Научная статья на тему 'О критериях при оценке остатка кубатурных формул'

О критериях при оценке остатка кубатурных формул Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
75
33
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
КУБАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ / ОЦЕНКА ОСТАТКА / ДИСКРЕПАНС / CUBATURE FORMULAS / RESIDUE ESTIMATE / DISCREPANCE

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Товстик Т. М.

Рассматриваются кубатурные формулы при вычислении интегралов от функций f (X), X = (x1,...,xn), заданных n-мерном единичном гиперкубе Kn = [0,1]n и имеющих интегрируемые смешанные производные вида дx1a1,Xnan f (X ), 0 ≤ aj ≤ 2. Оцениваются остатки кубатурных формул R[f] = JKn f (X )dX У k=1 Ckf (X (k)), Ck > 0 в зависимости от весов ck узлов X (k) и свойств интегрируемых функций. Остаток оценивается через интегралы от производных функции f на r-мерных границах (r ≤ n) гиперкуба Kn в виде |R[f] Й ≤ У бjG(aj ) fRr |dx1a1,....,xnanf (X )|dXr, где коэффициенты G(aj ) суть критерии, зависящие только от параметров ck и X(k). В статье приводится алгоритм вычисления критериев в двухмерном и n-мерном случаях. Рассмотрены примеры. Частным случаем критериев является дискрепанс, а предложенный алгоритм является обобщением алгоритмов, используемых для вычисления дискрепанса. Результаты работы могут быть использованы для оптимизации кубатурных формул в зависимости от параметров Ck и X(k).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the criteria when estimating the cubature formulas residue

The cubature formulas for calculations of integrals of functions f (X), X = (x1,...,xn) which are given in the n-dimensional unique hypercube Kn = [0,1]n and have the integrable mixed derivatives of the type dx1a1,...,xnanч0з f (X), 0 ≤ αj ≤ 2 are studied. Residues of cubature formulas R[f] = fKn f (X)dX УNk=1 ckf (X(k)), ck > 0 are estimated depending on weights ck and assemblies X (k), and on properties of functions f (X). The residue is estimated through the integrals of derivatives of functions f (X) in the r-dimensional (r ≤ n) boundaries of hypercube Kn in the form |R[f] | ≤ΣajG(aj) jKr |dx1a1,...,xnan f (X)|dXr, where coefficients G(aj) are the criteria, depending on the parameters ck and X (fc) only. The algorithm of these criteria calculation in the two-dimensional and in the n-dimensional cases is given. Some examples are studied. The discrepance is the partial case of the criteria, and the algorithm presented is the generalization of algorithms which are used for the discrepance calculations. The results of the paper may be used for the cubature formulas optimization depending on the parameters ck and X (k).

Текст научной работы на тему «О критериях при оценке остатка кубатурных формул»

О КРИТЕРИЯХ ПРИ ОЦЕНКЕ ОСТАТКА КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ*

Т. М. Товстик

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

В статье дается алгоритм вычисления критериев, участвующих в оценке остатка кубатурных формул при вычислении п-мерных интегралов от функций, имеющих интегрируемые смешанные производные не выше порядка 2п, причем не выше второго порядка по каждой из переменных. Расматриваются функции в двухмерном и п-мерном единичном кубе. Критерии представляют собой константы, участвующие в оценках остатков кубатурных формул, и равные максимумам вспомогательных функций, зависящих от параметров кубатурной формулы. Частным случаем критериев является дискрепанс.

Введение. При вычислении многомерных интегралов часто используются [1, 2] кубатурные формулы

где п — размерность области интегрирования, а Ск и X (к) —параметры кубатурной формулы.

В статье [3] анализируются остатки кубатурных формул

в зависимости от свойств интегрируемых функций, заданных в п-мерном единичном кубе К” = [0,1]”. В частности, рассматриваются функции /(X), имеющие интегрируемые вторые производные по каждой из переменных. Введение критериев позволяет выразить остатки через интегралы, содержащие вторые производные функций / (X). Ниже этот вариант рассматривается более подробно.

Рассмотрим определение критериев в случае п = 2. Использование разложения в ряд Тейлора функции /(X) в точке х\ = Х2 = 1 после ряда преобразований дает возможность записать остаток кубатурной формулы в виде

N

/(X) ^ = ^3 с/^к)), X = (Х1,...,Х”), X(k) = (Хl(k),...,Хn(k)), (1)

к=1

(2)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00194). © Т.М.Товстик, 2009

П1

/(2Х 2 (иьи2)

.2^.2

N

Ь 1 ио X

12 Е

к=1

4

СкЬ(м1 - Х1 (^))Ь(м2 - *2(^))

содержащем интегралы от соответствующих производных [3]. Здесь

т/ \ | г, 2 > 0,

) По, 2 < 0,

а коэффициенты Ск и узлы X(&) удовлетворяют соотношениям

ЙМ1 ^М2, (3)

(4)

N

Е

к=1

N

N

N

Ск

1, ^СкХ1 (й) = ^ Ск Ж2(&) = 1/2, ^Ск Ж1(*)Ж2 (&) = 1/4,

(5)

к=1

к=1

к=1

которые имеют место, если кубатурная формула точна для многочлена вида /(х1, Х2) = ао + а1Ж1 + а2Ж2 + 03X1X2. Супремумы модулей выражений, стоящих в квадратных скобках формулы (3), называем критериями [3]. Оценка остатка Д[/] выражается в виде суммы произведений критериев на интегралы от модулей производных функции /(X), входящих в (3).

1. Двухмерный случай. Из формулы (3) следует, что принципиально различными являются три критерия:

С(1) = яир |у>(и)|, 0<«<1

С(2)= яир |^(и) 0<«<1

С(3) = яир |0(и, V)

0<и,^<1

N

¥(и) = у ~^2скЬ{и - х (к)), к=1

1/2 N N

Ф(и) = 2 ( У ~2^2скЦи-х(к))(1 — у (к))

(6)

к=1

N

(и, V)

- СкЬ(и - х(*))Ь(^ - у(&)),

к=1

где X = Х1, у = Х2, и = и1, V = и2.

Замечание 1. Критерий 6(2) является частным случаем критерия 6(3) при V = 1, поэтому 6(3) > 6(2). При выполнении условий (5) справедливы равенства

N N 1 N 1

Есй(1 -х(к)) = Ес*(1 -у(к)) = Ес^1-^))(1-^)) = 1’

к=1

к=1

к=1

поэтому, если ввести обозначения Ск = 2Ск(1 - у(^)), то ^=1 Ск = 1, и удвоенный

критерий 26(2) будет иметь вид 6(1). Если при этом Ск = Ск, то получаем 6(2) = 1/26(1).

Замечание 2. Как и в [3], разложение в ряд Тейлора можно также произвести в точке х = у = 0. Пусть С?(3) —аналог критерия С(3) в этом случае:

6(3) = ЯИр |0(и, V)!, С(и, V)

0<и,^<1

(1 — и)2{ 1 — уУ 4

N

Е

к=1

Ск£(х(&) - и)Ь(у(^) - V) (8)

Вычисление критерия С?(3) сводится к вычислению критерия С(3) в результате замен ми V на 1 -и и 1 - V и х(^) = 1 - х(&), у(^) = 1 - у(&), 1 < & < N. Если выполнены

22

и^2

4

соотношения (5), то аналогичные соотношения выполняются и для x(k), y(k) (см. (Т)). Критерии С(З) и С?(З) совпадают, т. е. С(З) = С?(З), если при ранжировании в порядке возрастания узлов x(k) и узлов y(k) при одинаковых x, для всех k выполняются условия симметрии

x(k) = 1 - x(N - k + 1), y(k) = 1 - y(N - k + 1), ck = cn-k+l, 1 < k < N. (9)

2. Вычисление критерия G(l). Здесь и далее считаем, что точки x(k) различны

и расположены в порядке возрастания: О = x(l) < x(2) < ••• < x(N) = 1. Если точек x(l) = О и/или x(N) = 1 не было среди исходных данных, то добавим их с весом сі = О и/или cn = О, причем величина G(l) от cn не зависит. Так как функция ^(u) не меняет своего вида в областях

A, = [x(i), x(i + 1)), 1 < i < N - 1, (1О)

будем искать sup |^(u)| последовательно в этих областях, начиная с i =1. Положим

u2

= sup \ifi{u)\, ipi(u) = ip(u) = — ~22ck(u - x(k)) при и Є Д*. (11)

k=1

Тогда

где

Yi

G(l) = max(^l,... ,^n-l), = max(^j(xj+l), Yi),

\\Т!к=іскФ) - \{Y!k=ick)2V если x(i)<EUlCk<x(i + i),

О, в противном случае.

3. Вычисление критерия С(3). Расположим все узлы в порядке возрастания первой компоненты. Узлы

(х(к),у(к)), к =1,...,Ж, (12)

таковы, что х(1) = у(1) = 0, х(Ж) = у(Ж) = 1 и

х(1) < х(2) < • • • < х(Ж). (13)

Пусть x*(1) < x*(2) < ••• < x*(mx) и y*(l) < y*(2) < ••• < y*(my) —все различные значения среди абсцисс и ординат в (12), а l(i) —количество x*(i) в ряду (1З).

Так как критерии являются супремумами непрерывных функций, можем искать их вместо области К2 в К2 = [0,1)2, которую представим в виде объединения областей

Ajj = [x*(i),x*(i + 1)) * [y*(j),y*(j + 1)), 1 < i < mx - 1, 1 < j < my - 1.

Имеем

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

G(3) = max0ij, 0^ = sup |#jj(u, v)|, (u,v) = 0(u,v), (u,v) Є Ajj. (14)

i,j (u,v)eAij

u2v2

6ij(u, v) = —-----AjjMw + BijU + CijV - Dij, (15)

где

= Е СР’ = Е СР = Е СР = Е СР ж(Р У(Р)' (16)

р^^гз Р^^гз Р^^гз Р^^гз

Для любой пары (г, _?’) введем в рассмотрение множества номеров узлов

^г; = ик=11;(к) ^(к) = {Р : У(Р) < У*С?), в(к - 1) + 1 < Р < ^(к)} , (17)

где

к

£(к) = в(к), в(к) = 1(г), в(0) = 0. (18)

Г = 1

Если при одинаковых абсциссах соответствующие ординаты расположены в порядке возрастания, то

£(к) = в(к — 1) + шт(^’, /(к)), (19)

что позволяет сократить объем вычислений.

Множество ^ содержит номера тех узлов из набора (12), которые участвуют в формировании функции 0; (и, V) на Д;, а множество 1; (г) представим в виде

1;(*) = {Р : у(р) < У*СЛ, ж(р) = ж*(г)} .

При г = 0 в (16) положим Ао,; = 0, Во,; = 0, Со,; = 0, ^о,;- = 0. При г > 1

Аг,; = Аг — 1,; + Ср. (20)

ре/3- (г)

Аналогичные формулы имеют место для остальных величин в (16).

Алгоритм построения множества ^ аналогичен алгоритму, использованному при подсчете дискрепанса (см. [4-6]), в котором все точки входят с одинаковым весом 1/Ж. В данном случае нужно не только определить количество слагаемых в суммах (19), но и учесть различие весов Ск.

Найдем максимум |0; (и, -у)| в области

а < и < Ь, а = ж*(г), Ь = ж*(г + 1), (21)

С < V < Л, С = у*^), Л = у*(/ + 1), (22)

который совпадает с супремумом этой функции в области Д;.

Пусть при каком-либо ] и г € [го + 1, го + к] множества 1;(г) пустые, 1;(г) = 0.

Следствием этого являются равенства Аг0,; = Аг0+1,; = • • • = Аг0+к,;, и так как при этих

(г, _?) не меняются и коэффициенты Вг,; Сг,; Дг,;, остается постоянным и вид функции 0г,; (и, V). В этом случае ШаХ |0г,; (и, v)| следует искать сразу в области и^0=+0 Д^,;, т. е. по переменной и в области

а < и < Ь, а = ж*(го), Ь = ж*(го + к + 1), (23)

а по переменной V в области (22).

Так как вид функции |0^- (и, V) и область ее рассмотрения определены, опустим нижние индексы и перейдем к поиску ее максимума в общем виде. Пусть

2 2 и^2

в(и, V) = —---Аиу + Ви + Су — В, (24)

а < и < 6, с < V < й. (25)

Здесь максимум вычисляется аналитически. Ниже в п-мерном случае при п > 3 используется метод прямого перебора точек в области (25).

Максимум функции |0(и, V) может достигаться внутри области или на границе. Точки экстремума функции 0(и, V) при ВС = 0 находятся из кубического уравнения

Ви3 - 2АСи + 2С2 = 0,

получающегося из соотношений

22 и^ и V

6^(г(, у) = —-Ап + В = 0, 0'у(и, у) = —--Аи + С = 0.

Если точки экстремума попадают в область (25), то значения экстремума в этих точках следует сравнить с более просто определяемыми значениями максимума функции

|0(и, V)! на границах области (25). Случай ВС = 0 также является более простым. Этот алгоритм использован в приводимых ниже примерах.

4. п-мерный случай. Пусть функция /(их,... ,ип) задана в кубе К”. Так же, как в двухмерном случае, мы хотим оценить остаток |Л[/]| кубатурной формулы.

Пусть ск, 1 < к < N, —веса и

(жх(к), Ж2(к), .. ., жп(к)), 1 < к < N (26)

— узлы кубатурной формулы, упорядоченные по возрастанию первой координаты

жх(1) < жх(2) < • • • < жх^). (27)

Если в ряду (26) нет точек с координатами (0,0,... ,0) и (1,1,... ,1), то добавим их с нулевыми весами. Общее число точек считаем равным N.

Пусть при всех * (1 < * < п)

ж*(1) < ж*(2) < ••• < ж*(т;) (28)

— все различные значения *-ой компоненты узлов (26) и при всех ], 1 < ] < тх, 1(^’) — число элементов первой компоненты, равных ж|(^’).

Если кубатурные формулы точны для полиномов, т. е. выполнены равенства

1 N I

21 = ^2Ск П^1 ~х°р(к))’ 1^п> (29)

к=1 р=1

то при условии существования соответствующих производных остаток Л[/] кубатурной формулы в п-мерном случае можно записать в виде

ж, Г я2г+г / (й(/ ) 1)

т = Е(-1)' Ук, «-.№)■ (30)

Суммирование по г и 1 распространяется на все различные непересекающиеся наборы вг, в; номеров аргументов функции /, а именно,

вг = {^1, . . . , }, в; = { в 1, ..., в ;}, 1 < г < п, 0 < 1 < п — г, (31)

й(?г) = (и^ , ...,и^), и^ П иЯт = 0, 1 < к < г, 1 < т < 1. (32)

В формуле (30) производная функции / берется в точке, у которой все компоненты,

кроме компонент и(вг), равны единицам. Функция Ф(и(вг); в;) = Ф(и41,. .., и4г; в;) имеет вид

1 / 1 г N ; г \

Ф(й(^);в,) = ^ I — П и1т ~ 21^2ск П(1 ~х°Лк)) П ~х^{к)) I , (33)

\ т=1 к=1 р=1 т=1 /

и при оценке остатка |Д[/]| кубатурной формулы в п-мерном случае нужно найти супремумы модулей этих функций

С(вг ;в;)= 8Ир |Ф(ип ,...,и4г ;в;)|, (34)

0<^1 ,...,иг<1

которые при выполнении равенств (29) могут быть записаны в виде

N г

С(и;в1)= эир 1 0<^1 < 1 2

1

^7 П П ~х^(к))

т=1 к=1 т=1

, 1 < г < п, (35)

где

; N

= 2; с*П(1 — ж«Р(к)), = 1 (36)

р=1 к=1

и Ск = Ск при 1 = 0.

При г = п(1 = 0) имеем в” = {1, 2, ...,п}, во = 0 и критерий С(вп; 0) является аналогом критерия С(3) в двухмерном случае:

С(в”; 0) = эир |Ф(и1,... ,и” 0)|, (и1,...,и”) е К”, (37)

и1,...,ип

где

1 ” N ”

ф(«ь■••.,1»;0) = рП,‘‘ -_ж»(*0)- (38)

®=1 к=1 ®=1

Рассмотрим вычисление критерия С(вп; 0), так как остальные случаи С(вг, в;), 1 < г < п — 1, получаются заменой п на г при фиксированных значениях соответствующих переменных (и* = 1) в количестве п — г штук. Если г + 1 = п, то С(вг; в;) < С(вп; 0).

Пусть КТ” = [0,1)” = иДй1 , где

Дк1 = П[ж* (к®), ж* (к* + 1)), 1 < к < т; — 1, 1 < * < п. (39)

®=1

Функция Ф(и1,..., ип; 0) в области Дд^,...,^ является многочленом относительно произведений и*. Покажем, как найти коэффициенты при соответствующих степенях.

Множества ^и (кі) (аналог множеств (17) в двухмерном случае) опре-

деляются как

= иг = і/^2 (г), ^0,Й2 = 1Й2,-..,Йп (0) = 0, (40)

Ґ Й1-1 Й1 Ї

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Ік2,...,кп(кі) = < р : X(р) < ж*(к), 2 < і < п, ^ 1(г) + 1 < р < ^ ((гН . (41)

I Г=1 Г=1 )

Номера узлов, образующих множество /^2,...,&„(кі), таковы:

ІЙ2,...,кп(кі) = {р : Хі(р) < ж*(к*), 2 < і < п, жі(р) = жі(кі)} . (42)

Формулы (40)—(42) поясняют алгоритм и удобны для программирования.

В области (39) функция (38) записывается в виде

-і П П

^,...,*>1, 0) = - п«I - Е Е(-1)'“| П^к1^ (43)

і= і РЄ^1,...,Л:п а І=і

где введены мультииндексы

п

а = (аь «2,. .., ап), «і = {0,1}, |а| =Е «і, (44)

і=і

а суммирование ^ проводится по множеству всех 2п значений а.

Если воспользоваться обозначением

п

А1,...,к„ = Е срП ж“* (р), (45)

р^^кі,...,кп і і

то в формуле (43) коэффициент при ПП=і иі, получающийся при а = 0 = (0,..., 0) и являющийся аналогом в двухмерном случае, можно найти по формуле

^к?,...,*» = Е СР (46)

или с помощью рекуррентного уравнения

Ак0)...,кп = Ак0-і,...,й„ + Е ср (47)

РЄІк2,...,кп (кі)

при А00)2 к =0. Аналогично находятся коэффициенты при других значениях а. Как и в двухмерном случае, если при каком-либо І0

^й2 ,...,&„ (і0 + 1) = • • • = /й2 ,...,&„ (і0 + г) = 0

то в области Д = и^О=+0 Д^,к2,...,к„ функция Ф^1 ,...,&„(«і,..., «п; 0) не меняет своего вида, следовательно, ее максимум следует искать сразу в области и^О=+0 Д^,й2,...,йп.

Критерий С(іп; 0) представляет собой максимум супремумов модулей функций

Ф&1 ,...,&„(«і,... ,«п; 0) в областях Д^,...,^ или ^=0 Д^,к2,..,к„.

Ясно, что для модуля остатка кубатурной формулы справедливо неравенство

д2г+;/(и(в), 1)

|Д[/]| <ЕС(в ;*)

, О К г

г,1

ди2(£г )ди( в ;)

йи(£ г). (48)

Введем весовые коэффициенты 7Г; (см.[7]) и, используя взвешанные оценки С(£г; в ;), получим модуль остатка кубатурной фомулы в виде

|Д[/]| < шах ( —

г,; \7rUK г

\7rUKг ди2(^)ди( вг) у

Замечание 4. Свойства, описанные в замечании 3, распространяются и на п-мер-ный случай. Веса и узлы (26), входящие в кубатурную формулу, у которых хотя бы одна из координат равна единице, не участвуют в вычислении критерия С(вг; в;). При разложении функции /(X) в ряд в точке (0,..., 0) (см. [3]) соответствующий критерий С не содержит весов и узлов, имеющих хотя бы одну нулевую координату.

Замечание 5. Рассмотрим оценку остатка кубатурной формулы, когда не выполнены условия (29). В этом случае остаток Д[/] имеет вид

д[/] = Е(-!)г 1кг ^д¥ЩЩ^ф{й{и); *)<вд-

п /1 N \ п /1 N \

_Е (■*■) ( 2 _ Е _ Ж*(^)) ) + Е (Ч и” Е - ж*(к))(1 - Ху (к)) | .

*=1 V к=1 / *.з = 1 V к=1 /

г=3

(50)

Запишем выражение для функции Ф(и(вг); в;) в области :

1 1

"1

*=1 ..........................к„ а *=1

Фй1,...,й„(м(^);«0 = я(«г) ( “ Е срЕ(-1)1/3'П^^г'1 *

(51)

где

N1 1 ; N

я(^) = ЕСйП^1 с~* = ~н<Т)СкП^1 -х°р(к))> Ес~* = 1-

к=1 р=1 ( в1) р=1 к=1

Здесь в — аналог а в формуле (43), а |в| = $^Г=1 в*. Производные /^(1) и /Х^.(1) берутся в точках с единичными координатами. В правой части равенства (51) выражение, стоящее в скобках, отличается от соответствующего выражения в формуле (43) только первым слагаемым, а остальные слагаемые находятся по прежней схеме, поэтому алгоритм вычисления супремума функции Ф(м(1г );в;) с очевидными изменениями повторяет алгоритм, описанный выше.

Пример 1. Найдем величины критериев С(вг; в;) при п = 3, (и, V, ад) € К3, N = 40.

Пусть первые 8 узлов кубатурной формулы расположены в вершинах куба К3, а со-

ответствующие им веса равны С1 = С2 = • • • = С8 = 1/120. На каждом ребре помимо

угловых точек (которые зафиксированы раньше) располагаются два узла, делящие ребро на 3 равные части. Этих точек 24 и они имеют одинаковые веса сд = • • • = С32 = 1/60. Остальные 8 точек имеют веса С33 = • • • = С40 = 1/15, а сами узлы находятся в вершинах куба со стороной 1/3, расположенного симметрично внутри исходного куба.

Критерий С(вз; во) принимает вид

С({1, 2, 3}; 0) = яир

0<и,^,ад<1

2 2 2 N

и2^2^2

8

_ 53 с* ^(м — х(к))Ь(-у — у(к))Ь(ад — г (к)).

к=1

(53)

Соотношения (29) выполнены. Так как компоненты узлов равноправны в смысле их расположения и весов, приведем величины критериев С(вг, в;) при наборах векторов с ?1 = {1}, в2 = {1, 2}, вз = {1, 2, 3} и соответствующими в;. В этом и последующих примерах запишем величины критериев, опуская фигурные скобки аргументов функции С, например, С(1;2, 3) вместо С({1}; {2, 3}):

1) С(1, 2, 3; 0) = 0.00632;

2) С(1, 2; 0) = 2 С(1, 2;3) = 0.01064;

3) С(1; 0) = 2 С(1;2) =4 С(1;2, 3) = 0.01389.

При разложении функции /(X) в ряд Тейлора в окрестности точки (0, 0,0) приходим к оценке критериев С?(вг,в;) (см. (8)), для которых, ввиду выполнений равенств типа (9), при всех аргументах имеют место равенства С?(вг.; в;) = С(вг; в;).

Пример 2а. В [7] узлы кубатурных формул образуются по следующей схеме: ж* (к) = {кМ*/Т}, 1 < к < Т, где фигурные скобки обозначают дробную часть числа, М* —целые числа взаимно простые с Т и М* < Т, а веса с* = 1/Т. Полагаем Т = 40, М1 = 7, М2 = 11, М3 = 19, добавляем точку с единичными координатами х* (41) = 1, С41 =0, N = 41. Для исходных данных соотношения (29) не выполняются. Получены следующие значения критерия:

1) С(1, 2, 3; 0) = 0.00719.

2) С(1, 2; 0) = С(1, 3; 0) = 0.00433, С(2, 3; 0) = 0.02547.

3) С(1; 0) = С(2; 0) = С(3; 0) = 0.01250.

4) С(1, 2; 3) = 0.00719; С(1, 3; 2) = 0.00552; С(2, 3; 1) = 0.00719.

5) С(1; 2) = 0.00391; С(1;3) = 0.00223; С(1; 2, 3) = 0.00516.

6) С(2; 1) = 0.00223; с(2; 3) = 0.02594; с(2; 1, 3) = 0.00719.

7) С(3; 1) = 0.00391; с(3; 2) = 0.02594; с(3; 1, 2) = 0.00590.

Пример 2Ь. Алгоритм построения узлов и весов тот же, что и в примере 2а.

Если взять Т = 40, М1 = 7, М2 = 23, М3 = 29, N = 41, то величина многих соответствующих критериев отличается на порядок:

1) С(1, 2, 3; 0) = 0.04578,

2) С(1, 2; 0) = 0.02547; 3) С(1, 3; 0) = С(2, 3; 0) = 0.03859.

3) С(1, 2; 3) = С(1, 3; 2) = С(2, 3; 1) = 0.04473, С(1;2) = С(2; 1) = 0.02594.

4) С(1; 3) = С(2; 3) = С(3; 1) = С(3; 2) = 0.03906.

5) С(1; 2, 3) = С(2; 1, 3) = С(3; 1, 2) = 0.04578.

В последних двух примерах вне зависимости от содержния векторов 1 и 2 имеем Н( в 1) = 0.51250, Н(в2) = 0.28906.

Использование критериев дает возможность подобрать оптимальный набор узлов и весов кубатурных формул.

Автор благодарит С. М. Ермакова за постановку задачи и весьма ценное обсуждение.

1. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967.

2. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

3. Ермаков С. М., Бурнаева Э. Г., Сидоровская М. В. Многокритериальные методы анализа остатка кубатурных формул // Математические модели. Теория и приложения. Вып. 7. СПб., 2006.

4. Товстик Т. М. Вычисление дискрепанса конечного числа точек в n-мерном единичном кубе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2007. Вып. 3. С. 118-121.

5. Bundschuh P., Zhu Y. The formulas of exact calculation of the disgrepancy of low-dimensinal finite point sets(I) // Chinese Sci. Bul. 1993. Vol. 38. N15. P. 1318-1319.

6. Bundschuh P., Zhu Y. The formulas of exact calculation of the disgrepancy of low-dimensinal finite point sets(II) // Chinese Sci. Bul. 1995. Vol.40. N7. P. 610-612.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

7. Sinescu V., Joe S. Good latice rules with a composite number of points based on the product weighted star discrepancy // Monte Carlo and Quasi-Monte Carlo Methods 2006. P. 645-658. Springer, 2007.

Статья поступила в редакцию 18 сентября 2008 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.