CC BY
108
УДК 53:51;530.145.1
Вестник СПбГУ. Сер. 4. 2012. Вып. 3
A.A. Багаев
ЭФФЕКТИВНОЕ ДЕЙСТВИЕ В ФОРМАЛИЗМЕ ФОНОВОГО ПОЛЯ*
Введение. В квантовой теории поля определены различные производящие (порождающие) функционалы [1, 2]. Знание производящего функционала функций Грина конкретной полевой модели даёт информацию обо всех n-точечных функциях Грина. Производящий функционал ¿"-матрицы содержит коэффициентные функции матрицы рассеяния, через которые выражаются амплитуды рассеяния на массовой поверхности (в импульсном представлении). Функционалы ¿-матрицы и функций Грина связаны между собой [3]. Континуальный (функциональный) интеграл [4, 5] позволяет записать производящие функционалы компактно и удобно для изучения [6, 7].
Традиционно приходится располагать производящими функционалами как разложениями теории возмущений (например, по степеням константы связи или других малых параметров). Существуют задачи, где предпочтительнее непертурбативные, т. е. не связанные с теорией возмущений приёмы. Это, например, метод стационарной фазы [2, 8], который позволяет построить петлевое разложение (по степеням константы Планка ft). С его помощью можно изучать эффективное действие, которое понимается так: главное приближение равно классическому действию; старшие порядки соответствуют вкладам одночастично-неприводимых [9] вакуумных графов. Известно [2, 3], что эффективное действие может быть получено преобразованием Лежандра [10] производящего функционала связных функций Грина. Более глубоко преобразование Лежандра применительно к теории поля рассмотрено в работах [11—15].
Другую возможность исследования различных непертурбативных эффектов предоставляет формализм фонового поля [16-18], который вместе с родственными подходами является эффективным методом современной квантовой теории поля. Основной объект изучения — производящий функционал ¿-матрицы, который выражается через эффективное действие [19]. Согласно методу фонового поля, эффективное действие определяется по-другому — через интегрирование классического действия по части переменных (точное определение — см. ниже). Структура вкладов отдельных порядков петлевых разложений, полученных обоими способами, одинакова1. Следующие из них физические результаты совпадают.
Эквивалентность отдельных порядков петлевого разложения эффективного действия, тем не менее, не означает равносильности его определений. Её можно физически строго обосновать, например, построив ряды теории возмущений и сравнив каждый порядок [3, 7]. Но непертурбативный вариант доказательства искомой эквивалентности представляется автору более общим подходом по сравнению с техникой теории возмущений.
Производящий функционал связных функций Грина. Эффективное действие. Пусть действие ¿(ф) определяет теорию поля ф. Введём следующее пространство функций:
£(Д) := {ф | ф ^ ф11п, x0 ^ -<ж; ф ^ ф^, x0 ^ 0 £,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 12-02-00412-а.
© A.A. Багаев, 2012
1 О равенстве говорить нельзя, так как в двух подходах, вообще говоря, разные объекты зависят от различных аргументов.
где
1к0=ю ' к 1к0=ю
суть решения уравнения Д-1ф = 0, где Д-1 — оператор квадратичной формы Б; Д (пропагатор) — одна из функций Грина оператора Д-1; импульс к принадлежит евклидовой гиперплоскости пространства Минковского; компоненты вектора к связаны дисперсионным соотношением; Е — пространство быстро убывающих функций. Производящий функционал полных функций Грина имеет вид [3]
в^(/) = J ехр{-Б(ф) + ф.}^ф, (1)
£(Д)
где вспомогательное поле . € Е — классический источник; Ш(.) — производящий функционал связных функций Грина. Справедливости ради отметим, что в [3] акценты расставлены по-другому: по наперёд выбранному пропагатору Д подбирается такое пространство интегрирования Е(Д), что Д-1 — невырожденный симметричный оператор. Тогда интеграл (1) корректно определён У. € Е.
Рассмотрим преобразование Лежандра функционала Ш (.):
г(а) = (Ш(.) - а.^а),
где . — решение (может быть, формальное) уравнения
5Ш (.)
Функционал Г называется эффективным действием, а — средним полем. Обсудим некоторые их свойства.
Введём функционал двух переменных Ф(а, .) = Г(а) + а.. Очевидно, что, во-первых, если а(.) — pешение уравнения стационарности
^ = 0 ,2, оа
для произвольного фиксированного то а(.) = а(.). Во-вторых, Ф(а(.), .) = Ш(.). Эти два факта — условия согласованности преобразования Лежандра, которые отражают свойство его инволютивности [20].
Как упоминалось выше, эффективное действие — это сумма классического действия на среднем поле и квантовых поправок — одночастично-неприводимых вакуумных диаграмм, имеющих одну и более петлю: Г(а) = БС1(а) + Гд(а). Таким образом, уравнение (2) может быть записано так:
оа оа
Производящий функционал ^-матрицы. Фаддеевская версия формализма фонового поля. Рассмотрим новое пространство функций:
Е(фо) = {ф | Ф ^ Ф1п, х0 ^ -с»; ф ^ фоиг, х0 ^ +»} 0 Е;
здесь поля
ФоиЛ*)= / К егкХ + е
Фт(х)
—1кх
кк;
ко=м
Ь* егкх + ак е
-гкх
кк;
ко=^
Фо(х)= / (а*^ егкх + ак е-гкх
кк
ко=^
(4)
по-прежнему являются решениями уравнения Д-1ф = 0, причём функции а и а* предполагаются фиксированными, а на Ь и Ь* никаких условий не накладывается. Интеграл
Н(а, а*
1
г«(ф)
9 Ь9 Ь*
2- у е
£(фо)
(2 — нормировочный множитель), который может быть записан как
Д(Фо)- 2
- 7-1 ] егй(ф) 9ф
£(фо)
(5)
(формальный якобиан перехода включён в определение), называется производящим функционалом ¿-матрицы [21-26]. Другие авторы определяют данный функционал несколько иначе [3, 7].
Теперь введём фоновое поле фр^ Это можно представить как изящный математический трюк, основанный на том, что область интегрирования Е(Д) — линейное пространство, а Е(фо) таковым не является. Очевидно [24-26], что ф1 = ф — фо € Е(Д). Перейдём в (5) к новой переменной интегрирования ф1: ф = ф1 + фо ^ ф + фо. Заметим, что ф + фо в аргументе действия может быть дополнено произвольным элементом у € Е(Д), поскольку мера интегрирования 9ф инвариантна. Значит, фо правомерно заменить на произвольный элемент Е(фо). Обозначим его фрь.
Всё вышесказанное удобно изобразить как схему с четырьмя знаками равенства:
2-
(ф)9ф =: егГ'(фо)
£ (фо)
ф — фо € Е(Д)
2-1 J ег5(ф+фрь)9ф = егГ'(фрь)^
£ (А) фрь € Е(фо)
(6)
Верхнее равенство — это определение Г', левое (вертикальное) — замена переменной, нижнее — альтернативная запись определения Г'. Правый (вертикальный) знак равенства ставится по транзитивности. Следует подчеркнуть: из равенства Г'(фо) = Г'(фрь) не следует равенство ф0 = фрь.
Таким образом, фоновое поле фрь определено неоднозначно: фрь = ф0 + у, ¥ € Е(Д).
1
Если разложить действие в функциональном интеграле (6) в окрестности фрь, возникает диаграммная техника, где фрь играет роль параметра, причём порядок ф0 равен S(фрь) — классическому действию; вершины и пропагатор также являются функционалами фонового поля (может быть, нелокальными). Имеется альтернатива — с одной стороны, можно игнорировать произвол фонового поля, а также граничные условия ф G E(фо) и считать ф^ некоторым классическим внешним полем [19, 27]. С другой стороны, возможно устранить неоднозначность определения фонового поля следующим образом. Потребуем, чтобы ф^ удовлетворяло классическим уравнениям движения с квантовыми поправками — суммой вкладов всех одночастично-неприводимых диаграмм, обладающих одной внешней линией, иначе «головастиков» (англ. tadpole):
(первое слагаемое равно б£(фрь)/бфрь). Условия (7) называются квантовыми уравнениями движения. Левая часть (7) — это полная одночастичная вершина J(x) (полный «головастик»). Предполагается [28], что уравнения (7) однозначно определяют поле фрь по граничным условиям ф^ G Е(фо).
Если поле фрь удовлетворяет (7) и описанным выше граничным условиям, Г'(фрь) не содержит вклада диаграммы «очки»:
У 3(ж)ДфрЬ (x,y)J(y)dxdy = 0.
Диаграмма «очки» — сумма всех связных одночастично-приводимых вакуумных диаграмм, следовательно, Г' является эффективным действием.
Выше описана реализация формализма фонового поля, предложенная Л. Д. Фадде-евым [28-30]. Её основной практический результат: чтобы найти S-матрицу, необходимо вычислить эффективное действие. При этом каждый порядок разложения по петлям имеет меньшее количество диаграмм (см. также [31, 32]).
Эквивалентность эффективных действий Г(а) и Г'(фрь). Воспользуемся вышеуказанной параметрической зависимостью теории от фонового поля и рассмотрим вместо (1) функционал
У ехр{-5(ф + фрь)+ф^}Dф. (8)
£(Д)
Очевидно2, что ЖррЬ(0) = Г'(ф^), т. е. является эффективным действием — функционалом среднего поля, которое также параметризуется фоновым полем, поэтому можно записать
Жррь (0) = £(афрЬ + фрЬ) + ГдфрЬ (афрЬ), (9)
где ГдфрЬ (афрЬ) — сумма одночастично-неприводимых вакуумных графиков, построенных по новым правилам Фейнмана (вершины V ^ УфрЬ и линии Д ^ ДфрЬ); среднее поле афрЬ — решение уравнения
bS(a + фрь) ЬГ9фрЬ(а) = q 6а 6а
Это уравнение — аналог условий (3) для функционала ЖррЬ (J).
е^фрь (J) =
2 С точностью до евклидова разворота. Когда речь идёт о функциях Грина — удобно использовать евклидову версию теории поля, когда об ^-матрице — псевдоевклидову. Никакого содержательного смысла наличие или отсутствие мнимой единицы и знак «минус» перед действием здесь не несёт.
Если поставить задачу найти такое фрь, для которого среднее поле афрЬ оказывается равным нулю, то оно должно удовлетворять уравнению
Ь5'(Фрь) ЬГ9фрЬ(а)
бфрь 6а
0. (10)
Рассмотрим структуру полученного уравнения. Первое слагаемое, по определению, равно нулевому порядку J. Компоненты второго слагаемого (9) можно изобразить графически как одночастично-неприводимые диаграммы без внешних линий, имеющие «хвостики», соответствующие экземплярам среднего поля афрЬ: количество «хвостиков» равно порядку разложения ГдфрЬ (афрЬ) по степеням фрь. Однократное дифференцирование по а означает [3] отрыв одного «хвостика». Таким образом, продифференцировав граф, имеющий n «хвостиков» (n ^ 1), получим новые графы c n — 1 «хвостиками». Далее, при а = 0 элиминируются диаграммы, у которых остался один и бо-6 лее «хвостиков», а «бесхвостые» (n =1) стано-/—N (х) вятся вершинами степени 1 (рисунок). Следова-( ^фрь^М/ афрь -р-► i тельно, второе слагаемое (10) — сумма всех «го-
ловастиков», а значит, равно второму слагаемо-фрЬ му (7). Мы показали, что условия стационарности
Отрыв «хвостика» на примере (10) тождественны квантовым уравнениям дви-
однопетлевой диаграммы жения (7).
Сам логарифм производящего функционала имеет вид
Жррь (0)= ¿(фрь) + (0)
и состоит из одночастично-неприводимых вакуумных графов без «хвостиков». Это означает, что как функционал фрь он эквивалентен эффективному действию Г(а) при условии, что фрь удовлетворяет уравнению (10). Обратим внимание, что в работах Л. Д. Фаддеева [28-30] эффективное действие обозначается не Г, а W.
Примеры приложения метода фонового поля. Вычисление интеграла (6), очевидно, даёт следующий результат:
Г(фрЬ) = й'(Фрь) - findet Д-^фрь) + Г(фрЬ), (И)
где первое слагаемое — главное приближение по h; второе — однопетлевое приближение; третье — двухпетлевое и старшие петли.
Поскольку поле фрь не предполагается малым, стандартная теория возмущений неприменима для вычисления петлевых приближений (11). Наиболее адекватным способом расчёта и анализа является метод собственного времени Фока (иначе — метод теплового ядра) [33-36].
Существуют теории, для которых петлевое разложение и разложение по степеням константы оказываются эквивалентными. Тогда вычисление перенормировки константы связи сводится к вычислению расходящейся части эффективного действия в формализме фонового поля [16, 27, 28, 37]. Приведём некоторые известные результаты.
Поля Янга—Миллса. Результат перенормировки константы связи g полей Ян-га—Миллса [38]
s = у у 11' / ¡и'/■;,х
а
хорошо известен [2, 25, 28] — так называемая бегущая константа связи (англ. running coupling constant):
1 1 22 K2(G), Л
■ In — + ...,
д2(ц) д2(Л) 3 (4п)2 ц
где К2(О) — нормировка оператора Казимира в присоединённом представлении структурной группы О; Л — импульс обрезания; ц — точка нормировки. Фоновое поле вводится следующим образом:
А = Арь + да,
Г = ¿А + А А А, по а производится функциональное интегрирование в (6).
Подробное вычисление однопетлевого эффективного действия поля Янга—Миллса представлено в [39, 40]. Там же вычислена вершинная функция 3(х). Известен также двухпетлевой [27] и трёхпетлевой порядок [41].
Модель вт-Гордона. Двумерная модель вш-Гордона определяется следующим действием [42, 43]:
S(u) = -Y
— dpudyu — m2( 1 — cos и)
d2x ее - W-iiu). Y
Фоновое поле V вводим так:
и = V + л/уд. В однопетлевом приближении имеем [44]
1 т2 г Л
Г(и) = - МГ-Лп)--- / соэ г'й2.г'1п —. (12)
У 4я У ц
Чтобы результат (12) полностью совпал с известным [45], необходим двухпетлевой расчёт, когда появляется перенормировка массы т.
Нелинейная о-модель. Представляет интерес частный случай общей двумерной нелинейной сигма-модели — главное киральное поле [46]:
6'=Щ I Ъ{дрд-%д)<Рх, (13)
где поле д = д(х) — функция, принимающая значения в матричном представлении простой группы О; ео — безразмерная константа связи.
Данная модель кардинально отличается от описанных выше полей Янга—Миллса или модели вш-Гордона, поскольку она не «алгебраическая», а групповая. Поэтому фоновое поле вводится не аддитивным, а мультипликативным образом:
д = %рь,
интегрирование по полю к. Получен следующий результат в двухпетлевом приближении [31, 47-49]:
1 = 1 K2(G) A KijG) А 2 е2(ц) е2(Л) 4л ц 32зт2 ■■ 0
или в-функция
Однопетлевой коэффициент в-функции модели (13) хорошо известен (см., например, [19]); двухпетлевой коэффициент был впервые получен автором [47, 48]. Тем не менее проверено соответствие (14) известным результатам других авторов.
Во-первых, показано совпадение в-функций БП(2) матричной о-модели (13) и 0(4)-симметричной о-модели (модели п-поля) [50]. Квадрат константы связи играет роль температуры: £ = е2/(4я).
Во-вторых, установлено, что в-функция общей о-модели
когда М = БП(Ж) [51, 52], даёт формулу, вычисленную для БП(Ж) матричной о-модели в асимптотическом режиме N ^ то, т. е. когда модель описывает двумерный голдстоуновский бозон [53, 54]. Константа ео связана с температурой и большим параметром N: Т = ^2/(2я).
Наконец, обнаружено, что (14) совпадает с выражением для инвариантного заряда Z спиновой цепочки во внешнем магнитном поле [55, формула (5.9)], полученным в результате анализа БП(2) о-модели с помощью анзаца Бете; Z = е0/2.
Заключение. Нам удалось подобрать объект, подобный порождающему функционалу функций Грина, преобразование Лежандра которого оказывается равным связной части производящего функционала Б-матрицы в формализме фонового поля. Тогда квантовые уравнения движения, которым удовлетворяет фоновое поле, естественно появляются как условия согласованности преобразования Лежандра. Чтобы обеспечить такое представление, потребовалось наложить два нетривиальных дополнительных условия: во-первых, равенство нулю внешнего источника — аргумента производящего функционала функций Грина, во-вторых — равенство нулю среднего поля как функционала фонового поля. В данном контексте можно считать эквивалентность двух подходов к эффективному действию доказанной. При этом мы нигде не прибегали к теории возмущений. Утверждение, что она не предполагалась неявно, спорно, поскольку функциональный интеграл часто понимается как редуцированная запись теории возмущений [3]. Совпадение результатов применения метода фонового поля к известным моделям и данных, полученных другими, например, пертурбативными методами, подкрепляет справедливость приведённого доказательства.
Важно отметить, что связь между приводимостью диаграмм и «головастиком» усмотрена достаточно давно [56], хотя в несколько ином контексте. Для первого условия можно попытаться также просто провести аналогию. С одной стороны, внешний источник в формуле (8) и полный «головастик» 5 кажутся подобными объектами. Но, с другой стороны, внешний источник и среднее поле суть сопряжённые величины и неясно, связано ли их исчезновение.
Интерес также вызывает следующее. Было сказано, что формализм фонового поля может трактоваться как теория с внешним классическим полем, без учёта граничных условий в континуальном интеграле. К тому же, если сам интеграл понимается исключительно пертурбативно, область интегрирования (линейное пространство) также неважна. Тогда естественно возникает вопрос: можно ли «аналитически продолжить» формулу (6), т. е. рассмотреть достаточно произвольное поле фрь. Фоновое поле в этом
случае разбивается на три части — произвольная E(Д)-компонента, фо, от которого (согласно правому вертикальному равенству схемы) должно зависеть Г' и третья компонента, про которую ничего не говорит определение (5). Строго математически эта третья компонента не существует, неясен и её физический смысл. Данный «парадокс», по мнению автора, вопрос того же порядка, что и другая известная проблема теории поля: физические поля, с одной стороны, должны быть финитными функциями, с другой — допускаются асимптотики типа плоских волн (4) на бесконечности. Эта проблема решается путём определённого соглашения.
Автор благодарит академика Людвига Дмитриевича Фаддеева за многолетнее научное руководство и профессора Юрия Михайловича Письмака за ценные консультации.
Литература
1. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984. 604 с.
2. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля: в 2 т. / пер. с англ. М.: Мир, 1984. Т. 1. 448 с.
3. Васильев А. Н. Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 295 с.
4. ДиракП. А. М. Принципы квантовой механики. М.: Наука, 1979. 480 с.
5. Feynman R. P. Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics // Rev. Mod. Phys. 1948. Vol. 20, N 2. P. 367-387.
6. Фрадкин Е. С. Метод функций Грина в теории квантованных полей и в квантовой статистике // Квантовая теория поля и гидродинамика. Некоторые вопросы квантовой теории релятивистских статистических систем и гидродинамика: труды физ. ин-та им. П. Н. Лебедева. Т. XXIX / под ред. Д. В. Скобельцина. М.: Наука, 1965. С. 7-138.
7. Васильев А. Н., Письмак Ю. М. Унитарность виковской Т-экспоненты // Теор. мат. физика. 1973. T. 15, № 2. C. 182-196.
8. РамонП. Теория поля. Современный вводный курс / пер. с англ. М., 1984. 330 c.
9. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 301 с.
10. Jona-Lasinio G. Relativistic field theories with symmetry-breaking solutions // Nuovo Cim. 1964. Vol. 34, N 6. P. 1790-1795.
11. Письмак Ю.М. Доказательство 3-неприводимости третьего преобразования Лежанд-ра // Теор. мат. физика. 1974. T. 18, № 3. C. 299-309.
12. Васильев А. Н., Казанский А. К., Письмак Ю. М. Уравнения для высших преобразований Лежандра в терминах 1-неприводимых вершин // Теор. мат. физика. 1974. T. 19, № 2. C. 186-200.
13. Васильев А. Н., Казанский А. К., Письмак Ю. М. Диаграммный анализ четвёртого преобразования Лежандра // Теор. мат. физика. T. 20, № 2. C. 181-193.
14. Письмак Ю. М. Комбинаторный анализ проблемы перекрываний для вершин, старших четырёххвостки. I. Некоторые топологические свойства графиков Фейнмана // Теор. мат. физика. 1975. T. 24, № 1. C. 34-48.
15. Письмак Ю. М. Комбинаторный анализ проблемы перекрываний для вершин, старших четырёххвостки. II. Высшие преобразования Лежандра // Теор. мат. физика. 1975. T. 24, № 2. C. 177-194.
16. Abbott L. F. The background field method beyond one loop // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 185, N 1. P. 189-203.
17. Коулмен С. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения симметрии и калибровочных полей // Квантовая теория калибровочных полей: сб. статей / пер. с англ.; под ред. Н. П. Коноплёвой. М.: Мир, 1977. С. 23-119.
18. De WittB. S. Quantum theory of gravity. II. The manifestly covariant theory // Phys. Rev. 1967. Vol. 162, N 5. P. 1195-1239.
19. Поляков А. М. Калибровочные поля и струны / пер. с англ. Ижевск: изд. дом «Удмуртский университет», 1999. 312 с.
20. Арнольд В. И. Математические методы классичсекой механики. М.: Наука, 1974. 432 с.
21. Попов В. Н., Фаддеев Л. Д. Теория возмущений для калибровочно-инвариантных полей. Препринт ИТФ-67-036. Киев, 1967. 28 с.
22. Попов В. Н., Фаддеев Л. Д. Ковариантное квантование гравитационного поля // Усп. физ. наук. 1973. T. 111, № 3. C. 427-450.
23. Арефьева И. Я., Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Производящий функционал 5-матрицы в калибровочно-инвариантных теориях // Теор. мат. физика. 1974. T. 21. № 3. C. 311-321.
24. Faddeev L. D. Inroduction to the functional methods // Methods in field theory (Les Houches Session XXVIII) / eds R. Balian, J. Zinn-Justin. Amsterdam: North-Holland Publishing Company, 1976. P. 3-40.
25. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. М.: Наука, 1978. 240 с.
26. Славнов А. А., Фаддеев Л. Д. Введение в квантовую теорию калибровочных полей: 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 272 с.
27. Jackl., OsbornH. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields // Nucl. Phys. (B). 1982. Vol. 207. P. 474-504.
28. Фаддеев Л. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Ян-га—Миллса // Теор. мат. физика. 2006. Т. 148, № 1. С. 133-142.
29. Faddeev L. Mass in Quantum Yang—Mills Theory (comment on Clay Millennium Problem) // Bull. Braz. Math. Soc. 2004. Vol. 33, N 2. P. 1-12.
30. Faddeev L. D. Separation of scattering and selfaction revisited // Subtleties in quantum field theory: Lev Lipatov Festschrift / ed. by D.Diakonov. Gatchina: PNPI, 2010. P. 1-6.
31. Багаев А. А. Применение формализма фонового поля к исследованию матричной 0-модели // Труды молодёжн. научн. конф. «Физика и прогресс». СПб., 2007. C. 84-88.
32. Багаев А. А. Применение метода собственного времени Фока к исследованию нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2009. Вып. 4. С. 183-204.
33. Фок В. А. Собственное время в классической и квантовой механике // Изв. АН СССР. 1937. № 4-5. С. 551-568.
34. Фок В. А. Работы по квантовой теории поля. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. 160 c.
35. Новожилов Ю. В., Новожилов В. Ю. Владимир Александрович Фок. (К столетию со дня рождения.) // Физика элем. частиц и атомн. ядра. 2000. Т. 31. Вып. 1. С. 3-46.
36. Schwinger J. On gauge invariance and vacuum polarization // Phys. Rev. 1951. Vol. 82, N 5. P. 664-679.
37. Багаев А. А. Приложение метода фонового поля к перенормировке нелинейной сигма-модели: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. СПб., 2008. 15 с.
38. Янг Ч., Миллс Р. Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность // Элементарные частицы и компенсирующие поля: сб. статей / под ред. Д.Д.Иваненко. М.: Мир, 1964. С. 28-38.
39. Багаев А. А. Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга—Миллса в формализме фонового поля // Зап. научн. семин. ПОМИ РАН. 2005. Т. 325. С. 5-12.
40. Bagaev A. A. Renormalization of the quantum equation of motion for Yang—Mills fields in the background formalism //J. Math. Sci. 2006. Vol. 138, N 3. P. 5631-5635.
41. Bornsen J.-P., van de VenA.E.M. Three-loop Yang—Mills ^-function via the covariant background field method // Nucl. Phys. (B). 2003. Vol. 657. P. 257-303.
42. ТахтаджянЛ. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. М.: Наука, 1986. 592 с.
43. РаджараманР. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля / пер. с англ. М.: Мир, 1985. 415 с.
44. Багаев А. А. Замечание о перенормировке эффективного действия и квантовых уравнений движения для модели sin-Гордона в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2010. Вып. 1. C. 162-164.
45. FaddeevL. D., Korepin V. E. Quantum theory of solitons // Phys. Rev. (C). 1978. Vol. 42, N 1. P. 1-87.
46. ЦвеликА. М. Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния / пер. с англ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 320 с.
47. Багаев А. А. Двухпетлевые вычисления эффективного действия матричной 0-модели в формализме фонового поля // Теор. мат. физика. 2008. Т. 154, № 2. С. 354-362.
48. BagaevA. A. Two-loop calculations of the matrix 0-model effective action in the background field formalism // Theor. Math. Phys. 2008. Vol. 154, N 2. P. 303-310.
49. Багаев А. А. Об устранении квадратичной по импульсу расходимости нелинейной сигма-модели в формализме фонового поля // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2011. Вып. 4. C. 4-7.
50. HikamiS., BrézenE. Three-loop calculations in the two dimensional non-linear 0-model //J. Phys. (A). 1976. Vol. 11, N 6. P. 1141-1150.
51. FriedanD. Nonlinear models in 2 + e dimensions // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol. 45, N 13. P. 1057-1059.
52. FriedanD. Nonlinear models in 2 + e dimensions // Ann. Phys. 1985. Vol. 163. P. 318-419.
53. Polyakov A. M. Interaction of Goldstone particles in two dimensions. Applications to ferro-magnets and massive Yang—Mills fields // Phys. Lett. (B). 1975. Vol. 59, N 1. P. 79-81.
54. Polyakov A., Wiegmann P. B. Theory of nonabelian Goldstone bosons in two dimensions // Phys. Lett. (B). 1983. Vol. 131, N 1-3. P. 121-126.
55. FaddeevL. D., Reshetikhin N. Yu. Integrability of the principal chiral field model in 1 + 1 dimension // Ann. Phys. 1986. Vol. 167. P. 227-256.
56. DashenR. F., Hasslacher B., NeveuA. Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. I. Semiclassical functional methods // Phys. Rev. (D). 1974. Vol. 10, N 12. P. 4114-4129.
Статья поступила в редакцию 3 апреля 2012 г.
