CC BY
43Расчёт и исследование возможностей систем автоматического управления с типовым ПИД-регулятором и модифицированным ПИ2Д-регулятором
Г.А. Французова, Е.П. Котова НГТУ, Новосибирск, Россия
Аннотация: В работе рассмотрены возможности систем автоматического управления с типовым ПИД-регулятором, а также с модифицированным регулятором. Представлена процедура расчета их параметров на основе модального подхода. Проведено сравнительное исследование работоспособности системы с ПИД- и ПИ2Д-регулятором при нестационарных параметрах объекта управления и влиянии внешних возмущений путем численного моделирования в среде ИагЬаЪ.
Ключевые слова: автоматика, ПИД-регулятор, ПИ2Д-регулятор, модальный метод, нестационарные параметры, влияние возмущений.
ВВЕДЕНИЕ
Типовые регуляторы широко применяются в промышленности на протяжении многих десятилетий и не утратили свою актуальность в настоящее время [1-6]. Причинами столь высокой популярности являются простота построения и промышленного использования, изученность свойств и принципа действия, пригодность для решения большинства практических задач и низкая стоимость. Всё вышеперечисленное - неоспоримые достоинства типовых регуляторов.
Типовой ПИД-регулятор полностью решает задачу стабилизации нелинейных объектов первого порядка [1-3, 6, 7]. В силу практических удобств такие регуляторы используются и для объектов выше первого порядка. Однако при этом вынужденно ослабляются требования к системе как в части динамических свойств, так и в части подавления возмущений, тем более при наличии в системе нелинейностей. В настоящее время не так много технических объектов могут быть представлены управлениями первого порядка, в то время как уравнениями второго порядка хорошо описывается динамика большинства промышленных объектов. Существенно расширить область применения традиционных ПИД-регуляторов можно путём введения дополнительных каналов. На основе ПИД-регулятора предлагаются различные регуляторы, обладающие
теми или иными свойствами: П2ИД [8-9], регулятор дробного порядка [10], регулятор с весовыми коэффициентами по ошибке и т.д. [11, 12]. Прежде всего, модификации предполагают преобразование регулятора таким образом, чтобы он стал робастным [13 - 16].
В данной работе представлен оригинальный ПИ2Д-регулятор, полученный путём добавления к типовому ПИД-регулятору дополнительного канала двойного дифференцирования.
Цель настоящей работы - предложить процедуру расчёта параметров ПИД- и ПИ2Д-регуляторов, сравнить работоспособность систем автоматического управления с такими регуляторами.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В работе рассматривается динамический объект, модель которого имеет вид:
г ( Р)-
р + а2 • р+а
(1)
где Ко - коэффициент усиления. Параметры объекта а и а могут быть известны не точно кроме
«1Ш.П - К -
заданных границ изменения,
а,™ - Ы - а2шах, в зависимости
от условий работы системы. Предполагается также, что на вход объекта управления может действовать возмущение.
Необходимо рассчитать робастный регулятор, обеспечивающий в системе качество процессов, заданное в виде оценок времени переходного процесса, перерегулирования и допустимой ошибки в статике.
2. ОПИСАНИЕ РЕГУЛЯТОРОВ
Как известно, модель идеального ПИД-регулятора имеет вид:
Кид (Р) =
Кд • р2 + Кп • р + Ки
(2)
Структурная схема замкнутой системы с ПИД-регулятором представлена на рис. 1.
В работе предлагается рассматривать модифицированный ПИ2Д-регулятор, со следующей передаточной функцией:
кпи2д (р) = кп +
К
+ кд1Р + кд 2 Р 2
После преобразований его передаточная функция принимает вид
К
г( Р) =
кд 2 Р 3 + кд1Р 2 + КпР + ки
(3)
Основной проблемой при реализации как ПИД-, так и ПИ2Д-регуляторов является канал производной сигнала ошибки (дифференциальная составляющая) [7, 17].
Рис. 1. Структурная схема системы с ПИД-регулятором
Усиление этого канала линейно возрастает с ростом частоты, что приводит к следующим нежелательным эффектам на выходе:
1. Повышается высокочастотная составляющая сигнала ошибки, из-за чего уменьшается соотношение сигнал/шум, а это дестабилизирует объект управления.
2. Возникают импульсы большой амплитуды в момент скачкообразного изменения уровня ошибки. Даже если выходной сигнал системы изменяется достаточно медленно, сигнал уставки вполне может претерпевать скачкообразное изменение, проникающее на вход дифференциатора. Попадание дельта-подобных импульсов может привести к серьёзным последствиям: от тихого пробоя до громкого взрыва регулируемой установки.
Существует несколько способов частичного устранения нежелательных эффектов, связанных с дифференциальной составляющей регулятора, такие как использование низкочастотных фильтров, перенос входа дифференциального канала.
Воспользуемся одним из конструктивных методов: для режимов отработки входа и слежения дифференциальную составляющую в системе с ПИ2Д-регулятором перенесём в канал обратной связи (Рис. 2) [8, 9].
Реализация ПИД и ПИ2Д-регуляторов предполагает использование для получения дифференциальных составляющих специальных устройств. В данной работе предлагается с этой целью применить дифференцирующий фильтр, аналогичный тому, что давно используется в системах, основанных на методе локализации [17-20]. Его передаточная функция имеет следующий вид:
К (р) =
1
/ р + 2й/р +1
Рис. 2. Структурная схема системы с ПИ2Д-регулятором
При этом его постоянная времени /л
выбирается из следующего условия: процессы в фильтре должны заканчиваться на порядок быстрее, чем в системе. Коэффициент демпфирования ё - из условия быстродействия и отсутствия колебаний, т. е., как правило, в диапазоне d~ (0,5 ... 0,7).
3. ПРОЦЕДУРА РАСЧЁТА ПИД-РЕГУЛЯТОРА
Настройку ПИД-регулятора можно осуществлять с позиции следующих видов синтеза: частотного, модального, спектрального и с помощью настроечных таблиц. Так как известна структура регулятора и требования к поведению замкнутой системы заданы в виде оценок переходных процессов, воспользуемся процедурой модального метода синтеза, описанного в [17]. Она состоит из следующих этапов.
1. Определяется передаточная функция замкнутой системы с ПИД-регулятором,
К (р) =
К ( рКпид ( Р)
(4)
1 + К (рКпид (р) где Wo(p) - модель объекта (1), Wпид(p) - модель регулятора (2).
Подставив в (4) данные из (1) и (2) и выполнив некоторые преобразования, получим передаточную функцию замкнутой системы в следующем виде:
К (р) = -
Ко (КдР2 + КпР + Ки )
р( Р + а2 Р + а,) + Ко (КдР + КпР + Ки )
2. Записывается характеристическое
уравнение замкнутой системы в виде
а( р)=р+а + Ко Кд )Р2 +
+(а1 + Ко Кп )р + КоКи = 0
(5)
3. Согласно требованиям, заданным в виде оценок переходного процесса, формируется желаемое характеристическое уравнение. Прежде всего, на основе требований к динамике выбираются корни желаемого уравнения, которое записывается в виде
Сж (Р) = (Р ~\)(Р-\)(Р -Ъ) =0 (6) или после преобразований
Сж (Р) = РЪ + ¿2 • Р2 + ¿1 ■ Р + ¿0 =°. (7)
4. Приравняв действительное (5) и желаемое (7) характеристические уравнения, получим:
а2 + Ko КД = d2 , а1 + Ko КП = dl> Ko КИ = d0 *
Отсюда расчетные соотношения для параметров ПИД-регулятора принимают форму:
К =d2 - а2
KП =
Ko d - а
к
(8)
К -d0
Ки = K?
Очевидно, что соотношения (8) позволяют однозначно определить искомые параметры регулятора.
4. ПРОЦЕДУРА РАСЧЁТА ПИ2Д-РЕГУЛЯТОРА
Предлагается для расчета параметров ПИ2Д-регулятора также использовать процедуру модального метода синтеза, которая в данном случае принимает форму.
1. Передаточная функция замкнутой системы с ПИ2Д-регулятором определяется по структурной схеме, изображённой на Рис. 2, и имеет вид:
W3( p) =
к к
(l+KK)P + (a2 + KoK1c1)p2 + (a + K0K2Ci)p + K&
Характеристическое уравнение замкнутой системы находим как:
A(p) = (l + KO ) P3 + (a2 + Ko ) p2 +
+(ai + KoK2c)p + KaKi = 0*
(9)
2. Желаемое уравнение: имеет вид (7), т.е.
сж (р) = р+а • р2 + ^ • р+^о =0
3. Приравняв действительное (9) и желаемое (7) характеристические уравнения получаем следующие соотношения для определения искомых параметров ПИ2Д-регулятора:
a2 + K oK2C2 =d
l + K0K2
ai + KoK2C1
1 + KoK2 KK,
= d,,
(10)
1+KK
■ = d„
Как видно, система соотношений (10) является не доопределённой, она содержит четыре неизвестных параметра.
Предлагается предварительно выбрать параметр К2, исходя из требуемой точности процессов в системе и учитывая, что от него зависит глубина обратной связи. Если выбрать К2 достаточно большим, то в выражении знаменателя (1 + К0Кг) единицей можно пренебречь, что существенно упрощает процедуру расчёта.
5. ПРИМЕР
Рассмотрим объект, модкль которого представлена следующей передаточной функцией:
W ( p) =
1
p2 + 2 • p +1
где о, = 2, ß, = 1. Требования к качеству
^ 2ном ' 1ном лт J
процессов в системе: tnn < 3с, а < 10%, А = 0%.
Рассмотрим работоспособность системы с ПИД- и ПИ2Д-регуляторами для данного объекта.
В соответствии с заданными требованиями к качеству процессов в системе выберем следующие корни \=-2, ^ =-2,5, ^ = -3 и сформируем желаемое уравнение:
Сж (p) = p3 + 7,5 p2 +18,5 p +15
которому соответствует переходная характеристика, изображенная на Рис. 3.
Требуется, чтобы процессы в замкнутых системах с ПИД и ПИ2Д-регуляторами соответствовали желаемому (Рис. 3).
В соответствии с соотношениями (8) рассчитаны коэффициенты ПИД-регулятора: K^ = 17,5, КИ = 15, Кд = 5,5 . Коэффициенты
ПИ2Д-регулятора получены с использованием соотношений (10):
K = 74, K = 1125, c = 7,6, C = 18,7 .
Исследование свойств систем с ПИД- и ПИ2Д-регуляторами осуществлялось в среде MatLabR2014a и SimulinkLibrary. Постоянная времени фильтра W7 (p) выбрана равной
^ = 0,0001.
Как видим, процесс в системе с ПИ2Д-регулятором (Рис. 4.) полностью соответствует желаемому (Рис. 3). В системе с ПИД-регулятором, несмотря на то, что выбраны вещественные корни желаемого уравнения, присутствует перерегулирование.
В процессе реального функционирования на систему неизбежно действуют внешние возмущения, связанные с неидеальностью окру-
жающеи среды, инерционностью материалов и так далее.
Рис. 3. Желаемая переходная характеристика системы
-PI2D -PID
Рис. 4. Переходные характеристики систем с ПИД- и ПИ2Д-регуляторами
Исследуем влияние на качество процессов в системах с ПИД- и ПИ2Д-регуляторами возмущающего воздействия M(t), приложенного ко входу ОУ и действующего от процесса к процессу. Модель такого возмущения имеет вид
M (t ) =
2, t = 3 с, -3, t = 4 с.
На Рис. 5 и 6 представлена реакция системы на возмущающее воздействие.
В результате проведённых исследований можно сказать, что даже при краткосрочном действии на вход объекта возмущающего воздействия в системе с ПИД-регулятором в момент действия возмущения возникают переходные процессы, в то время как система с ПИ2Д-регулятором практически не реагирует на данное воздействие.
Исследуем влияние нестационарных параметров объекта управления а2 и а, изменяющихся от процесса к процессу в диапазоне ±30%.
По Рис. 7 видно, что уменьшение параметра а ведёт к увеличению перерегулирования и времени переходного процесса, а при умень-
шении параметра а2 на 30% процессы в системе с ПИД-регулятором перестают удовлетворять предъявленным к ним требованиям. На качество процессов в системе с ПИ2Д-регулятором изменение параметра а2 на 30% относительно номинального значения влияния не оказывает.
| ' 1 —р«о -PID -MW) Il
0 >14 1 « 7
Рис. 5. Переходная характеристика систем при действии возмущения на вход ОУ
2Г
1 -u(t) PI2D -u(t) PID -M(t)
Рис.6. Графики управляющий воздействий при действии на систему возмущения M(t)
■[/
if/ 7/ //
-PI2D при увеличении а2 на 30% ---PID при увеличении а2 на 30% ---PI2D при а2 номинальном -PID при а2 номинальном -PI2D при уменьшении а2 на 30% PID при уменьшении а2 на 30%
0 1 2 3 4 5
1с
Рис. 7. Переходные процессы в системах при различных значениях параметра а2
Из Рис. 8 видно, что изменение параметра а1 оказывает на систему как с ПИД-, так и ПИ2Д-регулятором действие, аналогичное изменению параметра а .
-PI2D при увеличении а1 на 30% ---PID при увеличении а1 на 30% ---PI2D при а1 номинальном
---PI2D при уменьшении а1 на 30% PID при уменьшении а1 на 30%
t,c
Рис.8. Переходные процессы в системах при различных значениях параметра a
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе рассмотрены возможности применения типового ПИД- и модифицированного ПИ2Д-регулятора для управления объектами второго порядка.
Для реализации канала дифференцирования был использован известный прием переноса его в канал обратной связи, что позволило упростить процедура расчёта регуляторов.
В результате проведённого сравнительного анализа выяснилось, что рассчитанная по предложенной процедуре система с ПИ2Д-регуля-тором обладает робастными свойствами. По сравнению с системой с ПИД-регулятором она способна отрабатывать как влияние внешних возмущений, так и нестационарные параметры объекта управления.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью М.: Лаборатория базовых знаний. 2001.
[2] Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического регулирования. М.: Машиностроение. 1989.
[3] Энциклопедия АСУ ТП. -http: //www. bookasutp .ru/Chapter5 3. aspx. Дата обращения: 20.10.2016.
[4] Земцов Н.С., Французова Г.А. Синтез ПИД регулятора для системы управления прямоточным котлом // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2015. - Т. 16. - № 9. - С. 631-636.
[5] Никулин Г.Л., Французова Г.А. Синтез системы регулирования электромеханического усилителя руля автомобиля // Автометрия. 2008. Т. 44. № 5. С. 93-99.
[6] ПИД-регулирование (ПИД-регулятор) на практических примерах. - http://pidcontrollers.narod.ru/. Дата обращения: 20.10.2016.
[7] Никулин Е.А. Основы теории автоматического управления. Частотные методы анализа и синтеза систем. - СПб: БХВ - Петербург. 2004.
[8] Востриков А. С. Проблема синтеза регуляторов для систем автоматики: состояние и перспективы // Автометрия. 2010. Т. 46. № 2. С.3-19.
[9] Востриков А.С., Французова Г.А. Синтез PID-регуляторов для нелинейных нестационарных
объектов // Автометрия. 2015. Т. 51. № 5. С. 5360.
[10] Жмудь В.А., Заворин А.Н. Дробно-степенные ПИД-регуляторы и пути их упрощения с повышением эффективности управления // Автоматика и программная инженерия. 2013. № 1(3). С. 30-36.
[11] Жмудь В.А. О методах расчета ПИД-регуляторов // Автоматика и программная инженерия. 2013. № 2 (4). С. 118-124.
[12] Zhmud V., Yadrishnikov O. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function // Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology (IFOST-2013), 28 June - 1 July 2013. - Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. 2013. V. II. P. 265-270. http://www.must.edu.mn/IF0ST2013/
[13] Робастность. URL: http://dic.academic.ru/dic.nsf/dic synonims/робастн ость. Дата обращения: 08.10.2016
[14] Frantsuzova G.A., Zemtsov N.S., Hubka L., Modrlak O. Calculation of robust PID-controller // Proceedings of 12ht Intern. Conf. «Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2014)». Novosibirsk, 2-4 October, 2014. Novosibirsk. 2014.
- V. 1. P. 675-678.
[15] Zhmud V.A., Semibalamut V.M., Vostrikov A.S. Design of robust energy-saving regulators by means of optimization software // Proceedings of the 2015 intern. conf. on testing and measurement techniques (TMTA 2015), Thailand, Phuket Island, 16-17 Jan. 2015. - London: CRC Press. 2015. P. 417-424.
[16] Жмудь В.А., Рева И.Л., Димитров Л.В. Новый подход к задаче проектировании. робастных регуляторов // Автоматика и программная инженерия. 2016. № 3 (17). С. 59-64.
[17] Востриков А.С., Французова Г.А. Теория автоматического регулирования. Новосибирск. 2006. 365 с.
[18] Востриков А.С., Уткин В.И., Французова Г.А. Системы с производной вектора состояния в управлении // Автоматика и телемеханика. 1982. № 3. С. 22-25.
[19] Французова Г.А. Синтез двухконтурной астатической системы экстремального регулирования на основе принципа локализации // Сибирский журнал индустриальной математики.
- 2004. T.VII. № 1 (17). С. 145-150.
[20] Французова Г.А. Двухконтурные системы экстремального регулирования с формированием заданной динамики // Мехатроника, автоматизация, управление. 2008. № 5. С. 7-11.
Calculation and Research of Possibilities of Automatic Control Systems with Standard PID- and Modified PI2D-controller
G.A. FRANTSUZOVA, E.P. KOTOVA
Abstract: The possibilities of automatic control systems with standard PID-controller as well as a modified controller are discussed in this paper. It was proposed the procedure for the calculation of their parameters based on a modal approach. Comparative analysis of the system with PID- and PI2D-controller using numerical simulation in
Matlab was carried out. The effect of the non-stationary object parameters and external disturbances was examined.
Keywords: automatic, PID-controller, PI2D-controller, modal method, time-dependent parameters, the effect of disturbances.
REFERENCES
[1] Filips Ch., Harbor R. Sistemy upravlenija s obratnoj svjaz'ju - Moskva: Laboratorija bazovyh znanij. -2001.
[2] Topcheev Ju.I. Atlas dlja proektirovanija sistem avtomaticheskogo regulirovanija. - M.: Mashinostroenie. - 1989.
[3] Jenciklopedija ASU TP. -http://www.bookasutp.ru/Chapter5_3.aspx. Data obrashhenija: 20.10.2016.
[4] Zemcov N.S., Francuzova G.A. Sintez PID reguljatora dlja sistemy upravlenija prjamotochnym kotlom // Mehatronika, avtomatizacija, upravlenie. -2015. - T. 16. - № 9. - S. 631-636.
[5] Nikulin G.L., Francuzova G.A. Sintez sistemy regulirovanija jelektromehanicheskogo usilitelja rulja avtomobilja // Avtometrija. - 2008. - T. 44. - № 5. -S. 93-99.
[6] PID-regulirovanie (PID-reguljator) na prakticheskih primerah. - http://pidcontrollers.narod.ru/. Data obrashhenija: 20.10.2016.
[7] Nikulin E.A. Osnovy teorii avtomaticheskogo upravlenija. Chastotnye metody analiza i sinteza sistem. - SPb: BHV - Peterburg. - 2004.
[8] Vostrikov A. S. Problema sinteza reguljatorov dlja sistem avtomatiki: sostojanie i perspektivy // Avtometrija - 2010. - Tom 46. - № 2. - S.3-19.
[9] Vostrikov A.S., Francuzova G.A. Sintez PID-reguljatorov dlja nelinejnyh nestacionarnyh ob#ektov // Avtometrija. - 2015. - T. 51. - № 5. - S. 53-60.
[10] Zhmud V.A., Zavorin A.N. Drobno-stepennye PID-reguljatory i puti ih uproshhenija s povysheniem jeffektivnosti upravlenija // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. - 2013. - № 1 (3). - S. 3036.
[11] Zhmud V.A. O metodah rascheta PID-reguljatorov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. - 2013. -№ 2 (4). - S. 118-124.
[12] Zhmud V., Yadrishnikov O. Numerical optimization of PID-regulators using the improper moving detector in cost function // Proceedings of the 8-th International Forum on Strategic Technology (IF0ST-2013), 28 June - 1 July 2013. - Mongolian University of Science and Technology, Ulaanbaator, Mongolia. IEEE organized. - 2013. - V. II. - P. 265270. http://www.must.edu.mn/IF0ST2013/
[13] Robastnost' -http ://dic.academic.ru/dic.nsf/dic_synonims/robastno s t'. Data obrashhenija: 08.10.2016
[14] Frantsuzova G.A., Zemtsov N.S., Hubka L., Modrlak O. Calculation of robust PID-controller // Proceedings of 12ht Intern. Conf. «Actual problems of electronic instrument engineering (APEIE-2014)». Novosibirsk, 2-4 October, 2014. - Novosibirsk. -
2014. - V. 1. - P. 675-678.
[15] Zhmud V.A., Semibalamut V.M., Vostrikov A.S. Design of robust energy-saving regulators by means of optimization software // Proceedings of the 2015 intern. conf. on testing and measurement techniques (TMTA 2015), Thailand, Phuket Island, 16-17 Jan.
2015. - London: CRC Press. - 2015. - P. 417 - 424.
[16] Zhmud V.A., Reva I.L., Dimitrov L.V. Novyj podhod k zadache proektirovanii. robastnyh reguljatorov // Avtomatika i programmnaja inzhenerija. - 2016. - № 3 (17). - S. 59-64.
[17] Vostrikov A.S., Francuzova G.A. Teorija avtomaticheskogo regulirovanija. - Novosibirsk. -2006. - 365 s.
[18] Vostrikov A.S., Utkin V.I., Frantsuzova G.A. Systems with state vector derivative in the control // Automation and Remote Control. - 1982. - V.43. - № 3. - Part 1. - P. 283.
[19] Francuzova G.A. Sintez dvuhkonturnoj astaticheskoj sistemy jekstremal'nogo regulirovanija na osnove principa lokalizacii // Sibirskij zhurnal industrial'noj matematiki. - 2004. - T.VII. - № 1 (17). - S. 145-150.
[20] Francuzova G.A. Dvuhkonturnye sistemy jekstremal'nogo regulirovanija s formirovaniem zadannoj dinamiki // Mehatronika, avtomatizacija, upravlenie. - 2008. - № 5. - S. 7-11.
Галина Александровна Французова - д.т.н., профессор кафедры
автоматики. Область
научных интересов: методы анализа и синтеза нелинейных систем
управления с
нестационарными параметрами.
E-mail: [email protected]
Екатерина Павловна Котова - студентка факультета автоматики и вычислительной техники НГТУ. Область научных интересов: теория автоматического управления, синтез регуляторов. E-mail:
