CC BY
8
ЛИТЕРАТУРА
1. Коломеец Н. А. О некоторых свойствах конструкции бент-функций с помощью подпространств произвольной размерности // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2018. №11. С. 41-43.
2. Rothaus O. On bent functions // J. Combin. Theory. Ser. A. 1976. V.20. No.3. P. 300-305.
3. Логачев О. А., Сальников А. А., Смышляев С. В., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. 2-е изд. М.: МЦНМО, 2012. 584с.
4. Tokareva N. N. Bent Functions, Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.
5. Carlet C. Two new classes of bent functions // LNCS. 1994. V. 765. P. 77-101.
6. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A. 1973. V. 15. P. 1-10.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/12/15
О КУБИЧЕСКОЙ ЧАСТИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ БЕНТ-ФУНКЦИИ
Т. A. Кузьмина
Доказано, что кубическая часть бент-функции от n переменных не может быть произвольной при n = 6, 8.
Ключевые слова: булева функция, бент-функция, линейная функция, квадратичная функция, кубическая функция, однородная функция.
Булевы функции, максимально удалённые в метрике Хэмминга от множества всех аффинных функций, называются бент-функциями. Известно, что каждая булева функция может быть единственным образом представлена в её алгебраической нормальной форме (АНФ). Одна из проблем в области бент-функций: верно ли, что произвольная однородная булева функция степени k от n переменных (n чётное) является частью АНФ некоторой бент-функции от n переменных? Известно, что линейная часть в АНФ бент-функции может быть произвольной [1]. Доказано, что любая однородная квадратичная булева функция является квадратичной частью некоторой бент-функции [2].
В данной работе доказано, что при n = 6, 8 не каждую однородную кубическую булеву функцию можно достроить до бент-функции от n переменных. Для случая n = 8 лишь часть однородных кубических булевых функций может быть достроена до бент-функций от восьми переменных с помощью добавления однородных функций второй и/или четвёртой степеней.
Далее будем использовать индексные обозначения АНФ функции; например, 12+34 означает булеву функцию Х\Х2 Ф x3x4.
Всего существует пять неэквивалентных кубических булевых форм от шести переменных [3], а именно: 123; 123 + 145; 123 + 456; 124+135 + 236; 123 + 124+135 + 236 + 456.
Теорема 1. Для n = 6 функции 123; 123 + 145; 124 + 135 + 236 можно дополнить до бент-функций с помощью добавления однородных квадратичных булевых функций от шести переменных; функции 123 + 456; 123 + 124 + 135 + 236 + 456 нельзя дополнить до бент-функций от шести переменных.
54
Прикладная дискретная математика. Приложение
Существует 31 неэквивалентных кубических форм от восьми переменных [3]. В [4] приведена классификация форм четвёртой степени от восьми переменных, которые можно достроить до бент-функций [4], всего таких форм 536.
В таблице приведены результаты для кубических форм от восьми переменных. Во втором столбце представлена однородная кубическая форма, в третьем указано, можно ли достроить её до бент-функции, в четвёртом столбце — число к, показывающее, с помощью скольких форм четвёртой степени можно достроить кубические формы в том случае, если они достраиваются.
№ Однородная кубическая форма Бент-функция к
/1 123 Достраивается 60
/2 123+145 Достраивается 58
/з 123+456 Не достраивается -
/4 124+135+236 Достраивается 38
/5 123+124+135+236+456 Не достраивается -
/б 123+145+167 Достраивается 53
/7 123+246+357 Достраивается 25
/8 123+145+167+246 Достраивается 44
/9 123+145+246+357 Не достраивается -
/10 123+124+135+236+456+167 Достраивается 42
/11 123+145+167+246+357 Не достраивается -
/12 123+476+568 Не достраивается -
/13 123+145+167+568 Достраивается 17
/14 123+246+357+568 Достраивается 24
/15 123+246+357+128+138 Не достраивается -
/16 123+145+167+357+568 Не достраивается -
/17 123+145+478+568 Достраивается 46
/18 123+124+135+236+456+167+258 Не достраивается -
/19 123+124+135+236+456+178 Не достраивается -
/20 123+145+246+357+568 Достраивается 12
/21 123+145+246+467+578 Достраивается 11
/22 123+145+357+478+568 Достраивается 43
/23 123+246+357+478+568 Не достраивается -
/24 123+246+357+148+178+258 Не достраивается -
/25 123+145+167+246+357+568 Не достраивается -
/26 123+145+167+246+238+258+348 Не достраивается -
/27 123+145+167+258+268+378+468 Достраивается 34
/28 123+145+246+357+238+678 Достраивается 29
/29 123+145+246+357+478+568 Не достраивается -
/30 123+124+135+236+456+167+258+378 Не достраивается -
/31 123+156+246+256+147+157+357+348+258+458 Не достраивается -
Теорема 2. Функции /ь /2, /4, /б, /в от восьми переменных можно дополнить до бент-функций с помощью добавления булевых функций второй степени от восьми переменных; остальные функции /3, /5, /7, /9, /10,... , /31 нельзя дополнить до бент-функ-ций таким образом.
Теорема 3. Функции /1, /2, /4, /б, /7, /в, /10, /13, /14, /17, /20, /21, /22, /27, /28 от восьми переменных можно дополнить до бент-функций с помощью добавления слагаемых второй и четвёртой степеней от восьми переменных; остальные функции /з,/5,/9,/11,/12,/15,/16,/18,/19,/23,/24,/25,/26, /29, /зо, /31 нельзя дополнить до бент-функций таким способом.
ЛИТЕРАТУРА
1. Tokareva N. Bent Functions: Results and Applications to Cryptography. Acad. Press. Elsevier, 2015.
2. Tokareva N. Algebraic Normal Form of a Bent Function: Properties and Restrictions. IACR Cryptology ePrint Archive. https://eprint.iacr.org/2018/1160.
3. Черемушкин А. В. Методы аффинной и линейной классификации булевых функций // Труды по дискретной математике. М.: Физматлит, 2001. Т. 4. С. 273-314.
4. Langevin P. Classification of Boolean Quartics Forms in Eight Variables. http://langevin. univ-tln.fr/project/quartics/quartics.html.
УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/12/16
ИЗОМЕТРИЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МНОЖЕСТВА ВСЕХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ В СЕБЯ, СОХРАНЯЮЩИЕ САМОДУАЛЬНОСТЬ
И ОТНОШЕНИЕ РЭЛЕЯ1
А. В. Куценко
Изучаются изометричные отображения множества всех булевых функций от n переменных в себя. Получено полное описание изометричных отображений, сохраняющих самодуальность функций. Доказано, что каждое такое отображение сохраняет также антисамодуальность. Найдены все изометричные отображения, определяющие взаимно-однозначные соответствия между множествами самодуальных и антисамодуальных бент-функций. Получены все изометричные отображения, сохраняющие отношение Рэлея каждой булевой функции. Следствием данных результатов является полное описание всех изометричных отображений, сохраняющих максимальную нелинейность и расстояние Хэмминга между каждой бент-функцией и дуальной к ней.
Ключевые слова: булева функция, изометричное отображение, самодуальная бент-функция, отношение Рэлея.
Булевой функцией от n переменных называется любое отображение f : Fn^F2. Скалярным произведением (x,y) двух векторов x = (xb x2,..., xn) G Fn, y =
n
= (yi, y2,..., yn) G Fn называется значение ф x^. Весом Хэмминга wt(x) вектора
i= 1
x G Fn называется количество единиц в нём. Расстояние Хэмминга dist(f, g) между булевыми функциями f,g от n переменных — число двоичных векторов длины n, на которых эти функции принимают различные значения. Через On обознается ортогональная группа On = {L G GL(n, 2) : LLT = /nj , где LT — операция транспонирования L; In — единичная матрица порядка n над полем F2 [1]. Преобразованием Уолша — Адамара булевой функции f от n переменных называется целочисленная функция Wf : Fn ^ Z, заданная равенством Wf (y) = Е (-1)f(x)®<x'y), y G Fn.
Булева функция f от чётного числа переменных n называется бент-функцией, если |Wf(y)| = 2n/2 для каждого y G Fn [2]. Для множества бент-функций от n переменных используется обозначение Bn. Для каждой f G Bn однозначным образом определяется дуальная к ней бент-функция f G Bn, значения которой находятся из соответствия Wf (y) = (-1)-«y)2n/2
для каждого y G Fn. Бент-функция f называется самодуальной
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проекты №18-07-01394 и 18-3100374).
