CC BY
19О корректности терминологии и
2 2
корректности использовния ПИ Д, ПИД ,
22
ПИД, ПЛ и подобных регуляторов
Д.О. Терешкин, В.М. Семибаламут Сибирское отделение геофизической службы СО РАН, Новосибирск Россия
Аннотация: В статье отмечаются примеры несовпадения терминологии по названию регуляторов для различных типовых структур. Наряду с путаницей в терминологии встречается еще и сомнительные структуры, которые не могут быть применены на практике, поэтому задачи с из использованием не могут иметь ни математической ценности вследствие их тривиальности, ни практической ценности вследствие их неприменимости. Этот недостаток намного более существенен. Разбору подобных недостатков и доказательству ряда важных тезисов, полезных для проектирования регуляторов, посвящена данная статья.
Ключевые слова: автоматика, ПИД-регулятор, ПИ2Д-регулятор, ПИД2-регулятор, ПИ2Д2, ПЛ-регулятор
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время часто встречаются публикации с использованием терминологии ПИ2Д, ПИД2, ПИ2Д2, ПЛ регуляторы и так далее [1]. При этом случается, что одинаковые регуляторы называются по-разному, а одинаковые названия присваивают различным структурам регуляторов. Так, например, регулятор, содержащий помимо
пропорционального, дифференцирующего и интегрирующего каналов еще и канал двойного дифференцирования, называется чаще всего ПИДД или ПИД2, но встречается также и такое, что подобный регулятор называют ПИ2Д. В других источников регулятором ПИ2Д называют регулятор, содержащий
дополнительный канал двойного
интегрирования, но для такого регулятора встречается также и название ПИИД и даже П2ИД. По-видимому, одни авторы используют числовой показатель (в данном случае 2) как множитель, стоящий перед аббревиатурой соответствующего канала, а другие авторы трактуют его как показатель степени в передаточной функции. Также встречается терминология ПЛ регулятор, что подразумевает регулятор по принципу локализации [2], но не встречается аналогичного сокращения для регулятора по принципу разделения движений, что, по-видимому, могло бы быть обозначено как МРД-регулятор. Наряду с путаницей в
терминологии встречается еще и сомнительные структуры, которые, как ни странно, моделируются, хотя не могут быть использованы в реальности. Этот недостаток намного более существенен. Разбору этих недостатков и доказательству ряда важных тезисов, полезных для проектирования регуляторов, посвящена данная статья.
1. СПОРНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ И СПОРНАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ
Рассмотрим работу [1]. В этой статье имеется утверждение: «Типовой ПИД-регулятор полностью решает задачу стабилизации нелинейных объектов первого порядка». Это утверждение, безусловно, не достаточно корректно, поскольку полностью задача стабилизации для нелинейных объектов (пусть даже только первого порядка) все же не решена, нелинейностей имеется множество видов, единого достаточного для всех ситуаций решения всех задач этого класса, безусловно, не существует.
Там же имеется утверждение про ПИД-регуляторы «В силу практических удобств такие регуляторы используются и для объектов выше первого порядка. Однако при этом вынужденно ослабляются требования к системе как в части динамических свойств, так и в части подавления возмущений, тем более при наличии в системе нелинейностей» [1]. Возразим, что для объектов первого порядка достаточны ПИ-регуляторы, для объектов второго порядка полностью достаточны ПИД-регуляторы, более чем двухкратное дифференцирование с позиции чисто математической (идеализированной) требуется лишь для объектов третьего и более высокого порядка. Практического значения подобные регуляторы, т. е. регуляторы с более чем двухкратным дифференцированием, не имеют по причинам, в частности, разъясненным в работе [3].
Наличие в системе звена чистого запаздывания резко изменяет фазочастотную характеристику, поэтому все сказанное выше можно отнести лишь к объектам без запаздывания. Но, во-первых, такое звено является линейным, во-вторых, дифференцирование, в том числе и многократное, не достаточно эффективная мера для управления объектом с запаздыванием, она может лишь
несколько улучшить качество переходного процесса, но многократное дифференцирование в данном случае не оправдано вследствие малой эффективности. Что касается нелинейности, то все зависит от ее типа. Нелинейность типа ограничения несущественно влияет на устойчивость системы, тогда как нелинейность типа зоны нечувствительности, или хуже того гистерезиса, нарушают устойчивость столь радикально, что дифференцирование в этом случае не эффективно. Прочие виды нелинейности (полиномиальная зависимость и другие) следует рассматривать и изучать в отдельности и наиболе детально. Общие утверждения обо всех нелинейных системах подобно процитированным выше, в общем случае некоррректны.
Далее в публикации [1] сказано: «В данной работе представлен оригинальный ПИ2Д-регулятор, полученный путём добавления к типовому ПИД-регулятору дополнительного канала двойного дифференцирования». Следует отметить, что, во-первых, регулятор, отличающийся от традиционного ПИД-регулятора наличием канала двойного дифференцирования, далеко не оригинален, а известен достаточно давно, во-вторых, подобные регуляторы чаще называются ПИД2-регуляторами, а не ПИ2Д-регуляторами, в-третьих, при использовании такого регулятора, по меньшей мере, надлежит отметить способ его практической реализации, поскольку формально такой регулятор физически не может быть реализован, поэтому его реализация может быть лишь приблилиженной в некоторой ограниченной полосе частот.
Кроме того, поскольку указанный регулятор применяется для объекта второго порядка, и поскольку использование регулятора с двойным дифференцированием для управления объектом второго порядка является явно избыточным, то поэтому следовало бы, как минимум, обосновать необходимость второго канала дифференцирования теоретически и желательно подтвердить экспериментально.
В частности, в работе [4] сказано: «В сравнении с ПИД-регулятором более эффективен ПИ2Д-регулятор (с двойным интегратором) для более резкого повышения АЧХ при понижении частоты». Здесь под упомянутым выше названием имеется в виду ПИД регулятор с дополнительным каналом двойного интегрирования. В работе [5] обсуждается использование ПИ2Д2 регулятора, в котором имеется два дополнительных канала, как с двойным интегрированием, так и с двойным дифференцированием. Упоминаемый ПИД2-регулятор (так его называть более корректно) является лишь частным случаем более полного ПИ2Д2-регулятора, в котором коэффициент при тракте двойного интегрирования равен нулю.
В работе [6] не только сказано о ПИД -регуляторах и регуляторах с более высоким порядком дифференцирования, а именно: ПИД3 и ПИД4, но таже осуществлено соответствующее моделирование и обсуждены вопросы практической осуществимости этих регуляторов. В частности, сказано: «показан переходный процесс в системе с ПИДД-регуля-тором, то есть регулятором, содержащим наряду с традиционными трактами также тракт с двойной производной» [6]. Понятно, что речь идет именно о такой структуре, которая в работе [1] необоснованно названа оригинальной. Далее сказано: «Этот регулятор в литературе иногда также называется ПИД2-регулятор, где степень 2 указывает на то, что используется не только первая производная, но и вторая» [6], из чего следует связь между структурой и терминологией, причем не такая, как в работе [1].
В отношении корректности терминологии можно привести три аргументв в пользу терминологии, импользованной в работах [4-6].
1. При последовательном соединении интеграторов их передаточные функции перемножаются, что может быть отмечено показетелем степени, который пишется сверху после основания, а не перед основанием, т. е. И2 более логично означает двойной интегратор, нежели 2И или 2И.
2. Подобная терминология опубликована раньше; по меньшей мере, статья [6] опережает статью [1].
3. Указанная терминология представляется более распространенной, поэтому следует с ней попросту согласиться.
В отношении новизны укажем следующее: коль скоро уже известна терминология «ПИ2Д2-регулятор» можно по аналогии предложить обобщенное название «ПИ^м-регулятор», где
N = 0,1,2,3....
и
М = 0,1,2,3.... - любые
положительные целые числа. В случае равенства какого-либо из показателей степени нулю этот показатель не пишется, а также не пишется основание перед этим показателем, а в случае равенства какого-либо показателя единице не пишется только этот показатель, а основание пишется. Таким образом, ПИД-регулятор - это обобщенный «ПИ^М-регулятор» в частном случае при N = М = 1, ПИ-регулятор это тот же обобщенный регулятор при N = 1, М = 0 и так далее. Поэтому никакое сообщение впоследствии о регуляторе, например, содержащем три канала дифференцирования или четыре канала интегрирования и т. п. не может рассматриваться как оригинальное. Полезность подобного сообщения может быть признана лишь при условии обоснования его полезности, по меньшей мере, в одном случае, важном для практики или хотя бы для теории.
Мы не утверждаем, что в статье [1] указанный регулятор бесполезен, а лишь
отмечаем, что он, во-первых, не является оригинальным, как в ней сказано, во-вторых, его полезность следовало бы тщательно продемонстрировать и (или) обосновать.
В работах [7-8] говорится о ПЛ-регуляторах как регуляторах, основанных на принципе локализации.
2. СООТНЕСЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В РЕГУЛЯТОРЕ С ПОРЯДКОМ ОБЪЕКТА
В работе [1] рассматривается динамический объект, модель которого имеет вид:
ш(ру 1
(1)
' + а15 +1
Далее в статье [1] сказано: предлагается рассматривать цированный ПИ2Д-регулятор, со передаточной функцией:
«В работе модифи-следующей
2Д (р)=Кп + ^+К р+К р
2р 2».
(2)
Как отмечено выше, такая структура не оригинальна. Не будем придираться к юмористической фразе о том, что двукратное дифференцирование вследствие роста шумов «может привести к серьёзным последствиям: от тихого пробоя до громкого взрыва».
Отметим, что авторы осуществляют преобразование структуры регулятора, которе ошибочно считают эквивалентным, а именно: переносят регулятор в обратную связь.
На Рис. 1 показана исходная структура, где под регулятором, по-видимому, подразумевается элемент с передаточной функцией (2) или в ее эквивалентном виде:
К„„р3 + К„,р2 + Кпп + К„
Рис. 1. Структурная схема системы с регулятором [1]
После преобразования авторы получили структуру, показанную на Рис. 2. Такое преобразование не эквивалентно.
О
Ь ю
р
р"+- С2Р+С-1
У
Рис. 2. Структурная схема системы с ПИ2Д-регулятором [1]
3. ЧИСЛЕННЫМ ПРИМЕР, И ЧТО ОН ДОКАЗЫВАЕТ
В работе [1] рассматривается численный пример в виде объекта с передаточной функцией по соотношению (1), где а2 = 1, а1 = 2. Требования к качеству процессов в системе: ^ < 3с, с < 10%, А = 0%. При этом параметры модели а! и а2 изменяются в диапазоне ±30 %.
В качестве результата приводятся переходные процессы в полученной системы, которые показаны на Рис. 3.
Рис. 3. Переходные характеристики систем с ПИД- и «ПИ2Д-регуляторами» по статье [1]
Для иллюстрации подавленной зависимости переходных процессов от параметров объекта приводятся графики этих процессов при изменении каждого из параметров в указанных пределах, графики приведены на Рис. 4 и Рис. 5.
Рис. 4. Переходные процессы в системах при различных значениях параметра а2 согласно статье [1]
Авторы делают вывод, что система с двойным дифференцированием лучше, поскольку в ней подавлено влияние изменения параметров объекта. Тем самым используемая структура регулятора объявляется лучшей для рассмотренного объекта, нежели традиционный ПИД-регулятор.
К сожалению, с выводами авторов статьи [1] нельзя согласиться.
Прежде всего, приведем теоретические соображения, затем подтвердим их экспери-
аз
2
ментально, для чего осуществим моделирование и оптимизацию регулятора для рассмотренного объекта в программе Уг^Яш и сравним результат с результатами, полученными в обсуждаемой статье.
( /
/ /
/ / -PI2D при увеличении а1 на 30% ---PID при увеличении а1 на 30% ---PI2D при а1 номинальном -PID при а1 номинальном ---PI2D при уменьшении а1 на 30% .........PID при уменьшении а1 на 30%
У
1 У
У ;
о1—-1-1-i-1-
0 1 2 3 4 5
(Я
Рис.5. Переходные процессы в системах при различных значениях параметра а1 согласно статье [1]
4. ТЕОРИЯ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПИД-РЕГУЛЯТОРОМ И С РЕГУЛЯТОРОМ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Не будем придираться к тому, что в разделе об актуальности исследований речь ведется о нелинейных объектах управления, а рассмотренный численный пример относится к линейным системам.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика объекта второго порядка, каким является объект с передаточной функцией (1), в области высоких частот асимптотически стремится к наклону -40 дБ/дек. ПИД-регулятор позволяет поднять высокочастотную часть этой характеристики на величину +20 дБ/дек, что даст в итоге наклон характеристики всего контура -20 дБ/дек. Поскольку в контуре нет звеньев чистого запаздывания, то в системе с таким асимптотическим наклоном коэффициент усиления можно увеличивать безгранично, система останется устойчивой с большим запасом устойчивости. Это означает, что переходный процесс будет без перерегулирования.
Если использовать дополнительное дифференцирование, это позволит поднять наклон высокочастотной части логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутого контура до значения нулевого наклона. В теории такая система идеальна, на практике таких систем не бывает, при моделировании можно получить различные результаты, в зависимости от используемого метода моделирования и применяемых допущений.
Если моделировать в программе У1$81т, то получаемый результат будет больше близок к практике, а не к идеальной математической ситуации по той причине, что моделирование в этой программе используется по шагам и даже в системе первого порядка коэффициент
усиления нельзя увеличивать бесконечно, потому что шаг интегрирования задает некоторе запаздывание в системе. Поэтому те результаты, которые получаются при моделировании в этой программе, никак не хуже тех, которые могут быть получены на практике, этим результатам можно доверять.
Таким образом, можно утверждать из теории, что для системы второго порядка ПИД-регулятор достаточен, а регулятор с каналом двойного дифференцирования избыточен.
В статье [1] сказано, что использовано не идеальное дифференцирующее устройство, а устройство, снабженное фильтром с целью физической реализуемости. На самом деле если фильтр не применять, то моделирование будет неадекватным.
5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЕМ И ЧИСЛЕННОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ
При выборе шага интегрирования т = 0,01 с оптимизация ПИД-регулятора дает следующие коэффициенты кр = 35, к, = 2, кц = 16. Переходные процессы в системе со всеми возможными сочетаниями значений параметров объекта в рамках тридцатипроцентной девиации показаны на Рис. 6, видно, что эти графики практически сливаются.
1.1 1.0 .9 .8 .7
| |
| |
i i
i i
| |
i i
.2 .1 0 i i
T Г
f T г i i
.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Time (sec)
Рис. 6. Семейство переходных процессов в системе с ПИД-регулятором при кр = 35, к = 2, кл = 16: при этом коэффициенты а! и а2 принимают номинальные значения, а также изменяются в обе стороны на 30 % от номинала
Если шаг интегрирования уменьшить в десять раз, можно получить следующие значения коэффициентов ПИД-регулятора: кр = 2000, ^ = 100, ка = 60. Графики переходных процессов в системе для этого случая показаны на Рис. 7. При этом в системе также, как и в статье [1] введено возмущение на входе объекта в момент t = 1 с, амплитуда этого возмущения равна единице. Видно, что, во-первых, влияние возмущения практически незаметно, чего не скажешь про аналогичные графики в работе [1], во-вторых, быстродействие в системе существенно выше. При этом девиация параметров объекта приводит в небольшому изменению перерегулирования, которое все де меньше, чем
10 %, то есть соответствует требованиям, предъявляемым к системе.
11 1.0 3 .в .7 А
Г
5 .4 .3 2 1
0 2 А Б .8 1 12 1.4 1.Б 1.8 2 Игле 15ес:
Рис. 7. Семейство переходных процессов в системе с ПИД-регулятором при кр = 2000, к1 = 100, кл = 60: при этом коэффициенты а1 и а2 принимают номинальные значения, а также изменяются в обе стороны на 30 % от номинала, кроме того, на вход объекта в момент t = 1 с поступает возмущение единичной амплитуды
1.1 1.0 5 .8 7 .6 5 4 .3 2 .1 0
2 4 .5 .8 1 1 2 1.4 1.6 1.8 2 Иле (зес]
Рис. 8. Семейство переходных процессов в системе с ПИД-регулятором при кр = 2000, к1 = 100, кл = 60: при этом коэффициенты а1 и а2 принимают номинальные значения, а также изменяются в обе стороны на 30 % от номинала, при этом на входе задания стоит фильтр с передаточной функцией [0,03р2 + 0,3 р +1]-1
Наконец, отметим, что структура по Рис. 2 после эквивалентных преобразований приводит к тому, что входной сигнал у(0 фильтруется. Если в систему ввести подобный фильтр в явном виде, получим графики переходных процессов, например, показанные на Рис. 8. В этом случае графики при различных значениях параметров объекта сливаются настолько, что практически неразличимы. Если
авторы статьи [1] хотели получить такой результат, то есть существенно пониженное влияние параметров объекта в указанном диапазоне, то, как видим, с простым ПИД-регулятором получаем искомый результат
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ МЕТОДОМ СТРУКТУРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Для начала, посмотрим, что представляет собой структура по Рис. 1 из работы [1]. Если изобразить ее со всеми элементами в деталях, получим структуру, показанную на Рис. 9. Видно, что она избыточна, поскольку степень числителя передаточной функции контура совпадает со степенью знаменателя. Мы еще вернемся к обсуждению такой системы, сейчас просто отметим, что она не достаточна для исследования фактической устойчивости контура, следовательно, она вообще неприменима для анализа. В этом смысле эта структура ошибочна.
Показанную на Рис. 2 структуру также исследуем методом структурных
преобразований. Следует преобразовать в легко интерпретируемую одноконтурную систему. Для начала изобразим ее в деталях, как показано на Рис. 10. Далее перенесем сумматор назад через интегрирующий элемент. В этом случае по правилам эквивалентных преобразований в ветвь, которая входит в сумматор, следует добавить такой же элемент, через который переносится сумматор. Результат такого преобразования показан на Рис. 11. Два последовательно включенных звена в обратной связи можно объединить в одно путем перемножения их передаточных функций. После этого следует объединить две параллельных ветви обратной связи, для чего их передаточные функции необходимо сложить. Поскольку в знаменателе дробной функции стоит численный коэффициент, сложение легко вычисляется, результат показан на Рис. 12. Наконец, перенесем передаточную функцию из обратной связи в прямую ветвь, в этом случае в ветвь, входящую в сумматор следует добавить передаточную функцию, обратную
передаточной функции ветви обратной связи, то есть ввести низкочастотный фильтр. Результат показан на Рис. 13.
V г -► Ь —1 к—►
к s s2+a1s+a0
Рис. 9. Явно избыточная структура регулятора
Рис. 10. Предлагаемая в статье [1] структура регулятора
V
к
я
Рис. 11. Результат преобразования структуры из Рис. 10 путем переноса сумматора через линейный элемент
V
к -
я
я +а1я+а0
У
Рис. 12. Результат суммирования передаточных функций двух обратных ветвей структуры из Рис. 11
V -► к —
с2я3+с1я2+с0я+к
Рис. 13. Результат преобразования структуры из Рис. 12 путем переноса передаточной функции обратной связи через
сумматор
Итак, знаменатель передаточной функции в полученном контуре структуры по Рис. 13 имеет тот же порядок, что и числитель. Это избыточная ситация, для успешного управления все же знаменатель должен иметь порядок на единицу больше, поэтому опять можно сделать вывод о том, что второе дифференцировние в этом регуляторе излишее. Кроме того, из этой структуры видно, что сигал задания у(^) фильтруется низкочастотным фильтром, хотя, конечно постоянные времени этого фильтра не слишком велики, если коэффициент к достаточно велик. Свойства основного контура с единичной обратной связью описывают
возможности системы при отработке задания и подавлении возмущения. В этой структуре видно, что эти свойства на самом деле не контролируемы, они не достаточно полно описываются выбранными коэффициентами, действительные свойства такой системы будут определяться значением неучтенного в этой структуре
дополительного
4
слагаемого,
содержащего я , или его можно представить как дополнительный сомножитель вида (ёя + 1). Иными словами, на самом деле следует моделировать и анализировать другую систему, которая показана на Рис. 14.
Ь
Рис. 14. Реальная структура, соответствующая идеальной модели по структуре из Рис. 5
Отметим, что в работе [1] для исследования отклика системы на возмущение таковое возмущение подается на вход объекта (суммируется с управляющим сигналом). Это также не корректно. Такое возмущение фильтруется передаточной функцией объекта. Для анализа свойств контура ступенчатое воздействие следует подавать на выход объекта через сумматор, либо на вход регулятора, минуя фильтр, стоящий между предписанным сигналом у(0 и сумматором, на котором замыкается петля отрицательной обратной связи.
Из сказанного можно сделать вывод о том, что регуляторы по Рис. 1 и по Рис. 2 оба методически ошибочны, их корректный анализ невозможен, поскольку важные для анализа параметры (значение численного коэффициента С) в этой структуре не учтены, а следовательно анализ таких систем не опирается на полный набор сведений, от которых зависит устойчивость или неустойчивость исследуемого контура.
6. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕРМИНОЛОГИИ «ПОРЯДОК ОБЪЕКТА» И «ПОРЯДОК РЕГУЛЯТОРА»
Подобный вопрос часто игнорируется при проектировании регулятора для линейного объекта, хотя важность его столь высока, что он всегда должен быть принят во внимание, тем более, что его решение может быть получено простым путем.
Под порядком в данном случае понимается асимптотический порядок объекта.
Если передаточная функция объекта представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся полиномы от 5, причем порядок числителя равен п, а порядок знаменателя равен т, то асимптотический порядок объекта равен N = п - т. Здесь 5 = + С - аргумент преобразования Лапласа.
Действительно, пусть передаточная функция объекта имеет вид:
Wu (s) =
bo + b,s +... + bj'
ao + a1s +... + ans
(4)
Вынесем за скобки в числителе и знаменателе 5 в старшей степени, получим:
sm (t s~m + b s~m+1 + + b ) Wu (s) = ^ (b0' - n b's -n+1 + ... + bm)) . (5) sn(aos n + a1s +... + an)
Сократим лишние множители и получим:
(bo s-m + bis - m+1 + ... + bm )
WU(s) = —^
U v ' n-
sn-m (aos - n + a1s-n+1 +... + an)
.(6)
Верхние частоты соответствуют увеличению s, а асимптотическое поведение передаточной функции (6), равной (5) получается при s —> ¥. Видно, что в этом случае в каждой из скобок все члены, кроме последнего, стремятся к нулю, то есть остается следующее:
lim WU (s) = (7)
s—¥ UW sn-man 1 ;
С учетом введенного обозначения как раз и получаем:
b
lim Wu (s) = . (8)
s—¥ s an
Соотношение (8) вскрывает физический смысл вводимого понятия «ассимптотический порядок объекта». Этот термин характеризует асимптотический наклон логарифмической амилитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) объекта.
Аналогичным обрезоа определим понятие порядок регулятора.
В общем виде привычно писать следующее соотношение:
WPID (s) = kP + — + kDs . (9)
5
Приведем к общему знаменателю и получим:
кр5 + к. + ксэ2 (5) = ^-^^ . (10)
Исходя из этого, асимптотический порядок ПИД-регулятора равен NpID = - 1.
Это относится лишь в идеальному ПИД-регулятору. Практикуется также использование «реальных ПИД-регуляторов», то есть устройств, отвечающих требованию физической реализуемости, состоящем в том, что степень числителя не может быть выше степени знаменателя.
Передаточная фунция такого регулятора может быть задана в следующем виде:
W
"" т?
(я) =
крЭ + кг + 2
(11)
я (1 + т)
Здесь ¡Л - малая величина, намного меньше,
чем кр / к1. Порядок такого регулятора следует
признать нулевым. Если рассматривать ограниченную область частот (, в которой | (|<< 1, поэтому слагаемое ¡я пренебрежимо мало в сравнении со слагаемым, равным единице, то полиномом в скобках в знаменателе соотношения (11) можно пренебречь, считая его равным единице. Т.е. в ограниченной области частот соотношения (11) и (10) можно считать тождественными, поэтому регулятор по соотношению (11) в ограниченной области частот может быть столь же эффективным, как и регулятор по соотношению (10).
В ряде случаев может быть в реальном ПИД-регуляторе использован фильтр второго порядка, тогда его передаточная функция имеет следующий вид:
WR 2РЮ '
кря + ki +
(12)
+ а]М + т я2) К такому регулятору полностью применимо все, что сказано об ограниченном диапазоне частот для регулятора (11). Асимптотический порядок (или просто порядок) данного регулятора равен единице.
В общем виде можно говорить о регуляторе, который в ограниченном диапазоне частот, чье полное описание во всем диапазоне частот соответствует следующей точной модели:
WRnPID :
V+к +
(13)
(я)
Здесь Dn (я) - полином порядка я, где
Соотношение (13) является
обобщенным, соотношения (10), (11) и (12) являются его частными случаями. Порядок такого регулятора равен я — 1. Здесь я -
ё0 = 1.
WPI(Ю)
WRPI(Ю)
степень старшего ненулевого члена полинома
Dn (я).
Важно всегда помнить о том, что если речь идет о регуляторе вида (11) - (13), то недопустимо говорить о том, как ведет себя система при бесконечном увеличении коэффициента усиления, имея в виду, что такой регулятор тождественен регулятору по соотношению (10). В этом случае можно говорить лишь о поведении системы в рамках строго ограниченного диапазона изменения коэффициента усиления контура стабилизации. Если же рассматривается бесконечное увеличение коэффициента усиления, и регулятор трактуется как регулятор вида (10), следует понимать, что подобные теоретизирования отрываются от реальности, поскольку регулятор в виде (10) может быть на самом деле реализован лишь в ограниченном диапазоне частот, то есть реализован регулятор вида (11), а трактуется он как регулятор вида (10) только вследствие допустимости такой трактовки в ограниченном диапазоне частот.
На Рис. 15 показано отличие ЛАЧХ реального и идеального ПИД-регулятора. На Рис. 16 показаны отличия различных видов ПИД-регулятора, согласно соотношениям (10) -(12).
Если условия проектирования регуляторов таковы, что ЛАЧХ разомкнутого контура даже с идеальным регулятором положительна лишь в области частот, менее (1 , то все отличия реального регулятора от идеального проявляются лишь в области тех частот (> Щ, при которых ЛАЧХ разомкнутого контура уже не оказывает никакого влияния на устойчивость системы. С этой оговоркой реальный регулятор идентичен идеальному. Если же коэффициент усиления в контуре увеличивается, то ЛАЧХ разомкнутого контура поднимается выше над осью абсцисс. В этом случае отличия реального регулятора от идеального могут стать фатальными.
ю
Рис. 15. ЛАЧХ идеального ПИ-регулятора WPI (я) и реального ПИ-регулятора: в диапазоне частот от нуля до ( совпадает, в области более высоких частот они резко различаются
Рис. 16. ЛАЧХ идеального ПИ-регулятора Жр1 (5) и реального ПИ-регулятора: в диапазоне частот от нуля до Щ совпадает, в области более высоких частот они резко различаются
Так на Рис. 17 показаны две ЛАЧХ двух систем, одна из которых соответствует
системе с идеальным регулятором (10), а другая (5) соответствует системе с реальным регулятором (11). Видно, что ЛАЧХ в области ниже частоты Щ практически идентичны, поэтому системы ведут себя одинаково. Если же коэффициент усиления в системах увеличить, эти характеристики поднимутся выше, отличия будут иметь место в области частот, при
которых значение ЛАЧХ положительно, поэтому такие системы будут вести себя по-разному. В частности, система с передаточной функцией разомкнутого контура Ж2(5) будет оставаться устойчивой, перерегулирование в ней будет отсутствовать, а система передаточной функцией (5) приблизится к границе устойчивости, она станет колебательной.
N+1=2
Рис. 17. ЛАЧХ идеального ПИ-регулятора Жр1 (5) и реального ПИ-регулятора: в диапазоне частот от нуля до Щ совпадает, в области более высоких частот они резко различаются
Мы анализируем ЛАЧХ разомкнутого
7. ВОПРОС О ТОМ, КАК ВЕДЕТ СЕБЯ СИСТЕМА С ОБЪЕКТОМ ПОРЯДКА N С РЕГУЛЯТОРОМ ПОРЯДКА Ь
Общее правило: если модель объекта представляет собой произведение нескольких передаточных функций, то итоговая передаточная функция - это их произведение. Следовательно, асимптотические порядки складываются (алгебраически).
Для вычисления асимптотического порядка разомкнутого контура достаточно сложить порядки объекта и регулятора, поскольку их передаточные функции перемножаются.
контура при увеличении всех коэффициентов усиления регулятора.
Например, если порядок объекта равен N = 5, порядок регулятора равен = - 1, тогда порядок разомкнутого контура равен ^ = 5 - 1 = 4. Если так, то наклон высокочастотной части ЛАЧХ (то есть той части, где 5 ® ¥), равен 20 ^ = 80 дБ/дек.
В этом ключ к анализу. Рассмотрим, что будет, если все коэффициенты регулятора одновременно увеличиваются пропорционально множителю К.
Жрю(5) = Ккр05 + к0 + кд0^ . (14)
При увеличении этого коэффициента весь график ЛАЧХ будет подниматься вверх. Начиная с некоторого большого значения этого множителя, ЛАЧХ будет пересекать ось абсцисс под углом, равным произведению АП на 20 дБ/дек.
Если наклон равен 20 дБ / дек, то система остается устойчивой при К ® ¥ .
Если наклон равен 40 дБ / дек, то объект остается формально на границе устойчивости при К ® ¥ . На практике такую систему называют неустойчивой.
Если наклон равен 40 дБ / дек или выше, то система остается неустойчива при К ® ¥ .
Пример 1. Если наклон равен нулю, или положительный, то анализ устойчивости такого контура на основании этих данных делать не корректно.
Ответ на вопрос о том, как ведет себя системы с такой передаточной функцией разомкнутого контура не может быть решен. Формально такая «система» идеальна, так как ее полоса частот бесконечна. На практике таких систем быть не может. Какой бы «широкополосной» не была система, с ростом частоты ее ЛАЧХ начнет затухать, и если это затухание будет плавным, с наклоном первого порядка, контур будет устойчивым, а если затухание будет с более высоким порядком, система будет неустойчивой.
Поэтому инженерные науки не должны заниматься решением этого вопроса в такой постановке задачи: либо следует принять во внимание те частоты, где начинается ненулевой наклон, либо рассуждения беспредметны.
Вопрос о том, как будет вести себя подобная система при моделировании, зависит от способа моделирования. Если задача некорректна, а при моделировании она решается как корректная, значит, моделирование было осуществлено некорректно.
В частности, целесообразно рассмотреть, как будет вести себя система при моделировании в программе [9-14]. Даже при отсутствии
теоретической подготовки для аналитических расчетов нетрудно удостовериться, что при моделировании в программе контур
нулевого порядка и отрицательного порядка (в нашей терминологии, что означает, что степень числителя выше степени знаменателя) не может быть смоделирован. Система индицирует ошибку контура.
Пример 2. Если порядок системы равен единице, то теоретический анализ такой идеальной системы дает результат, как для системы с ЛАЧХ W2(s) на Рис. 17. С ростом коэффициента усиления в таком контуре устойчивость не нарушиться, а точность будет повышаться неограниченно. Разумеется, в реальности таких систем не может существовать, любая реальная система не позволяет увеличивать коэффициент усиления
бесконечно. Это не означает, что теория не соответствует практике, это означает, что в данном случае теория рассматривает систему, не соответствующая никакому практическому случаю. Таким образом, аналитический расчет такой идеальной системы должен дать такой результат, что коэффициент усиления целесообразно повышать бесконечно, система от этого лишь улучшится. Моделирование в программе и исследования с реальной
системой приведут к тому, что система потеряет устойчивость как только коэффициент достигнет такой величины, что начнут сказываться неучтенные элементы
инерционности. В реальном объекте это могут быть фильтры высшего порядка, звенья запаздывания или шаг квантования при цифровом управлении. В программе такой причиной является ненулевой шаг квантования. Процедура оптимизации остановится только тогда, когда шаг интегрирования станет уже некорректным. Если после этого шаг интегрирования дополнительно уменьшить, процедура оптимизации пойдет дальше, опять остановится только тогда, когда шаг интегрирования станет некорректным. Если порядок системы равен единице, то это говорит о том, что сведений о модели объекта недостаточно для получения адекватного решения, т. е. такого набора коэффициентов регулятора, который оптимален для фактического регулятора с фактическим объектом управления.
Пример 3. Если порядок системы больше единицы, то процедура оптимизации остановится при каких-то конкретных значениях коэффициентов. Это справедливо и для аналитического расчета и для моделирования. Порядок системы, который больше единицы, указывает на то, что сведения о модели объекта достаточны для для корректного аналитического расчета регулятора, а также достаточны для корректной численной оптимизации регулятора.
Пример 4. Если в системе имеется запаздывание и порядок системы больше нуля, процедура также остановится при конкретных значениях коэффициента усиления, и это также справедливо и для аналитического расчета идля моделирования. В этом случае сведений о системе также достаточно для решения задачи отыскания регулятора любым пречисленным способом.
Чем выше порядок системы, тем больше шансов, что процедура оптимизации остановится в такой точке (с таким набором коэффициентов регулятора), в которой и фактическая система будет настроена оптимально.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате теоретического анализа и на основе моделирования показано, что ПИД-
регулятор, снабженный дополнительным каналом с двумя дифференцирующими устройствами, не требуется и даже противопоказан для управления объектом второго порядка. Такой регулятор напрасно называется ПИ2Д-регулятором логичнее было бы назвать его ПИД2-регулятором, в соответствии с традициями и ранее опубликованными статьями на эту тему. Также указанный регулятор необоснованно назван оригинальным, так как статья [1] не может претендовать на новизну подобной структуры.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Г.А. Французова, Е.П. Котова. Расчёт и исследование возможностей систем автоматического управления с типовым ПИД-регулятором и модифицированным ПИ2Д-регулятором. Автоматика и программная инженерия. - 2017. - № 1 (19). - С. 10-15.
[2] Французова Г.А. Синтез двухконтурной астатической системы экстремального регулирования на основе принципа локализации. Сибирский журнал индустриальной математики.
- 2004. T.VII. - № 1 (17). - С. 145-150.
[3] В.А. Жмудь, Л.В. Димитров. Исследование причин шумов при многократном дифференцировании сигнала цифровым способом. ФГБОУ ВПО НГТУ, ИЛФ СО РАН, Технический университет Софии, София, Болгария. Автоматика и программная инженерия.
- 2017. - № 2 (20). - С. 80-89.
[4] Васильев В.А., Воевода А.В., Жмудь В.А. Новые подходы к разработке адаптивного цифрового ПИД-регулятора. Сборник научных трудов НГТУ.
- 2006. - № 3(45). - С. 11-18.
[5] Заворин А.Н., Ядрышников О.Д., Жмудь В.А. Усовершенствование качественных характеристик систем управления с обратной связью при использовании ПИ2Д2-регулятора. Сборник научных трудов НГТУ. - 2010. -№ 4(62). - С.41-50.
[6] Саленко Д.С., Малышкин Н.А. Особенности численной оптимизации в программе VisSim ПИД-регулятора с высшими производными. Автоматика и программная инженерия. - 2015. -№ 4 (14). - С. 72-82.
[7] А.О. Гатенюк, А.А. Воевода, В.А. Жмудь. ПЛ-регуляторы разделения движений в многодатчиковых системах. Сборник научных трудов НГТУ. - 2007. - № 1(47). С. 11-16.
[8] Р.Ю. Ишимцев, В.А. Жмудь. ПЛ-регуляторы для совмещения достоинств малошумящих нестабильных датчиков и зашумленных датчиков с малым дрейфом. Сборник научных трудов НГТУ. - 2007. - № 1(47). С.157-160.
[9] Жмудь В. А. Моделирование замкнутых систем автоматического управления : учеб. пособие для академического бакалавриата / В. А. Жмудь . - 2-е изд., испр. и доп. - Москва : Юрайт, 2017. - 126 с.
- ISBN 978-5-534-03410-3.
[10] Жмудь В. А. Системы автоматического управления высшей точности : учеб. пособие / В. А. Жмудь, А. В. Тайченачев. - Новосибирск : Изд-во НГУ, 2016. - 133 с. - 200 экз. - ISBN 978-5-
4437-0603-0.
[11] Автоматизированное проектирование систем управления.: учеб. пособие / Новосибирск, 2012 :
учеб.-метод. пособие / В. А. Жмудь. - : НГТУ, 2012. - 72 с.
[12] Жмудь В. А. Моделирование и численная оптимизация замкнутых систем автоматического управления в программе VisSim.: учеб. пособие / Новосиб. гос. техн. ин-т. - Новосибирск : Изд-во НГУ, 2012.: учеб. пособие / В. А. Жмудь. - : НГТУ, 2012. - 124 с.
[13] Zhmud V. A. Designing of the precision automatic control systems: monograph / V. A. Zhmud, L. Dimitrov. - Novosibirsk : KANT, 2017. - 126 p
[14] Жмудь В. А. Численная оптимизация замкнутых систем автоматического управления в программе VisSim: новые структуры и методы : монография / В. А. Жмудь. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2016.
- 252 с. - 80 экз. - ISBN 978-5-7782-3062-7.
2
About Correctness of the Name PI D, PID2, PI2D2, PL and Similar Regulators
DO. TERESHKIN, V.M. SEMIBALAMUT
Siberian Branch of Geophysical Survey SB RAS, Novosibirsk Russia
Abstract: The paper points some literature examples of the inconsistency of the terminology by the name of regulators for various typical structures. Along with confusion in terminology, there are also doubtful structures that can not be applied in practice, therefore, tasks with their use have nither mathematical value due to their triviality not practical value due to their inapplicability. This shortcoming is much more significant. This paper is devoted to the analysis of such shortcomings and the proof of a number of important theses useful for designing regulators.
Key words: automatics, PID controller, PI2D-controller, PID2-regulator, PI2D2, PL-regulator
REFERENCES
[1] G.A. Francuzova, E.P. Kotova. Raschjot i issledovanie vozmozhnostej sistem avtomaticheskogo upravlenija s tipovym PID-reguljatorom i modificirovannym PI2D-reguljatorom. Avtomatika i programmnaja inzhenerija. - 2017. - № 1 (19). - S. 10-15.
[2] Francuzova G.A. Sintez dvuhkonturnoj astaticheskoj sistemy jekstremal'nogo reguliro-vanija na osnove principa lokalizacii. Sibirskij zhurnal industrial'noj matematiki. - 2004. T.VII. - № 1 (17). - S. 145-150.
[3] V.A. Zhmud, L.V. Dimitrov. Issledovanie prichin shumov pri mnogokratnom differencirovanii signala cifrovym sposobom. FGBOU VPO NGTU, ILF SO RAN, Tehnicheskij universitet Sofii, Sofija, Bolgarija. Avtomatika i programmnaja inzhenerija. -2017. - № 2 (20). - S. 80-89.
[4] Vasil'ev V.A., Voevoda A.V., Zhmud V.A. Novye podhody k razrabotke adaptivnogo cifrovogo PID-reguljatora. Sbornik nauchnyh trudov NGTU. - 2006.
- № 3(45). - S.11-18.
[5] Zavorin A.N., Jadryshnikov O.D., Zhmud V.A. Usovershenstvovanie kachestvennyh harakteristik sistem upravlenija s obratnoj svjaz'ju pri ispol'zovanii PI2D2-reguljatora. Sbornik nauchnyh trudov NGTU.
- 2010. - № 4(62). - S.41-50.
[6] Salenko D.S., Malyshkin N.A. Osobennosti chislennoj optimizacii v programme VisSim PID-
reguljatora s vysshimi proizvodnymi. Avtomatika i programmnaja inzhenerija. - 2015. - № 4 (14). - S. 72-82.
[7] AO. Gatenjuk, A.A. Voevoda, V.A. Zhmud. PL-reguljatory razdelenija dvizhenij v mnogodatchikovyh sistemah. Sbornik nauchnyh trudov NGTU. - 2007. - № 1(47). S. 11-16.
[8] R.Ju. Ishimcev, V.A. Zhmud. PL-reguljatory dlja sovmeshhenija dostoinstv maloshumjashhih nestabil'nyh datchikov i zashumlennyh datchikov s malym drejfom. Sbornik nauchnyh trudov NGTU. -2007. - № 1(47). S.157-160.
[9] Zhmud V. A. Modelirovanie zamknutyh sistem avtomaticheskogo upravlenija : ucheb. posobie dlja akademicheskogo bakalavriata / V. A. Zhmud' . - 2-e izd., ispr. i dop. - Moskva: Jurajt, 2017. - 126 s. -ISBN 978-5-534-03410-3.
[10] Zhmud V. A. Sistemy avtomaticheskogo upravlenija vysshej tochnosti : ucheb. posobie / V. A. Zhmud, A. V. Tajchenachev. - Novosibirsk : Izd-vo NGU, 2016. - 133 s. - 200 jekz. - ISBN 978-5-44370603-0.
[11] Avtomatizirovannoe proektirovanie sistem upravlenija.: ucheb. posobie / Novosibirsk, 2012 : ucheb.-metod. posobie / V. A. Zhmud. - : NGTU, 2012. - 72 s.
[12] Zhmud V. A. Modelirovanie i chislennaja optimizacija zamknutyh sistem avtomaticheskogo upravlenija v programme VisSim.: ucheb. posobie / Novosib. gos. tehn. in-t. - Novosibirsk : Izd-vo NGU, 2012.: ucheb. posobie / V. A. Zhmud. - : NGTU, 2012. - 124 s.
[13] Zhmud V. A. Designing of the precision automatic control systems: monograph / V. A. Zhmud, L. Dimitrov. - Novosibirsk : KANT, 2017. - 126 p
[14] Zhmud V. A. Chislennaja optimizacija zamknutyh sistem avtomaticheskogo upravlenija v programme VisSim: novye struktury i metody : monografija / V. A. Zhmud. - Novosibirsk : Izd-vo NGTU, 2016. - 252 s. - 80 jekz. - ISBN 978-5-7782-3062-7.
Денис Олегович Терешкин,
аспирант кафедры Автоматики НГТУ, автор 15 научных статей. Область научных интересов и компетенций - теория
автоматического управления, лазерная физика, программные системы.
E-mail: todin. dirihle@gmail. com
Владимир Михайлович
Семибаламут - директор сибирского филиала Геофизической Службы СО РАН, кандидат физико-математических наук, автор более 100 научных статей и более 10 патентов. Область интересов включает
автоматизацию научных экспериментов, лазерную физику, геофизику, программное обеспечение, оптимизацию, системы сбора и обработки данных. E-mail: wladim28@yandex.ru.
