CC BY
12
УДК 517.95
О КОРРЕКТНОСТИ НЕКОТОРЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Н.Г. Рябенков
Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия
Резюме: В задачах исследования напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций возможно построение двух типов решений, основное отличие которых заключается в величине краевого эффекта. Сравнение этих двух подходов часто приводит к существенным расхождениям, которые становятся наиболее заметными в зоне свободного торца при удовлетворении граничных условий.
В качестве критерия корректности решений системы дифференциальных уравнений линейной теории упругости принята величина погрешности при подстановке решения линейных уравнений в геометрически нелинейные уравнения плоской задачи теории упругости.
Ключевые слова: Система линейных уравнений, корректные решения.
ABOUT THE CORRECTNESS OF SOME DECISIONS OF THE EQUATIONS OF THE LINEAR THEORY OF ELASTICITY
N.G. Pyabenkov
Kazan state power engineering university, Kazan, Russia
Abstract: In research problems of the is intense-deformed condition of thin-walled elements of designs probably construction of two types of the decisions, which basic difference consists in size of regional effect. Comparison of these two approaches often leads to essential divergences which becomes the most appreciable in a zone of a free end face at satisfaction of boundary conditions.
As criterion of a correctness of decisions of system of the differential equations of the linear theory of elasticity the error size is made at substitution of the decision of the linear equations in geometrically nonlinear equations of a flat problem of the theory of elasticity.
Keywords: System linear the equations, correct decisions.
Введение
Развитие методов расчета деформируемых конструкций четко выявило два класса функций, в которых обычно строятся решения уравнений теории упругости, либо интегральных аналогов этих уравнений, используемых в теории пластин и оболочек. При плавном нагружении тонкостенных конструкций и отсутствии особенностей в граничных условиях интегральные теории расчета, как правило, приводят к решениям в пространствах бесконечно дифференцируемых функций. С другой стороны, попытки непосредственного решения уравнений теории упругости, в частности в условиях смешанной краевой задачи, часто приводят к пространствам суммируемых функций, имеющих особенности в некоторых точках.
В задачах исследования напряженно-деформированного состояния связующих слоев в клеевых соединениях возможно построение бесконечно дифференцируемых решений и
решений с особыми точками. Наиболее характерный пример решений первого рода дает схема расчета, предложенная в работе [1] и ее различные аналоги [2]. В них на свободном торце связующего слоя либо вообще отсутствуют граничные условия, либо эти условия выполняются интегрально по толщине слоя [3].
Схема, предложенная в работах [4,5] и многих других, доведенная до своего логического завершения, в конечном итоге приводит к решениям с особыми точками. Такие решения всегда связаны с большими градиентами напряженного состояния, которые появляются при попытке выполнения во всех точках торца условий свободной от напряжений границы.
Следует отметить, что теоремы существования решений уравнений линейной теории упругости, доказаны в различных пространствах [6-9], поэтому оба типа решений с позиций общей теории вполне законны. В данной статье в качестве критерия для выбора того или другого типа решений линейной теории упругости предлагается ответ на вопрос: какое из двух решений точнее соответствует геометрически нелинейным уравнениям теории упругости? Если решение линейной теории упругости построено корректно, то подстановка этого решения удовлетворит нелинейные уравнения с малой погрешностью. Если погрешность велика, то решение некорректно.
Система уравнений теории упругости.
Запишем систему уравнений теории упругости в геометрически нелинейном варианте [10] для плоского напряженного состояния. После несложных преобразований имеем два уравнения равновесия
1 +—Ж/-х = / , 1 +—Ж/-г = / (1)
¿ж ах ¿Х д
и три соотношения закона Гука
1 _ е^_у7 = /з, 1 _ в^= /4> 1 _ о** = /5. (2)
7х 7х 7г 7г ТХ2
Здесь и, V — проекции перемещения произвольной точки тела;
¿и а ¿¿и ¿¿V , „
ех = —, ег = —, ехг =--1---компоненты деформации в линейной теории;
¿х ¿г ¿¿г ¿х
1 ¿и ¿w^
а у = — (---) _ угол поворота малого элемента; 7х ,7г ,тхг — напряжения;
2 ¿¿г ¿х
„ ,дех ¿ех д г. 1 1 ч 1
/1 = _{-Т °х +—Т + — [(- ехг + ®у )*хг] + ~ [(- ехг +®у 7 ]}/(1 + ех )х, ¿х ¿г ¿х 2 ¿г 2 ¿х
, ¿¡2 д ^ 1 4 1 Ч 1-,,/л -.¿72
/2 = 7г +~Гтхг +~[(-ехг _ау)тхг]+ —[(-ехг _ау)7х]}/(1 + ег) —,
¿г ¿х ¿г 2 ¿х 2 ¿г
/3 = Е[е2 + (¿V)2]/27х, /4 = Е[е2 + А2]^, /5 = 0[дU| + дW§]/*»^
¿х ¿г ¿х ¿г ¿х ¿г
Е,у _ модуль упругости и коэффициент Пуассона.
В линейной теории функции / равны нулю. Если решения линейной теории построены корректно, то их подстановкой уравнения (1),(2) будут удовлетворяться с малой погрешностью. При этом величины / будут малы по сравнению с единицей.
Решения с функцией Эри
Рассмотрим напряженное состояние, соответствующее функции Эри
ф = С^т( ) + С2сс>$>( ) + С3г$т( ) + С4г<х>$,(}г)],
записанной в безразмерной системе координат. Константами Су будем определять величину деформаций ех, ег, ехг и угла поворота Юу, фиксируя их значения в точке т с координатами хд, гд. Напряжения, перемещения и необходимые для дальнейшего исследования производные от этих величин надлежащим образом вычислим через функцию напряжений Ф.
В табл.1 приведены значения функций / в точке хд = 0, гд = 1 при V = 0,3 в зависимости от величины X - показателя изменяемости решения. Константы Су определены из условия, что в заданной точке ех = ег = ехг = юу = 0,01.
Таблица 1
Погрешность уравнений в зависимости от показателя изменяемости
X £1 /2 /з /4 /5
0,01 0,028 0,028 0,003 0,013 0,013
0,01+2 П 0,028 0,028 0,455 0,628 0,247
0,01+4 П 0,028 0,028 1,865 2,202 0,481
Вычисления показывают, что с увеличением скорости изменения напряженного состояния растет погрешность уравнений (2), включающих закон Гука и соотношения Коши. При X > 1 нелинейные члены в этих уравнениях имеют одинаковый порядок с линейными членами, и при дальнейшем увеличении скорости изменения напряженного состояния становятся преобладающими. Следует отметить, что при фиксированном уровне деформации погрешность уравнений равновесия (1) остается неизменной.
Погрешность уравнений линейной теории упругости даже при относительно небольших показателях изменяемости существенно зависит от соотношения деформаций и угла поворота малого элемента. В табл. 1 приведены данные, когда все деформации и угол поворота равны между собой. Если же они различаются на два порядка и более, то наблюдаем возрастание погрешностей линейного решения. Причем, меняя относительную
величину ех, ег, ехг
ю„
будем получать возрастание погрешностей в различных
уравнениях линейной теории.
На рис.1 отражена погрешность уравнений линейной теории упругости в случае, когда угол поворота Юу фиксирован и равен 0,01, а деформации [10], оставаясь равными
между собой ех = ег = ехг = е1, стремятся к нулю. В этом случае с уменьшением деформаций резко возрастает погрешность второго из уравнений (2) - закона Гука для определения ег. Если угол поворота более чем на порядок превышает деформации, это уравнение в линейном варианта непригодно для использования.
0.5
ту / е1
100
и
1
Рис. 1. Погрешность уравнений линейной теории упругости
Задача сдвига упругой полосы
Подобная ситуация возникает в задаче сдвига упругой полосы в точке m торца на уровне срединной плоскости рис.2, если на торце выполнить статическое условие свободной границы, полагая равными нулю касательные и нормальные напряжения. Здесь в точке m все деформации будут равны нулю, а угол поворота юу нулю не равен.
г
•хг
т
Рис. 2. Схема сдвига упругой полосы
С возрастанием отношения Юу / е1 в пределах от 1 до 100 функция /4 возрастает по закону, близкому к линейному. Функции /1, /2, /3 , /5 при этом невелики. Следовательно, в задаче с преобладающим сдвигом клеевого слоя в торцевом сечении на уровне срединной плоскости с увеличением юу / е1 второе из уравнений (2) в линейном варианте применять
не следует.
Несколько иная ситуация возникает в точках торца, находящихся вне уровня срединной плоскости. Модель напряженного состояния в этих точках построим следующим образом. Полагаем е2 = юу = 0,01, ех -уе2 = ехг = е2 , и в2 будем устремлять к нулю. При
этом со все большей точностью будет выполняться условие свободной границы о х = т хг = 0 на торце.
В табл.2 отражена погрешность уравнений линейной теории при X = 0,01 в точке х0 = 0, г0 = 1 . Нетрудно заметить, что с увеличением точности выполнения условия ох = т^г = 0 все более возрастает погрешность выполнения второго из уравнений равновесия (1). Несколько медленнее растет погрешность закона Гука для сдвига. Однако, если е2 / Юу < 0,006, то и последнее из уравнений (2) в линейном варианте становится
непригодным для использования.
Таблица 2
Погрешность уравнений при фиксированном показателе изменяемости
е2 /1 /2 /з /4 /5
0,006 0,033 0,055 0,003 0,013 0,018
0,0006 0,044 0,454 0,001 0,015 0,039
0,00006 0,045 4,380 0,001 2,015 0,250
Выводы
Приведенные результаты вычислений позволяют сделать следующие выводы. Если решена линейная задача теории упругости, то наличие высоких градиентов напряженного состояния дает повод ставить вопрос о корректности полученного решения. Однако даже в случае малых градиентов напряженного состояния вопрос о корректности линейного решения может возникнуть, если не соблюдаются ограничения, налагаемые постулатами линейной теории упругости на поворот бесконечно малого элемента. Именно эта проблема и является основной в моделях [4, 5] деформирования связующих слоев.
Литература
1. Goland M., Reissner E. The stresses in Cemented joints. J. Appl. Mech. 1944.11.Pp.A17-A27.
2. Артюхин Ю.П. Напряжения в клеевых соединениях. Исследования по теории пластин и оболочек. Казань: КГУ, 1975. С. 3-27.
3. Рябенков Н.Г. Об условии свободной границы на торце клеевого слоя. Математическое моделирование и краевые задачи // Труды 8 Межвузовской конференции. Самара.: Сам.ГТУ. 1998. С.122-124.
4. Рабинович А.Л. Введение в механику армированных пластиков. М.: Наука. 1970. 482 с.
5. Рябенков Н.Г. К расчету клеевых соединений оболочек. Исследования по теории оболочек и пластин. Казань: КГУ, 1976. Вып.12. С.104-112.
6. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В.А. Неклассические смешанные задачи теории упругости. М.: Наука 1974. 456 с.
7. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир. 1974. 159 с.
8. Эйдус Э.М. О смешанной задаче теории упругости. ДАН СССР. Т.76.№2. 1951. С.181-184.
9. Новожилов В.В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
Автор публикации
Рябенков Николай Георгиевич - доктор физ.-мат наук, профессор кафедры энергетического машиностроения Казанского государственного энергетического университета.
References
1. Goland M., Reissner E. The stresses in Cemented joints. J. Appl. Mech. 1944. 11. pp.A17-A27.
2. Artuxin U. P. Pressure in glutinous connections. Researches under the theory of plates and covers. Kazan: mU, 1975. pp. 3-27.
3. Ryabenkov N.G. Ob uslovii svobodnoj granicy na torce kleevogo sloya. Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi // Trudy 8 Mezhvuzovskoj konferencii. Samara.: SamGTU. 1998. pp.122124.
4. Rabinovich A.L. Vvedenie v mekhaniku armirovannyh plastikov. М.: Nauka. 1970. 482 p.
5. Ryabenkov N.G. K raschetu kleevyh soedinenij obolochek. Issledovaniya po teorii obolochek i plastin. Kazan: KGU, 1976. Vol.12. pp.104-112.
6. Vorovich I.I., Aleksandrov V.M., Babeshko V.A. Neklassicheskie smeshannye zadachi teorii uprugosti. M.: Nauka. 1974. 456 р.
7. Fikera G. Teoremy sushchestvovaniya v teorii uprugosti. M.: Mir. 1974. 159 p.
8. Ejdus E.M. O smeshannoj zadache teorii uprugosti. DAN CCCR.Vol.76. No.2. 1951. pp.181-184.
9. Novozhilov V.V. Teoriya uprugosti. L: Cudpromgis. 1958. 370 p.
Authors of the publication Nikolay G. Rуabenkov - Kazan state power engineering university, Kazan, Russia.
Поступила в редакцию 21 ноября 2018 г.
