Аналитическое конструирование агрегированных дискретных регуляторов на основе последовательной совокупности инвариантных многообразий Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция систем автоматического управления

УДК 62-501.55

Г.Е. Веселов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ АГРЕГИРОВАННЫХ ДИСКРЕТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ НА ОСНОВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ

Современная цифровая и микропроцессорная техника позволяет конструировать системы управления различной сложности, однако требует для своего применения разработки специальных методов анализа и синтеза дискретных систем. В научно-технической литературе имеются методы анализа и синтеза линейных дискретно-непрерывных систем управления. Однако для нелинейных дискретно-непрерывных систем в основном существуют результаты по анализу их устойчивости и практически отсутствуют регулярные методы синтеза. В данной статье рассматривается дискретный метод аналитического синтеза агрегированных регуляторов с конструированием последовательной совокупности инвариантных многообразий, который является распространением известного метода АКАР [1,2] на дискретно-непрерывные системы управления. Пусть исходный непрерывный нелинейный объект управления описывается дифференциальным векторным уравнением:

х(0 = F(x) х(0 +Вм[*], (1)

где х(/) G R" - вектор фазовых координат,

В = [0,...,0,^п]гб/?л, и[к] - скалярное дискретное управление,

F(x) G R” - функциональная .матрица вида

'/и /и ■ kr 0 0 .. 0 0 ■

f2.1 • f2,p 0 0 .. 0 0

fp.X fр.г • /,„ 0 0 .. 0 0

fp*\.\ fp*\2 • J p+\,p fp+\,p+\ 0 .. 0 0

fp+ 2,1 fp+2.2 • Jp*2,p І p+2,p+\ jp+ 2,p*2 .. 0 0

Ул-1,1 fa-1,2 • fii-1,/ fn-\,p+\ fn-\,p+2 '• J n- \,n-! fn-\.n

fn.2 • fn.p fn,p+\ fn.p+2 • * fnj1-1 fn.n .

где Л(*р)> ХР е КР для *'1 йР>/ц(хР)> хр для

/у - СОПЯ1 , если / > р, у = / +1. Частным случаем матрицы (2) для случая, когда р=0, будет матрица, имеющая следующий вид:

“/и кг 0 0 . .. 0 о "

л. Іг.г /г,г 0 . .. 0 0

/л-2,1 /я- 2,2 11-23 •/"1-2,4 • • * У1-2,я-1 0

Iп-1.1 /я-1,2 Iи-1,3 /я-1.4 • '• I4-1,Л-1 /1-1,Л

. л. /1,2 У1,3 к.4 • УЯ.Я-1 / J Л,Л _

Применив к системе (1) процедуру разностной аппроксимации [3], получим следующее разностное векторное уравнение:

Дх[*] = Р(х[*])х[Л:]+Вы[*]. (3)

Раскрывая разностные производные

х[£ + 1]- х[£]

Дх[£]

(4)

где Т0 - шаг дискретизации по времени, и подставляя (4) в (3), получим разностную модель объекта

х[* + 1]=Р0(х[*]) + В°и[*],

(5)

где ¥"(х[к]) = Т0¥(х[к]) + Е, Е е Я" - единичная матрица, В" = 7^, В.

Задачей синтеза является определение закона управления И [А], обеспечивающего перевод изображающей точки системы из произвольного начального состояния х°[А)бП° сЛлв начало координат пространства состояниях[£] = 0. Для решения данной задачи воспользуемся принципом сжатия фазового пространства [2] за счет введения совокупности притягивающих многообразий

Ч/[Лг] = 0, (6)

где у[£] еИ1, I <п.

При этом вектор должен удовлетворять однородному разностному уравнению

У|/[£ + 1] + Ьч/[£] = 0, (7)

где Ь—матрица диагонального вида с коэффициентами , / =1,/. Коэффициенты матрицы Ь задаются из условия асимптотической устойчивости решения разностного уравнения (7):

|Х,|<1, / = 1,/.

Рассмотрим первую агрегированную макропеременную

(8)

Ч',[*] = *„[*] + Ф1[*]) (9)

где ф 1 [к]-функция от х![£]е./?" Определим управление м[Лг], переводящее объект (5) из х°[к] еО" С Я" в окрестность многообразия V,[*] = <>. те. область О1 еЛ" Для этого в уравнение (7) подставим

(9): *.[* + 1]+МЛ*]+Ф.[* + 1] + *1Ф1[*] = °-

Тогда при учете уравнения (5) имеем

¿Л01№Д^]+а>Ш+^^[*]+ф.[^ + 1]+^,ф1[*] = о.

»=1

Откуда, выразив и[к\ получим м[^] = -^-^/ш[Л]^[Л] + Я.,*л[А] + ф1[А + 1] + Х1ф1[^]|. (ю)

Управление (10) переводит изображающую точку из

X [Л"] еП9 С Я" на многообразие ф)[А'] = 0, движение вдоль которого описывается уравнением

х1 [Л: + 1] = Р1 (х'[А’])х1[А'] — В1 ф,[£], (11)

где X1 [А"] еО1 сГ1 - вектор фазовых координат системы на

ф1[Хг] = 0, Р1 =¥ (//,//) - главная подматрица матрицы Р° с вычеркнутыми п-м столбцом и п-ой строкой; В1 = [О,...,0,6^1 , Ь'п_]

Таким образом, размерность подпространства Г21 Е Я" 'на единицу меньше размерности исходного пространства О" &Я”.

Определим ф, [ к ] промежуточным управлением, которое переводит изображающую точку на второе многообразие:

V:!*]” *«-|[*] + Ф2[*]. (12>

где ф. [Лг] - функция от х2[^]еП" СЙ" ‘. Размерность многообразия (12) на единицу меньше размерности многообразия (9). Управление

Ф,[*] подобъектом (11) можно получить, подставив в (7) уравнение (12), и при учете уравнений подобъекта (11):

ф,[^] = ^т-[1А-№^]+^п-.[*]+Ф2[^ + 1]+^Ф2[Л]]. (13)

Управление (13) переводит изображающую точку в окрестность пересечения \|/1[Л]=\|/2[А] = 0, движение вдоль которого описывается разностным уравнением:

х2[* + 1] = Р2(х2[*])х2[*]-В2ф2[*], (14)

Р2 = Р1 (п- 1,п— 1),

Л-2.П-1 *

Далее, приняв ф2 [Хг] промежуточным управлением для подобъекта (14), можно определить управление, обеспечивающее перевод изображающей точки на пересечение многообразий ф1[^]=ф?[А:]:=М/з[^] = 0 и так

Движение изображающей точки при сближении с соответствующим многообразием

Управления м[Л], ф .[Аг],у = 1,/—1 синтезировались на каждом

этапе, исходя из условий оптимизации сопровождающих функционалов вида

Оптимальные по критериям (18) законы управления (15) обеспечивают перевод изображающей точки с .¡-го на ] + 1-е многообразие (16), движение вдоль которого описывается уравнением вида (17). Из (16) видно, что размерность .¡ + 1-го многообразия на единицу меньше размерности .¡-го многообразия.

Процедура синтеза заключается в формировании закона управления м[&] (11). При этом основной задачей является определение функции ф 1 [ А" ], которая может быть определена в результате последовательного формирования промежуточных ф,[А], ¡ = 2,1. Эта задача решается следующим образом: определяется функция фД£], исходя из условий устойчивости и требований к качеству движения на 1-м этапе, затем, учитывая (15), определяется фм[£], после этого - ф; ,[/г] и т.д. вплоть до ф, [Лг ].

Итак, в данной статье предложен подход к синтезу нелинейных дискретно-непрерывных систем, основанный на введении совокупности притягивающих многообразий, который соответствует последовательной оптимизации систем, т.к. движение изображающей точки оптимально по критериям (18).

далее вплоть до ф[£] = 0, £ Я . При этом последовательность

промежуточных управлений определяется выражениями:

7 = 1,/- 1.

(15)

'М*] = *л->+і[*] + фД*],У = и

(16)

где фДЛг] - функция от С й" ; описывается векторным

разностным уравнением:

х^^ + 1] = Р;(х][А])х][^]-В;ф;[А],

(п-) + 1,п-у+ 1),

(17)

00

(18)

Перейдем к рассмотрению примера синтеза агрегированного дискретного регулятора на основе последовательной совокупности притягивающих многообразий. Для примера рассмотрим уравнение, описывающее движение математического маятника в верхнем неустойчивом положении:

х(/) =

0 1 0 О'

sinx, 0 1 х(0 + 0

1

0 0 0^

и[к].

(19)

Видно, что матрица уравнения (19) является частным случаем матрицы (2) при р = 0. Следовательно, размерность вектора \|/[£] будет щ = п — р — 1 = 2. Запишем уравнение (19) в разностной форме

1 Т0 о' 0"

... sinx, [Ar] * 0 Г fl 1 То х[к] + 0

*,[£] 0 0 1 т _ о.

Х[* + Ц= 1 Т0 х[к} + О и[к].

х^к] О О

Введем первую макропеременную

¥\[к\ = хъ[к] + (рх[к], тогда управление, согласно (10), будет иметь вид:

"[к] = - ^-((1 + Л, )х3 [к] + <р\к + Х\ + Лх<рх [/г]),

(20)

(21)

(22)

а объект (20) на Ц/\к\= 0 будет описываться, согласно (11) при учете (20), (21), векторным разностным уравнением второго порядка:

х'[к + 1] =

1

sin-xJÄ:]

*'[*]-

u *,[*]

Введя вторую макропеременную

Ч/2[к] = Х2[к] +(р2[к],

о

То

<Р\ [к]

(23)

(24)

согласно (15), получим выражение для промежуточного управления

Ф,Ш:

<Р\[к) = ~г(то 8ШХ,[Л] + (1 + /12)х2[А:) + ^2[/с + 1] + Я2^2[А-]) (25)

-*0

и, используя (17), получим уравнение объекта на V)/2 [А] = 0:

•х1[^ +1] = -Хх[к]-Т0(р2[к]. (26)

Функцию (р-, [/г] необходимо выбрать из условия устойчивости уравнения (26):

1-г0:

<р2[к\

х, [к]

<1.

(27)

Если выбрать = & -Х1 £/г ], то условие (27) примет следующий

простейший вид:

0<£Г0<2, (28)

а уравнение (22) для управления и[к] при учете (25) можно записать в виде

т=-4-((1 - - г^+лл - Л,(1+Яг))х,[Аг] -

*0

ЦтЧ*! ЦА^[Л]-^Г“ПЛ1[Л]- (29)

*0 “*0 *0

8ш(х,[&] + Г0х2 [Аг]).

Условием асимптотической устойчивости системы (19), (29) будет условие (28)и

|Л|<1,

3 1 <30)

\Ц < 1-

Результаты моделирования замкнутой дискретно-непрерьшной системы (19), (29) приведены на рисунке при следующих параметрах:

# = 1; Л, = -02; Я, = -0.4; Г0 = 0.1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. Таганрог: ТРТУ, М.: Энергоатом-издат, 1994.

2. Колесников A.A. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987.

3. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

УДК 621.372.54

А.И. Каляким, С.Г. Крутчинский

АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ

СИГНАЛОВ

Интенсивное внедрение цифровых методов обработки сигналов в системе связи, диагностики и управления в значительной мере сдерживается отсутствием развитых интерфейсных устройств предварительного' преобразования аналоговых величин. В первую очередь, это связано с производительностью центрального процессорного элемента и входного АЦП. Так, сигнальные процессоры типа TMS 320 С25, выполненные по микронной технологии, обеспечивают устойчивую работу с аналоговыми сигналами до 100 кГц, и только их субмикронные аналоги TMS 320 С50 увеличивают этот показатель до 2 МГц [1]. Существующие внешние БИС типа TLC решают задачи ограничения спектра и аналого-цифрового преобразования без инициализации, поэтому область их практического применения весьма ограничена.

В настоящей работе предлагается концепция инициализируемых кристаллов-сателлитов, решающих широкий спектр задачи предварительной обработки аналоговых сигналов. Совместно с интерфейсом памяти и цифровым процессором эти ИС Образуют гибридную систему, изображенную на рисунке.

В основу построения этой системы положена идеология максимально возможной разгрузки цифрового процессора сигналов. Предполагается, что интерфейсные инициализируемые ИС будут с высокой