Coпровождающие оптимизирующие функционалы в задачах аналитического конструирования агрегированных регуляторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

‘ников А.А., Веселов Г.Е., Попов А.Н., Колесников Ал.А., Кузьменко А.А. Синергетическое управление нелинейными электромеханическими системами. М.: Испо-Сервис, 2000.

Колесников А.А., Веселов Г.Е., Попов А.Н., Колесников Ал.А. Синергетическая теория управления взаимосвязанными электромеханическими системами. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.

Веселов Г.Е., Колесников Ал.А. Синергетический синтез векторных регуляторов нелинейных асинхронных электроприводов//Синтез алгоритмов сложных систем. Москва Таганрог, 1997. Вып. 9. С. 108-122.

Веселов Г.Е. Аналитическое конструирование агрегированных дискретных регуляторов на основе последовательно-параллельной совокупности инвариантных многообразий//Новые концепции общей теории управления. Под ред. А.А. Красовского. Москва Таганрог: ТРТУ, 1995. 0.141*451.

22. Колесников А.А., Пшихопов В.Х. Аналитический синтез нелинейных регуляторов позиционного управления манипуляционными роботами// Синтез алгоритмов сложных систем. Таганрог: ТРТИ, 1992. Вып. 8. С. 3-11.

Сопровождающие оптимизирующие ФУНКЦИОНАЛЫ В ЗАДАЧАХ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ АГРЕГИРОВАННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ

А.А. Колесников*, В.А. Терехов**, И.Ю. Тюкин**

*Таганрогский государственный радиотехнический университет ♦♦Санкт-Петербургский государственный электротехничекий университет

Введение

В статье рассматривается математическая процедура синтеза регуляторов для линейных объектов управления. В основе этой процедуры лежит выдвинутая в идея построения регуляторов с использованием макроинформации о поведении стемы - агрегированных макропеременных. Вводимые в рассмотрение макропе-иенные соответствуют желаемым состояниям системы. Множество функциональ-Ьх макропеременных определяет возможные «виртуальные» и результирующую руктуры динамических систем управления в процессе их эволюции. Подобная "идея синтеза наиболее полно и последовательно реализована в методе аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов (АКАР) [1]. Целесообразно провести дополнительные исследования условий существования оптимального закона управления, в том числе условий существования не единственного решения задачи синтеза агрегированного регулятора и условий грубости полученного по методу АКАР закона управления.

II. Постановка задачи

Пусть объект управления задан системой уравнений I х(*) = Г(х,и); х0 € Пх,

(і)

где вектор х 6 R" - вектор состояния объекта; и є Rm - вектор управления; вектор-функция f Є С1; х0 - вектор начальных условий; Пх - область допустимых значений векторов состояния х объекта. По умолчанию, если не оговорено иное, будем предполагать, что область Пх совпадает с пространством R". Значение вектора состояния: в момент времени t соответствует изображающей точке системы (1) в пространств состояния Пх,

В качестве цели управления выберем перевод изображающей точки системы (1 на целевое многообразие

ф( с,х) = О,

где вектор с Є Rp - вектор параметров многообразия ф(-) = 0. Следуя [1], функци ф(с,х) назовем макропеременными для Системы (1).

Существует множество определений понятия «многообразие». В настоящей работе будем опираться на определение, приведенное в [1].

Определение 1. п -мерное гладкое многообразие М есть хаусдорфово тополог' ческое пространство, покрытое счетным числом открытых множеств U\, U2, ■ ■ удовлетворяющих следующим условиям:

1) для каждого Ui имеется гомеоморфизм фі, такой что:

Фі{М П Uг) = Vi,

где Vi - открытая п -мерная клетка в евклидовом пространстве.

У] і

2) если пересечение множеств V\ П Ь7^ не пусто, то гомеоморфизм фjф~[1(Ui П С/у) является гладким отображением.

Число п называют размерностью многообразия М.

Как правило, в технических задачах целью управления является эталонное движение системы вдоль заданной поверхности в евклидовом пространстве. Более того, исходная система уравнений (1), описывающая динамику объекта управления, существует и определена в евклидовом пространстве размерности . Следовательно, на практике можно воспользоваться «усеченным» понятием многообразия.

Определение 2. п-мерным гладким многообразием будем называть всякое подмножество евклидова пространства И", покрытое счетным числом открытых множеств ■ • •, для которых существуют диффеоморфизмы /г», такие что:

Ы(М ПЩ) = Ъ,

где Уг - открытая п-мерная клетка в евклидовом пространстве.

Так, например, многообразием является двумерная сфера в Р3: х\ + х\ + х\ = 1. Определение 2 не противоречит определению 1, так как евклидово пространство -топологическое (существует понятие окрестности точки) и хаусдорфово (для любых различных точек пространства найдутся непересекающиеся их окрестности).

Предложение 1. Всякая функция ф(с,х) = 0, имеющая непрерывные частные производные дф/дхг, является многообразием в смысле определения 2.

дф

дХі

1, то множество всех X,

Как показано в [2], если для всех х € М rank удовлетворяющих равенству

ф(с,х) = 0,

есть п — 1-мерное многообразие.

Целевое многообразие (2) может быть задано в виде пересечения многообразий

ф3{с3,х) =0, S - 1, v ^ п,

(3)

-количество многообразий, образующих пересечение (2). ш целевое многообразие задано в виде пересечения (3), то его размерность ает с числам п - р [2], где

' дф\ дф\ ’

дх\ дхп

Офт дфт

. дх\ дхп.

Закон управления и(х, ф) в системе (1) должен обеспечивать перевод изображающей точки (ИТ) системы (1) из произвольных начальных условий х0 £ йх на . ^елевое многообразие (2) и движение вдоль него с желаемым качеством. Качество движения ИТ может быть задано требованием минимума некоторого сопровождающего оптимизирующего функционала (СОФ) вдоль траекторий системы (1). Пусть СОФ имеет вид

ОО

J = J (4)

где - i-я производная по времени макропеременной ф, i = 1, k; F(-) > 0 и F(-) = О

лишь при ф = ф ■= ■■■ — ф^ = 0. Эталонное движение системы (1) должно удовле-

творять уравнениям устойчивых экстремалей сопровождающего функционала (4):

д(ф,ф,...,ф(-п)) = 0. (5)

Желаемое каяюство движения исходной системы к целевому многообразию (2) может быть определено и иначе. Пусть заданы две положительно определенные функции р(ф) и ¥(«'}: причем справедливо следующее условие:

р{ф) = \{ф) = 0, если и только если ф — 0. (6)

огда уравнение::

= ~Р(Ф) (7)

определенном смысле отражает качество движения ИТ к целевому многообразию,

ействительно, в силу условия (6) и (7), производная по времени V(t) отрицательно .ределена. Следрвательно, движение ИТ системы (1) к многообразию ф — 0 -имптотически устойчиво по Ляпунову. Кроме того, скорость изменения функции (ф) однозначно определяется функцией р(ф). В дальнейшем, чтобы отдельно не варивать различные формы описания желаемого поведения системы, условимся ределять задавшие качество движения в виде

д{ф,ф,...,\\р) = 0, (8)

одразумевая, что возможно описание эталонного поведения системы как в форме ), так и в форм® (7). При этом определения и формулировки результатов должны ниматься в контексте этих форм.

* Регулятор, обеспечивающий достижение цели управления (2) при ограниченнее) в соответствии с [1] будем называть агрегированным регулятором, а закон управления и(х, ф) - агрегированным законом управления. Определим условия, при выполнении которых возможна процедура синтеза агрегированного регулятора.

2. Достаточное условие возможности синтеза единственного агрегированного регулятора

При анализе условий возможности построения агрегированного регулятора і дем предполагать, что целевое многообразие задается пересечением (3) и для дого ф3 определены ограничения вида (8). Введем следующие определения.

Определение 3. Задачу синтеза агрегированного регулятора для системы (1) будем называть разрешимой в классе функций ф3, У3{Ф3)> Р*{Фі деіФяіФз, ■ ■ ■ рв), если для них существует агрегированный закон управлен-

и(х, ф\ , • ■ • , Фи)-

Определение 4. Задачу синтеза агрегированного регулятора для систем* (1) будем называть строго разрешимой в классе функций ф„, У3(ф3), рв{і>г дніФв, фя, ■ ■ ■, V.,, р3), если для них существует единственный агрегированный закон управления и(х,фі,... ,фу).

Определение 5. Задачу синтеза агрегированного регулятора для систе мы (1) будем называть неразрешимой в классе функций ф3, У3(ф3), р3(Фв 9в{Фа,Фз, ■ • ■, У в, Ра), если для них не существует агрегированного закона управления и(х, фі,..., т/О-

Определение 6. Класс функций да{ф3,фа,. -., , /Эя), ^ Узі'Фе), р3(ф3), в кото-

рых задача синтеза агрегированного регулятора разрешима, будем называть классом разрешимости задачи и обозначать в виде:

С3 — (ф3> Va, р3, д3)-

справедливо равенство:

Є Qx, функций ф3, У3{ф3), р3(ф3), д3(ф3,фв,

'dgi дщ dgi ' dum

rank dgn dgn = m.

.дщ dum.

Теорема 1. О существовании единственного агрегированного регулятора. Пусть выполняется условие 1 и существует и(х,фх,... ,фь) такое, что справедливо равенство: д3(-) = 0. Тогда задача синтеза агрегируемого регулятора для системы (1) строго разрешима в классе С3 — (ф3, V.,, р„, д3). В этом случае агрегированный закон управления п(х,ф) - единственная и гладкая функция своих аргументов.

Ввиду громоздкости доказательство этой и последующих теорем не приводится.

Замечание 1. В формулировке теоремы 1 под функцией д3(ф3,ф3,... ,У3,/ как это было отмечено, понимается «обобщенный вариант» задания желаемого качества движения системы. Следовательно, эталонное движение системы зависит от всех производных ф^\ г = 1, к. Однако в большинстве прикладных задач можно ограничиться лишь первой производной по времени макропеременной ф3. Более того, можно показать, что при определенных условиях уравнение экстремали для СОФ, зависящего лишь от ф3 и ф3{1), является уравнением экстремали для функционалов, содержащих производные более высокого порядка.

Пусть эталонное поведение системы (1) должно удовлетворять минимуму СОФ (4), который выберем в виде

00 / к \ J{ai,...,ak) - j |^Са« (^W) +i>2jdt-

овие 2. Существует хотя бы один отрицательный диагональный минор матрицы:

-а: 1 0 0 ... О

-аз 02 —си 1 ... О

&2к — 2 -0!2к,~г &2к-4 ■■■ (~1)как

параметры функционала (9) и щ = 0, если г < 0 или г > к. овие 3. Все корни полинома

к

Р(Г<,р) = 1 + ^(-1)‘а<р‘=0

г=1

ственные числа.

Предложение 2. Пусть выполнены условия 2 и 3. Тогда существует такое )Т > О и функционал

Л

оо

(Г) = I ('т2ф2 + ф2) <&,

І0

| уравнение его устойчивой экстремали удовлетворяет уравнению устойчивой премали функционала (9).

Следствие из предложения 2. Пусть справедливо условие 3 и существует летр оц функционала (9) такой, что щ(— 1)г < 0. Тогда существует такое > Т > 0 и функционал

ОО

МТ) = I (т2ф2 + ф2)<и, *0

| уравнение его устойчивой экстремали удовлетворяет уравнению устойчивой премали функционала (9).

Гаким образом, если все коэффициенты а, > 0 и выполнено условие 3, то можно дичиться классом квадратичных СОФ. В дальнейшем, в соответствии с работой под квадратичным СОФ будем понимать функционалы вида

сИ,

(10)

(П)

МТ) = I (IV + V2

функции <р(ф) удовлетворяют ограничениям:

(р{ф) = О о ф = 0;

<р(ф) € С2 и <р{ф)ф > 0.

Уравнение устойчивой экстремали функционала (10) при ограничениях (11) имеет вид

Тф{г) + у{ф) = о. (12)

Замечание 2. В случае квадратичных СОФ можно явно показать взаимосвязь двух перечисленных выше (5) и (7) способов задания качества движения ИТ к целевому многообразию фе. При условии V = 0,5ф2 и р = <р(ф)фТ~г р(ф) > 0, тогда выражение (7) имеет вид

ЗУ ; дф

ф(і) + р(ф) = фф{І) + <р(ф)фТ 1 = 0,

откуда вытекает, что

Тф{Ь) + <р(ф) — 0.

Следовательно, существуют функции V и р такие, что уравнение (7) эквивалентно уравнению экстремали (12) для квадратичного СОФ (10). Этот факт подчеркивает, что задание качества движения ИТ к целевому многообразию выражением (7) может оказаться более предпочтительно с точки зрения общности результатов.

Замечание 3. Пусть объект управления описывается системой уравнений вида

гх1Ц) = /1(Х1,Х2,- ■ -,Хп)-

тп(^) — /п—тп (*^15 ^2> • • ■ > Хп);

^п — пг+1 (^) — /п—т+1 {х\ , ‘ • 1 Хп) 6} (^1, Х2, . . * , Хп)их ,

^Хп{£) — /п{%1 > ) ■ • • у Хп) Ч" Ьт(х 1, Х2 , - • . ,Хп)и

Введем следующие обозначения:

1. Символом дфа(т,п) обозначим матрицу:

_ дфх дй

с1‘фц(т,п)

(13)

дхп—т+1

дфт

.дхп—гп+\

дф\

дхп

дфт

дхп

2. Символом Ви обозначим матрицу:

В,

дф\

^П — П

дф„

Ту -^1- Ьг(х) ..

ОХп—т+1

-Ьг(к) ...

дх

п—т+1

ГГ к / л' • 1дхп т{: ]

лр дфт и

т дхп гп{ \

Условие 4. Существует х 6 Пх, такой что:

гапкс1ф3(т,п) < т.

Следствие из теоремы 1. Пусть объект управления задан системой дифференциальных уравнений (13), выполнено условие 4, функции дв определены в виде д3 = Т3ф8(1) + (р8(ф$), а целевое многообразие есть пересечение фг(х) =

0,... ,фт(х) = 0. Тогда задача синтеза агрегированного регулятора неразрешима строго в общем классе Са — (Фв, V*, р„, дв).

Сформулированное следствие из теоремы 1 устанавливает определенные ограничения на макропеременные фа, используемые в процессе синтеза агрегированного регулятора. Так, например, задача синтеза агрегированного регулятора неразрешима строго в классе линейных по вектору х макропеременных ф3, если они образуют параллельные гиперплоскости в области . Разумеется, что это гипотетическое предположение, т.к. в подавляющем большинстве практических случаев желаемое движение обычно задается на пересечении многообразий ф8 — 0.

Замечание 4. Очевидно, что теорема 1 устанавливает факт существования единственного агрегированного закона управления и, однако не отвечает на вопрос: как

я? Предположим, что целью управления является вывод изображающей истемы (13) на пересечение многообразий:

ь заданы квадратичные СОФ .1\{Т\),..., •1,п(Ттп). Желаемое качество движе-ИТ к пересечению (14) зададим уравнениями устойчивых экстремалей (11) для ионалов Ji{Ti), г = 1, тп:

фг(х) = 0,...,^ш(х) =0.

(14)

'Tiipi(t) + = 0;

(15)

тФт(t) ^т(Фт) — 0.

"Перепишем (15) в силу уравнений исходной системы (13): дф\ г ,_л , dipi

<9^П“-т+г

Г-

\j=i J 1=1

дфп

дхп—

n—m+i

bi(x)ui + (рі(фі) = 0

-bi(x)Ui 1 -|- фті’Фт) — 0*

(16)

Предположим, что система (16) - совместна. Тогда в соответствии с теоремой 1, если rank Bt, — m, существует и единственна функция и(х, ф), удовлетворяющая системе (15). Кроме того, справедливо равенство:

и(х,ф) = (Ви)

-і

п-т

~Tl Е д— /j(X) - VlWl)

j—і (JXj

п=?дфт Тщ л fjfe) ^т(^т)

j—і

(17)

так, как следует из (17), для вычисления функции управления и(х,^>) в явном иде в задаче синтеза агрегированного регулятора для системы (13) может потре-‘ваться обращать матрицу В„ размерности (ш х т) в каждой точке траектории ижения системы. Тогда для общего класса функций В„(х) задача определения (х,ф) будет иметь вычислительную сложность порядка ш!, что может привести к начительным затруднениям в практических приложениях. Пусть агрегированный акон управления и(х, ф) можно записать следующим образом:

и = й(х,ф, и),

(18)

ичем да(-) = 0 при и = й(х,ф,и). Тогда справедливо утверждение.

Теорема 2. О неявном определении агрегированного закона управления. Пусть для выбранных функций д8{фв,фа, ■ ■ ■, У«,ра), фа, Уа(фа), ра(Фз) задача синтеза аг-егироеанного регулятора разрешима. Тогда уравнения (18) являются уравнениями грегированного закона управления для системы (1), если

(?Д-) = 0 при и = й(х, ф, и).

Кроме того, если выполняется условие 1, то управление и = й(х,ф, и) - един-вепно, а задача синтеза - строго разрешима в классе Са{фа,Уа, ра,да).

Теорема 2 устанавливает возможность использовать на практике неявную фор записи агрегированного закона управления. Так, например, для объектов, допус ющих описание системой дифференциальных уравнений (13) и при условии, да = 1^(0 + {ф#), агрегированный закон управления имеет вид

Агрегированный закон управления (19) впервые был предложен в работе [1]. Одні обоснованность подобного выбора для всех компонент и3, ] — 1 ,ш вектора и в [ не была строго доказана.

3. Необходимые и достаточные условия возможности синтеза агрегированного регулятора

Как было отмечено в замечании 4' теорема 1 устанавливает факт строгой раз шимости задачи синтеза агрегированного регулятора в предположении, что су ствует агрегированный закон управления и(х, ф). Определим условия существ ния агрегированного регулятора. Пусть объект управления задан системой ди^ ренциальных уравнений:

Отметим, что системой дифференциальных уравнений (20) описывается поведени множества реальных промышленных объектов.

Условие 5. Функции У 8, р5 удовлетворяют ограничениям:

1. У3(фя) > 0, У3(ф3) > 0 для любых ф3 ф 0 и У3(ф3) — 0, рДт/л?) = 0 лишь при ф3 = 0, « = 1, V = тп.

(19

< &п—т+1 {$) — /п—т+1 (®11 х2 > • ■ • > ®п) ^ ^ blj (^-1 > ®2> • • • > ;

1=1

т

З'п(^) — Іп{хі,Х2,..., Хп) -Ь ^ ‘ Ьтп,у (^1; 1 ' ■ • ; •

1

Символом В„ обозначим матрицу:

волом As обозначим величину.

( 3V а

~ Ь - й»-) (ал

*=1

лом В„ обозначим матрицу:

дф\

в:,

Е дх +■

j — l UAn — m+j £ ^ j~і dxn—m+j

bj i(x)

Ь, i(x)

^ h I____^ ч

Lj Q bjm(x) Ai

j=l (-'З'п—m+j

^ дФт , x

/ , rj Ojm(x)

j = l O'^n—m+j

'словие 6. Для любых X Є fix справедливо равенство:

rankBu = ш.

Условие Т. Ддл любых х Є ftx справедливо равенство:

гапкВи = I, 0 ^ I < т.

Условие 8. Для любых х Є Пх справедливо равенство:

гапкВи = rank В„.

} С помощью условий 5-8 можно сформулировать следующую теорему.

Теорема 3. Необходимые и достаточные условия синтеза агрегированного регулятора. Пусть выполнено условие 5. Тогда:

1) для того, чтобы задача синтеза агрегированного регулятора для системы (20) была строго разрешимой в классе Cs(ips,Vs, ps, gs), необходимо и достаточно выполнение условий 6 и 8;

2) для того, чтобы задача синтеза агрегированного регулятора для системы

(20) была разрешимой в классе Cs(ips,Ys,ps,gs), необходимо и достаточно выполнение условий 7 и 8;

3) задача синтеза агрегированного регулятора для системы (20) неразрешима в классе С$(ф$,V s, ps,gs}, если существует вектор х Є Пх, такой что rank В„ ф

гапкВц.

Замечание 5. В формулировке теоремы 3 предполагается, что качество движе-я изображающей точки задано в виде (7).

Замечание 6. Отметим, что для разрешимости задачи синтеза агрегированного гулятора, в соответствии с определением 3, достаточно существования агрегиро-ного закона управления u(x, ip), удовлетворяющего заданному качеству движе-изображающей точки. Требование единственности функции u(x, ip) может не подняться. Этот факт отражен в п.2) формулировки теоремы 3.

Замечание 7.Теорема 3 устанавливает необходимые и достаточные условия раз-шимости задачи синтеза агрегированного регулятора. Однако если объект управ-ния описывается системой (13), то необходимые условия строгой разрешимости ЧИ В классе Cs(lpg,\rs,ps,gs) определяются следствием из теоремы 1.

4. Огрубление агрегированного регулятора

Пусть эталонное движения ИТ соответствует уравнениям (7). Перепишем уравнения (7) в силу уравнений объекта управления (20):

дфі

дфі

. і-i

53M*)«j +рі(.‘Фі) = 0;

(2

dVr,

дф„

n Q , m

ЕІ~лм+Е

дфп

. г=1

=1 dxn ~m-fs

(x)'Uj 1 ртіФт) —0*

Как следует из теоремы 3, свойство совместности системы (21) определяет необхо мые условия разрешимости (и строгой разрешимости) задачи синтеза агрегиров ного регулятора (условие 8). Выполнение условия 8 означает, что решение систе

(21) относительно компонент Uj вектора управления и существует для всех х 6 П Однако возможны случаи, когда система (21) неразрешима относительно переме ных Uj. Пусть, например, существует вектор х € Пх такой, что частные производи дфх/дхп^т+а, s = 1,гп обращаются в нуль, а сумма

dY 1 дфг . . . ,

2—1

Тогда, согласно теореме 3, задача синтеза агрегированного регулятора неразреши в классе Cs (ф3, V.s, ps,gs) в смысле определений 3 - 5, так как rank Bu ф rank" Другими словами, невозможно отыскать функцию и(х,ф), удовлетворяющую стеме (21) для всех х € Пх. Следовательно, возникает необходимость «огруби исходную постановку задачи. В качестве новой, огрубленной цели управления в берем достижение целевого многообразия (3) при ограничениях вида

9в (фй,ф*(х,и), Vs,p^j < £, £ > 0.

Определение 7. Областью неопределенности по управлению системы (1) классе макропеременных фв, функций Ув(фв), р3(фе), gs {ф&■, Фя, Vs. ps^ буд называть область С ftx Q Rn, такую что система

9i (фиФі{х,и),Уі,рі^ = 0;

9m

0

не имеет решений в Г2Ц относительно вектора и.

Определение 8. Задачу синтеза агрегированного регулятора для системы (1 будем называть разрешимой с точностью до є в классе функций ф$, V${фв), Р$(Ф$)

9$ (феї Фа, ■ ■ ■, Vэ, , если для них существует закон управления и(х, ф\,..., ф„) удовлетворяющий неравенствам (22).

Условие 9. Система уравнений (23) содержит в себе совместную относительно вектора и в области неопределенности Г2и подсистему:

91 (фі,фі{х,и), УьРі) = 0; 9і {фі,Фі(х,и),Уі,рі^ = 0

I < т.

ю отметить, что для каждой макропеременной ф^ задано эталонное дви-форме: §]{■) = 0.

ие 10. Для любых /3 > 0, х > 0, <5 > 0, 77 > 0 и функций (х,и),У«,/>«) существует константа С(Р,х,д,г}) такая, что

9в (ф„ф,(х,и), Уя,р*)| < С(Р,х,&,г1)

£ Д, 1051 ^ X: V, < 6, р8 < Г]. рема 4. Пусть выполняются условия 9, 10 и для любого вектора состояния существует вектор и, удовлетворяющий системе (24), такой, что движе-акропеременных '0,, I < 3 ^ т - асимптотически устойчиво. Тогда задача еза агрегированного регулятора разрешима с точностью до е в классе функций ,Ш, Р,(Ф>), 9> (/Ф„Ф„---,У>,Рв), причем ф{{г) -> 0, 1 ^ г ^ ттг при Ь -> оо. Замечание 8. Теорема 4 устанавливает достаточные условия разрешимости задачи синтеза агрегированного регулятора с точностью до е в классе С5(ф$, У8,р3. д.,).

Замечание 9. Условие 9 теоремы 4 может быть определено в более общей формулировке. Пусть область неопределенности задана в виде объединения:

1^1/ — [ ] 1

г=Г,77

где Пи, - области неопределенности системы (1), образующие область . Согласно определению 7, в каждой из областей можно выделить совместную относительно “ктора и систему уравнений (24). Символом обозначим множество индексов, со-•ьетствующих номерам строк системы (23), которые образуют систему (24). Тогда овие 9 перепишется в виде

ЗкФ Ф для всех к ^ N. (25)

ожно показать, что формулировка теоремы 4 остается справедливой, если условие задано утверждением (25).

Замечание 10. Теорема 4 ограничивает известный произвол выбора макропе-енных фа. Пусть выполнено условие 9 теоремы 4, то есть в системе (23) можно .елить совместную относительно вектора и подсистему (24). Это означает, что ствует вектор и, обеспечивающий устойчивое движение макропеременных ф{, = 1,1 с заданным качеством. Тогда, в соответствии с теоремой 4, задача синтеза тированного регулятора разрешима с точностью до е, если сохраняется асим-ическая устойчивость движения макропеременных I < ^ т. Другими

овами, нужно так выбрать макропеременные фв и вектор управления и, чтобы асимптотической устойчивости движения макропеременных -^г, г — 1, / следовала имптотическая устойчивость движения макропеременных фj, I < ] ^ т. Сформированное положение отражает принцип необходимой взаимной зависимости ижений для функций фi и фj в задаче синтеза агрегированного регулятора. Рассмотрим задачу синтеза агрегированного регулятора в несколько ином аспек-. Пусть существует агрегированный закон управления, удовлетворяющий урав--;я.ч (23). Кроме того, пусть в исходной системе (1) существуют неизмеряемые змущения £(£). Тогда в общем случае возможно говорить лишь о выходе ИТ в которую <5 - окрестность пересечения многообразий (3):

|г/>*(с*,х)| ^ < <5, й = 1, т ^ п.

ормулируем следующую теорему.

Теорема 5. Пусть выполнены условия 5, существуют такие вектор и и чиа єе > 0, в = 1 ,т, что справедлива система неравенств:

|^1 +Р\{Фї)

Фт Рт {'Ф т)

< £г

где ра = раіФя) (§^) ■ Кроме того, существует число ц > О, вектор х* 6

удовлетворяющие неравенству ||х—х* || ^ д при ограничениях |р*(^«)| ^ £в,« = 1,' Тогда исходная система (1) диссипативна, если выполняются следующие услови

1) функции р$ удовлетворяют неравенствам: р8(фз)фз > 0;

2) существует и единственно пересечение многообразий фв — 0 '■ фі — Ф2 = Фт — 0)

3) <рз(фв(х)) —>■ оо иф8(х) -> оо при ||х — х*|| —> оо для любого з = 1,т и вектора х, не принадлежащих многообразию ф8 = 0.

Предельное множество системы (1) находится в сфере с радиусом ц : ||х-х*|| ^ ц.

Таким образом, если функции ф„, р3{Фз) удовлетворяют условиям 1) -3) теореы то движение исходной системы диссипативно при условии ограниченности по , лютной величине аддитивных возмущений £(£).

Замечание 11. Пусть объект управления задан системой (20) и эталонное дви^ жение соответствует системе (23). Целью управления выберем перевод ИТ на п& ресечение (3). Пусть система (23) - совместна относительно вектора и. Запишу компоненты и3 вектора и в неявной форме:

и3 = - ( Ь*(х)

дф8

. <=і

дх

)ф

дх

п—т+в

' О / т

дфе

дх

п—т+і

-Ьі{х)щ + рз{Фз) ■

Равенство (26) может быть преобразовано к виду

и» = - ( Ьз(х)

дфз

дхп.

т+8

Фз

дфз

дхп_

-Ь8(х)из + Рз(Фз) ) •

(27)'

Заменим в правой части равенства (27) переменную и8 на переменную й$ = и3 + 6и3, где < £и, £„ > 0. Кроме того, пусть производная фз в (27) измеряется неточно и справедливо неравенство

\ф1,з~фз\<£^', ei>0,

где символом фх,з обозначено «неточное значение» производной фз. Тогда закон управления (27) имеет вид

ЬДх)

дфз

дхп_

т-Ь»

)>,

дфз

дхп-

п — т + з

-Ьа{х)йз + Рз(Фз) ) •

(28)

Предложение 3. Пусть выполнены условия 1), 2), 3) теоремы 5, условия 5 и 10, ограничена, а эталонное движение задано уравнениями

9з{Фа,Фз,Уз,Рз) = -КТ"Фз + Рз{Фв) = 0. ихр8

ТЬгда движете системы (20) с законом управления (28) диссипативно, если:

1) для любых х 6 Пх справедливо равенство: Bu = rank В^;

2) существуют числа еи >0,ef>0uep>0 такие, что:

^ s ’ !Рв^Фвч^з) Psi^s^Ug'jl <С 6р.

Из предложения 3 вытекает, что движение системы с законом управления (28) диссипативно при условии «достаточной малости» величины 5и и погрешности из-, мерения производной 'tps- Более того, отклонение траекторий движения ИТ исходной системы от «эталонных» тем меньше, чем меньше числа еи > 0 ef > 0. Как следует из выражения (28), значение us в явном виде не зависит от функций /*(х) в правых частях системы дифференциальных уравнений (20), описывающих собственные движения объекта управления. Следовательно, регулятор, построенный в соответствии с формулой (28), будет обладать определенными адаптивными свойствами; при этом управление в явном виде не. зависит от собственных движений объекта.

Замечание 12. Предложение 3 можно переформулировать и для случая, когда в пространстве допустимых состояний Ох имеются области неопределенности

о управлению f!u. Для этого дополнительно достаточно потребовать выполнения словия 9 и условия диссипативности движения макропеременных ф^ I < j ^ rri при словии, что движение макропеременных ipi г = 1,1 также диссипативно.

5. Пример

Рассмотрим процедуру синтеза агрегированного регулятора применительно к за-че перевода ИТ исходного объекта управления на сферу в Я2. Пусть объект управ-ения описывается системой дифференциальных уравнений:

(хі(і) - /і(хі,х2) + «і;

\х2(Ь) = 12{х1,Х2). елевое многообразие выберем в виде

ф = [хі - а)2 + (х2 — Ь)2 - г2

(29)

= 0.

(30)

ыберем макропеременную ф\ = (х} - а)2 + (х2 - Ъ)2 - г2 = 0. Макропеременная

1 обращается в нуль лишь на целевом многообразии (30). Зададимся эталонным ижением макропеременной фу:

9\ = Тіфі{і)+фх = 0.

(31)

смотрим rank [дді/дщ]. Вдоль прямой х\ = а фазового пространства системы кЩх/дщ] = 0. Следовательно, согласно теореме 1, задача синтеза агрегирован-регулятора неразрешима математически строго в классе макропеременных ф\ функций ді = Тіфі (t) + фі. Более того, на прямой хг = а, за исключением двух : (а, Ь + г) и (a,b-r), уравнение (31) не имеет решения относительно перемен-Ui. То есть прямая Х\ — а (без точек (а, b + г) и (а, Ь — г)) является областью пределенности для системы (29). Гарантировать разрешимость до є задачи син-а агрегированного регулятора в классе функций фг и = Tiipi(t) + фі в этом чае также нельзя, так как не выполняются условия теоремы 4 (условие 9).

чек

(3

Преобразуем исходную систему (29) к виду

(хх(г) = 1х(хх,х2)+их;

\£г(0 = /г(х1, х2) + и2.

Выберем макропеременную ф2 таким образом, чтобы пересечение многообр гр2 = 0 и фх = 0 образовали целевое многообразие (30). Для этого достаточно ложить: ф2 — фх = ф, Желаемое качество движения изображающей точки зад-системой уравнений

= Тхфх(Ь) + ч>х{фх) = 0;

\д2= Т2гр2&) + ^(Фг) = 0,

где !/? 1, '~р‘2 удовлетворяют ограничениям (11). Рассмотрим матрицы:

В„ =

'ддх ддх~ 'дфх дфх'

дих ди2 дхх дХ2

дд2 Ёк дф 2 902

.duy ди-2 - .дх\ дх2 -

в:,

'дфх дфх

дхх дх2

дф2 дф2

,дхх дх2

\ UT-1 \ - (d^'2 ft ' о. д^2 f (

Al = fe/l(x) + Ъх1 5 Аз~ \d^xfl{1 + д^н

х) +т2 V2

Пусть <рх(Фг) — ^2('02) и Тх = Т2. Тогда выполняется условие

rank Bu = rank В^

и, согласно теореме 3, задача синтеза агрегированного регулятора разрешима в кл се функций фх, 02 > <7i! 92 • Закон агрегированного управления можно записать в в-

(5^/’(x, + s£/!W + ”2 + 7’rV,)i Р

U 2

1 &rrte (^1к\ (1 7Г \<9zi ) \9Ж1 ) V^i

х) + + и1 + ^2 1(i

к >> 1 введен в (34) с целью ограничения допустимь

Множитель ^ arctg значений щ вдоль прямой xj = а.

Предположим, что y>i(0i) ф ц>2(02) иТх фТ2. Следовательно, rank В„ ф rankBJ, почти во всех областях П„ за исключением поверхности фх — ф2 = ф = 0. То есть прямые х\ — а и х2 = Ь (кроме точек (а,Ь ± г) и (о ± г, 6)) являются областями неопределенности для системы (32). Здесь необходимо отметить, что движение макропеременных фх и ф2, удовлетворяющих системе (33), асимптотически устойчиво. Более того, из устойчивости движения макропеременной фх следует асимптотическая устойчивость движения макропеременной "02 в силу равенства фх = Ф2 (принцип взаимной зависимости). Таким образом, почти во всей области Ох (кроме точки с координатами (а, b)) удовлетворяются условия теоремы 4. Следовательно, в этом случае можно говорить о разрешимости задачи синтеза агрегированного регулятора с точностью до е в классе функций фх, ф2, 9i- Qi- Произведенные рассуждения можно обобщить и на случай (m — 1) - мерной сферы в Rm. Необходимым условием синтеза агрегированного регулятора, очевидно, будет наличие в исходной системе тп управляющих входов.

6. О физической интерпретации сопровождающих функционалов

мотрим теперь физическое содержание СОФ (9), (10), которые по сво-■■ структуре отражают общие свойства как исходного объекта, так и его системы управления. Это означает, что в рассматриваемом методе оптимизирующий функционал не постулируется заранее, как это предполагается в стандартных ме-АКОР, а конструируется путем выбора соответствующих функций у>(ф) и , ,...,£„) с привлечением уравнений объекта. Такой подход позволяет в извест-

ной мере учесть свойства исходного объекта, т.к. внешнее «навязывание» постулируемого критерия и игнорирование свойств объекта на этапе выбора критерия качества может привести к противоестественному или даже неприемлемому для нелинейного объекта протеканию переходных процессов. В этом смысле формирование оптимизирующего функционала с учетом уравнений объекта согласуется с известным в механике принципом наименьшего принуждения Гаусса. Разумеется, что при этом объект должен быть переведен из исходного в заданное состояние, т.к. синтезируется управляемое движение.

Следующее отличие состоит в формировании функционалов (9), (10) относительно макропеременных ф, являющихся некоторыми выбираемыми агрегатами координат состояния. В этой связи задача синтеза регуляторов на основе СОФ с использованием агрегированных макропеременных (по аналогии с аббревиатурой теории АКОР) названа задачей АКАР - аналитическим конструированием агрегированных регуляторов. Макропеременные ф и функции (р(ф) могут выбираться из разных соображений, связанных с желаемыми переходными и установившимися режимами движения объекта - аттракторами в фазовом пространстве систем.

Ранее в работах [3, 4] была обоснована целесообразность применения во многих задачах управления переменных в фазовом пространстве функционалов, которые бы позволяли во внешней области обеспечить асимптотически устойчивое движение и достаточно эффективно подавить возникшие отклонения за малое время, а во внутренней области - оптимизировать систему, например по обычным квадратичным критериям теории АКОР. К такого рода функционалам и относятся СОФ (9), (10), изменение структуры которых может осуществляться, во-первых, как за счет изменения структуры функций <р(ф) путем, например, удержания соответствующего числа членов высоких степеней функций ф, т.е. фг, ф5,..., фг, так и, во-вторых, путем изменения формы макропеременных ф(хj,..., хп), которые связаны с желаемыми аттракторами синтезируемых систем. В первом случае СОФ имеют, по существу, разный вид: для режимов малых отклонений, когда члены с высокими степенями будут оказывать малое влияние (ф3 = • • • = фТ = 0), и больших отклонений, когда эти члены будут играть доминирующую роль в переходном процессе. Наличие в функционале членов высоких степеней приведет к тому, что закон управления, синтезированный на его основе, будет более активно реагировать на большие отклонения и интенсивно их подавлять за малое время. В то же время в функционале имеются квадратичные члены ф2, что позволит получить достаточно эффективную отработку системой и малых отклонений от заданного состояния.

В терминах синергетики [1, 5, 6] макропеременные ф - это обобщенные параметры порядка, отражающие коллективные свойства синтезируемых систем, они являются «информаторами» - носителями синергетической информации о процессах в системе. Именно эти параметры и определяют протекание направленных процессов самоорганизации в синтезируемой системе. Трактовка макропеременных ф как обобщенных параметров порядка, характеризующих коллективные состояния многоуровневых систем, позволяет дать следующую синергетическую интерпретацию функционалам вида (9), (10). Согласно Хакену [5, 6], мерой макроскопического действия самоорганизующихся систем может служить квадрат параметра порядка.

Эту меру можно условно также назвать работой, производимой системой. 0т~ и следует целесообразность введения в СОФ (9), (10) квадратичных составля" которые отражают меру макроскопического действия синтезируемых систем. эффективностью систем в синергетике понимается скорость изменения мер* кроскопического действия, что в нашем случае отражается введением составляю ф2{ф) в СОФ. Кстати отметим, что известная в теории АКОР трудная пр выбора весовых коэффициентов квадратичных критериев качества получает менительно к функционалам (9), (10) очевидное и физически ясное решение. 3' весовые коэффициенты оц, Т определяют задаваемое время движения ИТ си<г до пересечения многообразий.

Форма СОФ (10) наиболее удобна для задач управления нелинейными объ' ми, математические модели которых представлены системами дифференциаль уравнений первого порядка. При управлении рядом распространенных объектов лее подходящими могут оказаться и другие известные формы моделей, в частно виде системы дифференциальных уравнений второго порядка. Примером могут жить математические модели механических систем, которые обычно эквивале записываются на основе второго закона Ньютона или формализма Лагранжа. В случаях целесообразно несколько модифицировать форму функциональных ур ний метода АКАР, представив их , например, в следующем виде:

T^a{t) + </?s(l/>s) + = 0, S = 1,2, . . . , V,

где v - размерность вектора управления.

Этим уравнениям можно дать ясную энергомеханическую интерпретацию Будем считать,например, что уравнения (35) описывают движение некоторой со~ купности связанных материальных точек, находящихся под действием нелиней восстанавливающих сил ips(ips). При этом параметр можно полагать анало «массы» материальных точек. Тогда, согласно [7], запишем полную энергию си~ мы в следующем виде:

vs = 0,Ъфя +

В этом выражении первый член в правой части означает кинетическую энергию второй - потенциальную энергию системы. При отсутствии сопротивления внег среды функция 1ря(Ф*) — 0 и, следовательно, согласно закону сохранения энер-система (35) будет иметь первый интеграл vs = const. Однако в реальных услов механическая энергия в процессе движения системы из-за сопротивления внешн среды, как известно, переходит в тепловую. Это означает, что функция vs убыв вдоль траекторий движения системы (35). Для того, чтобы это показать, проди ференцируем vs по времени:

1

vs(t) =

Фв^) + j^fsWa)

Фв(t),

т.е. в силу уравнении исходной системы имеем

Hi) = ~7р2^ЛФв)Фв^)-

■* 5

Отсюда непосредственно следует, что при VsbPstysit) > 0 производная v(t) <; 0, т.е. в этом случае общая энергия системы убывает. Очевидно, для того, чтобы функция vs, отражающая энергию системы, была определенно положительной, необходим выполнить неравенство }я{ф$)фя > 0. Если же предположить, что <ps('4:s) = 0, производная v(t) = 0 и, следовательно, vs = const, т.е. при отсутствии сопротивления внешней среды система (35) действительно имеет первый интеграл, соответствующий закону сохранения энергии в изолированной механической системе. Итак,

[7], условия асимптотической устойчивости в целом системы (35) относи-‘доложения фв = -0в(й) = 0 имеют следующий вид:

а) ЛФ*)Ф* > 0 при фв ф 0;

б) фа{фз)ф${і) > 0 при фа(і) ф 0;

(36)

в) / їзіФМФз -> 00 при \фа\ -> 00.

О

олнение условий (36) в соответствии с методом АКАР обеспечивает неизбеж-перевод ИТ синтезируемой системы на пересечение инвариантных многообра-ф,(хі,... ,хп) = 0 и фа{х\,..., хп, хі,..., хп,) = 0 в ее фазовом пространстве.

Очевидно, что функциональные уравнения (35) доставляют безусловный экстре-следующему квадратичному СОФ:

А** - весовые коэффициенты, непосредственно связанные с коэффициентами нений (35). Для линейного случая fs = фа эти уравнения принимают вид

коэффициенты а/о, и Лкд связаны между собой следующими соотношениями:

аметим, что в силу асимптотических свойств функций ф3{Ъ) —> 0 и ф${Ь) —► О при Ь -> оо в этом случае, как известно, квадратичный СОФ можно также записать в следующей эквивалентной форме:

где с8 - некоторые постоянные, не влияющие на экстремум СОФ.

Аналогично, минимизация СОФ 1 (10) при <р(ф) = ф равносильна минимизации функционала

Это означает, что в линейном случае <р(ф) = ф СОФ могут быть представлены в виде известных интегральных квадратичных оценок в динамике систем.

Итак, здесь показано, что функциональным уравнениям вида (35) можно дать ясное физическое толкование. Напомним, что и уравнения (12) имеют также очевидную физическую интерпретацию, в частности, как инвариантные отношения классической механики. Разумеется, что для сложных, например электромеханических, систем в общем случае может оказаться целесообразным использовать некоторые комбинации форм функциональных уравнений первого (12) и второго (35) порядков и соответствующих им оптимизирующих функционалов.

Рассмотренные выше СОФ не постулируются, а имеют полуопределенный, сопровождающий характер. Эти функционалы в синергетической теории управления, вообще говоря, не играют определяющей роли. Однако развиваемый здесь подход, основанный на введении притягивающих инвариантных многообразий, позволяет ыявить новые особенности и в задачах оптимального управления.

ОО

О

ф3(і) + аиф3(і) + а0яф3 = О,

ОС

О

оо

О

Заключение

В работе рассмотрены математические условия возможности синтеза агрегированного регулятора для нелинейных объектов управления и получены достаточные условия существования единственного закона управления для класса нелинейных систем, выбранных агрегированных макропеременных и произвольного СОФ. Однако во многих практических задачах достаточно использовать лишь квадратичный СОФ. Для класса аффинных по управлению динамических систем найдены необходимые и достаточные условия синтеза агрегированных регуляторов.

В работе были также проанализированы вопросы, связанные с физичекой интерпретацией СОФ и реализацией агрегированных регуляторов. Кроме того, в некоторых случаях можно говорить о возможности построения огрубленного агрегированного регулятора даже при условии математически строгой неразрешимости исходной задачи синтеза.

Литература

1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.

2. М. Спивак. Математический анализ на многообразиях. Волгоград: Платон, 1996.

3. Колесников А.А. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987,

4. Колесников А.А., Гельфгат А.Г. Проектирование многокритериальных систем управления промышленными объектами. М.: Энергоатомиздат, 1993.

5. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

6. Хакен Г. Информация и самоорганизация. М.: Мир, 1991.

7. Барбашин Е.А. Функции Ляяпунова. М.: Наука, 1970.

О КОНСТРУИРОВАНИИ ПРИТЯГИВАЮЩИХ МНОГООБРАЗИЙ В ЗАДАЧАХ СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Д.В. Ефимов, В.А. Терехов Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет (ЛЭТИ)

Введение

Ключевой идеей синергетического подхода к решению задач управления нелинейными объектами, развиваемого в работах проф. А.А. Колесникова [1], является преднамеренное введение в пространстве состояний синтезируемых систем желаемых инвариантных многообразий Ф = со1(Ф1,..., Фт) = 0, на которых естественные свойства объекта согласуются с требованиями задачи управления. Введение таких многообразий в процедуру синтеза системы управления направлено на достижение «минимального» вмешательства в естественное течение процессов в управляемом объекте, что, в свою очередь, эквивалентно требованию минимального управления для достижения поставленной цели [1]. Используемое далее понятие «инвариантное многообразие» или эквивалентное ему понятие «притягивающий аттрактор» математически строго определено в работах В.И. Арнольда (см., например, [2]).