CC BY
67
РАЗДЕЛ И.
ОБЩИЕ ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ИЕРАРХИЗАЦИИ И АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕГУЛЯТОРОВ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Большинство объектов управления многих современных технических комплексов - это электромеханические системы (ЭМС), отличительными свойствами которых являются многосвязность, многомерность и нелинейность. Традиционно при конструировании систем управлении (СУ) ЭМС используется подход, базирующийся на принципах подчиненного регулирования [1-3], который не позволял до сих пор создать высокоэффективные методы проектирования этих систем с учетом указанных свойств моделей ЭМС, описывающих их поведение. Причинами сложившегося положения с проблемой взаимосвязанного управления ЭМС являются, во-первых, ущербность линеаризационного подхода, доминирующего в существующей теории управления, что привело к эффекту «боязни нелинейностей» у проектировщиков, и, во-вторых, существующая консервативная традиция, которая сводит большинство задач управления, в частности путем «компенсации» нелинейных взаимодействий, к одноканальной схеме слежения. Эти обстоятельства затормозили развитие теории многосвязного управления, тем более применительно к таким сложным нелинейным объектам, какими являются ЭМС. В то же время колоссальный прогресс современной микропроцессорной техники привел к возможности программной реализации весьма сложных законов управления. В этой связи для решения важной проблемы
А.А. Колесников, Г.Е. Веселов
Таганрогский государственный радиотехнический университет
Введение
эффективных ЭМС возникает существенная необходимость разработки —дов синтеза многосвязных СУ ЭМС с использованием их полных нели-моделей движения. Предлагаемый в данной статье подход к проектированию 1еских СУ многосвязными ЭМС основывается на принципах синергетиче-зии управления [4].
1. Принцип иерархизации
ри изучении сложных многомерных и многосвязных систем необходимо опе-вать с большим числом координат состояния. Их количество может оказаться ь значительным, что проблема синтеза таких систем известными методами ста-тся практически необозримой и, следовательно, неразрешимой. В этом, соглас-. Веллману, и состоит «проклятие размерности», довлеющее над современной ой, в том числе и над теорией управления. В природных же системах, судя по
■у, такое «проклятие» отсутствует, иначе бы они не существовали. И разреша-оно в виде принципа иерархизации, согласно которому любая сложная система )ит из некоторой.совокупности локальных систем, каждая из которых, в свою
■едь, включает в себя энерговещественную (т.е. динамическую, или силовую) формационную, или управляющую, подсистемы, находящиеся друг с другом жом взаимодействии. Иначе говоря, на общем энергетическом фоне силовой
■шики поведение сложной системы, находящейся в изменяющейся внешней сре-[удет также определяться и ее информационными свойствами. Добавление к гетической компоненте системы ее информационной составляющей расширяет область фазового пространства ее устойчивого существования. Информационная составляющая такой системы связана с ее целью и во многом определяется структурой формируемых обратных связей, а энергетическая, или силовая, составляющая создает основу для ее информационного поведения [5, 6].
В свою очередь, каждая из указанных локальных систем, входящих в общую макросистему, может содержать несколько уровней иерархии, когда на более высокий уровень поступает некоторая обобщенная информация, а на низших уровнях эта информация конкретизируется. Пользуясь биологическим языком, объект более высокого уровня иерархии выступает по отношению к объекту более низкого уровня как род к виду [7]. Очевидно, что повышение статуса объекта в иерархии общей макросистемы ведет к соответствующему увеличению числа его степеней свободы, т.е. к расширению фазового пространства системы путем, например, перевода ряда ее существенных показателей и параметров в разряд новых переменных. Другими словами, для преодоления «проклятия размерности» необходимо, согласно синергетическому принципу «расширения - сжатия» фазового пространства, выдвинутому в
[4], уметь рассматривать систему в пространстве с большим числом координат. Очевидно, что такое расширение должно производится с учетом целей - аттракторов, поставленных перед синтезируемой системой.
Удивительно, что предложенный в [4] принцип «расширения - сжатия» фазового пространства в недавно опубликованной книге [7] положен, по существу, в основу науки о решении изобретательских проблем. В этой книге приведены примеры высокой эффективности указанного общего принципа.
Итак, сложные макросистемы необходимо рассматривать в виде некоторой юрархической макросистемы, динамика которой на каждом уровне иерархии опи-ывается динамикой подсистем с переменными и параметрами, соответствующими [анному конкретному уровню [5]. На каждом таком иерархическом уровне макро-истема имеет свои инварианты - локальные цели.
Тогда, в целом, синтезируемая система будет иметь иерархическую структуру, пределяемую как совокупность взаимосвязанных естественных и искусственно вво-
димых инвариантов. Именно по такой схеме построена процедура синтеза систем методом аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР): вводимая макропеременная ф$ (V'i, • ■ ■ , фт), обладающая «коллективными свойствами» динамики, несет обобщенную информацию, т.е. является иерархической переменной и, следовательно, определяет свойство «рода» [7]. Входящие же в нее локальные переменные Ipl, ■ ■ . , фт несут информацию более низкого уровня. При этом финишное многообразие фт = 0 является целевым, непосредственно отражающим желаемые технологические инварианты синтезируемой системы. Отсюда следует, что по мере перехода изображающей точки системы от одного многообразия к другому в направлении финишного многообразия происходит существенное уменьшение ее числа степеней свободы. Каждый более высокий уровень иерархии управляет динамикой более низкого уровня, от которого он получает селективную информацию.
Согласно методу АКАР, макропеременная ф5{ф\,... .фт) представляет собой иерархическую функцию состояния синтезируемой системы, а ее изменения во времени суть полные дифференциалы. Это означает, что, с одной стороны, функция ф8 несет информацию о текущем состоянии динамической системы, а с другой - она отражает энергию системы. Иначе говоря,ф8 (ф\,... ,фт) для каждой синтезируемой системы является некоторой обобщенной энергоинформационной функцией, отражающей ее макроскопические свойства. Через ф8 соответствующая система несет информацию о себе самой и тем самым физически реализуется.
В соответствии с методом АКАР в состав фе входит некоторая совокупность локальных переменных -01,... , фт понижающейся размерности. Эти переменные формируют некоторые инвариантные многообразия фк{хъ • • • , хп) — 0, в которые входят желаемые инварианты системы на соответствующем уровне ее иерархии. Равновесные состояния фк = 0 представляют собой выделенные энергоинформационные состояния в фазовом пространстве синтезируемой системы, а переход по ступеням иерархии фг = 0,... , фт = 0 связан с «забыванием» системой своего прошлого. В целом, этот иерархический ряд описывает энергоинформационную характеристику протекающих в системе процессов.
Такое протекание можно представить в виде следующей цепочки: а) возникновение той или иной случайной выборки начальных условий как результат взаимодействия системы с внешней средой; б) формирование текущих переменных ф\,... , фт как следствие действия начальных условий на динамику системы; в) образование устойчивых состояний фк — 0 и инвариантов системы. Выделенные состояния фк = 0 - инвариантные многообразия образуют каркас и структуру синтезируемой системы. Формирование этих многообразий непосредственно связано с выбором цели функционирования иерархической системы, фазовое пространство которой будет состоять из областей притяжения к соответствующим аттракторам.
Итак, согласно методу АКАР, в основе теории построения иерархических систем лежит принцип «расширения-сжатия» фазового пространства, т.е. принцип динамизации, когда каждая из локальных систем, входящих в общую макросистему, преобразуется в управляемую на своем уровне иерархии, точнее, на своем многообразии.
Указанный основополагающий принцип реализуется в полной мере в методе АКАР путем введения желаемой совокупности инвариантных многообразий. При этом структура и уровень целесообразной сложности синтезируемой системы определяются как выбором вида соответствующих инвариантных многообразий Ф1 =
О,... ,фт = 0, так и структурой функциональных уравнений, которые связывают между собой вводимые инварианты. При таком подходе к построению иерархической системы ее поведение на каждом уровне иерархии будет описываться вполне обозримым количеством координат и уравнений на соответствующих многообразиях, которые формируют желаемые соотношения между компонентами системы. Указанные описания будут асимптотически вкладываться друг в друга, формируя взаимосвязанную динамику системы в целом. Очевидно, что чем в большей мере вво-
многообразия и инварианты соответствуют природе соответствующих объ-, тем эффективнее будут энергоинформационные процессы в иерархической * е. Иначе говоря, введение инвариантных многообразий позволяет наделить ическую систему важным свойством «разложимости», когда при изучении лия такой системы на соответствующем иерархическом уровне можно почти остью пренебречь влиянием «верхних» и «нижних» подсистем [5].
Таким образом, синергетический подход позволяет существенно продвинуться решении проблемы изучения процессов иерархического расслоения сложных си-а также процессов управления динамикой таких иерархически организован-систем. Сущность нового подхода к исследованию проблем управления и ин-рмации в иерархических системах состоит в идее самоорганизации - образовании в пространстве состояний этих систем совокупности аттракторов (синергий), т.е. некоторых притягивающих множеств. В основе таких систем лежит информа-ионная динамика, отличительная особенность которой состоит не в значительных -тратах энергии на управление, как это обычно осуществляется в классической рии управления, а в использовании информации о возможных вариантах асим-ически устойчивых состояний движения систем и в способах перехода в такие тояния. Очевидно, что реальная нелинейная система той или иной физической ироды может обладать многими асимптотически устойчивыми состояниями, кото-м будут соответствовать свои области перемежаемости траекторий с различным амическим поведением. Отсюда следует, что для перевода системы в желаемый гмптотический режим движения достаточно иметь лишь информацию о том, к ому аттрактору относится в данный момент времени соответствующая траекто-системы. Другими словами, управление будет сводиться к «подкорректировке» стемы и, следовательно, к ее удержанию на желаемом семействе асимптотиче-устойчивых траекторий. Такого рода информационное управление динамикой •жных макросистем требует не столько значительных энергетических затрат на авление, а информации о «метке» траектории. В синергетическом подходе роль “анной метки выполняют динамические макропеременные (синергетические ин-рматоры), формирующие желаемые инвариантные многообразия - аттракторы тем.
Применение метода АКАР для синтеза иерархических систем управления имеет дующие отличительные особенности:
• каскадный синтез иерархических законов управления осуществляется полностью аналитически, т.е. эти законы формируются в виде функций координат состояния системы без проведения каких-либо численных процедур;
• структуры и параметры синтезируемых законов управления, согласно принципу достаточного разнообразия У. Эшби, полностью соответствуют структуре и параметрам правых частей исходных дифференциальных уравнений объекта управления. Область действия этих законов охватывает, по меньшей мере, всю область фазового пространства, адекватно описываемую математической моделью объекта, т.е. чем полнее эта модель, тем эффективнее действие законов управления;
• внешний иерархический закон управления - это закон-координатор для каждого из последующих локальных законов-исполнителей, связанных, в свою очередь, между собой некоторой иерархической подчиненностью, определяемой числом и видом вводимых инвариантных многообразий. Другими словами, внешний регулятор-координатор отвечает за достижение целей, поставленных перед иерархической системой управления в виде совокупности желаемых аттракторов. Этот регулятор выдает задания регуляторам-исполнителям, обеспечивающим выполнение локальных целей - аттракторов на соответствующих инвариантных многообразиях. Целесообразно, чтобы локальные регуляторы-исполнители находились между собой в партнерских отношениях, направлен-
ных на достижение главных целей иерархической системы, которая в резулі тате будет состоять из взаимодействующих локальных подсистем, также обла дающих иерархической структурой; .1
• синтезируемые иерархические системы управления обладают замечательным
свойствами асимптотической и экспоненциальной устойчивости в целом отш сительно целевых инвариантных многообразий. Это означает, что если по действием «внутренних» управлений, реализуемых локальными регуляторі ми, движение изображающей точки (ИТ) вдоль целевых многообразий та же обладает указанными свойствами, то и вся иерархическая система буд( асимптотически устойчива в целом относительно заданных значений всех < координат состояния или их желаемых соотношений. Из теории устойчиво« известно, что асимптотическая устойчивость доставляет системе важное і практике свойство грубости (робастности) переходных процессов к вариации ее уравнений и, следовательно, параметров; >]
• описанные свойства синтезируемых иерархических систем позволяют нем ко осуществить структурное упрощение законов управления на инварианту многообразиях. Дело в том, что в теории устойчивости Ляпунова известна 1 орема, согласно которой об устойчивости нелинейной системы
Суть этой теоремы состоит в следующем определении: в области притяжения ис-1 ходной нелинейной системы достаточным условием ее асимптотической устойчиво-1 сти относительно нулевых решений Хк — 0 является отрицательность вещественных I частей корней характеристического уравнения системы первого приближения. Соб-1 ственно говоря, эта теорема послужила своего рода оправданием доминирующей в I классической теории автоматического регулирования линеаризации уравнений воз-1 мущенного движения (уравнений в отклонениях), образуемых в соответствии с известной концепцией возмущенно-невозмущенного движения Ляпунова. При такой линеаризации негласно предполагается, что ИТ системы всегда находится в области притяжения исходной нелинейной системы. Однако в теории управления до сих пор отсутствуют регулярные эффективные методы отыскания этой области для нелинейных систем, тем более высокого порядка.
В методе же АКАР положение с проблемой области притяжения значительно оптимистичнее, т.к. сама идеология этого метода базируется именно на притягивающих инвариантных многообразиях и, кроме того, как подчеркивалось выше, синтезируемые системы всегда асимптотически устойчивы в целом относительно указанных многообразий. Это означает, что на последних многообразиях нередко можно осуществить упрощение декомпозированных уравнений движений и тем самым упростить структуру синтезируемых «внутренних» законов управления. На практике может оказаться достаточным использование полных нелинейных моделей движения лишь только для синтеза «внешних» иерархических законов управления, т.е. синтеза регуляторов-координаторов, гарантирующих неизбежное попадание ИТ на первые один-два последовательно вводимых инвариантных многообразий или их пересечений. Итак, сначала осуществив методом АКАР синтез иерархических законов управления по полным нелинейным моделям объектов, можно затем в зависимости от технологической области фазового пространства, определяемой изменяющимися
П
Ё»(*) = У^агкХк +Рі(хі, Х2>... , Хп) , І = 1 ,П *=1
можно судить по свойствам системы первого приближения
п
ямами работы объекта, произвести текущее упрощение этих законов без суще-‘нного ущерба для качественных свойств замкнутых систем.Такой подход можно *редукцией на многообразиях».
•ласно методу АКАР, опирающемуся на принцип «расширения-сжатия» фа-вого пространства, конечной целью построения иерархической системы управле-: является синтез ее структуры в виде желаемой совокупности естественных и „скусственно вводимых инвариантов. Такой подход позволяет коренным образом преодолеть «проклятие размерности». Более того, возможность увеличения числа ■іей свободы синтезируемой системы для требуемого совершенствования ее ка-і указывает на целесообразность формулировки обратного тезиса, а именно: аготворностпи высокой размерности» управляемых динамических систем. [Изложенный здесь принцип иерархизации позволяет кардинально продвинуть-I решении проблемы синтеза иерархических систем управления многосвязными
КС.
2. Постановка задачи
Тюбую ЭМС можно представить в виде многосвязной динамической системы, роящей из взаимодействующих подсистем 51,;, г = 1, А' (рис. 1). При проектиро-ии СУ такими ЭМС необходимо определить множество целей Ф -набор техноло-ских, электромагнитных, энергетических и др. инвариантов как для отдельных "подсистем, так и для всей системы в целом, выполнение которого должна обеспечивать синтезируемая система. Это множество можно представить в виде иерархической структуры подчинения целей, т.е. разбить его на некоторое количество подмножеств Х^, 1 — 1 ,М, состоящих из целей для конкретной подсистемы, либо для группы подсистем <3ч, г = 1,£, либо для всей системы в целом (рис. 2), при этом
м
І=1
(1)
.......
^Нкодимо вырабатывать соответствующее множество решений Е, которое анало-Ргачно (1) состоит из подмножеств решений Д ^, равенство
j = 1,М, для которых справедливо
м
ид, = н.
і=і
(2)
Гаким образом, каждому подмножеству целей ] — 1 ,М СУ ставит в соответствие подмножество решений Д^-, ] = 1 ,М. Подмножества Е_,, ] = 1,М и
Система управления I
Рис. 1. Структура иерархической системы
Рис. 2. Иерархическая структура подчинения целей
А], j = 1 ,М разделяются на группы Gj,j — 1,Ь, соответствующие определенн* му уровню сложности принятия решения (см. рис. 2) [8], т.е. сложная пробле' принятия решений (2) для выполнения множества целей (1) разбивается на груп последовательно расположенных более простых подмножеств и Aj, так что ре~ ние более простых задач обеспечивает в совокупности решение исходного множест проблем (1).
Исследованию и синтезу иерархическ' систем управления посвящено большое ко чество литературы [8-11 и др.]. Отличит-ной особенностью предлагаемого подхода синтезу таких систем является то, что, первых, применение синергетической ИД' логии позволяет провести естественную намическую декомпозицию сложной не нейной многосвязной системы на множес подсистем; во-вторых, в результате сине гетического синтеза каждая из подсисте или групп подсистем, «погружается» на 1 ресечение соответствующих локальных а тракторов - инвариантных многообрази отражающих конкретное подмножество лей а вся система в целом «погружается» в глобальный аттрактор (рис. 3), соответствующий исходному множеству целей (1); и, в-третьих, на более высоко уровне сложности принятия решений учитывается поведение подсистем, находящи ся на нижних уровнях, в виде уравнений, описывающих их «остаточную динамику
- поведение на локальных аттракторах (инвариантных многообразиях).
Рис. 3. Структура поглощения аттракторов
3. Основные этапы синтеза
Рассмотрим основные этапы синтеза иерархических систем управления ЭМ Большинство ЭМС представляют собой двухуровневую систему, состоящую из г нераторов момента - электро-, гидро- и пневмоприводов, т.е. подсистем приводов, механической подсистемы. В рамках этой статьи ограничимся рассмотрением именно таких подсистем, так как они являются типичными и обладают всеми наиболее существенными характеристиками многоуровневых систем,при этом более сложные макросистемы могут быть построены из двухуровневых подсистем, как из модулей^]. Пусть поведение механической подсистемы ЭМС описывается следующим векторным дифференциальным уравнением:
5^ : х(і) = А(х)х -+■ В(х)М + Н(х,Г)Г; у = С(х)х,
(3)
где х € Г?" - вектор состояния механической подсистемы; у € И” - вектор выхода; М € - вектор моментов сил подсистем приводов, действующих на ме-
ханическую подсистему; { € ^ - вектор возмущающих сил; А(х),В(х), С(х) и Н(х, Г) - функциональные матрицы состояния, входа, выхода и возмущения размерности п х п,п х ^ — 1),г х п ип х $ соответственно. Причем поведение каждой из подсистем приводов описывается уравнениями
г{і) + Р(і) (жМ) и<*> + і = 1.ЛГ- І,
(Л £ К’*: - вектор состояния подсистемы приводов; М3 - выходная переменяй подсистемы, т.е. ее момент; 6 - вектор управляющих воздействий
системы; М\з] - статический момент нагрузки, действующий на ]-ю подси-приводов; Ы'-’1), (г^1) - матрицы состояния и входа размерности
■ и ^ х соответственно; - матрица-столбец; с!^ (г^) - матрица-строка да.
Синтез иерархических регуляторов ЭМС (3), (4) можно проводить как для си-мы, работающей в непрерывном времени, так и в дискретном. Во втором случае фференциальные уравнения (3) и (4) необходимо представить в разностной фор-
е, аппроксимировав дифференциальный оператор ~ разностным -^у, где Т( ~аг дискретизации по времени в ;/-й подсистеме. Тогда получим:
5^ : х[* + 1] = А(х[*])х[А:] + В(х[*])М[*] + Н(х[*], ОД)ОД; уИ = С(х[&])х[А;],
(Л
(5)
: яи)[к + 1] = к’0) хи)[к] + Р(і) и«)[*] +
МДк] = <і(і) ; = 1,ЛГ
1,
(6)
А (х[Аг]) = Р + Го^А (х[*]); = I"' + Г0^> (г(%]); Ри) {ги)[к)) =
рМ ; Р, I14 - единичные матрицы размерности т] х г] и ^ х Системы
авнений (5) и (6) описывают поведение ЭМС в дискретные моменты времени = кЦ, /г = 1,2,3...., ^ = ТТЖ На первом этапе синтеза определим подмножества целей - инвариантов для под-стем нижнего уровня. В эти подмножества должны входить, в первую очередь, арианты, обеспечивающие выполнение конечной задачи управления - техноло-есте инварианты, а также инварианты, которые задают выполнение в синтези-емых системах управления подобъектами 5», г = 1, N — 1 некоторых энергетиче-: или электромагнитных соотношений. При этом размерность подмножества может превышать размерность вектора управления соответствующей подси-мы 5,, г = 1, Аг - 1. На основе сформированных подмножеств 'Ej, ] = 1, Дг ~ 1 дится последовательно-параллельная совокупность инвариантных многообразий = 0, удовлетворяющих решению однородного векторного дифференциального
С?)
(£) + = О,
(7)
разностного
гр^[к + 1] 4- А^ф^Щ = О,
(8)
внений. Матрицы Л(^ таковы, что решение = 0 уравнений (7) и (8) асим-ически устойчиво.
При попадании изображающих точек подсистем 5,, і = 1, Аг - 1 в окрестность есечения соответствующей совокупности инвариантных многообразий ф^) — о едение подобъектов будет описываться декомпозированными системами уравнений пониженной размерности - уравнениями «остаточной динамики»:
(9)
или
: хМ[к + 1] = Ку) [Л],[Л:]) і^[к] + ІЗ^М/^А;]; М^[к] — я^[к}-: ї = 1,Ы — 1,
(10)1
где ¡р^ - задающее воздействие для ,;-й подсистемы. Декомпозированные модели!
подсистем приводов (9) и (10) будут иметь пониженную размерность, в частности
Т 1
равную двум, при этом вектор состояния г = \в ш] , где в - перемещение или угол,!
- скорость перемещения или угловая частота вращения, т.е. уравнения (9) ]
и
Ш
<ІІ
(10) можно представить в следующем виде:
(ІШ]
ей
(11)1
5, : в3{к + 1] = в,[к} + Т^{Щ;
¿[к + 1] = и/ОД + М[^[к}; j = 1,
N — 1.
(12)
При этом в моделях (3) и (5) моменты воздействия от подсистем приводов М = ] [М1 М2 ... Млг-1]Т входят в уравнения по соответствующим скоростям:
(ІШ
1 = -О)
сй
а^(х)х + 6^(х)М^- + Ь^(х,£)Г;
(із?
и)][к + 1] = а^ (х[£]) х[А] + (х[/г]) М^\к] + (х[&],£[/:]) ОД].
(14)
Тогда, выразив из (11), (12) моменты статической нагрузки М^\ М^[к], ] =
1, ДГ — 1 и подставив их в уравнения (13), (14) вместо соответствующих компонентов вектора М = [М\ М2 Мл'_1]Т, получим:
¿4
йі
= а^ ^х, х + (х,
,[/с + 1] = а^ ^х[к],<р^[к]^ х[А] + (х[А],ОД]) ОД].
(15)
(16)
С учетом (15), (16), математические модели для непрерывного (3) и дискретного
(5) времени механической подсистемы
Яя : х(£) = А(х, <р)х + Н(х, ^; У - С(х)х;
(17)
5дг : х[/с + 1] = А (х[к], <р[к]) х[А] + Н (х[&], ОД) ОД; у [А] = С (ОД) х[к]
(18)
описывают поведение не только самой механической подсистемы, но и подсистем приводов в области притяжения соответствующих локальных аттракторов ф^ = 0.
На этапе синтеза координирующего регулятора необходимо определить подмножество целей механической подсистемы (17), (18), на основе которого формируется
'тельно-параллельная совокупность инвариантных многообразий = О,
ряющая решению векторного дифференциального
^(Л°(*) + Л(АГ)^(лг) = 0, (19)
остного
ф^][к + \} +А^ф^Щ = 0 (20)
нений. Матрицы таковы, что решение уравнений (19), (20) асимптотически
“чиво.
ким образом, в результате синтеза иерархической СУ ЭМС находятся наборы ьных непрерывных
ии) — и(і) ^г(і) ^ ^ = 1, ТУ — 1,
(21)
зностных
и^[А] = (х^[к],1р^[к]^ , 3 = 1,ЛГ — 1, (22)
уравнений регуляторов-исполнителей, вырабатывающих совокупность подмножеств решений Дл ] - 1,М и обеспечивающих выполнение совокупности подмножеств целей Е/, 1 = 1 ,М. Кроме того, формируется также координирующий регулятор в непрерывной
фор:
разностной
<р = <р(х),
<р[к] = <р (х[/с])
(23)
(24)
формах, который вырабатывает подмножество решений Ддг, обеспечивающих выполнение подмножества целей Едт-
Следует отметить, что наборы локальных регуляторов (21), (22) могут зависеть непрерывной, или разностной, производной соответствующего задающего воздей-вия, т.е.
(25)
(26)
огда в структуру локальных регуляторов необходимо дополнительно включить ин-рполяторы задающего воздействия.
4. Синергетический синтез иерархической системы управления манипуляционным роботом
Робототехническая система (РС) состоит из двух частей: во-первых, это механи-ская система имеющая п степеней подвижности [12 - 15]:
Я” ■ рз = Мч)ч(£) + 4т(і)С:і(ц)с1(і) + ді(ч) = = Ь^(ч)ч(і) + ??> (д, я(0) = 1,
(27)
з Р] - моменты или силы, действующие в ;-й степени подвижности; Ц - п-вектор ерции; Cj ~ (п х п)-матрица центробежных и кориолисовых эффектов; gj - грационные моменты (силы); - центробежные, кориолисовы и гравитационные
силы, при этом т]] (я,я(£)) — ?т(0СДя)яМ + я € Я" - вектор обобщенных
координат механизма, я = [<71 ?2 • • ■ <7п] , соответствует ;/-й степени подвиж-
ности; и, во-вторых, система приводов 5^^, 3 — 1, N — 1. При этом ¿-я степень движности приводится в движение 5^'-приводом. В робототехнических системах качестве приводов используются электродвигатели постоянного и переменного ка, гидравлические сервоприводы и др. В общем случае математическую мод-для привода ¿-Ъ. подсистемы можно представить в виде уравнения (6). Порядок зависит от выбранной математической модели и типа привода.
На практике в РС до сих пор наиболее часто применяется привод постоян го тока, в частности двигатели с постоянным магнитным полем, управляемые току якоря. Однако электрические машины постоянного тока имеют ряд существе ных недостатков, ограничивающих их область применения в РС [16], что, в перв" очередь, связано с наличием щеточно-коллекторного узла, требующего в процес эксплуатации регулярного обслуживания. При этом искрение, возникающее на ко лекторе, не позволяет использовать роботы с такими приводами в пожароопасн местах. Следующим недостатком таких машин являются их массогабаритные р‘ меры, ухудшающие динамические свойства РС. В целом, указанные обстоятельст обуславливают необходимость применения для промышленных роботов машин пе~ менного тока, среди которых наиболее простыми, надежными и дешевыми являкг асинхронные двигатели.
В качестве примера рассмотрим систему управления трехзвенным манипуля-онным роботом 1М8-2 с исполнительными асинхронными приводами. Математич" ская модель механической части (27) записывается в следующем виде [12]:
(2
где Лі = Лі + Ла + Лз + тз(<7з + ¿з)2; к2 = т2 + т3; Л3 = т3; щ 2т3 (д3 + /3)ді(09з(0; Лі = (т2 + т3)д; щ = -т3 (д3 + /3) (д(і))2, с параметр ми: т2 = 7кг; т3 = 5,6кг; /3 = 0,45м; = 0,029кг- л<2; Jz2 — 0,055кг-
Лз = 0,32кг • .«2.
Математическая модель асинхронного двигателя ^'-й подсистемы имеет форму
й(і)
Хіва:
с?£
-72^1 + )Кырь'' + 73 \ +
¿(^) _ ^1ЛЛки)Лз) [
<іі ~ 12 °у <й вІ Р 73
7і
Т (І)
Ь-.ии).
ЗХ І
7і
Лі)
-0)
-------~ 73*1" -
СІЇ
■Фг
_ «»>&_ м<і >,
(29
где 7і
= - (
т у > '2 ’ 73 ¿(з) > 74
^77^ > ¿и) > /■» 71
- коэффициент вязкого трения; - коэффициент преобразования вращатель ного движения в поступательное. Запишем (29) в векторной форме пространств состояния 7-й подсистемы приводов:
5,- : ¿(%) = И(і) 2(^ + и^) + 8
Мі = 2.и); і = ЇД
(1')
13" - вектор пространства состояния ]-й подсистемы приводов: г[ = (¡}
скорость изменения обобщенной
« (І) щенная координата 3-й подсистемы;
наты; = Фг'* ~ потокосцепление ротора;
(Л -(Л
ь вращающейся системы координат; = %1У' ающейся системы координат;
'О 1
П а(д)
и ~7ПТ
О О
О К^р^2{5Л
о -К(Лр(Лг{^
■и)
~ Чх - проекция тока статора проекция тока статора на ось
0 0 0
0 0 з ри)И»к^ 2
) 7з 0 (і \
ж 71 ~72 А 7з фг
71 г(Л 73 % "3 3 -72
,(Я
(Л £ й2 - вектор управляющих воздействий: и'{ тора на ось х вращающейся системы координат; и2 ия статора на ось у вращающейся системы координат;
иіх
ЛЛ
проекция напряжения
,(Л
проекция напряже-
рУ) =
' 0 0 ■ " 0 ‘ 0
0 0 і 0
0 0 Ж 0 ;<1ш = 0
ь</> 0 о 0
71 _ 0 71 - 0 з ри) Ки) 2 т и) '
Поставим задачу синтеза иерархического дискретного регулятора для нелинейно многомерного объекта, динамика которого описывается уравнениями (28), (30). первом этапе проведем синтез регуляторов подсистем электроприводов. Для это-необходимо сформировать подмножества целей, для каждой из этих подсистем, ервой компонентой этих подмножеств будет обеспечение подсистемой заданного мента М] = М{сЦз1 - технологического инварианта. Из теории автоматизирован-) электропривода известно, что асинхронный двигатель развивает максимальный ‘мент при постоянстве потокосцепления ротора [17], поэтому второй компонентой (?) (?)
м условие ¿з = Фсопзь ~ электромагнитный инвариант. Таким образом, под--ожества целей для подсистем приводов будут иметь вид [18 - 20]
Е, = {М,
лііЛ ~
сот<!
(Л
з
ФЇоп^і), 3
1,3,
(31)
~ задания по моменту, поступающие от координирующего регулятора хнего уровня; ~ задания по потокосцеплению ротора двигателя, которые
изменяются в процессе работы системы.
Запишем модель (30) в разностной форме:
: г^[к + 1] = (ги)\к]) г^[к] + Ри) (г(%]) + З^М,0*;
ЇД
(32)
Так как модели подсистем приводов идентичны, то проведем синтез для одной одсистем, а результат распространим на остальные. В соответствии с синергетической теорией управления [4] введем параллельную совокупность макроперемен-[21]:
(33)
где ф^[к] £ Я2 - вектор макропеременных; г1 =
4Л]Т; Фи)
(л
Ф{2]
вектор внутренних управлений; - числовая невырожденная матрица размер сти 2x2. Параллельная совокупность макропеременных (33) должна удовлетвори решению векторного разностного уравнения
ф^ [к + 1] + А^ф^ [/г] = 0.
(34)
Здесь Л«> = (Над |д^ Л-^| ■ По окончании переходных процессов ф^ = 0 про-
ходит динамическая декомпозиция замкнутой подсистемы. Тогда движение изоб жающей точки замкнутой дискретно-непрерывной подсистемы в моменты време Ь = кТо, к = 0,1,2,... описывается разностным векторным уравнением
У(Л
!1
АЛ
-г
АЛ
[Л + 1] [* + !] [к + 1]
гр(Л
0
1 'тЦ) 1 J ~ -'о тгтт
о
0
1 гШ
1 ~ ¿0 ТУГ
1 кГ |
4Л[Щ
/Ля
' о о
|Г0Ш7з
о
з ри)И»к^ти)_(Л 5 0 о
}[к]
(35
№
№
+
1Т0
(Л
Совместное решение уравнений (33), (34) при учете разностной модели объекта (3 определяет закон управления манипуляционным роботом:
„<%] = - [*] + Л0)Ь0) (г1 [А:] + 0О)[*]) + фи)[к + 1]}, (3
где
=
71
о
71
Му) =
ш
1 - 7^72 ъП
(Л г.
(Я
:ит
0 р& -74Т0°’)4Я
23
1 - Т0°')72
Для декомпозированной модели (35) введем инвариантное многообразие, при п падании на которое в подсистеме будет обеспечиваться выполнение второй комп ненты подмножества целей (31):
Фи)[к] = ■г3,)[*;] - 'Фс Многообразие (37) удовлетворяет уравнению экстремали
ф^[к + 1] + Х^ф^[к] = 0,
1>$пн = О-
(
(38
где А«> - коэффициент. При |Л(^ | < 1 решение уравнения (38) асимптотичес устойчиво. В момент попадания изображающей точки подсистемы в окрестносг многообразия (37) происходит вторая динамическая декомпозиция, а поведение подсистемы в этой окрестности описывается следующим уравнением:
'г[Л[к + 1]'
4Л[*+1].
гр{з)
0
ОС^
-*0 7ПТ.
гР[к]
*<»[*]
тное решение уравнений (37), (38) с учетом декомпозированной модели
• выражение для внутреннего управления:
1
- т’”ш) г’”[ч+
(l +
О')
const
(40)
уравнений (39), описывающих поведение изображающей точки в окрестности чения многообразий
■ф[з) [к] = О У [*;] = 0 У гри) [к] = 0,
кно сделать вывод, что электромагнитный момент, развиваемый двигателем подсистемы, будет иметь вид
тАЩ = \Р ...........
т.е. определяться заданным значением потокосцепления ротора и проекцией тока статора на ось у вращающейся системы координат.
Таким образом, первая компонента подмножества целей (31) преобразуется к условию і^[к} = ііусоп.,і- При этом очевидно, что с учетом (33) ф^Щ = -ііусоп,(-Запишем (39) в виде уравнения второго порядка:
ф + 2] - I 2 - T^jш\ ф + 1] + ( 1 - Т( 3 0>lWk<» Um\\,w ,ш
v(i)
ля
а
(Я
J(i)
Qj [fc] +
(41)
Теперь представим математическую модель механической подсистемы (28) в раз-остной форме, аппроксимировав дифференциальный оператор разностным по фор-уле Эйлера, тогда
Pi[k] — + Jz2 + Jzз + m3 (дз[А;] + ¿3)2^
qi [A; 4- 2] — 2qi [fc + 1] + q\ [A:]
(jT)'
+
+ 2m, („[*] + h) to|t + Il4.W)fe[*+4-«№]).
(гГ)'
n m t і 'i 42[k + 2] - 2q2[k + 1] + 92 W , , , N
P2[k] = (mi + m2) ---------------------■/ /_ч2--------------------------— + (m2 + m3) g\
)
PsW = ,„а9# + 2]-Ы* + 11 + „т - m, feW + h) (ilttilrftW'
(гГ)'
риравняв М[3\к] = Р][А:], j = 1,3, получим расширенную модель механической дсистемы
a\qi[k + 2] + a\qi[k + 1] + = Ь1ф\[к)\
a\q2[k + 2] + a\q2[k + 1] + alq2[k] + al = Ъ2ф\[к]\
ajg3[A: + 2] + a|g3[fc + 1] + alq3[k] + a| = Ь3ф\[к],
(42)
где
1 (т^]) ~ (^¡¡1 + ^*2 + Лз + тз (?з[&] + Iз)2)
а; =
2-Т,
(1)
а(!) \
+
(гГ)'
^Л1 + Jz2 + Лз + т3 (д3[&] + /з)2) ~
о ^ гп , п Яз[к + 1] -ЯзЩ
2тгЫк] + к)
1 (г т(1)а{1)) -
(Т(^)Ч 2°
аз
, / ш , м Яз[к + 1] - 0з[*]
+ 2ш3 (д3[/с] + ¿3)--------------7“77ТГ2---------->
(^о )
Jzl + Л-2 + Лз + т3 (^з[/г] + ¿з)2
(г™)2
а\ =
2
а3
а2 =
т2 + т3
~2" ' Й2
! ^(2)а(2)\ , от2 +гпз,
о ^(2) / '
(тГ)’
(т^1)2 (г0|т)2’ 2 (г®)
_ т2 + т3 3 _1__________
“ (тГ)2'“1 (г<»)2'(гГ)
('Го’1)'
1 - г0(2
тп3
(т0(3>)2
(З)О^Х 2тз_. з /(3) у / /мл\2 ’ 4
т313 (<?1 [А: + 1] - Ч1[к})2
ч 9
аз =
(г0(3)У
1 — гг№) ®______
0 /(3)
,(3)^ т3 (1 - (Я1[к + 1] -91 И)2)
------- ■- -2---------; а4 = -{т2+т3)д]
(тГ)1
V
3 ри)1$КМ
’2 70) Ь1Л
Представим математическую модель (42) в форме пространства состояния механи ческой подсистемы
х[к + 1] = Г (х[Л]) + в (х[й]) фН[к], где х[А;] € Я6 - вектор пространства состояния, при этом х%[А] = дг [Л], х3[А;] = (¡'¿[к], Х5{к] = яз[%ф"[к}=[ф11\к] 42)И 43>И]Т; Г = ^2 ^4 Г5 ^6]т;
^ =.*![*] +Т0(ЛГ)*2[*]; я = -($ + 1)х2[*]; ^ = х3[к]+т^х4[к]-, Р4 -
~ + *) ~ ~Г^Ьт; ^5 = з5[Л] + Т0(ЛГ)а;6[А:];
= —
+ а2 4- а3
ТоЮа\ - (а? + а% + а|) ж6[&] - ^
Т<Л0
1о
G =
0 0 0
Si 0 . 0
0 0 0
0 92 0
0 0 0
0 0 9з
)
const
J^Lr^ f (Tq1^ (jzi + Jz2 + Jz3 + тя (#з[&] + ¿з)2) — (TqN^
-.(2)
uconst
З р^Ь(ш]К^Т(0Щ (г0(2))
2 JWL<2) ( (t0(2))2 (m2 4- m3) - (ro(iV))‘
const
3 (r0(3))
^ J(3)43) (7т0(3))2т3 - (r0(jV))
^Согласно методике синтеза, изложенной в предыдущем разделе, определим под-ожество целей для механической подсистемы (43). Поставим позиционную задачу управления манипуляционным роботом как переход из произвольных начальных состояний в заданное конечное. Тогда подмножество целей можно представить в следующем виде:
— — Xconst Y — Yc0nst Z — Zconst} •
(44)
Для расширенной модели механической подсистемы введем параллельную совокупность макропеременных, отражающих подмножество целей (44) [18, 22]:
jl[k) 4- Pi (X — Xconst) J?2 [fe] 4- 02 (У “ У const)
Із [A:] + /?з (Z — Zconst)
(45)
'X' -хь[к] sina:i[A:]
Y = f(x[fc]) = Xs[k] cos а;і [А;]
Z х3[к]
Связь между обобщенными и декартовыми координатами манипулятора определяется выражением [13]
(46)
[где .р] = [л j‘2 ¿з] = «1/ЭД ~ якобиан вектор-функции ^ (хМ)>
хЩ = [а?![А:] х3[к] х^[ЩТ, й[А:] = [¿-¿[к] хА[к] Хб[/с]]Т. Параллельная совокуп-ность макропеременных (44) должна удовлетворять решению векторного разностного уравнения
грг*[к + 1] + А"'ф"[к] = 0, (47)
где матрица Л'у такова, что решение (47) асимптотически устойчиво, сИтЛ^ = 2x2. Совместное решение уравнений (45), (47) с учетом декомпозированной модели
механической подсистемы (43) и уравнений связи (46) определяет вектор управле верхнего уровня
ф"[к] = -й1 {?[*] + 3]г[к + 1] ( /3 № + 1] - Гсо„ве) +
+ \"(3;{кЩк] + 13т
ГеопвО)) ^ 1
где'
9г 0 0‘ >У 'А' ХсопаЬ
С = 0 92 0 ; Ё[Л] = ^4 ; /? = /?2 ; ^сопзЬ — УсопаЬ
0 0 9з. ^6 Рз %с.опз1
Результаты моделирования замкнутой иерархической дискретно-непрерывно системы управления манипуляционным роботом 11М8-2 представлены на рис.
6 - переходные процессы обобщенных координат, рис. 7- 9 - переходные процессы потокосцеплений роторов двигателей, рис. 10, 11 - переходный процесс по декартовым координатам X и У, рис. 12 - графики траектории движения манипулятора в декартовой системе координат. На графиках переходных процессов приводится тр варианта траекторий движения:
• без интерполяции задающего воздействия подсистем приводов (траектория
ф{з)[к + 1] = 4?) [Щ, ^ = 173;
• с интерполятором первого порядка (траектория 2):
ф{23)[к + 1] = ^ (44з) И + - 1] - 2ф[з){к
• с интерполятором второго порядка (траектория 3):
ФР [к + 1] = 34я [к] - 3фМ [к - 1] + ф[Л [к - 2], ] = ТД
Моделирование замкнутой дискретно-непрерывной системы проводилось при
ч),
следующих параметрах двигателей: Ь
(1)
-(2)
■(3)
0,7015; 7(1> = 0,0011;
№ = 9,17; № = 14,67; а(1) = 0,006; а(2> = 75; о№ - 120; р(1> = р<2) К(1) - 1; к(2) _ к(з) = 100;
п(3)
Д1)
■(1)
—
-0,8;
ХсопзЬ
(2)
Ь(£ = 0,624;£
(г)
= г™
Г(3) .
* 5
-(3) _
„(1)
грИ)
о
1. ,/,0)
= 0,002; pj 0,3; Усоп«4 = 0,5; %сопаЬ
(2) __ г 8 — ".
0,7; А«) = 0,7; =
0,1;То(Л° =0,02;
г<2)
2;
= 16,39; тг 0,663 и регуляторов: А^ 3 2
г^.3) = 15,08; (Я
3 4
-0,4 0 0
Л" = 0 -0,4 0
0 0 -0,4
Представленные на этих рисунках результаты моделирования дают основание сделать вывод о том, что синтезированная иерархическая система управления манипуляционным роботом иМБ-2 с асинхронными электроприводами обеспечивает выполнение заданных технологических режимов работы во всей области допустимых значений рабочих координат. При этом следует отметить, что на нижнем уровне управления применение интерполяторов необязательно, т.к. это не приводит к существенному изменению характера движения рабочего органа манипулятора в пространстве декартовых координат и не оказывает практического влияния на вид переходных процессов координат состояния подсистем нижнего уровня.
е
Рис. 4. Переходный процесс первой обобщенной координаты
Рис. 5. Переходный процесс второй обобщенной координаты
Рис. 6. Переходный процесс третьей обобщенной координаты
Рис. 7. Переходный процесс потокосцепления двигателя первой степени подвижности
Рис. 8. Переходный процесс потокосцепления двигателя второй степени подвижности
Рис. 9. Переходный процесс потокосцепления двигателя третьей степени подвижности
Рис. 10. Переходный процесс по координате X
Рис. 11. Переходный процесс по координате У
Рис. 12. Движение рабочего органа манипулятора в пространстве декартовых коор
Рассмотренная и эффективно решенная здесь проблема синтеза векторных гуляторов для манипуляционных роботов в полной нелинейной постановке им важное самостоятельное научно-техническое значение и до сих пор не была реш известными методами современной теории управления.
Литература
1. Башарин A.B., Новиков В.А., Соколовский Г.Г. Управление электропривод Л.: Энергоиздат, 1982.
2. Борцов Ю.А., Поляхов Н.Д., Путов В.В. Электромеханические системы с тивным и модальным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1984.
3. Борцов Ю.А., Соколовский Г.Г. Автоматизированный электропривод с у гими связями. СПб.: Энергоатомиздат, 1992.
4. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиз 1994.
5. Николис Дж. Динамика иерархических систем. М.: Мир, 1989.
6. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: УФН, 1997.
7. Лабковский Б.А. Наука изобретать. СПб.: Нордмет-Издат, 2000.
8. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневь систем. М.: Мир, 1973.
9. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем: Дифференциалы! геометрический подход. М.: Наука, 1997.
10. Попков Ю.С. Теория макросистем (равновесные модели). М.: Эдитори" УРСС, 1999.
11. Алиев P.A., Либерзон М.И. Методы и алгоритмы координации в промышле ных системах. М.: Радио и связь, 1987.
12. Вукобратович М., Стокич Д. Управление манипуляционными роботами: те рия и приложения. М.: Наука, 1985.
13. Вукобратович М., Стокич Д., Кирчански Н. Неадаптивное и адаптивное упр ление манипуляционными роботами. М.: Мир, 1989.
14. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника. М.: Мир, 1989.
15. Зенкевич С.Л., Ющенко A.C. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
16. Сафонов Ю.М. Электроприводы промышленных роботов. М.: Энергоатомизат, 1990.
17. Чиликин М.Г., Ключев В.И., Сандлер A.C. Теория автоматизированного электропривода. М.: Энергия, 1979.
‘ников A.A., Веселов Г.Е., Попов A.H., Колесников Ал.А., Кузьменко A.A. Синергетическое управление нелинейными электромеханическими системами. М.: Испо-Сервис, 2000.
Колесников A.A., Веселов Г.Е., Попов A.H., Колесников Ал.А. Синергетическая теория управления взаимосвязанными электромеханическими системами. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000.
Веселов Г.Е., Колесников Ал.А. Синергетический синтез векторных регуляторов нелинейных асинхронных электроприводов//Синтез алгоритмов сложных систем. Москва Таганрог, 1997. Вып. 9. С. 108-122.
Веселов Г.Е. Аналитическое конструирование агрегированных дискретных регуляторов на основе последовательно-параллельной совокупности инвариантных многообразий//Новые концепции общей теории управления. Под ред. A.A. Красовского. Москва Таганрог: ТРТУ, 1995. C.14V151.
22. Колесников A.A., Пшихопов В.Х. Аналитический синтез нелинейных регуляторов позиционного управления манипуляционными роботами// Синтез алгоритмов сложных систем. Таганрог: ТРТИ, 1992. Вып. 8. С. 3-11.
Сопровождающие оптимизирующие ФУНКЦИОНАЛЫ В ЗАДАЧАХ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ АГРЕГИРОВАННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
A.A. Колесников*, В.А. Терехов**, И.Ю. Тюкин**
^Таганрогский государственный радиотехнический университет ♦♦Санкт-Петербургский государственный электротехничекий университет
Введение
В статье рассматривается математическая процедура синтеза регуляторов для линейных объектов управления. В основе этой процедуры лежит выдвинутая в идея построения регуляторов с использованием макроинформации о поведении стемы - агрегированных макропеременных. Вводимые в рассмотрение макропе-иенные соответствуют желаемым состояниям системы. Множество функциональ-Ьх макропеременных определяет возможные «виртуальные» и результирующую руктуры динамических систем управления в процессе их эволюции. Подобная "идея синтеза наиболее полно и последовательно реализована в методе аналитического конструирования нелинейных агрегированных регуляторов (АКАР) [1]. Целесообразно провести дополнительные исследования условий существования оптимального закона управления, в том числе условий существования не единственного решения задачи синтеза агрегированного регулятора и условий грубости полученного по методу АКАР закона управления.
II. Постановка задачи
Пусть объект управления задан системой уравнений
I х(*) = Г(х,и); х0 € Пх,
(і)
