение энергии запишется в виде:
Л _ ^Уь
Um 2
/+1 i и+1
a b
(/ + и)
У(-і)и—.7—V— £ /!и! І(/ + 1)(и +1)
/и
/+И+1
Г
Um _
^0 ^Jb
К(- 1)и
-Y„^-,0 Jy„|-,0JP„ (cos p) (5.3)
cos p = (e1 • e2)
б) Если витки расположены параллельно, как показано на рис. 2, выражение (5.1) при использовании правила {ІІ1 ® 1^ = с^+„1 [3] принимает вид:
гг ( iV (l + „)■ I ^ х
Um = 2 ^1 l^„^ i(l +1)(„ + 1)X
х ф0)y„(-?2’0]P+и(cosy)’ (5.3)
cos y = (e1 • er).
в) В случае, который показан на рис. 3, выражение энергии запишется
/и
(/ + и)
---------X
/!
- a/+1ьп+1
X (5.4)
(/ + 1)(и + 1)(и + g)(n - q) rl+
^§,0 j1^,0 Y (e2)Y/+и-q (er )
Список литературы
1. Friedman B., Russek О. Addition theorems for Spherical waves. Quart. Appl. Math. 1954. V. 12. P. 13-23.
2. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.
3. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 439 с.
4. Урман Ю.М. //Астрономический журнал. 1989. Т. 66. № 5. С. 1081-1092.
2
X
X
ADDITION THEOREM FOR TENSOR SOLUTIONS OF THE HELMHOLTZ EQUATION
Yu.M. Urman, N.I. Lapin
Transformation formulas for tensor solutions of the Helmholtz equation under translations (addition theorems) have been obtained. The formulas can be used to solve problems in theoretical and mathematical physics matching the boundary conditions of two or more spatial bodies, and in various problems of quantum mechanics. As an example, these formulas are shown to obtain invariant expansions of the interaction energy of spatial current distributions.
Keywords: Helmholtz equation, irreducible tensor, force function, addition theorem of tensor functions.
