CC BY
59
Заключение
В работе рассмотрены математические условия возможности синтеза агрегированного регулятора для нелинейных объектов управления и получены достаточные условия существования единственного закона управления для класса нелинейных систем, выбранных агрегированных макропеременных и произвольного СОФ. Однако во многих практических задачах достаточно использовать лишь квадратичный СОФ. Для класса аффинных по управлению динамических систем найдены необходимые и достаточные условия синтеза агрегированных регуляторов.
В работе были также проанализированы вопросы, связанные с физичекой интерпретацией СОФ и реализацией агрегированных регуляторов. Кроме того, в некоторых случаях можно говорить о возможности построения огрубленного агрегированного регулятора даже при условии математически строгой неразрешимости исходной задачи синтеза.
Литература
1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.
2. М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. Волгоград: Платон, 1996.
3. Колесников А.А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987,
4. Колесников А.А., Гельфгат А.Г. Проектирование многокритериальных систем управления промышленными объектами. М.: Энергоатомиздат, 1993.
5. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.
6. Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1991.
7. Барбашин Е.А. Функции Ляяпунова. М.: Наука, 1970.
О КОНСТРУИРОВАНИИ ПРИТЯГИВАЮЩИХ МНОГООБРАЗИЙ В ЗАДАЧАХ СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Д.В. Ефимов, В.А. Терехов Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ)
Введение
Ключевой идеей синергетического подхода к решению задач управления нелинейными объектами, развиваемого в работах проф. А.А. Колесникова [1], является преднамеренное введение в пространстве состояний синтезируемых систем желаемых инвариантных многообразий Ф = со1(Ф1,..., Фт) = 0, на которых естественные свойства объекта согласуются с требованиями задачи управления. Введение таких многообразий в процедуру синтеза системы управления направлено на достижение «минимального» вмешательства в естественное течение процессов в управляемом объекте, что, в свою очередь, эквивалентно требованию минимального управления для достижения поставленной цели [1]. Используемое далее понятие «инвариантное многообразие» или эквивалентное ему понятие «притягивающий аттрактор» математически строго определено в работах В.И. Арнольда (см., например, [2]).
В процессе синергетического синтеза необходим выбор векторной функции макропеременных Ф = со1(Фь ..., ФТО)Ё- таких, что уравнения Ф.,(х1, х2,... ,хп) = О, г = 1 ,тп задают в фазовом пространстве объекта управления х = со1(ж], х2, ■ ■ ■, хп) инвариантные многообразия, а их пересечение Ф = О определяет желаемое состояние системы.
Возможная исходная идея выбора функций макропеременных выдвинута в [1]. Согласно ей выбор функций Ф;(х) основан на комбинации консервативной ФгК и диссипативной Фгд составляющих:
Ф* = Фзд + Ф*К,
где диссипативная составляющая Фгд вводится для формирования желаемого аттрактора, характеризующего управляемое макросостояние системы; консервативная составляющая Ф;к определяет естественную динамику объекта управления и соответствует наложенным на систему консервативным связям.
Однако проблема выбора функций диссипативных и консервативных составляющих остается нерешенной. В настоящей работе содержится развитие идеи обоснованного выбора макропеременных по [1] и предлагается методика выбора векторных функций Фд и Фк в составе функции Ф:
Ф=КдФд+ККФК)
где Кд, Кк матрицы весовых коэффициентов, согласующих размерности векторных функций Фд и Фк, при этом элементы матриц ^) отражают степень влияния З-й компоненты векторов Фд и Фк на г-е инвариантное многообразие Фi = 0, т.е. выбор матриц коэффициентов Кд, Кк определяет степень влияния консервативной и диссипативной составляющих на состояние системы управления динамическим объектом.
В дальнейшем подчиним выбор макропеременной Фд и состава ее аргументов поставленной цели управления. Это означает, что цель управления достигается, когда изображающая точка фазового пространства в результате управления достигает многообразия Фд = 0, а затем стабилизируется на нем. Дополнительные требования к функции Фд будут сформулированы по мере необходимости.
Рассмотрим задачу выбора макропеременной Фк и матриц Кд, Кк, обеспечивающих решение задачи «минимального» вмешательства в естественное течение процессов в системе при достижении заданной цели управления.
Основные положения
Пусть динамика объекта управления описывается системой дифференциальных уравнений вида
х(£) = Г(х,0) 4^(х)и, (1)
где х е X С Яп - вектор состояния объекта управления, и € и С И”1, т ^ п -управляющее воздействие, в 6 Пв С - вектор неизвестных параметров объекта управления, где Г(•), g(■) - гладкие и дифференцируемые по своим аргументам функции, дополнительные требования к которым формируются по мере необходимости.
Зададим требуемое качество управления объектом (1) с использованием эталонной модели
Хм (0 — ^м(Хм>и)>
где хм - вектор состояния эталонной модели объекта управления. Цель управления состоит в минимизации обобщенной ошибки управления <т(х, хм, и) = хм (<) — х(£) ->
0. Считается, что цель управления выполнена, если х(г) = Гм(х, и). Тогда выберем макропеременную Фд как функцию
отражающую невязку между вынужденными и эталонными движениями объекта управления и связанную с функцией обобщенной ошибки очевидным соотношением Фд(х,и = сг(х,хм,и). Многообразию Фд = 0 в таком случае соответствует динамическая эквивалентность объекта и эталонной модели. Для заданной в расширенном фазовом пространстве системы управления {х, и} С Rn х Rm функции Фд — Фд (х, и) методом аналитического конструирования агрегированных нелинейных регуляторов (АКАР) [3] определяется требуемый закон управления ид = ид(х).
Макропеременная Фк характеризует движение объекта при и = 0. Вследствие этого предлагается выбирать консервативную составляющую Фд как функцию производных векторов состояния системы в автономном (неуправляемом) режиме, чему соответствует уравнение собственных движений объекта управления xc(f) = f (х. в) и в управляемом режиме, описываемом уравнением (1), т.е. Фк = Фк (хс(^), х(<)). Наиболее простым содержательным примером такого выбора служит функция Фк = xc(t) — x(t). Отметим, что аналогичный подход использован в методе АКОР с использованием функционала обобщенной работы А.А. Красовским [4]. Тогда
Требуемое для реализации многообразия Фк — 0 управление ик = 0. В этом случае выражение для векторной функции Ф примет вид
где матрицы Кд, Кк имеют размерности (т х гп), (п х п) соответственно. Закон управления и = и(х), обеспечивающий выход изображающей точки фазовой траектории управляемого объекта на многообразие Ф = 0, а затем Фд = 0 с учетом собственной динамики объекта управления, заданной многообразием Фк = 0, будем называть законом синергетического управления, подчеркивая тем самым согласованное («кооперативное», «когерентное» по [1,3]) взаимосодействие двух макропеременных в формировании закона управления в системе уравнений (1). Матрицы весовых коэффициентов Кд, Кк определяют степень влияния функций фд и Фк на итоговые переходные процессы. Действительно, при Кд -4 0, Кк ф 0 получим и —> ик = 0, при Кк —> 0, Кд / Оии-) ид. Варьируя значения элементов матриц Кд, Кк, можно выделить любой тип движения в системе - как «диссипативный», так и «консервативный».
Согласно определению, данному в [5], векторные функции макропеременных Ф = {Ф,Фд,КкФк}, задающие в п + т - мерном пространстве {х,и} п-мерное многообразие Ф = 0, должны удовлетворять следующему условию:
многообразия Ф = 0 в п + то-мерном пространстве аргументов {х, и] равна п. Проверим это утверждение, для чего рассмотрим разложение функции Ф в ряд Тейлора в малой окрестности точки (хо,ио):
Фд(х,и) = fM(x,u) - x(t),
(2)
Фк = хс(г) - x(t) = f(x,0) - g(x)u = -g(x)u.
Ф(х,и) = КдФд(х, u) - KKg(x)u,
(3)
rank
с*Ф
= m, x <E X, u € U.
(4)
Тогда в каждой точке хд 6 X, ио е и, Ф(хо,ио) = 0 существует пересечение г-х инвариантных многообразий = 0, г = 1 ,т, или, другими словами, размерность
(и - ио) = ах + а0,
где
Согласно условию (4), матрица размерности (ш х п) имеет ранг т, т.е. в малой окрестности точки (хо,ио) многообразие Ф — 0 задается системой т линейно независимых уравнений ах + ао = 0, пересечение которых всегда существует. В противном случае, в малой окрестности точки (хо,ио) существовало бы несколько параллельных гиперплоскостей, соответствующих линейно зависимым уравнениям системы ах + ао =0, что означает увеличение размерности многообразия Ф = 0 в окрестности точки (хо,ио).
Пусть условие (4) выполнено для векторной функции Фд = Фд(х, и). Выполнение условия (4) для консервативной составляющей Ф = КкФк = КкФк(х,и) при и = ик = 0 означает, что
гапк(К^(х)) = ш, х € X,
т.к. это соотношение должно выполняться для любой матрицы весовых коэффициентов Кк и матричная функция §(х), размерности (пхт), должна иметь т линейно независимых строк.
Выполнение условия (4) для макропеременной Ф = Ф(х, и) следует проверять в каждом конкретном случае. Однако, если функция Фд = Фд(х) явно не зависит от вектора управления и существуют множества Х1,Хг,Х = Хг и Хг, такие, что для х € XI выполняется равенство Ф(х,ик) = Ф(х, 0) = 0, то для множества х £ X) условие (4) для векторной функции Ф совпадет с аналогичным условием для функции Фд, для множества х € Х2 условием (4) служит соответствующее условие для консервативной составляющей Фк.
Пусть многообразию Ф = 0 соответствует управление и* = и»(х). Тогда, если функция Фд = Фд(х) явно не зависит от вектора управления, из (3) следует закон управления на многообразии Ф = 0:
и* = (К^х))-1 Кдфд(х). (5)
По методу АКАР определяется закон синергетического управления, переводящий изображающую точку из произвольного начального состояния в расширенном фазовом пространстве системы на многообразие Ф = 0:
й(і) = К^(х) - К£
дФд
ди
Кт
(д%, V дх
(Г (х, в) + g(x)u) —
Кд в) + е(х)и)) и + т~V (Кдфд - Кк8(х)и;
(б)
при этом управление и будет оптимально в смысле сопровождающего функционала
г
З = І [ф(і)тТ2Ф(і) + у>(Ф)ту>(Ф)] Л, І0
(7)
где Т - диагональная положительно определенная матрица. Для качественного сравнения между собой управлений и, ид, и*, ик введем интегральные меры расстояния между функциями управления:
4*
J(и - ик)т(и - ик)«й = J и1
£о
и (Й,
*0
и
/(и,
^0 и
ик)Т(ид - ик)<Й
: J(и^ЦдА,
4о
= У (и, - ик)Т(и* - ик)сЙ = J и*и*СЙ,
(8)
<0 £о
определяющие отклонение управлений и, ид, иФ от консервативного управления ик = 0 на интервале времени Ь € [£о, где для £ > £* выполнено ||ид(^ —иФ(<)|| ^ й, <5 > 0, — малая наперед заданная величина. На рис. 1 изображены: а - графики законов управления и^), ид(4), и,»(£), ик(£) и б - соответствующий им фазовый портрет для объекта 2-го порядка, иллюстрирующие взаимосвязь этих законов. График ик(*) = О совпадает с осью времени, графики ик(£) и ид(<] служат нижней и верхней границами для законов синергетического управления. Из рис. 1 следует, что для синергетического управления выполняются неравенства ик (£) ^ и* (4) ^ ид(£) и ик(й) ^ и(«) ^ ид(£). Для интегральных мер расстояния между управлениями это неравенство примет форму следующего утверждения: для синергетического управления отношения д/дц € [0,1] и ^*/А*д £ [0,1]. Для «минимального», или энергосберегающего, управления значения /х, /х* € [0,/хтах> где р.тах << 1 - параметр максимально возможных энергозатрат для энергосберегающего управления. Он выбирается на основе конкретных технических требований к синтезируемой системе управления.
у.-°
Рис. 1 Графики законов управления и соответствующие им фазовые портреты
Конкретные значения матриц весовых коэффициентов Кд, Кк определяют вид и форму закона управления иФ, поэтому в ходе процедуры синтеза синергетического закона управления выбором этих матриц необходимо обеспечить выполнение следующего предельного соотношения:
и.(*)^ид(*),
которое гарантирует достижение системой управления целевого многообразия Фд =
0. Для закона управления и(<) должно выполняться другое предельное соотношение и(£) и*(£).
Выполнение этого условия зависит от выбора матричной постоянной времени Т и векторной функции <р(-) в сопровождающем функционале (7). Управления, приведенные на рис. 1,а, удовлетворяют этим требованиям. На рис. 1,6 приведены примеры возможных фазовых траекторий объекта, соответствующие законам управлений,
показанным на рис. 1,а. Ниже приводятся теоремы, определяющие условия, при которых выполняются эти предельные соотношения.
Условия, при которых изображающая точка фазовой траектории системы выходит на многообразие Ф = О, следуют из теоремы 1.
Теорема 1. Пусть Т = Тт > 0, функция <^(0) — Ой Фтуэ(Ф) ^ 0 - знакопостоянная функция. Тогда при г —► оо закон управления (6) обеспечивает для объекта управления (1) выполнение условий: Ф —► 0, и —У и*.
Если макропеременная Фд = Рё(х) явно не зависит от управления и, то, согласно уравнению (5), и —у (К^(х))'1КдФд(х).
Заметим, что выполнение условия Ф —> 0 еще не гарантирует достижение дели управления Фд -» 0. Это утверждение следует из формулы (3) для любого и ф 0. Рассмотрим условия, гарантирующие в системе управления (1), (6) выход изображающей точки фазовой траектории на целевое многообразие Фд = 0.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и существует непрерывная и дифференцируемая по своим аргументам знакопостоянная функция Е(ФД) > 0, Е(0) = 0. Пусть закон управления и» = и»(х) удовлетворяет неравенству
ЭЕ
дФд
дх ) \ ди ] \ дх )
■ ({(х,в) -^(х)иФ(х)) < 0.
Тогда в системе (1), (6) достигается цель управления Фд(х, и) = 0.
Если функция Фд = Фд(х) явно не зависит от вектора управления, то иФ Цф(х) задано формулой (5), а неравенство (9) примет вид
(9)
дЕ \т /0Ф 4 т
ЗФдУ V дх
(Г(х,0)-^(х)(К^(х)) 1КдФд)<0. (10)
Следствие 1. Пусть выполняются следующие условия:
У1. Г(х,0) ^ к|Фд(х)| для х € X, где к - вещественная положительно определенная матрица с размерностью (п х т) и |Фд(х)|л = со1(|Фхд(х)|,..., |Фтд(х)|). У2. Выполняется неравенство 0 < g(x) .< В для х е X.
УЗ. Существует макропеременная Фд - такая, что <9Фл/<Эх > 0 для х € X и Е(ФД) = Ф^ЫФд, где И > 0.
Тогда из неравенства (10) следует:
В(КкВ)-‘Кд < -к. (11)
Примером макропеременной Фд, удовлетворяющей наложенным ограничениям, может служить функция
Фд(х)=ах + ао, (12)
где а > 0. Здесь при подстановке в (2) хм = Гм(хм, и) = ахм+Гм(хм, 0)-^(хм)и+ао. Выбором матриц весовых коэффициентов Кд, Кк можно обеспечить выполнение неравенства (11).
Следствие 2. Пусть выполнены следующие условия:
У4. Пусть X = Хх и Х2, где
а) Г(х,0) ^ к|Фд(х)| для хеХ^
б) к|Фд(х)| < Г(х,0) ^ с для х е Хг;
к > 0 - вещественная матрица размерности (пхт), гапк[к] ^ т, с = со1(с!,..., с„), с. > 0, |Фд(х)| = со1(|Ф1д(х)|,..., |Фтд(х)|);
У5. Выполняется неравенство 0 < g(x) ^ В для х € X;
У6. Существует макропеременная Фя - такая, что дФл/<Эх > 0 для х € X и Е(ФД) = Ф^ИФд, где Л > 0.
Тогда, если выполнено неравенство (11), система управления (1), (6) является диссипативной, т.е. сходится в ограниченное множество:
||Фд(х)|| ^ е где е = л/(ст(ктк)~1)тк(ктк)~1ктс.
Очевидно следующее утверждение. Предположим, что существует область притяжения многообразия Фд = 0, заданная неравенством ||Фд(х)|| ^ е, е > 0, т.е. выполнены условия:
а) на многообразии Фд = 0 объект управления (1) описывается редуцированной системой дифференциальных уравнений хд(£) = Гд(хд), хд £ 11р, р ^ п — т;
б) в области ||Фд(х)|| $5 е объект (1) описывается системой дифференциальных уравнений возмущенного движения хд(£) = Ге(хд,е), где Гс(хд,0) = Гд(хд);
в) выполнены условия параметрической устойчивости в малом для систем уравнений хд(*) = Гд(хд) и хд(£) = Г.-(хд. е).
Тогда, если выполнены условия У4-У6, можно говорить, что в системе управления (1), (6) Фд -> о при Ь —> оо.
Следствие 3. Пусть модель объекта управления описывается системой линейных дифференциальных уравнений
х = Ах + Ви, (13)
макропеременная Фд задана функцией (12) и Е(ФД) = ФдИФд, где И > 0. Тогда неравенство (10) примет вид
А + В(КкВ)_1Кда < 0;
а^Ка(КкВ)-1Кда0 ^ -х>тКа [А + В^кВ^Кда] хд - (14)
- а^ ( Ка [А + В(КкВ)“1Кда] + К^(КкВ)-1ТВтат 11та) хд, где вектор Фд является решением уравнения 2атЯа [А + В(КкВ)-1Кда] хд +
т (15^
+ ( Яа [А + В(КкВ)-1Кда] + (КкВГ1ТВтат В.та) ао = 0.
Теорема 2 определяет общие условия, при которых за выходом изображающей точки системы управления в расширенном фазовом пространстве {х, и} на многообразие Ф = 0 достигается цель управления, заданная в этом пространстве многообразием Фд = 0. Следствия из теоремы 2 направлены на уточнение конкретных требований, предъявляемых к правым частям дифференциальных уравнений объекта управления (1), а также к виду и значениям параметров функции Фд(х, и), позволяющих привести неравенство (9) или (10) к разрешимому относительно коэффициентов весовых матриц Кд, Кк виду.
Решение неравенства (9) дает ограничения на допустимую область изменения матриц весовых коэффициентов:
Кд < Кд < К"; Кк < Кк < К".
Значение интегральной меры /х* = /х*(иФ(Кд,Кк)), рассчитанное по формуле (8) для граничных величин Кд, К", К^, К", позволяет оценить минимально возможное расстояние между ик и иФ для случая, когда достигается цель управления Фд = 0. Это утверждение обосновывается следующей теоремой.
Теорема 3. Пусть выполнены условия:
Г 1т
У7. Функция g(x) =0:0 §(х) , где §(х) - матричная функция размер-
ности (т х ш) и g(x)g(x)T = 0(х), 0(х) = diag[0j(x)], j = l,m;
У8. Матрицы Кд = diag[&A ■], Кк =0:0 Кк , Кк = diag[fcKj], к =
[0 : 0 к], к = diag[fcj], где j — 1 ,m;
Тогда, если выполнены условия следствия 1 или 2 теоремы 2, то существует решение неравенства (11) в виде
Если Цу{\) < /1тах I то. согласно теореме 3, такое управление можно назвать «минимальным», или энергосберегающим. Значение меры ц —► /х* и зависит также от выбора Т, <р{-) и и(^о)- Варьируя эти параметры (и(<0) —> ик, Т —> оо), можно добиться выполнения неравенства ^ << /х* < /хтах, что позволяет говорить о «минимальности? полученного синергетического управления. Точное решение данной проблемы связано с аналитическим решением систем нелинейных дифференциальных уравнений (1) и (6), а также оптимизации полученного решения по параметрам Кд, Кк, Т, ¥?(•) и и(£о), что является не решаемой в общем случае задачей.
Условия теоремы 2 являются достаточными. Для установления необходимых условий следует провести дополнительные исследования. Но определение достаточных и необходимых условий сравнительно просто выполняется лишь для линейных объектов управления. В частности, для устойчивости линейной системы управления (13), (6) и выбранных Фд(х) = ах + а0 (12) и <^(Ф) = Ф необходимо и достаточно, чтобы собственные числа блочной матрицы
имели отрицательную вещественную часть.
Кратко сформулируем основные положения и этапы предлагаемого в работе подхода:
1. Для выбранной векторной функции Фд (2) по формуле (3) находится макропеременная Ф, задающая в расширенном пространстве системы управления многообразие Ф = 0. Для полученных функций макропеременных фд, Фк, Ф проверяется выполнение равенства (4). Согласно теореме 1, инвариантность многообразия Ф = 0 обеспечивается законом синергетического управления (6) при Т = Тт > 0 и ¥>(0) = 0, ФТ</>(Ф) ^ 0.
2. Далее, из теоремы 2 находятся ограничения на матрицы весовых коэффициентов Кд, Кк, определяющие выход системы на целевое многообразие Фд = 0. Теорема 3 позволяет определить вид матриц Кд, Кк и получить оценки минимального расстояния (8) между законами управления и, ид, ик, иФ для предельных значений весовых коэффициентов. В частности, если выполнены условия У1 -УЗиУ6-У8, то элементы матриц Кд, Кк должны удовлетворять решению неравенства (16), при этом изображающая точка фазовой траектории системы достигает целевого мноообразия Фд = 0. Если верны условия У4 - У5 и У6 - У8, то система управления будет диссипативной, т.е. будет сходиться в ограниченное множество ||Фд (х)|| ^ е, где е = л/(ст(ктк)~1)'гк(ктк)-1ктс.
(16)
и дФ(к) = sup /хФ - минимальное расстояние между иФ (5) и иК = 0, где
(Кд,Кк:Фд->0)
/і* (к) находится из (8) при подстановке КДКК1 = к.
G =
(
Для матриц Кд, Кк в этом случае также выполнено неравенство (16), где матрица к выбирается по известным вектору с и допустимой величине е. Если объект управления (13) и макропеременная Фд (12) линейны,, то матрицы Кд, Кк находятся как решения системы неравенств (14).
Проиллюстрируем изложенный подход на простом демонстрационном примере. Пример. Выберем в качестве дифференциальных уравнений математической модели объекта управления (1) уравнения Дуффинга:
хгЦ)
Х2\
(17)
-01X1 — а2X2 - аэх1 + и.
Если выбрать следующие параметры уравнений (17): 01 = —2, а-2 = 0,5, аз = 1, то в фазовом пространстве такого объекта управления для х 6 X, гдр € [—2,2],
будут существовать три положения равновесия: два из них - устойчивые и одно положение равновесия в начале координат - седло. Фазовые траектории объекта управления (17) для этого случая обозначены цифрой 1 на рис. 2.
Рис. 2. Фазовые траектории объекта (16): 1 - собственные, 2 - с управлением (17), 3 - с управлением (18), 4 ~ с управлением (19)
Пусть макропеременная Фд(х) = Т\Х2 4- х\. Т\ =1 задает целевой аттрактор системы управления Фд = 0. Тогда законы управления ид, и*, и примут следующий вид:
Ча = (°2 - Тд1 - Т1~1)х2 + а3х1 + (оц - Т-1 - Г,"
и* = кд/кк(Тхх2 + ху);
и = Т^/КЦТ-1 + Г1-1 - а2)х2 - азх* + (Г"1^1 + (Т1ка/кк-Т-1))и.
■ ац)х 1 +
(18)
(19)
(20)
Параметры сопровождающих функционалов (7) в формулах (18) и (20) выбраны отвечающими условиям теоремы 1: Тд = 1, Т = 0,5 > 0, <р(и) = <рд(у) = и. Это означает, что для управления (18) изображающая точка фазовой траектории системы управления асимптотически стремится к многообразию Фд = 0, а для управления (20) - к многообразию Ф = О, где Ф = ка(Т\Х2 + Х1) + кки - многообразие в расширенном фазовом пространстве.
В области фазового пространства X неравенство
/(х) = -счхх - а2х2 - ^ к\Т\Х2 + х\ |
выполнено не везде, при этом /(х) $с,х£Х. Следовательно, данная задача удовлетворяет всем условиям следствия 2 из теоремы 2. Тогда область диссипации системы управления будет удовлетворять следующим ограничениям:
И*д11 ^ е> е = с/к- (21)
Для заданных параметров дифференциальных уравнений (17) и области X константа с = 5. Принимая допустимую величину е в (21), можно найти значение параметра к. Из неравенства кд/кК < —к определяется диапазон возможных значений для весовых коэффициентов кд, кК, подстановкой которых в уравнение (20) завершается процедура синтеза закона синергетического управления.
Как уже говорилось выш^ условия теоремы 2 носят достаточный характер. Для синтезированной системы начало координат фазового пространства объекта управления должно быть устойчивым положением равновесия. Условия асимптотической устойчивости этого положения равновесия следуют из знакоотрицательности производной по времени положительно определенной функции Ляпунова на всех траекториях системы (17), (19):
V = 0,5 [(а! - кд/кк) х\ + 0, Тмъх\ + я|] ; V = (Тгкд/кк - о2) х2\
йз 0, кд/кк < (^2-^ 1 5 кд/кК а1.
Из двух последних неравенств следуют необходимые ограничения на область возможных значений для весовых коэффициентов кд, кК. При выбранных параметрах системы определяющим является только последнее неравенство кд/кк < (1\. Из теоремы 3 при Л = — <Х1 можно получить оценку д*(А).
Выберем кд/кк = —3, — 3 < а,1, х\ (0) = ж2(0) = 2 . Фазовые траектории объекта
(17) с управлениями (18) - (20) приведены на рис. 2 и обозначены цифрами 2 4-
Интегральные меры расстояния между этими управлениями в данном случае равны: цл = 41,01, = 16, 08, ц — 4,30.
Заключение
В работе рассмотрена методика, обосновывающая выбор притягивающих многообразий для систем управления многосвязными нелинейными объектами, линейными (аффинными) по управляющему воздействию. Определяются достаточные условия устойчивости и достижимости цели управления на основе т.н. «синергетического управления». Приводятся условия, при которых выбором притягивающих многообразий в соответствии с предложенной методикой обеспечивается синергетическое управление, удовлетворяющее требованию минимального вмешательства в естественный ход процессов в объекте и эквивалентное энергосберегающему управлению. Приводятся результаты аналитического синтеза и компьютерного моделирования системы с синергетическим законом управления, демонстрирующие эффективность предлагаемого подхода к выбору желаемых инвариантных многообразий.
Литература
1. Колесников А.А. Синергетический подход в современной теории управления: инварианты, самоорганизация, синтез // Новые концепции общей теории управления; Под ред. А.А. Красовского. Москва-Таганрог: ТРТУ, 1995.
2. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.
3. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.
4. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красов-ского. М.: Наука, 1987.
5. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. Т 1, 2. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
СИНЕРГЕТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ
В.Б. Яковлев, Ал.А. Колесников Таганрогский государственный радиотехнический университет
Развитие современной нелинейной науки показало, что во многих сложных природных и технических системах определяющую роль играют диссипативные структуры, сопровождаемые бифуркационными и хаотическими явлениями. Хаотические режимы таких систем могут быть как нежелательными, так и требуемыми технологическими процессами. Примерами желательности хаотического поведения являются процессы в генераторах хаотических автоколебаний, технологии псевдоожижения, широко применяемые при сжигании топлива на электростанциях, сушке различных материалов, в химических процессах и др. Нежелательное хаотическое поведение объектов часто возникает в критических режимах движения, например в летательных аппаратах, энергосистемах и т.д. Новой проблеме управления хаосом уделяется нарастающее внимание в мировой научно-технической литературе, при этом в большинстве работ для управления хаосом используется идеология нечеткого управления [1-3]. В качестве базовых моделей, в которых возникает хаотическая динамика, обычно выступают модели Лоренца и Ресслера, а иногда модель Чуа и др. [4].
В статье рассматривается применение метода аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) для управления хаосом [5]. Этот метод основан на введении в пространстве состояний синтезируемых систем притягивающих (инвариантных) многообразий - аттракторов, на которых наилучшим образом согласуются естественные свойства (физические, химические, биологические и др.) объекта и требования задачи управления.
На примере широко известной модели Лоренца покажем применение метода АКАР для решения сложной задачи управления нелинейными объектами с хаотической динамикой. Эта модель
х{Ь) — ау — ах\
У(*) = -у + тх - хг; (1)
г(Ь) = — Ъг + ху
описывает в зависимости от значений управляющего параметра как устойчивые, так и хаотические процессы в различных физических системах [4].
