CC BY
50
ЛИТЕРАТУРА
1. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Высшая школа, 1979.
2. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.
3. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1960.
4. Звягин В.Г. Введение в топологические методы анализа. Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2014.
5. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1979.
6. Перов А.И., Евченко В.К. Метод направляющих функций. Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2012.
Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.
Evchenko (Kaverina) V.K. ABOUT ONE PROBLEM FROM THE THEORY OF OSCILLATIONS
We denote sufficient conditions, under which periodically perturbed autonomous system of ODE has a periodic solution.
Key words: periodically perturbed autonomous system of ODE; topological degree of transformation; Steklov average; coercitivity of transformation.
Евченко (Каверина) Валерия Константиновна, Воронежский государственный архитектурно-строительный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]
Evchenko (Kaverina) Valerija Konstantinovna, Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering, Voronezh, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: [email protected]
УДК 517.922 + 517.988.5
ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЯВНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© Т.В. Жуковская, Е.А. Плужникова
Ключевые слова: накрывающие отображения метрических пространств; обыкновенные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной; краевая задача; итерации.
Предлагается итерационный метод приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной решения. При выполнении условия накрывания по соответствующим переменным функций, порождающих дифференциальное уравнение и краевое условие, установлена сходимость итераций к решению краевой задачи.
Широкое применение итерационных методов для приближенного решения различных уравнений базируется, в основном, на классических принципах неподвижной точки. Результаты о накрывающих отображениях позволяют распространить итерационные методы на неявные уравнения. С использованием такого обобщенного итерационного метода А.В. Арутюновым получен принцип точки совпадения накрывающего и липшицева отображений метрических пространств [1-3]. Применение аналогичных итераций позволило доказать различные варианты теоремы о возмущениях накрывающих отображений [4, 5] и
на их основе исследовать разрешимость неявных функциональных, дифференциальных, интегральных, разностных уравнений (см., например, работы [4-7]). Вопросам использования итераций для приближенного решения уравнений с накрывающими отображениями метрических пространств посвящены статьи [8, 9]. В данной заметке предлагается итерационный метод приближенного решения краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной решения. Эта работа продолжает исследования краевых задач методами, основанными на результатах о накрывающих отображениях.
Для пространства X с метрикой px обозначим Bx(u,r) = {x € X : px(x,u) ^ r} — замкнутый шар с центром в точке x радиуса r ^ 0.
Пусть заданы метрические пространства (X, px) и (Y, py), число а> 0 и отображение Ф : X ^ Y.
Определение! [1, Определение 1]. Отображение Ф : X ^ Y называется а-накрывающим, если для любого r > 0 и любого u € X имеет место включение
Ф(ВХ(u,r)) ^ By (Ф(и),аг).
Отметим, что отображение Ф : X ^ Y будет а -накрывающим тогда и только тогда, когда для любых и € X, y € Y существует x € X, удовлетворяющий уравнению Ф(х) = y и оценке
px (x, u) ^ a-1py (y, Ф(и)).
Обозначим Lœ — пространство определенных на [a, b] измеримых существенно ограниченных функций с метрикой
pl» (y, z) = vrai sup |y(t) - z(t) |, y,z € Lœ;
te [a, b]
АСж — пространство таких абсолютно непрерывных функций x : [a, b] ^ R, что x € Lœ, с метрикой
pAC» (x,u) = |x(a) - u(a)1 + pl»(x, u), x,u €
Пусть определена функция f : [a, b] x R x R ^ R, удовлетворяющая условиям Кара-теодори (т. е. измеримая по первому аргументу и непрерывная по второму и по третьему аргументам), и пусть задан некоторый функционал g : ^ R. Рассмотрим краевую
задачу для неявного дифференциального уравнения
f (t,x,x) =0, t € [a, b], (1)
с условием
g(x) = 0. (2)
Решение х(-) будем искать в классе .
Для любого х € имеем
g(x) = g(x(a) + Jx(s)ds) = <^(x(a),x).
Таким образом, определен функционал ^ : МхЬ^ ^ М, и краевое условие (2) записывается в виде
<^(х(а), X) = 0. (3)
Решение краевой задачи (1), (3) будем строить методом итераций. Выберем некоторое начальное приближение xo € ACПредположим, что может быть определена функция У1 € Ь<х, удовлетворяющая соотношению
f (t,xo(i),yi(t)) =0, t € [a,b].
Пусть также существует такое действительное число 71, что
^(71, X 0) = 0.
t
Положим x1(t) = y1 + f y1(s)ds.
a
Далее повторим предыдущее построение, выбрав в качестве начального приближения x1 € AC^, , определим x2 € AC^, ; и т.д.
На i -ом шаге алгоритма для полученной на предыдущем шаге функции x^-1 € AC^> предположим, что удалось определить функцию yi € L^, удовлетворяющую соотношению
f (t,xi-1(t),yi(t)) =0, t € [a, b]. (4)
Также предположим, что существует Yi € R такое, что
= 0. (5)
Определим i -ю итерацию равенством
t
xi(t) = Yi + J yi(s)ds, i = 1,2,... . (6)
a
Теорема1. Пусть выполнены следующие условия: при любых t € [a, b], u € R отображение f (t, u, •) : R — R является a1 -накрывающим; при всех t € [a, b], z € R отображение f (t, - ,z) : R — R является q1 -липшицевым; при любом z € L^ отображение <^(-,z) : R — R является a2 -накрывающим; при всех y € R отображение <^(y, •) : L^ —> R является q2 -липшицевым.
Тогда, если a1a2 — a2q1(b — a) — q1q2 > 0, то существует последовательность {xi}, удовлетворяющая условиям (4), (5), (6), и сходящаяся в пространстве абсолютно непрерывных функций к решению x краевой задачи (1), (3). Для этих итераций при любом натуральном i справедлива оценка
Рьх(xo,x) ^ оц( 1 — a1q1(b — a + 0^2)) 1vrai sup f (t, xo(t), xxo(t))
te [a, b]
ЛИТЕРАТУРА
1. Арутюнов А.В. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Арутюнов А.В. Устойчивость точек совпадения и свойства накрывающих отображений // Математические заметки. 2009. Т. 86. № 2 . С. 163-169.
3. Арутюнов А.В. Точки совпадения двух отображений // Функциональный анализ и его приложения. 2014. Т. 48. № 1. С. 89-93
4. Аваков Е.Р., Арутюнов А.В., Жуковский Е.С. Накрывающие отображения и их приложения к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 613-634.
5. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 15231537.
6. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S, Zhukovskii S.E. Covering mappings and well-posedness of nonlinear Volterra equations // Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications. 2012. V. 75. P. 1026-1044.
7. Жуковский С.Е. Приложение накрывающих отображений к разностным уравнениям // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. № 4. С. 10851086.
8. Арутюнов А.В. Итерационный метод нахождения точек совпадения двух отображений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2012. Т. 52. № 11. С. 1947-1950
9. Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Об итерационном методе нахождения решений операторных уравнений с накрывающими отображениями // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2014. Т. 19. № 2. С. 365-368.
10. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в проблеме корректности краевых задач для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. № 4. С. 1082-1085.
11. Жуковский Е.С., Плужникова Е.А. Накрывающие отображения в произведении метрических пространств и краевые задачи для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2013. Т. 49. № 4. С. 439-455.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-97504).
Поступила в редакцию 5 июня 2015 г.
Zhukovskaya T.V., Pluzhnikova E.A. AN ITERATIVE METHOD FOR APPROXIMATE SOLUTION OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR IMPLICIT DIFFERENTIAL EQUATIONS
We present an iterative method for approximate solution of boundary value problems for differential equations unsolved for the derivative. Under the covering conditions with respect to the corresponding variables for the functions generating the differential equation and the boundary condition we derive the convergence of iterations to a solution of the boundary value problem.
Key words: covering mappings of metric spaces; ordinary differential equations unsolved for the derivative; boundary value problem; iteration.
Жуковская Татьяна Владимировна, Тамбовский государственный технический университет, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики, е-mail: [email protected]
Zhukovskaya Tatyana Vladimirovna, Tambov State Technical University, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, е-mail: [email protected]
Плужникова Елена Александровна, Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии, e-mail: [email protected]
Pluzhnikova Elena Aleksandrovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Algebra and Geometry Department, e-mail: [email protected]
