О конфигурациях классических полей Янга-Миллса, обладающих топологическим зарядом k=4 Текст научной статьи по специальности «Математика»

О конфигурациях классических полей Янга-Миллса, обладающих топологическим зарядом k = 4

В. И. Иноземцев1,а, П. Н. Сысоев2,6

1 Объединенный институт ядерных исследований.

Россия, 141980, Московская обл., г. Дубна, ул. Жолио-Кюри, д. 6.

2 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра квантовой статистики и теории поля. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

E-mail: а [email protected], ь[email protected]

Статья поступила 07.09.2011, подписана в печать 12.01.2012

Обсуждаются решения нелинейного матричного уравнении в конструкции Атьи-Хитчина-Дрин-фельда-Манина (АХДМ), определяющие самодуальные поля Янга-Миллса с топологическим зарядом k = 4 для симплектических калибровочных групп. В случае групп Sp(п), п> 2, может быть использован способ, примененный ранее для построения конфигураций полей с k = 3. Для группы SU(2) = Sp(l) показано, что матрица АХДМ может быть построена по решениям кубического уравнения с коэффициентами, зависящими от 8k - 3 параметров.

Ключевые слова: самодуальные поля Янга-Миллса, симплектические калибровочные группы.

УДК: 530.24. PACS: ll.25.Db, ll.15.-q.

Введение

Описание всех мультиинстантонных конфигураций классических полей Янга-Миллса с данным топологическим зарядом К = - jg^j lSp{FllvF*v)dAx, как было показано в работе Атьи, Хитчина, Дринфельда и Мани-на (АХДМ) [1], может быть достигнуто путем исследования чисто алгебраической нелинейной проблемы. Все решения уравнений дуальности FiiV = ±F*V для произвольных компактных калибровочных групп, не имеющие (с точностью до калибровочных преобразований) сингулярных особенностей в R4, согласно [1], допускают представление в виде

А,Лх) = Ы*(х)д,Ы(х), N+N = I, (1)

где N — матрица, размеры которой определяются калибровочной группой и числом к. Для симплектических групп Sp(rt) (в частности, для SU(2) = Sp(l)) структура этой матрицы наиболее проста [2]: iV — матрица кватернионов (n + k)xn, являющаяся решением линейного уравнения

N+M(x) = 0, (2)

где М — матрица кватернионов (n + k)xk, линейно зависящая от кватерниона x = x0-iirx (о- — матрицы Паули):

М = В^Сх. (3)

Для любых значений х матрица М должна удовлетворять нелинейному соотношению [1]

М+М = г (je), (4)

где г(х) — матрица вещественных чисел размером kxk, обладающая обратной всюду в R4, за исключением конечного числа точек {ха}. Инвариантность соотношений (2), (4) и потенциала Äß (1) относительно линейных преобразований (3) позволяет привести М к канонической форме [3]:

Сц = 0, /5$ п; Сц = Si-nj, I > я; ^

Вц = Bj+rt^i—rt, i fl,

т. е. совокупность последних & строк матрицы В является симметричной матрицей В,-.. 1^/, При использовании обозначения Щ = Вц, 1 ^ / ^ и, соотношение (4) можно представить в виде нелинейных уравнений, связывающих Щ и В,;:

В+В + д+д = г, (6)

где г — вещественная матрица; д, В определены с точностью до преобразований

В -}• О+ВО, д^дО, (7)

Здесь О — произвольная вещественная ортогональная матрица, 5 е Эр(п). В описанной выше конструкции АХДМ поле А^х), соответствующее произвольной мультиинстантонной конфигурации, можно построить по матрице В посредством стандартных операций линейной алгебры. Для приложений в квантовой теории (вычисления пропагаторов скалярных и фермионных полей в присутствии инстантонов [3, 4], детерминантов линейных операторов, возникающих при оценках функциональных интегралов [5]) необходимо найти решения системы (6), позволяющие определить явную зависимость Ы^х), А^х) от параметров конфигураций ^-инстантонов.

Общее решение (6) для произвольных к (содержащее физических параметров для 81/(2)) до настоящего времени не построено [2]. Наиболее простыми частными решениями являются -параметрический анзац т'Хоофта, для которого В,7} — диагональная и вещественная матрицы соответственно, и его расширение посредством конформных преобразований [6] до многообразия размерности (5к + 4). Известно также общее решение при к = 3 и асимптотическое разложение для произвольных к, применимое в пределе больших расстояний между инстантонами [3].

33 ВМУ. Физика. Астрономия. М 1

В настоящей работе показано, каким образом можно построить общее решение (6) в случае к = 4. При этом наибольшие трудности возникают для группы 81/(2); при п ^ 2 для нахождения решений (6) может быть использован способ [3], предложенный для анализа (6) в случае к = 3. Указывается также сравнительно простой набор матриц {В,7}} для произвольных к^ 2, зависящих от (4к + 3) параметров и не входящих в анзац т'Хоофта.

Определение матриц В, <у

Условие вещественности матрицы В В — ?/ с] можно записать в следующей форме:

п к

£([<?«, &/] \в:.в:\ ^{Ь, В}ц = о,

5=1 1=1

1 (8)

где введены обозначения 71 = q - ia■Q, В = Ь-1сгВ; q, (}, Ь, В — вещественные матрицы, {Ь,В} = = ЬВ + ВЬ. Преобразованиями (7) матрица Ь всегда может быть приведена к диагональному виду, а q, Q — к квазитреугольному:

Ьц = Ь15ц, Ци = 0, 8>к+\^1, =

О)

При рассмотрении решений (8) для группы 811 (2) будем опускать первый индекс у элементов матриц q, полагая дц = ф, = (2г (отметим, что, согласно (9), <?А = 0).

Поскольку векторы {Д/} образуют набор, входящий в систему (8) линейно, выделим из матриц В диагональные части

Вц=¥15ц + Хц, Хи = 0. (10)

Величины {Гприсутствуют в (8) лишь в виде разностей Г; — Г,-, — Ь/. Вводя обозначение

г: ^ У: - У,. г1 = Ь1-Ьк, (И)

представим систему (8) при к = 4 для группы 81/(2) в виде

</-1 <?1 + [гх, Хи] - гхХи + Жх = 0,

+ [г2, Х24] - г2Х24 + \¥2 = 0. (8а)

«/-!(?, + \гл. Х34] - 23Х34 + \¥л = 0.

[<?ь<?з]-?1<?з + ?з<?1 +

+ \2Х -Ж3,Х13] - (2! - 23)Х+Г13 = 0,

[<?2, <?3] - <?2<?3 + <?3<?2 +

+ - Zз, Х23] - (22 - 23)Х2+з Г23 = 0, (8Ь) ЮьОг] -?102 + ?2<?1 +

+ - (2! - 22)Х+Г12 = 0,

где

W; = / = 1,2,3, Та = ^[Хч,Хц].

i=i

i=i

(¡2, ql, /=1,2,3 [3]. При к = 4 число элементов матриц q, Ь, В, подлежащих определению посредством (8а), (8Ь) через остальные, составляет 18. Выбор девяти из них очевиден: согласно (8а),

а1 = а?{[Хц,г1\+г1Хц-ЧГ1), / = 1,2,3. (12)

Основную трудность представляет выделение такого набора остальных 9 элементов, для которого степень алгебраических уравнений подсистемы (8Ь) с учетом соотношений (12) является минимальной. Заметим, что включение в этот набор любого из элементов матрицы X приводит к уравнениям выше 5-й степени, поэтому его следует составить из 2г, ф.

Покажем, что набор 21,2^1} может быть

определен посредством решения алгебраического уравнения 3-й степени. Действительно, поскольку <2з не содержит элементов набора, первые два уравнения (8Ь) с учетом (12) линейны относительно 2\, Х2 и обладают одинаковой структурой:

[д3[г7,ь7]] + [с7,г7] = д^7+с17г7+е7, 7=1,2, (13)

где

67 = (

с7 = '-Ï--1 — Хф,

d = Xl3 - q3qA lXl4 + q4 1 [Q3X74],

е7 = - Г7g + [Z3JT73] + ?з?4"1 W ~ С1 Юз W-A.

Решение уравнения [а[6г]] + [cz\ = d может быть записано в виде

Z(a, 6, с, d) = [(abf + c2Yl x

х ^d(ab) - [cd] + {c(cd x с2 + ad x cb x ab + + cd x (abc) - cb x (acd)) + (b(ab) — [c6]) x x (ac x cd + ad x (ab)2 — ab x (acd))} x

x (c2 x ab - ac x bc + ab x (abc)) 1 j.

Для простоты здесь и далее используется обозначение (abc) = а х [6с].

Таким образом, зависимость векторов Z\,Z2 от остальных величин набора z\, z2, q\ линейна:

Z1 = L1z1 +М1 +N1qi, 7=1,2, (13a)

где

Подсистема (8Ь) при (}3 = 0 соответствует случаю к = 3; ее решение может быть легко найдено, если в качестве девяти неизвестных величин выбрать 01,

Х7 = Z(Q3, Ь.. Су,

т=г«}3,ЬиСи<}3), N2 = 0,

м{ =г«}3,Ь1,с1,е1), М2 = г((>3,Ь2,с2,е2 + д^2).

Согласно (12), в такой же форме могут быть представлены и векторы

Р-у = ?4 1 (Ху4 + £7]),

= Ча1 [-Х'-. 4-Л^..).

(12а)

Подстановка (12а), (13а) в последнее из уравнений (8Ь) позволяет определить систему уравнений второго порядка для 21, 22, :

А 12122 + Ц^\Х2 = А221 + +522 + (8с)

где

А, = [РХР2\,

А2 = [^12^1] Х\2 — 92-^*1 "I//, - \8ХР,\^Р,.

= + *2 + [ХМ - q2S^, 8=[Ь2Х12] + [Р2Я1]-Х12, 1= \RjRt | + [М2-МиХ 12]^Я2П1 - Т12.

Можно показать, что вследствие (8с) г2 является решением кубического уравнения

^1^1) + + (я^АО + (з[ц\2)] +

+ 22[(5А2№) + (^2 АО + (^1А2)] + ^\2ц2) = 0. (15)

Отметим, что по крайней мере одно из решений (15) является вещественным. Остальные элементы набора 2ь связаны с г2 соотношениями

= [А1Д1](2|[5Д1] +22([^1] + [/Л2з])+ [/л2*])

1 [А^Дг^А!^] +22([Д2л1] + [дЛ2])+ [А2Д2])'

[А1Д!](2|[А15] +22([А^] + [5А2]) + [ГЛ2])

- -О-Г" •

[А1Д1](2|[А1Д1] +22([Д2Л1] + [дЛ2])+ [А2/Х2])

(16)

Формулы (12)—(16) дают общее решение задачи об определении всех матриц В для группы 5р(1) = 5^/(2) при к = 4, позволяя найти элементы 2\, Z2,

21, 22, по произвольно заданным 29 параметрам х . г3, 23, К), г/4, д2, ¿73, Для групп Эр (и), п^2, структура уравнений (8а) остается неизменной (достаточно лишь изменить обозначения: ¡74 -¥ ди,

Яи)\ в левой части (8Ь) появляются дополнительные слагаемые (например, для Эр(2) — д2з(22\, 923022, И [<?21<?22] ~ 921022 + ¡722 021 Соответственно в первом, втором и третьем уравнениях (8Ь)). Вся система (8а), (8Ь) может быть решена тем же способом, что и в случае к = 3: из (8а) определяются после чего из (8Ь) могут быть найдены элементы (}21, 022, 921, 922, 923-

Заключение

Построим для произвольных к сравнительно простое (4^+3)-параметрическое множество матриц {5,9} для группы 81/(2), не входящее в анзац т'Хоофта. С этой целью запишем систему (8) в виде

- {&,В<3>} = - (<3(1)<э(2)) + (9(3(3)) ,

- {&,В<2>} = - ((2<3)(2(1)) + (?(?<2>) , (17)

|В(2),5(3)| _ } = _ ((2®(2®) + ,

где ßW, 7= 1,2,3 — компоненты векторов

В, Q; (qQ) — антисимметричные матрицы, составленные из элементов q¡, Q¡: (qQ)i¡ = q¡Q¡ — q¡Qi. При условии QU) = Q(2) = QÍ3) = 0 решением (17) является анзац т'Хоофта:

= b^biSij. (18)

Рассмотрим систему (17) в случае, когда k—\ элемент отличен от нуля (k-й элемент всегда

можно обратить в нуль преобразованием (7)). Первые два уравнения (17) при этом можно представить в виде условия обращения в нуль коммутатора комплексных матриц L = В<1) -ib, M = В<2) - iB<® :

{L,M} = 0. (19)

Простейшим решением (19) является

M = а/ + ßL, (20)

где а = а\ +ia2, ß = ß\ +iß2 — произвольные комплексные числа, I — единичная матрица (к х к). Поскольку матрица I всегда может быть выбрана диагональной, решение последнего из уравнений (17) с учетом (20) позволяет непосредственно определить ВW :

(i)_J4m, ¿=/,

Bf = (al+ß2bi)5ij+ßlEf, (21)

Bf = (-a2+ßlbi)Si,-ß2Bf,

Посредством обращения матрицы кватернионов M = b — X(¡/ — / er (В - xl) можно построить решение матричного уравнения (2), зависящее от (4к + 3) параметров b¡, Bf\ q¡, Q¡1] (j = l,...,k, Qll) = 0), ai, a2, ßi, ß2. Физическая интерпретация этих параметров, однако, не столь проста, как для анзаца т'Хоофта (18); использование (12)—(16), (21) для оценки квантовых эффектов точных &-инстантонных конфигураций с отличными от нуля параметрами «групповой ориентации» инстантонов Q¡ требует привлечения численных методов.

Список литературы

1. Atiyah M.Р., Hitchin N.J., Drinfeld V.G. et al. // Phys. Lett. 1978. 65A. P. 185.

2. Corrigan E. // Phys. Rep. 1979. 49. P. 95.

3. Christ N., Weinberg E.J., Stanton N.K. // Phys. Rev. 1976. D18. P. 2013.

4. Brown L. S., Carlitz R.D., Creamer D.B. et al. // Phys. Rev. 1978. Dl 7. P. 1583.

5. Berg В., Lusher Ai. // Nucí. Phys. 1979. BÍ60, P. 281; Belavin A.A., Pateev V.A., Schwarz AS. et al. // Phys. Lett. 1979. 83B. P. 317.

6. Jackiw R., Nohl C., Rebbi C. // Phys. Rev. 1979. D15. P. 1642.

34 ВМУ. Физика. Астрономия. № 1

About configuration of classical Yang-Mills fields with topological charge k = 4 V. I. Inozemtsev1,0 , P. N. Sysoev2 b

1 Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna 141980, Moscow Region, Russia.

2 Department of Quantum Statistics and Field Theory, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia.

E-mail: a [email protected], [email protected].

The solutions of nonlinear matrix equation, which determine self-dual Yang-Mills fields with topological charge k = 4 in the construction of Atiyah, Hitchin,. Drinfeld and Manin (AHDM) are discussed for symplectic gauge groups. In the case of Sp(n), n > 2, one can use the method proposed earlier for constructing solutions with k = 3. For SU(2) = Sp(l) it is shown that the AHDM matrix can be constructed from the solutions of a cubic equation with coefficients depending on 8k — 3 parameters.

Keywords: self-dual Yang-Mills fields, symplectic gauge groups. PACS: ll.25.Db, 11.15.-q. Received 7 September 2011.

English version: Moscow University Physics Bulletin 1(2012).

Сведения об авторах

1. Сысоев Павел Николаевич — инженер; e-mail: [email protected].

2. Иноземцев Владимир Иванович — докт. физ.-мат. наук, вед. науч. сотрудник; тел.: (496) 216-32-72, e-mail: [email protected].