CC BY
53
УДК 517.988.6, 517.922
О КОРРЕКТНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ЭПИДЕМИЙ,
УЧИТЫВАЮЩИХ ЛАТЕНТНОСТЬ, ЗАПАЗДЫВАНИЕ, ИНЕРЦИЮ, НЕЛИНЕЙНОСТЬ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ
© Е. С. Жуковский, А. С. Калитвин, В. М. Тюрин
Ключевые слова: функционально-дифференциальные уравнения; накрывающие отображения метрических пространств; математические модели эпидемий.
Математическое описание эпидемий должно учитывать скрытый период заболевания, пути и способы распространения инфекции, влияние лечения, многочисленные другие факторы, которые оказывают влияние на количество заболевших с некоторым запаздыванием. Поэтому для наиболее полного и точного описания эпидемий необходимо использовать вместо обыкновенных дифференциальных уравнений функционально-дифференциальные уравнения. Абстрактное нелинейное функционально-дифференциальное уравнение, рассматриваемое в работе — наиболее общий тип уравнений, позволяющий охватить многочисленные классы известных функционально-дифференциальных уравнений. В статье получены условия непрерывной зависимости решений от параметров такого абстрактного уравнения. Используются методы теории накрывающих отображений. Полученные результаты применимы к исследованию математических моделей распространения различных инфекционных заболеваний, ряда популяционных моделей биологии.
В работах [1, 2] для математического описания динамики распространения ВИЧ/СПИД было предложено использовать функционально-дифференциальные уравнения. Авторами были получены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, учитывающие горизонтальную и вертикальную передачу ВИЧ-инфекции, влияние лечения противовирусными препаратами, другие факторы, оказывающие влияние на количество инфицированных и заболевших с некоторым запаздыванием. Для исследования таких моделей использовались методы теории функционально-дифференциальных уравнений, разработанные Пермской математической школой профессора Н.В. Азбелева [3]. Дальнейшее усложнение моделей, связанное с учетом еще большего количества факторов, оказывающих существенно нелинейное влияние на уровень заболеваемости, приводит к необходимости рассмотрения функционально-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной искомой функции. Для исследования таких моделей могут быть использованы методы теории накрывающих отображений метрических пространств, активно разрабатываемые в последнее время [4-8]. В работе рассматриваются абстрактные функционально-дифференциальные уравнения общего вида — наиболее общий тип уравнений, позволяющий охватить многочисленные классы функционально-дифференциальных уравнений и описать распространение различных инфекционных заболеваний. В статье получены условия непрерывной зависимости решений краевых задач от параметров такого абстрактного уравнения.
Для метрического пространства X обозначаем рх —метрику, Вх(х,г) —замкнутый шар с центром в точке х радиуса г > 0.
Пусть заданы метрические пространства (Х,рх), (и, ри), множество О С М”, и пусть пространство X гомеоморфно произведению и х О. Пусть определены непрерывные взаимно обратные отображения Л: и х О X, Л-1 = (5,1): X и х О. Таким образом, любой элемент х € X представим в виде
х = Л(5х,1х). (1)
Пусть, кроме того, заданы метрическое пространство У, элемент у € У и отображение
^ : и х X ^ У. Абстрактным функционально-дифференциальным уравнением называем
уравнение
^ (5х,х)= у, (2)
относительно неизвестного х € X. Используя представление (1), запишем уравнение (2) в виде
Е(5х, Л(5х, 1х)) = у.
Пусть, далее, заданы множество 0 С Мт, точка А0 € 0 и функционал ф : и х О 0. Рассмотрим задачу нахождения такого решения функционально-дифференциального уравнения (2), которое бы удовлетворяло краевому условию
ф(5х,1х) = A0. (3)
Для исследования задачи (2), (3) нам потребуются следующие понятия, введенные в работах [4], [6].
Определение 1. Пусть задано а> 0. Отображение Ф: и У называется а -накрывающим, если для любого г > 0 и любого и € и имеет место включение
Ф(Ви(и, г)) 5 Ву(Ф(и),аг).
Если же выполнено
Ф(Ви(и, г)) 5 Ву(Ф(и), аг) П Ф(и),
то отображение Ф : и ^ У называется условно а -накрывающим.
В работе [9] на основании утверждения [10] о накрывающих отображениях в произведении метрических пространств получено следующее утверждение о разрешимости краевой задачи (2), (3).
Теорема 1. Пусть пространство X является полным, множество О С М” — замкнутым. Пусть существуют неотрицательные числа а1, а2, в1, в2, 71, 72, такие что а1а2 — а2^1у1 — в1р2^2 > 0, и выполнены условия:
• при любых х € X отображение Г(-,х): и ^ У является условно а1 -накрывающим, замкнутыми у € Г (и,х); при любых и € и отображение Г (и, ■) : X ^ У является в1 -липшицевым;
• при любых ш € О отображение Л(^,ш): и ^ X является 71 -липшицевым; при любых и € и отображение Л(и, ■) :О ^ X является 72 -липшицевым;
• при любых ш € О отображение ф(^,ш): и ^ 0 является условно а2 -накрывающим, замкнутыми А0 € ф(и,ш); при любых и € и отображение ф(и, ■):О ^ 0 является в2 -липшицевым.
Тогда краевая задача (2), (3) разрешима. Более того, можно определить такую норму ||-||* в М2, что для произвольных и0 € и, ш0 € О существует решение х € X этой краевой задачи, удовлетворяющее оценке
\\(ри(5х,ио), \\ь — шо||Я..)||* « — (№(Г(ио' Л(ио'шо)) 'у>, 11ф(и°'ш0> — )
1 — д \ а1 а2 )
д @171 , (в12Ц2 , @1^212 )1/2
где д = —-----+ ——+------------•
2а1 V 4а12 а\^а2 )
Нас будут интересовать проблема корректности краевой задачи (2), (3), то есть непрерывной зависимости ее решения от отображений Г,ф. С этой целью рассмотрим последовательность краевых задач вида
Гг(5х,х) = Уг, ф(5х,1х)= Аг, г — 1,2,.... (4)
где Г: и х X У, ф : и х О 0, уг € У, Аг € 0. Пусть для некоторых элементов х0 € X,
у € У, Ао € 0 при г ^ ж имеют место сходимости
Гг(5хо,хо) ^ у, ф(5хо,1хо) ^ Ао. (5)
Задача заключается в нахождении условий, при которых краевая задача (2), (3) разрешима для каждого натурального г, а последовательность ее решений сходится к элементу хо.
Теорема 2. Пусть пространство X является полным, множество О С М” — замкнутым. Пусть для каждого натурального г существуют такие неотрицательные числа а1г, а2г, ви, @2%, 71, 72, и такое е> 0, что
@1% . в1г@2г 1 • 1 о
71----+ 72------ < 1 — £, г = 1, 2,...,
а1г а1га2г
и выполнены условия:
• при любых х € X отображение Гг(■,х): и ^ У является условно а1г -накрывающим, замкнутыми уг € Гг(и,х); при любых и € и отображение Гг(и, ■): X ^ У является @1г -липшицевым;
• при любых ш € О отображение Л(^,ш): и ^ X является 71 -липшицевым; при любых и € и отображение Л(и, ■) :О ^ X является 72 -липшицевым;
• при любых ш € О отображение ф%(^,ш): и ^ 0 является условно а2г -накрывающим, замкнутыми Аг € фг(и,ш); при любых и € и отображение ф(и, ■):О ^ 0 является @2г -липшицевым.
Тогда при каждом г = 1, 2, . . . краевая задача (4) разрешима; а если, дополнительно, имеют место соотношения (5), то в множестве решений м,ожно выбрать такой элемент хг, что последовательность {хг} сходится в пространстве X к х0.
Доказательство этой теоремы использует результаты, полученные в работе [12].
ЛИТЕРАТУРА
1. А. БЫи^арт, Е.С. Жуковский. Эффекты запаздывания в моделировании вертикального распространения ВИЧ/СПИД // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2007. Т. 12. Вып. 4. С. 565-567.
2. Жуковский Е.С., Шиндяпин А.И., Плужникова Е.А. Математическая модель динамики распространения ВИЧ/СПИД, учитывающая вероятность прекращения антивирусного лечения // Психолого-педагогический журнал Гаудеамус. Тамбов, 2010. Т. 2. № 16. С. 350-352.
3. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
4. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
5. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 163-169.
6. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
7. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1523-1537.
8. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
9. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. Об условиях разрешимости краевой задачи для нелинейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск. 2012. Вып. 1(39) С. 50-51.
10. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Об одном методе исследования разрешимости краевых задач для дифференциальных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. Вып. 6. С. 1673-1674.
11. Жуковский Е.С., Жуковская Т.В. О разрешимости дифференциального уравнения с запаздыванием, не разрешенного относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 1. С. 1082-1085.
12. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешеных относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. Вып. 4. С. 1082-1085.
Поступила в редакцию 10 ноября 2012 г.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00626), Министерства образования и науки РФ (ГК № 14.132.21.1348, проект № 1.1877.2011).
Zhukovskiy E.S., Kalitvin A.S., Tyurin V.M. ON WELL-POSEDNESS OF EPIDEMICS’ MATHEMATICAL MODELS TAKING INTO ACCOUNT LATENCY, DELAY, INERTIA, AND NONLINEARITY OF DEPENDENCES BETWEEN PARAMETERS
The mathematical description of epidemics has to take into account the latent period of decease, the ways and methods of spreading of infections, the effects of treatment, and many other factors that change with some delay the number of patients. That is why, for the full and precise description of epidemics it is necessary to use functional-differential equations instead of ordinary differential ones. The abstract nonlinear functional-differential equation considered in the work is of the most general type of equations allowing to cover numerous classes of known functional-differential equations. In the paper there are derived conditions of continuous dependence of solutions on parameters of such an abstract equation. The methods of the covering mappings theory are used. The obtained results can be applied to studying mathematical models of dissemination of different infectious diseases, to investigating a series of population models in biology.
Key words: functional-differential equations; covering mappings of metric spaces; mathematical models of epidemics.
